close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ p-СЕМЕЙСТВА m-ПЛОСКОСТЕЙ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
УДК 514.76
ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ p"СЕМЕЙСТВА m"ПЛОСКОСТЕЙ
В n"МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, В.К. Барышева, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет
Email: eam7@front.ru
Изучаются частные классы семейств линейных подпространств в многомерном евклидовом пространстве, связанные со спе
циальным видом отображений некоторых полей инвариантных двумерных площадок.
1. Аналитический аппарат
Все функции, встречающиеся в данной статье,
предполагаются аналитическими, а рассмотрения
носят локальный характер.
Обозначения и терминология соответствуют
принятым в [1–5].
Рассматривается n!мерное евклидово про!
странство En, отнесённое
ортонор!
– к подвижному
⎯
мальному реперу R={A,e–i }, (i,j,k=1,n) с деривацион!
ными формулами и структурными уравнениями:
dA = ω i ei , dei = ωi j e j ,
Dω i = ω k ∧ ω ki , Dωik = ωij ∧ ωkj .
(1.1)
Здесь 1!формы ωij удовлетворяют соотноше!
ниям
(1.2)
ωi j + ω ij = 0,
вытекающим из условий ортонормальности репера R:
⎧1, i = j ,
〈 ei ; e j 〉 = ⎨
(1.3)
⎩0, i ≠ j.
Здесь символом x–;y– обозначается скалярное
произведение векторов –
x и–
y пространства En.
Как указано в [4, п. 1.4], с евклидовым про!
странством En ассоциируется (p+N)!мерное рас!
слоенное пространство Rp,N=(Mp,QN) с базой Mp и
слоями QN. Здесь Mp – p!мерное дифференци!
руемое ⎯
многообразие с базовыми формами θ a
(a,b,c=1,p), удовлетворяющими структурным ура!
внениям [4, (1.1)]. Каждый слой, отвечающий точ!
ке B(ua)∈Mp, представляет собой грассманово мно!
гообразие всех m!плоскостей
lm = (A, e1 , e2 , … , em )
(1.4)
6
пространства
базовыми формами ωα , ωαα =–ωαα
⎯
⎯ En с ⎯
⎯⎯
(α,β,γ=1,m; α,β ,γ =m+1,n), удовлетворяющими струк!
турным уравнениям [4, (1.7)]. В расслоенном простран!
стве Rp,N, где число N определяется по формуле [4, (1.5)],
как и в [1, п. 1.4)], задаётся сечение: B(ua)∈Mplm∈QN.
В результате получается секущая поверхность Spm –
p!мерное многообразие m!плоскостей (1.4) в En [4, за!
мечание 1.3]. Эта секущая поверхность определяется
системой дифференциальных уравнений [4, (1.8)]:
ω α = Aaαθ a , ωαα = Aααaθ a = −ωαα = − A αα aθ a ,
a, b, c = 1, p,
(1.5)
где величины Aαa и Aααa=–Aαα a удовлетворяют диффе!
ренциальным уравнениям [4, (1.9)]. Как и в [4]
предполагается, что числа p, m и n удовлетворяют
неравенствам [4, (1.11)]:
1 < p < N.
(1.6)
2. Двумерные площадки в линейных
подпространствах lm, Pn–m и Lp
2.1. В статье [4] показано, что каждой точке
B(ua) базы Mp в соответствующей m!плоскости
lm∈Spm отвечает в общем случае одна точка G1 (пер!
вый центр), координаты xα которой определяются
системой линейных уравнений [4, (3.6)], где вели!
чины Aα и Aαβ определяются по формулам [4, (2.1)].
Поэтому всегда можно провести такую канониза!
цию ортонормального репера R, при которой точка
A∈lm окажется первым центром G1. Однако в дан!
ной статье такую канонизацию репера R проводить
не будем, будем предполагать точку A∈lm, отвечаю!
щую точке B(ua)∈Mp, заданной. Тогда кроме диф!
ференциальных уравнений (1.5) на базе Mp будут
выполняться дифференциальные уравнения
Естественные науки
ω α = Aaα θ a ,
dBab − Bcbθac − Bac θac = Babc θ c .
(2.1)
где в силу (1.1) величины Aαa удовлетворяют диффе!
ренциальным уравнениям:
(2.2)
dAaα + Aaβ ωαβ − Abα θab = Aabα θ b .
Поскольку теперь точка A∈lm, отвечающая точ!
ке B(ua)∈Mp, задана, то точке B(ua) можно с учётом
(1.4), (1.3) и (1.1) сопоставить (n–m)!плоскость
Pn − m = ( A, em + 1,…, en ),
(2.3)
ортогональную m!плоскости lm. Поэтому с этой
(n–m)!плоскостью Pn–m можно связать величины,
аналогичные (2.2). В частности, на базе Mp можно
рассмотреть с учётом (2.1) и (1.5) величины
Aαβ = 1 Aαα ( a Aβα β ) Aab ,
(2.4)
2
которые в силу (2.2) и [4, (2.3–2.5)] удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
dAαβ + Aαγ ωγβ − Aγβ ωαγ = Aαβ aθ a .
Здесь явный вид величин Babc для нас несуще!
ственный.
Из (2.9) и [4, (3.7)] с учётом [4, (2.1)] и (2.10)
следует, что каждой точке B(ua)∈Mp отвечает цен!
троаффинное преобразование пространства Lp, по!
*
рождаемое гиперконусами Kp–1 и K p–1
:
b
b
cb
b
c b
b c
Ρ = {Ba }, Ba = Bac A , dB a + B a θ c − B c θ a = B bac θ c . (2.11)
Здесь явный вид величин Bacb для нас несуще!
ственный.
2.3. Отмеченные в данном пункте 2 центроаф!
финные преобразования П:lm→lm, П:Pn–m→Pn–m,
P:Lp→Lp, отвечающие точке B(ua)∈Mp, дают воз!
можность определить двумерные площадки l21⊂lm,
l22⊂Pn–m и L2* ⊂Lp.
В дальнейшем будет использована следующая
система индексов:
α , β , γ , σ = 1, m; α , β , γ , σ = m + 1, n;
Здесь явный вид величин, стоящих при θ , для
нас несущественный. Поэтому величины (2.4) об!
разуют смешанный тензор в смысле Г.Ф. Лаптева
[2]. Как показано в [4, (2.9), (3.9)], тензор {Aαβ} опре!
деляет линейный оператор П={Aαβ}:lm→lm, который
с учётом [4, (3.10)] в общем случае является невы!
рожденным на базе Mp. Аналогично показывается,
что величины (2.4) определяют линейный оператор
a, b, c, e = 1, p; α1, β1, γ 1, σ 1 = 1, 2;
a
Π = { Aαβ }: Pn−m → Pn −m ,
(2.5)
являющийся в общем случае невырожденным на
базе Mp:
det[ Aαβ ] ≠ 0.
(2.6)
Заметим с учётом (2.5) и [4, (3.10)], что линей!
ные операторы П и П можно рассматривать в каж!
дой точке B(ua)∈Mp как невырожденные в силу (2.6)
и [4, (3.10)] центроаффинные преобразования со!
ответствующих линейных подпространств.
2.2. В [4] показано, что каждому направлению
[4, (3.2)] в Lp отвечает симметрический линейный
оператор [4, (3.6)]:
(2.7)
Π (t ) = { Aαβabt at b }: lm → lm ,
(2.8)
Aαβab = 1 Aαα (a Aαβ b ) .
2
Из (2.7) с учётом [4, (3.9)] заключаем,
! –что сово!
купность всех направлений [4, (3.2)] t =(B ,ε–a )ta∈Lp,
которым
отвечают линейные операторы П и
¯
П(t)=П.П(t):lm→lm с нулевыми следами, образует в
*
Lp гиперконусы Kp–1 [4, (3.7)] и K p–1
второго поряд!
ка с вершиной B(ua)∈Lp:
где
K p −1 : Aab t at b = 0, K p∗−1 : Bab t a tb = 0,
Aab = Aααab , Bab = Aαγ Aγαab ,
(2.10)
α 2 , β 2 , γ 2 , σ 2 = 3, m; α 1, β 1, γ 1, σ 1 = m + 1, m + 2;
α 2 , β 2 , γ 2 , σ 2 = m + 3, n; a1, b1, c1, e1 = 1, 2;
a2 , b2 , c2 , e2 = 3, p.
Каждой точке B(ua)∈Mp сопоставим нижесле!
дующие двумерные плоскости, определённые со!
ответствующими линейными уравнениями:
l21 ⊂ lm ⇔ xα 2 = gαα12 xα1 , x α = 0;
l22 ⊂ Pn−m ⇔ xα 2 = gαα12 xα 1 , xα = 0;
∗
2
a 2 a1
a1
Здесь величины g αα , g αα и haa удовлетворяют диф!
ференциальным уравнениям:
dgαα + gαβ ωβα − gαβ ωαβ + ωαα = gαα aθ a ;
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
dgαα12 + gαβ12 ωβα 2 − gβα 2 ωαβ11 + ωαα12 = gαα 12aθ a ;
2
1
dh + h θ − h θ + θ
a2
a1
b2 a 2
a1 b2
a 2 b1
b1 a 1
(2.14)
=h θ .
a2
a1
a2
a 1a
a
Из [4, (3.9)], (2.5, 2.6 и 2.9) с учётом (2.13) заклю!
чаем, что 1) плоскость l21⊂lm, проходящая через точ!
ку A; 2) плоскость l22⊂Pn–m, проходящая через точку
A; 3) двумерная площадка L*2 B(ua) в Lp, соответ!
ственно параллельна двумерному направлению, не!
подвижному 1) при линейном операторе П:lm→lm,
2) при линейном операторе П:Pn–m→Pn–m, 3) при
центроаффинном преобразовании P:Lp→Lp тогда и
только тогда, когда величины g αα , g αα и haa удовлетво!
ряют алгебраическим уравнениям, соответственно:
l21 : ϕαα ≡ Aββ gαβ gβα + Aαα ββ gββ − A αα = 0,
(2.15)
Aαα = Aαα , Aαα ββ = Aαβ δβα − A αβ δαβ ;
2
причём компоненты тензоров Aab и Bab удовлетворя!
ют дифференциальным уравнениям [4, (2.2)] и ура!
внениям:
(2.13)
L ⊂ Lp ⇔ t = h t .
a2
1
(2.9)
(2.12)
2
2
2
1
1
1
2
2
2 1
2
2
2
1
1
1 2
1
1
1
1
2
1
2 1
2
1 2
1
2
1
2
2
1
2
1
l22 : ϕαα12 ≡ Aββ 1 gαβ12 gβα 2 + Aαα12ββ 1 gββ 2 − Aαα 12 = 0,
2
α2
α1
A
α1
α2
=A ,
1
α 2 β1
α 1β 2
A
2
β1 α 2
α1 β 2
=A δ
1
− A αβ 2 δαβ 1 ;
2
(2.16)
1
7
Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 6
L∗2 :ψ aa12 ≡ Bbb21 hab12 hba12 + Baa12bb21 h bb12 − B aa 12 = 0,
Baa12bb21 = Bab11 δba22 − B ba22 δab11 .
(2.17)
Замечание 2.1. Каждая из систем неоднородных
алгебраических уравнений (2.15, 2.16 и 2.17) имеет
в общем случае конечное число решений относи!
тельно g αα , g αα и haa в силу геометрического выбора
соответствующих плоскостей l21⊂lm, l22⊂Pn–m и L2* ⊂Lp.
Этот результат также вытекает из того, что в общем
случае на базе Mp каждый из нижеследующих опре!
делителей, как можно показать, не равен нулю:
(2.18)
D ≡ det ⎡⎣ Aαα ββ ⎤⎦ .
1)
2
2
2
1
1
1
Здесь символ (...) означает несущественные вы!
ражения, а величины, стоящие в круглых скобках
при векторах –
ε α* и –
ε α* , определяются по формулам:
1
1
α1
a
dG + G ω − Gbα 1θab = Gabα 1θ b ,
2
1
(2.20)
Здесь пара (bb ) указывает на номер строки, а па!
ра (aa ) – на номер столбца.
Неравенство нулю на базе Mp каждого из опреде!
лителей (2.18–2.20) в общем случае обеспечивает ал!
гебраическую независимость уравнений (2.15–2.17),
что и приводит к конечному числу решений относи!
тельно g αα , g αα и haa .
Замечание 2.2. Из (2.13) замечаем, что
1
l2 = ( A, ε1∗ , ε 2∗ ) ⊂ lm , l22 = ( A, ε m∗ +1, εm∗ +2 ) ⊂ Pn −m , (2.21)
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
α
α
∗
∗
где ε α = eα + gα eα , ε α = eα + gα eα .
α1
β1
1
α1
α 1a
dG
1
L ≡ det ⎡⎣ Baa12bb21 ⎤⎦ .
β1
a
dGαα11a + Gαβ11aωαβ 1 − Gβα11a ωαβ11 − Gαα11b θab = Gαα11ab θ b ,
2
3)
+ G ω − Gβα 1a ωαβ11 − Gαα 1b θ ab = Gαα 1ab θ b .
β1
α 1a
α1
β1
1
1
Y1 = A + y α1 ε α∗1 , Y2 = A + y α 1ε α∗1 ,
y α 1 = (Gaα 1 + xα1Gαα11a ) t a ,
yα 1 = (Gaα 1 + xα 1Gαα 11a ) ta . (3.5)
Таким образом, каждому направлению t∈Lp в
точке B(ua)∈Mp отвечают линейные отображения
Из (2.21) и (2.22) с учётом (1.3) следует, что каждой
точке B(ua)∈Mp отвечают линейные подпространства
f (t ) : l 22 → l 21 ⇔ f (t )X 2 = Y1
1
2
1
1
1
2
lm− 2 = ( A, ε 3∗ ,… , ε m∗ ) ⊥ l21 , lm − 2 ∪ l21 = lm ,
Pn−m −2 = ( A, ε
∗
m+3
∗
n
(2.23)
,… , ε ) ⊥ l , Pn −m − 2 ∪ l = Pn −m ,
2
2
2
2
ε α∗2 = eα 2 + gαα21 eα 1 , ε α∗ = eα + gαα 1 eα ,
2
где
α2
α1
g
α1
α2
= −g , g
α2
α1
2
2
α1
α2
= −g .
1
(2.24)
3. Отображения f (t):l 21→l 22 и f (t):l 22→l 21 в направлении t∈Lp
3.1. Определение и геометрический смысл отображений
f (t) и f (t)
Каждой точке B(ua)∈Mp сопоставим точки
X1∈l21⊂lm и X2∈l22⊂Pn–m с радиус!векторами
X 1 = A + xα1 ε α∗1 ,
X 2 = A + xα 1ε α∗ .
(3.1)
(3.6)
(t − фиксировано).
Каждое из этих отображений определяется со!
ответствующими функциями (3.5) (при фиксиро!
ванных t a) и в силу (3.2), (2.22), [4, (3.2), (3.13)],
(2.3, 3.4 и 1.5) геометрически характеризуется сле!
дующим образом
{T ( X 1 )k (t ) ∪ l m ∪ Pn −m −2 } ∩ l 22 = Y 2 ,
{T ( X 2 )k (t ) ∪ Pn −m ∪ l m− 2 } ∩ l 21 = Y1.
Здесь из рассмотрения исключается случай,
когда точки X1∈lm и X2∈Pn–m, отвечающие точке
B(ua)∈Mp, являются фокусами в смысле [5] линей!
ных подпространств lm и Pn–m вдоль кривой k(t) на
базе Mp расслоения Rp,N.
3.2. Отображения f (t)→f a(t) и f (t)→fa(t)
1
Из (3.1) с учётом (2.21), (2.22), (2.1), [4, (3.1)] и
[4, (1.2), (1.4), (1.8)] получаем
dX 1 = ( )α ε α∗ + ( )α 2 eα + (Gαa 1 + xα1 Gαα11a ) t aθεα∗ 1 ,
2
dX 2 = ( )α ε α∗ + ( )α 2 ε α∗2 + (Gαa 1 + xα 1 Gαα 11a ) t aθεα∗1 .
8
(3.4)
где
f (t ) : l 21 → l 22 ⇔ f (t )X 1 = Y 2 ,
1
1
Здесь явный вид величин, стоящих при θ b, для
нас несущественный.
Из (3.2) замечаем, что каждому направлению
t∈Lp, касательному к кривой k(t) на базе Mp, прохо!
дящей через точку B(ua)∈Mp, отвечают точки Y1∈l21 и
Y2∈l22 с радиус!векторами
(2.22)
2
2
1
(3.3)
dGaα 1 + Gaβ 1ωαβ 1 − Gbα 1θab = Gabα 1θ b ,
Здесь пара (β ) указывает на номер строки, а па!
ра (αα ) – на номер столбца.
2
α2
a
и в силу (1.5), (2.2) и (2.14) удовлетворяют диффе!
ренциальным уравнениям:
β1
2
α1
α2
Gαα11a = Aαα11a + gαα 21 Aαα12a + gαα12 Aαα 12a + Aαα 22a gαα12 gαα 12
2 1
1
α1
a
Gαα11a = Aαα11a + gαα 12 Aαα12a + gαα12 Aαα 21a + Aαα 22a gαα12 gαα 12 ,
1 2
D ≡ det ⎡ Aαα 2ββ 1 ⎤ .
2)
(2.19)
⎣ 1 2⎦
Здесь пара (ββ ) указывает на номер строки, а па!
ра (αα ) – на номер столбца.
1
G = A + g A , Gaα1 = Aaα1 + gαα 21 Aaα 2 ,
α1
a
(3.2)
Каждое из отображений (3.6), отвечающих точке
B(ua)∈Mp, при фиксированных t a определяется соот!
ветствующими двумя функциями двух аргументов.
Определение 3.1. Отображение f (t):l 21→l 22
(f (t):l 22→l 21), отвечающее точке B(ua)∈Mp, называется
отображением f a(t) (fa(t)), т.е. f (t)→f a(t) (f (t)→fa(t))
Естественные науки
(t – фиксировано), если соответствующие две
функции двух аргументов, его определяющие, удо!
влетворяют условиям Коши!Римана [6. С. 43–44]:
∂y m +1 ∂y m+ 2 ∂y m+ 2
∂y m+ 1
=
=−
,
1
2
1
∂x
∂x
∂x
∂x 2
⎛ ∂y 1
∂y 2 ∂y 2
∂y 1 ⎞
(3.7)
⎜ ∂x m+1 = ∂x m+ 2 , ∂x m+1 = − ∂x m+ 2 ⎟ .
⎝
⎠
Из (3.7) и (3.5) с учётом (3.3), (1.5) и (1.2) вытекает
Утверждение 3.1. Отображение f (t):l 21→l 22, отве!
чающее точке B(ua)∈Mp, будет отображением f a(t),
т.е. f (t)→f a(t), тогда и только тогда, когда
⎧⎪(G1ma +1 − G 2ma+ 2 )t a = 0,
f (t ) → f a (t ) ⇔ ⎨ m+1
⇔
m+ 2 a
⎪⎩(G 2a + G1a )t = 0,
⎧⎪(G m1 +1,a − G m2 + 2,a )t a = 0,
⇔⎨ 1
2
a
⎪⎩(G m+ 2,a + G m+1,a )t = 0.
(3.8)
Доказательство. Будем предполагать, что на базе Mp
⎡G m +1 − G2ma+ 2 ⎤
Rang ⎢ 1ma +1
m + 2 ⎥ = 2 (a – номер столбцов). (3.10)
⎣G2 a + G1a ⎦
Поэтому система (3.8) состоит из двух линей!
ных однородных уравнений с p неизвестными t a и,
следовательно, определяет в Lp линейное подпро!
странство (3.9).
Замечание 3.1. Пусть в каждой точке B(ua)∈Mp
линейное подпространство (3.9) задаётся уравне!
ниями:
(3.11)
Γ p −2 : t a1 = haa21t a2 ,
a1
где ha удовлетворяют дифференциальным уравне!
ниям:
dhaa + hab θba − hba θab + θaa = haa aθ a .
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
Из (3.11, 2.13, 2.9, 2.23 и 2.24) следует, что пло!
скость L2*⊂Lp и (p–2)!плоскость Гp–2⊂Lp полярно со!
пряжены относительно гиперконуса Kp–1 тогда и
только тогда, когда
Aa b hbb haa + Aa b hbb + Aa b haa + Aa b = 0. (3.12)
1
2 1
2
2
1
1
1 1
2
2
2 2
1
1 2
a1
Если величины ha с учётом (3.11) и (3.10) опреде!
лить из системы (3.8), то из системы (3.12) в общем
случае алгебраически независимых 2(p–2) уравнений
можно определить величины haa в каждой точке
B(ua)∈Mp, с которыми в силу (2.13) ассоциируется пло!
скость L2*⊂Lp. Таким образом, с каждой парой плоско!
стей l21⊂lm и l22⊂Pn–m, отвечающих точке B(ua)∈Mp, ассо!
циируется в Lp двумерная плоскость L2*⊂Lp, полярно
сопряжённая (p–2)!плоскости Гp–2⊂Lp относительно
гиперконуса Kp–1⊂Lp.
2
1
2
Теорема 3.2. В общем случае при выполнении
условий
n=p+4, 1<p<(m+1)(p+4–m)
(3.13)
a
в каждой точке B(u )∈Mp существует конечное чи!
сло плоскостей l21⊂lm и l22⊂Pn–m таких, что
f (t ) → f a (t ) : l 21 → l 22, ∀ t ∈ L p .
(3.14)
Доказательство. Из (3.8) следует, что величины
gαα и gαα , общее число которых равно
n∗ = 2(n − 4),
(3.15)
2
2
1
1
определяют плоскости l 21→l 22, о которых идёт речь в
(3.14), удовлетворяют с учётом (3.3) следующей си!
стеме неоднородных алгебраических уравнений:
ϕa ≡ Aαα22a ( g1α 2 g αm2+1 − g 2α 2 gαm2+ 2 ) +
(при фиксированных t a).
Теорема 3.1. Каждой паре плоскостей l21⊂lm и
2
l2 ⊂Pn–m, отвечающих точке B(ua)∈Mp, в центроаф!
финном пространстве Lp в общем случае соответ!
ствует (p–2)!мерное подпространство
(3.9)
Γ p −2 = {t ∈ Lp | f (t ) → f a (t ) : l 21 → l 22 } B.
2
3.3. Случай n=p+4
+ A1αa2 g αm2+1 − Aαm2+a2 g 2α 2 + A1ma+ 1 − A2ma+ 2 = 0,
(3.16)
ψaa ≡ Aαα a ( g1α g αm+2 + g 2α gαm+1 ) + A1αa gαm+ 2 +
2
2
2
2
2
2
2
2
+ Aαm2+a1 g 2α 2 + A1ma+ 2 − A2ma+1 = 0, (a = 1, p).
Заметим, что система (3.16) состоит из 2p алгебра!
ических уравнений и содержит n*=2(n–4) неизвест!
ных gαα и gαα =–gαα . В случае же n=p+4 эта система обла!
дает одинаковым числом 2p уравнений и n* неизвест!
ных. Можно показать, что ранг якобиевой матрицы
⎡ ∂ϕa ∂ϕa ⎤
⎢ ∂g α
⎥
∂gαα ⎥
⎢ α
⎢ ∂ψ
∂ψ a ⎥
⎢ αa
⎥
∂gαα ⎥⎦
⎢⎣ ∂gα
при n*=2p в общем случае на базе Mp равен 2p. Это
означает, что система (3.16) состоит в общем случае
из 2p алгебраически независимых уравнений. Поэ!
тому она допускает в общем случае конечное число
решений относительно gαα и gαα =–gαα , что в силу
(2.17) и (1.6) и в соответствии с (3.13) и доказывает
настоящую теорему.
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
3.4. Случай n>p+4
Теорема 3.3. В общем случае при выполнении
неравенств
n>p+4, 1<p<(m+1)(n–m)
(3.17)
в каждой точке B(ua)∈Mp существует бесчисленное
множество плоскостей l21⊂lm и l22⊂Pn–m таких, что
f (t ) → f a (t ) : l 21 → l 22, ∀ t ∈ L p .
Доказательство данной теоремы вытекает из то!
го, что в случае (3.17) с учётом (3.15) система (3.16)
содержит неизвестных больше, чем уравнений,
входящих в эту систему.
3.5. Случай n<p+4
В предыдущих пунктах было показано существова!
ние в каждой точке B(ua)∈Mp в общем случае при
9
Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 6
n≥p+4 конечного или бесконечного числа пар плоско!
стей l21⊂lm и l22⊂Pn–m типа (3.14). В этом пункте будет по!
казано существование аналогичных пар плоскостей в
каждой точке B(ua)∈Mp при выполнении неравенств
n<p+4, 1<p<(m+1)(n–m).
(3.18)
Из (3.16) с учётом (3.15) и (3.18) замечаем, что в
рассматриваемом случае указанные пары плоско!
стей l21⊂lm и l22⊂Pn–m определяются системой алгебра!
ических уравнений, у которой число n* неизвест!
ных gαα и gαα =–gαα меньше числа 2p уравнений. Поэ!
тому в данном случае существование этих пар пло!
скостей l21 и l22 типа (3.14) может быть обеспечено
только в некотором частном случае многообразия
Spm – p!семейства m!плоскостей lm в En. Такое мно!
гообразие Spm обозначим ~
Spm.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.4. Многообразие ~
Spm – многообразие
Spm в En, у которого в каждой точке B(ua)∈Mp при
n<p+4 имеется хотя бы одна пара двумерных пло!
скостей l21⊂lm и l22⊂Pn–m типа: f (t)→f a(t):l 21→l 22, ∀t∈Lp,
всегда существует.
Доказательство. Точке B(ua)∈Mp сопоставим
плоскости l21⊂lm и l22⊂Pn–m. Для упрощения дальней!
ших аналитических выкладок и геометрических рас!
суждений проведём в точке B(ua)∈Mp такую канони!
зацию ортонормального репера R, при которой
2
2
1
1
1
2
gαα21 ≡ gαα12 = 0, g αα 2 ≡ − gαα 1 = 0,
1
(3.19)
2
ωαα12 = gαα12aθ a , ωαα12 = gαα12aθ a ,
α2
1
1
(3.20)
где величины gα a и gα a удовлетворяют дифферен!
циальным уравнениям:
dgαα a + gαβ aωβα − gβα aωαβ − gαα bθab = gαα abθ b ,
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
dg αα 2a + gαβ 2aωβα 2 − gβα 2aωαβ 1 − gαα 12bθ ab = gαα 2abθ b .
1
1
2
1
1
4.1. Из дифференциальных уравнений (1.5) и
(3.24)* с учётом (2.12) следует, что в случае многообра!
зия Spm на базе Mp имеют место соотношения (3.22) и
Aαα12a = 0, Aαα 2a = 0, Aαα12a = 0, Aαα 2a = 0.
1
Пусть плоскости (3.21) удовлетворяют условию
(3.14). Тогда из (3.16) в силу (3.19) получаем, что
многообразие ~
Spm, о котором идёт речь в настоящей
теореме, характеризуется соотношениями, выпол!
няющимися на базе Mp:
(3.22)
A1ma +1 − A2ma+ 2 = 0, A1ma+ 2 + A2ma+ 1 = 0,
которые в силу (1.5) приводят к дифференциаль!
ным уравнениям
ω1m +1 − ω2m+ 2 = 0, ω1m+ 2 + ω2m+ 1 = 0. (3.23)
Предположим, что на базе Mp выполняются с учё!
том (3.20) и (3.23) дифференциальные уравнения:
ω1m+1 − ω2m+2 = 0, ω1m+ 2 + ω2m+1 = 0,
ωαα21 = 0, ωαα12 = 0, ωαα12 = 0, ωαα 12 = 0,
(4.1)
1
Из (2.4, 2.8 и 4.1) получаем
A α1 = 1 A(αa2 Aαα1 b ) A ab , Aα 2 = 1 A(αa2 Aαα 2 b )A ab ,
2
2
2
2
Aαβ11 = 12 Aαα11(a A αβ1 b ), Aαβ22 = 12 Aαα22(a Aαβ 2b ) A ab , Aαβ12 = Aβα 21 = 0,
2
1
(4.2)
Aab = Aαα11a A αα1 b + Aαα22a Aαα 2 b , Aαβ 1 = 12 Aαα 1(a A αβ11 b ),
1
1
1
2
Aαβ 2 = 12 Aαα 2(a A αβ 22 b ) A ab , Aab = Aαβ 2 = Aβα 1 = 0.
2
2
1
2
*
Отсюда следует, что на базе Mp многообразия Spm
в общем случае имеют место неравенства
det[ Aαβ ] = det[ Aαβ ] ⋅ det[ Aαβ ] ≠ 0,
1
2
1
2
det[ Aαβ ] = det[ Aαβ 1 ] ⋅ det[ Aαβ 2 ] ≠ 0, det[ Aab] ≠ 0,
2
что не противоречит соотношениям [4,
(2.1)], (2.6)
*
и [4, (3.10)]. Поэтому многообразие Spm представля!
ет собой частный случай многообразия ~
Spm – p!се!
мейства (в общем случае необязательно центроаф!
финных) m!плоскостей lm в En.
4.2. Из (1.4, 2.3, 2.21 и 2.23) с учётом (2.15, 2.16 и
4.2) получаем, что в каждой точке B(ua)∈Mp опреде!
лены следующие линейные подпространства:
Γ14 = l 21 ∪ l 22 = ( A , e1, e2 , em+1, em+2 ),
1
Здесь явный вид величин, стоящих при θ b, для
нас несущественный. Из (2.21) и (2.22) в силу (3.19)
получаем
l 21 = ( A, e1, e2 ), l 22 = ( A, em+1, em+2 ). (3.21)
10
*
4. Геометрические свойства многообразия Spm
1
что в силу (2.14) приводит к дифференциальным
уравнениям:
α2
*
которые определяют многообразие Spm – частный
случай многообразия Spm. Из (1.1) замечаем, что си!
стема (3.24) замкнута относительно операции вне!
шнего дифференцирования* [1]. Это означает суще!
ствование многообразия Spm, а, следовательно, и
многообразия ~
Spm. Теорема 3.4 доказана.
(3.24)
Γn2−4 = lm−2 ∪ Pn−m− 2 = ( A , e3 ,…, em , em+ 3,…, en ),
G n1−2 = l m ∪ Pn−m− 2 = ( A , e1,…, em , em+ 3 ,…, en ),
G n2−2 = l m− 2 ∪ Pn−m = ( A , e3,…, em , em+ 1,…, en ). (4.3)
Здесь линейные подпространства l21 и l22 являют!
ся неподвижными при центроаффинных преобра!
зованиях П:lm→lm и П:Pn–m→Pn–m, соответственно.
Теорема
4.1. В каждой точке B(ua)∈Mp многооб!
*
m
разия Sp в En все характеристики (n–2)!плоскостей
2
G 1n–2 и G n–2
вдоль любой кривой k(t) на базе Mp, про!
ходящей через точку B(ua)∈Mp, параллельны линей!
2
ному подпространству Гn–4
.
Доказательство. Из (4.3)
что точка
– –следует,
Z∈G 1n–2 с радиус!вектором Z =A
+xα e–α +xα e–α , отве!
чающая точке B(ua)∈Mp, будет текущей точкой
(chG 1n–2)∀k(t) – характеристики (n–2)!плоскости G 1n–2
вдоль любой кривой
k(t) на базе Mp – тогда и только
–
тогда, когда (dZ ,e–3,...,e–m,e–m+3,...e–n)=0, (θ a – любые).
Отсюда с учётом (1.1, 1.5, 2.1, 3.20, 3.24, 2.1 и 4.2)
получаем справедливость настоящей теоремы как
2
для (n–2)!плоскости G 1n–2, так и аналогично для G n–2
.
2
2
2
2
Естественные науки
4.3. Имеет место следующая теорема.
Теорема
4.2. В каждой точке B(ua)∈Mp многооб!
*
m
разия Sp в En (n>4) перспективные аффинные связ!
2
2
ности в смысле [3]: С12:Г41→Гn–4
и С21:Гn–4
→Г41 явля!
ются локально плоскими.
Доказательство. В соответствии с [3] связность
С12 {С21} отображает Г4{Гn–4}, соседнюю Г'4{Г'n–4} (бес!
конечно близкую первого порядка) в направлении
Гn–4{Г4}. Каждая из этих связностей имеет 1!формы
связности:
α1
β1
α1
α1
α1
α1
C12 : ω ,ω ,ω ,ω
Ωα1 ≡ Dωα1 − ω β 1 ∧ ωαβ11 − ω β 1 ∧ ωαβ 1 = 0,
1
Ωα 1 ≡ Dωα 1 − ω α1 ∧ ωαα11 − ω β 1 ∧ ωαβ 1 = 0,
1
Ωαβ11 ≡ Dωαβ11 − ωαα11 ∧ ωαβ 1 − ωαγ 11 ∧ ωγβ11 = 0,
1
Ωαα11 ≡ Dωαα11 − ωαβ11 ∧ ωβα11 − ωαβ12 ∧ ωβα 21 = 0,
Ωα 2 ≡ Dωα 2 − ω β 2 ∧ ωαβ22 − ωβ 1 ∧ ωβα11 = 0,
Ωα 21 ≡ Dωα 2 − ω α 2 ∧ ωαα22 − ω β 2 ∧ ωαβ 2 = 0,
2
β2
α2
β2
α2
α2
α2
α2
α2
α2
α2
β2
α2
Ω ≡ Dω − ω
α1
α1
= −ω ;
Ω
C 21 : ω α 2 ,ω α 2 ,ωαβ22 ,ωαα22 = −ωαα 2 ,
2
которые в силу (1.1) и (3.24) удовлетворяют следу!
ющим структурным уравнениям:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифферен!
циальной геометрии. – М.: ГИТТЛ, 1948. – 432 с.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных мно!
гообразий // Труды московского математического общества. –
М., 1953. – Т. 2. – С. 275–382.
3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П.
Дифференциально!геометрические структуры на многообра!
зиях // Итоги науки и техники. – М.: ВИНИТИ АН СССР,
1979. – С. 7–246.
β2
α2
γ2
α2
β2
γ2
= 0,
α2
β2
β1
α2
α2
β1
= 0.
∧ω −ω ∧ω
≡ Dω − ω ∧ ω − ω ∧ ω
Это означает, что 2!формы кручения и кривиз!
ны связностей
C12 и C21 равны нулю на базе Mp мно!
*
гообразия Spm, что и доказывает настоящую теорему.
4. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О центрировании семейства ли!
нейных подпространств в многомерном евклидовом простран!
стве // Известия Томского политехнического университета. –
2005. – Т. 308. – № 3. – С. 6–10.
5. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга r // Изве!
стия вузов. Сер. Математика. – 1957. – № 1. – С. 9–19.
6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменно!
го. – Томск: Томский государственный университет, 2002. –
510 с.
УДК 519.644
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ (n+1)"МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Э.А. Шамсиев
Ташкентский государственный технический университет
Email: shamciev_tstu@mail.ru
Предлагается способ получения кубатурной формулы (2m–1)й степени точности для многомерной сферы, когда известна фор
мула аналогичной степени точности для сферы, чья размерность на единицу меньше.
Рассмотрим в n!мерном евклидовом простран!
стве Rn единичную сферу Sn–1={x∈Rn|x12+x22+...+xn2=1}.
Для произвольного одночлена x1β1x2β 2...xnβ n
∫
β1
1
β2
2
Пусть известна кубатурная формула (2m–1)!й
степени точности
∫
βn
n
x x ...x dS =
∞
k −1 − t
где Γ(k ) = ∫ t e dt – гамма!функция Эйлера.
(1)
i =1
S n −1
S n −1
⎧ ⎛ β1 + 1 ⎞ ⎛ β 2 + 1 ⎞
⎛ βn + 1 ⎞
⎪ 2Γ ⎜ 2 ⎟ Γ ⎜ 2 ⎟… Γ ⎜ 2 ⎟ если все β четны
⎝
⎠
⎝
⎠
i
⎝
⎠,
⎪⎪
=⎨
i = 1,2,3,..., n
⎛ β1 + β 2 + ... + β n + n ⎞
Γ⎜
⎟
⎪
2
⎝
⎠
⎪
⎪⎩0, в противномслучае,
N
f ( x )dS ≅ ∑C i f (a (i ) ).
Исследуем вопрос существования кубатурной
формулы аналогичной степени точности для Sn вида
m
N
∫ f ( x )dS ≅ ∑T ∑C
Sn
j =1
j
i =1
j
f ( 1 − t 2j a (i ),t j ),
(2)
где Tj и tj определяются как параметры некоторой
весовой квадратурной формулы типа Гаусса для
отрезка [–1; 1]:
0
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
252 Кб
Теги
пространство, евклидовой, одной, плоскости, классификация, мерном, семейство
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа