close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной модификации понятия u-эквивалентности топологических пространств.

код для вставкиСкачать
УДК 515.12
А.В. Арбит
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ
ПОНЯТИЯ u-ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Вводится понятие fu-эквивалентности топологических пространств, являющееся частным случаем понятия u-эквивалентности. Доказано, что любые два счётные отрезка ординалов fu-эквивалентны.
Известно, что гомеоморфизм пространств Cp(X) и Cp(Y) порождает многозначное отображение пространства X в Y. Такое
отображение, называемое носителем, часто используется при
доказательстве теорем об инвариантности различных топологических свойств. Так, в [1] использовались носители линейных гомеоморфизмов пространств функций. О. Окунев в [2]
ввёл понятие ε-носителя для произвольных гомеоморфизмов
пространств функций. Особый интерес в данном контексте
представляют носители равномерных гомеоморфизмов этих
пространств. Использование многозначных отображений в некоторых случаях является основным приёмом в доказательстве. Примером является аналог носителя, введённый С.П. Гулько в [3]. Носитель равномерных гомеоморфизмов, рассматриваемый в этой статье, аналогичен носителю, построенному в
[2], однако в отличие от него обладает рядом новых свойств,
например полунепрерывностью. Значениями носителя в общем
случае являются счётные множества. Добавив дополнительное условие конечнозначности носителя, получаем модификацию понятия u-эквивалентности топологических пространств −
fu-эквивалентность, которая является промежуточным понятием между l- и u-эквивалентностью. Основным результатом
статьи является теорема 8, дающая пример fu-эквивалентных
пространств, не являющихся l-эквивалентными, что позволяет
различать эти понятия.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются вполне регулярными, а отображения – непрерывными. Пространства X и Y называем u-эквивалентными (l-эквивалентными), если Cp(X)
и Cp(Y) равномерно гомеоморфны (линейно гомеоморфны). Если X и Y – нормированные топологические
пространства, для которых существует линейный гомеоморфизм h: X→Y, сохраняющий норму, то будем
отождествлять их и писать X≈Y.
Символы X ⊕ Y, ⊕ Xs означают прямую сумму тоs∈S
пологических пространств, с0 − пространство всех сходящихся к нулю последовательностей, наделённое нормой {xn }n∈N = max{| xn |: n ∈ N } , где {x n } n∈N ∈ c 0 . Если
(En;||⋅||) – нормированные пространства, n ∈ N, то c0-про⎛
⎞
изведением E = ⎜ ∏ En ⎟ мы будем называть множе⎝ n∈N ⎠ C0
ство всех последовательностей x=(x1, x2,…), xn ∈ En ,
lim xn
n →∞
n
= 0. Само c0-произведение наделяется нормой
x = sup xn n . Cp(X|F) – пространство всех непрерывn∈N
ных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости, где F –
некоторое подмножество пространства X. Буквой ω
обозначаем первый бесконечный ординал, буквой ω1 −
первый несчётный ординал. Если f – отображение с
областью определения X и F ⊂ X, то через f|F обозначается сужение f на F.
8
ПОНЯТИЕ НОСИТЕЛЯ И ЕГО СВОЙСТВА
Определение 1. Пусть X – топологическое пространство. Линейное подпространство A ⊂ RX будем называть достаточным, если для любой точки y ∈ X, любой её открытой окрестности Oy и любых двух функций
f1, f2 ∈ А существует функция f3 ∈ A, такая, что f3(x)=f1(x)
для всех x ∈ X\Oy и f3(y)=f2(y).
Примерами достаточных линейных подпространств
являются Cp(X) ⊂ RX, Cp(X|F) ⊂ RX, где F – некоторое
подмножество пространства X.
Определение 2. Пусть X, Y − топологические пространства; A, B – достаточные линейные подпространства пространств RX и RY соответственно; h: B→A –
равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевую
функцию Оy ∈ B в нулевую функцию Оx ∈ A. Зафиксируем точку x ∈ X и ε > 0. Точку y ∈ Y будем называть ε-существенной для x (относительно гомеоморфизма h), если для любой окрестности Oy точки y существуют функции g1 , g 2 ∈ B , совпадающие на множестве Y\Oy, для
которых выполняется неравенство h( g1 )( x) − h( g 2 )( x ) > ε.
Точку y, не являющуюся ε-существенной для x, будем называть ε-несущественной для x. Множество всех
ε-существенных точек для точки x будем называть ε-носителем точки x (относительно гомеоморфизма h) и будем обозначать его supp εh x . Объединение всех ε-носителей точки x (относительно гомеоморфизма h) по всем
ε > 0 будем называть носителем точки x (относительно
гомеоморфизма h) и будем обозначать его supp h x . Если известно, о каком гомеоморфизме h идёт речь, будем писать просто supp ε x или supp x .
Очевидно, что если ε < δ, то supp δ x ⊂ supp ε x , поэтому supp x =
U supp1 n x .
n∈N
В предыдущей работе [4] было доказано, что носитель обладает следующими свойствами:
(i) − для любого x ∈ X , для любого ε > 0 supp ε x –
конечное подмножество из Y;
(ii) − supp : X → Y есть многозначное полунепрерывное снизу отображение;
(iii) − если A=Cp(X), B=Cp(Y), то для любого x ∈ X ,
для любого ε > 0 supp ε x – непустое множество.
В общем случае мощность носителя не более чем
счётна. Особый интерес представляет случай, когда носитель конечен, поэтому имеет смысл выделить в классе
u-эквивалентных пространств подкласс, любые два пространства X и Y из которого допускают равномерный гомеоморфизм h : C p ( X ) → C p (Y ) с конечным носителем.
Определение 3. Пусть X, Y – топологические пространства; A, B – достаточные линейные подпространства пространств Cp(X) и Cp(Y) соответственно, и пусть
h : B → A – равномерный гомеоморфизм. Будем называть отображение h fu-гомеоморфизмом, если supp h x –
−1
конечное множество для любого x ∈ X и supp h y –
конечное множество для любого y ∈ Y . В этом случае
пространства A и B будем называть fu-гомеоморфными
fu
и писать A ≅ B .
Определение 4. Пусть X, Y – топологические простfu
ранства. Будем называть их fu-эквивалентными ( X ~ Y ),
если существует fu-гомеоморфизм h : C p ( X ) → C p (Y ) .
Для того чтобы введённое понятие fu-эквивалентности на самом деле являлось отношением эквивалентности, оно должно быть рефлексивным, симметричным
и транзитивным. Первые два свойства очевидны, для
доказательства транзитивности потребуются некоторые
факты, доказанные в [4].
Пусть X, Y – u-эквивалентные топологические пространства; A, B – достаточные линейные подпространства
пространств Cp(X) и Cp(Y) соответственно, и пусть h: B→A
– равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевую
функцию 0Y ∈ B в нулевую функцию 0 X ∈ A . Зафиксируем точку x ∈ X , δ > 0 и некоторое конечное подмножество
K ⊂ Y и определим a( x, K , δ) = sup h( g1 )( x) − h( g 2 )( x) ,
где супремум берётся по всем g1 , g 2 ∈ B , таким, что
g1 ( y ) − g 2 ( y ) < δ для всех y ∈ K. Это определение было
введено С.П. Гулько в [3]. Также определим a( x, K ,0) =
= sup h( g1 )( x) − h( g 2 )( x) , где супремум берётся по всем
g1 , g 2 ∈ B , совпадающим на множестве K (если K – пустое
множество, то супремум берётся по всем g1 , g 2 ∈ B ). Очевидно, что если 0 ≤ δ1 ≤ δ 2 , то a( x, K , δ1 ) ≤ a( x, K , δ 2 ) , и
если K1 ⊂ K 2 ⊂ Y , то a( x, K 2 , δ) ≤ a( x, K1 , δ) для любого δ ≥ 0 .
Теорема 1 [4]. Если a( x, K ,0) < ∞ , то для любого ε > 0
существует δ > 0 , такое, что a( x, K , δ) ≤ a( x, K ,0) + ε .
Теорема 2 [4]. Для любого x ∈ X , для любых ε > 0 ,
δ ≥ 0 a( x, supp ε x, δ) < ∞ .
Далее, зафиксируем точку x ∈ X , ε > 0 и определим
множество Kε(x) следующим образом. Так как h – равномерный гомеоморфизм, то существует δ > 0 и конечное
подмножество K ⊂ Y, такие, что a( x, K , δ) ≤ ε , а следовательно, и a( x, K ,0) ≤ ε . Выберем подмножество M ⊆ K ,
такое, что a( x, M ,0) ≤ ε , а для любого собственного подмножества M ′ ⊂ M , M ′ ≠ M выполняется неравенство
a( x, M ′,0) > ε . Такое множество может оказаться не единственным, тогда возьмём любое из них и обозначим его
Kε(x). Итак, для Kε(x) справедливы неравенства:
a( x, K ε ( x),0) ≤ ε , a( x, K ′,0) > ε для каждого K ′ ⊂ K ε (x),
K ′ ≠ K ε (x) .
Теорема 3 [4]. Для любого x ∈ X и любого ε > 0
supp ε x ⊂ K ε ( x).
Теорема 4 [4]. Для любого x ∈ X и любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что K ε ( x) ⊂ supp δ x.
Следствие 5 [4]. Для любого x ∈ X , для любого
ε > 0 существует δ > 0, такое, что a( x, supp δ x,0) ≤ ε.
Теперь сформулируем и докажем теорему, из которой
следует транзитивность отношения fu-эквивалентности.
Теорема 6. Пусть X, Y, Z − топологические пространства; A, B, C − достаточные линейные подпространства пространств Сp(X), Сp(Y) и Сp(Z) соответственно;
ϕ1:B→A и ϕ2:C→B − равномерные гомеоморфизмы, и
пусть ϕ0=ϕ1oϕ2:C→A − их композиция. Тогда supp ϕ0 x ⊂
{
}
⊂ U supp ϕ2 y : y ∈ supp ϕ1 x для любого x∈X.
{
Доказательство. Возьмём точку z ∉ U supp ϕ2 y : y ∈
ϕ1
}
ϕ0
∈ supp x ⊂ Z и покажем, что z ∉ supp x. Для произ-
вольного ε > 0 зафиксируем K ε 2 ( x) ⊂ X (относительно гомеоморфизма ϕ1 : B → A ). По теореме 4 найдётся δ > 0, такое, что K ε 2 ( x) ⊂ supp ϕδ1 x , поэтому a( x, supp ϕδ1 x,0) ≤ ε 2 .
(
)
По теореме 1 найдётся ε1 > 0, такое, что a x, supp ϕδ1 x, ε1 ≤
ϕ1
δ
{
ϕ1
ϕ2
≤ ε 2 + ε 2 = ε . Если supp x ⊂ supp x и z ∉ U supp y :
ϕ1
: y ∈ supp x} , то z ∉ supp y для каждого y ∈ supp ϕδ1 x ,
ϕ2
ε1
т.е. для каждого y ∈ supp ϕδ1 x найдётся окрестность Oy(z)
точки z (зависящая от y), такая, что для любых h1,
h2 ∈ C , совпадающих на множестве Z\Oy(z), выполняется неравенство | ϕ 2 (h1 )( y ) − ϕ 2 (h2 )( y ) |≤ ε1 . Возьмём открытую окрестность O( z ) = I{O y ( z ) : y ∈ supp ϕδ1 x} (так как
множество supp ϕδ1 x – конечно). Тогда для любых
h1 , h2 ∈ C , совпадающих на множестве Z\O(z), неравенство | ϕ 2 (h1 )( y ) − ϕ 2 (h2 )( y ) |≤ ε1 выполняется для всех
y ∈ supp ϕδ1 x , но, так как a( x, supp ϕδ1 x, ε1 ) ≤ ε , то
| ϕ1 o ϕ 2 (h1 )( x) − ϕ1 o ϕ 2 (h2 )( x) |≤ ε ,
следовательно, z ∉ supp ϕε0 x для любого ε > 0 , поэтому
z ∉ supp ϕ0 x. Теорема доказана.
Следствие 7. Пусть X, Y, Z − топологические пространства, A, B, C – достаточные линейные подпространства пространств Cp(X), Cp(Y) и Cp(Z) соответстfu
fu
fu
венно, такие, что A ≅ B , B ≅ C . Тогда A ≅ C .
Доказательство. Пусть ϕ1 : B → A и ϕ 2 : C → B – равномерные гомеоморфизмы с конечными носителями и
пусть ϕ0 = ϕ1 o ϕ 2 : C → A – их композиция, тогда по предыдущей теореме supp ϕ 0 x ⊂ U{supp ϕ 2 y : y ∈ supp ϕ1 x} для
любого x ∈ X , т.е. содержится в конечном множестве.
Следовательно, он сам конечен. Аналогично доказыва−1
ется, что носитель supp ϕ0 z для каждого z ∈ Z конеfu
чен. Следовательно, A ≅ C . Следствие доказано.
Из доказанного следует транзитивность отношения
fu-эквивалентности:
fu
fu
fu
fu
X ~ Y , Y ~ Z ⇒ C p ( X ) ≅ C p (Y ), C p (Y ) ≅ C p ( Z ) ⇒
fu
fu
⇒ C p ( X ) ≅ C p (Z ) ⇒ X ~ Z
9
fu-ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Понятие fu-эквивалентности является промежуточным
понятием между l- и u-эквивалентностями (носители линейных гомеоморфизмов Cp-пространств конечны, см. [1]).
Естественно возникает вопрос о различении этих отношений эквивалентности. В этом параграфе приведён пример
fu-эквивалентных пространств, не являющихся l-эквивалентными. Центральной теоремой параграфа является
Теорема 8. Пусть α, β – счётные ординалы. Тогда
fu
C p ([1, α]) ≅ C p ([1, β]) ).
Теорема основывается на леммах, доказанных С.П. Гулько. Для её доказательства потребуются результаты из [5].
Лемма 9[5]. Пусть R2 – евклидова плоскость с нормой ( x1 , x2 ) = max{| x1 |, | x 2 |} и пусть ε>0. Тогда существуют функции ϕε : R 2 → R и ψ ε : R 2 → R, такие, что:
(а) − функции φε и ψε являются липшицевыми с константами A(ε) и B(ε) соответственно, т.е. | ϕε ( x) − ϕε ( y ) |≤
≤ A(ε) x − y , | ψ ε ( x) − ψ ε ( y ) |≤ B(ε) x − y
для любых
x, y ∈ R 2 ;
(б) − отображение ( x1 , x2 ) → ( x1 , ϕε ( x1 , x2 )) есть равномерный гомеоморфизм евклидовой плоскости R2 на
себя, и обратное к нему отображение имеет вид
( x1 , x2 ) → ( x1 , ψ ε ( x1 , x2 )) ;
(в) − ϕ ε ( x1 , x2 ) = 0 при x1=x2;
(г) − (1 + ε) −1 ( x1 , x2 ) ≤ ( x1 , ϕ ε ( x1 , x2 ) ≤ ( x1 , x2 ) для
каждого ( x1 , x2 ) ∈ R 2 .
Лемма 10 [5]. Для любого псевдокомпактного пространства X, для любого x0 ∈ X и любого ε > 0 отображение S ε : C p ( X ) → R × C p ( X | {x0 }) , определённое формулой S ε ( f ) = ( f ( x0 ), ϕε ( f ( x0 ), f (⋅))) есть равномерный
гомеоморфизм, такой, что
(1 + ε) −1 f ≤ S ε ( f ) ≤ f , f ∈ C p ( X ) ,
где f = sup f ( x) .
x∈X
Следствие 11. Отождествим пространство R × C p ( X | {x0 })
из предыдущей леммы с пространством C p ( X ⊕
⊕{a} | {x0 }) , где a – точка, не принадлежащая X. Тогда
отображение Sε
из леммы 10 S ε : C p ( X ) →
h1 ( g1 )( x0 ) − h1 ( g 2 )( x0 ) =
= ϕε ( g1 ( x0 ), g1 ( x0 )) − ϕε ( g 2 ( x0 ), g 2 ( x0 )) = 0.
Скажем, что K δ (a) ⊆ {x0 } для любого δ > 0 . Действительно, если g1 ( x0 ) = g 2 ( x0 ), где g1 , g 2 ∈ C p ( X ), то
h1 ( g1 )(a ) − h1 ( g 2 )(a ) = g1 ( x0 ) − g 2 ( x0 ) = 0 < δ для лю-
бого δ>0, а так как supp δh1 a ⊂ K δ (a ) (теорема 3), то
supp h1 a ⊆ {x0 }. Возьмём теперь x ∈ X \ {x0 } и покажем
что K δ ( x) ⊆ {x, x0 } для любого δ > 0 . Действительно, если
g1 ( x0 ) = g 2 ( x0 ) и g1 ( x) = g 2 ( x), где g1 , g 2 ∈ C p ( X ), то
h1 ( g1 )( x ) − h1 ( g 2 )( x) =
= ϕε ( g1 ( x0 ), g1 ( x)) − ϕε ( g 2 ( x0 ), g 2 ( x )) ≤
≤ A(ε) max{| g1 ( x0 ) − g 2 ( x0 ) |, | g1 ( x) − g 2 ( x) |} = 0 < δ
для любого δ > 0 , следовательно, K δ ( x) ⊆ {x0 , x} для
любого δ > 0 , поэтому supp δh1 x ⊆ {x0 , x} для любого
δ>0, и, окончательно, supp h1 x ⊆ {x0 , x} .
Рассмотрим отображение h2. Покажем, что K δ (x0 ) ⊆
⊆ {a} для любого δ > 0 . Действительно, если f1(a)=f2(a),
где f1 , f 2 ∈ C p ( X ⊕ {a} | {x0 }) , то h2 ( f1 )(x0 ) − h2 ( f 2 )(x0 ) =
= f1 (a ) − f 2 (a ) = 0 < δ для любого δ > 0, следователь-
но, supp h2 x0 ⊆ {a}.
Возьмём x ≠ x0 и покажем, что K δ ( x) ⊆ {a, x} для
любого δ > 0 . Действительно, если f1 (a) = f 2 (a) и f1 ( x) =
= f 2 ( x), где f1 , f 2 ∈ C p ( X ⊕ {a} | {x0 }) , то
h2 ( f1 )( x) − h2 ( f 2 )( x ) =
= ψ ε ( f1 (a ), f1 ( x)) − ψ ε ( f 2 (a ), f 2 ( x)) ≤
≤ B(ε) max{| f1 (a ) − f 2 (a ) |, | f1 ( x) − f 2 ( x) |} = 0 < δ
для любого δ > 0 , следовательно, K δ ( x) ⊆ {a, x} для лю-
бого δ > 0 , поэтому supp δh2 x ⊆ {a, x} для любого δ>0, и,
окончательно, supp h2 x ⊆ {a, x} . Итак, отображение Sε
есть fu-гомеоморфизм. Следствие доказано.
Лемма 12. Пусть имеется два семейства {X s }s∈S и
{Ys }s∈S
топологических пространств и для каждого
s ∈ S существуют достаточные линейные подпространства As ⊂ Cp(Xs) и Bs ⊂ Cp(Ys) и равномерный гомеоморфизм hs:Bs→As. Обозначим X = ⊕ X s , Y = ⊕ Ys и
{
s∈S
}
s∈S
→ C p ( X ⊕ {a} | {x0 }) есть fu-гомеоморфизм.
определим множества A = f ∈ C p ( X ) : f | X s ∈ As ⊂ C p ( X )
Доказательство. Имеем S ε ( g )( x ) = g ( x0 ) , если x = a
и S ε ( g )( x) = ϕε ( g ( x0 ), g ( x)) , если x ≠ a, где g ∈ C p ( X ) ,
определённое формулой h( g ) | X s = hs ( g |Ys ) , где g ∈ B , яв-
−1
ε
−1
ε
{
}
и B = g ∈ C p (Y ) : g |Ys ∈ Bs ⊂ C p (Y ). Отображение h:B→A,
S ( f )( x ) = f (a ) , если x = x0 и S ( f )( x) = ψ ε ( f (a ),
ляется равномерным гомеоморфизмом, причём supp h x =
f (x)) , если x ≠ x0, где f ∈ C p ( X ⊕ {a} | {x0 }) .
= supp hs x для любой точки x ∈ X , где s – индекс пространства Xs, содержащего точку x.
Доказательство. Очевидно, что h является равномерным гомеоморфизмом пространства B на A. Покажем, что supp h x ⊃ supp hs x. Возьмём ε > 0, точку
Обозначим отображение Sε за h1, отображение S ε−1 за h2 и
покажем, что supp h1 x ⊆ {x0 , x} для любого x ∈ X ⊕ {a} и
supp h2 x ⊆ {a, x} для любого x ∈ X .
Рассмотрим отображение h1. Заметим, что supp h1 x0 –
пустое множество, так как для любых g1 , g 2 ∈ C p ( X )
выполнено
10
y ∈ supp hε s x ⊂ Ys и произвольную окрестность Oy точки
y. Тогда существуют g ′s , g ′s′ ∈ Bs такие, что g ′s = g ′s′ на
множестве Ys\Oy и hs ( g ′s )( x) − hs ( g ′s′)( x) > ε . Определим
⎧ g ′ ( y ), y ∈ Ys
функции g ′, g ′′ ∈ C p (Y ) : g ′( y ) = ⎨ s
,
⎩ 0, y ∈ Y \ Ys
⎧ g ′′( y ), y ∈ Ys ′
g ( y ) = g ′′( y )
g ′′( y ) = ⎨ s
⎩ 0, y ∈ Y \ Ys .
для любого y ∈ Y \ O y ,
⎛
⎞
h : B I C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ → A , заданное формулой h( g ) | X n =
⎝ n∈N ⎠ 0
= hn ( g |Yn ),
⎛
⎛
⎞ ⎞
h⎜⎜ B I C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ ⎟⎟ =
⎝ n∈N ⎠ 0 ⎠
⎝
⎛
⎛
⎞
⎞
меоморфизмом из B I C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ на A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ .
⎝ n∈N ⎠ 0
⎝ n∈N
⎠0
следовательно, y ∈ supp hε x ⊂ supp h x и supp hs x ⊂ supp h x.
⎛
⎞
Доказательство. Очевидно, что A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ и
⎝ n∈N
⎠0
Докажем обратное включение: supp h x ⊂ supp hs x. Возьмём ε > 0 и точку y ∉ supp hε s x. Возможны два случая:
(а) − y ∈ Yt , t ≠ s . В качестве окрестности Oy точки y
можно взять Yt, тогда для любых g ′, g ′′ ∈ C p (Y ) , совпадающих на множестве Y\Oy, выполняется равенство
h( g ′)( x) − h( g ′′)( x) = hs ( g ′ |Ys )( x) − hs ( g ′′ |Ys )( x) = 0 , следовательно, y ∉ supp hε x .
(б) − y ∈ Ys . Существует окрестность Oy точки y в
пространстве Y такая, что для любых g ′s , g ′s′ ∈ Bs , совпадающих на множестве Ys\Oy, выполняется неравенство
h s ( g ′s )( x) − h s ( g ′s′ )( x ) ≤ ε . Тогда для любых g ′, g ′′ ∈ C p (Y ),
⎛
⎞
B I C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ являются достаточными линейными под⎝ n∈N ⎠ 0
⎛
⎞
⎛
⎞
пространствами пространств C p ⎜ ⊕ X n ⎟ и C p ⎜ ⊕ Yn ⎟
⎝ n∈N
⎠
⎝ n∈N ⎠
соответственно. Равенство (ii) следует из условия (i),
остальная часть доказательства дословно повторяет
доказательство леммы 12.
Доказательство теоремы 8. Для счётного ординала α
рассмотрим следующее индуктивное предположение
(aα): для любого ε > 0 существует fu-гомеоморфизм
Tε : C p ([1, α]) → C p ([1, ω] | {ω}) , такой, что
(1 + ε) −1 f ≤ Tε ( f ) ≤ f ,
совпадающих на множестве Y\Oy, выполняется неравенство
h( g ′)( x) − h( g ′′)( x) = hs ( g ′ Y )( x) − hs ( g ′′ Y )( x) ≤ε ,
s
следовательно, y ∉ supp εh x. Получаем, что supp εh x ⊂
⊂ supp εhs x для любого ε > 0, следовательно, supp h x ⊂
⊂ supp hs . Лемма доказана.
Следствие 13. Если в условии леммы каждый равномерный гомеоморфизм hs:Bs→As является fu-гомеоморфизмом,
то h:B→A также является fu–гомеоморфизмом.
Определение 5. Пусть Xn – псевдокомпактное пространство, n ∈ N . Определим норму на Cp(Xn):
f X = sup f ( x) , где f ∈ C p (X ). Будем обозначать
n
g ∈ B . Тогда
⎛
⎞
= A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ (ii) и отображение h является fu-го⎝ n∈N
⎠0
h( g ′)( x) − h( g ′′)( x) = hs ( g ′s )( x) − hs ( g ′s′)( x) < ε,
s
где
x∈X n
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞
C p ⎜ ⊕ X n ⎟ = ⎨ f ∈ C p ⎜ ⊕ X n ⎟ : lim f | X n = 0⎬ . Очеn
n
→
∞
⎝ n∈N
⎠0 ⎩
⎝ n∈N
⎠
⎭
⎛
⎞
видно, что C p ⎜ ⊕ X n ⎟ − достаточное линейное под⎝ n∈N
⎠0
⎛
⎞
пространство пространства C p ⎜ ⊕ X n ⎟ .
⎝ n∈N
⎠
Следствие 14. Пусть имеется две последовательности {X n }n∈N и {Yn }n∈N псевдокомпактных топологиче-
ских пространств и для каждого n ∈ N существуют достаточные линейные подпространства An ⊂ Cp(Xn) и
Bn ⊂ Cp(Yn), fu-гомеоморфизм hn:Bn→An и положительные числа a, b, такие, что a g n Y ≤ hn ( g n ) X ≤ b g n Y
f ∈C p ([1, α]).
Для α = ω по следствию 11 существует fu-гомеоморфизм
S ε : C p ([1, ω]) → R × C p ([1, ω] | {ω}) ≈ C p ([0, ω] | {ω}).
Очевидно, что C p ([0, ω] | {ω}) можно линейно топологически отождествить с пространством C p ([1, ω] | {ω}) без
изменения норм элементов C p ([0, ω] | {ω})C p ([1, ω] | {ω},
а поскольку линейный гомеоморфизм является fu–гомеоморфизмом, то по следствию 7 композиция fu-гомеоморфизмов Tε : C p ([1, ω]) → C p ([1, ω] | {ω}) также будет fu-гомеоморфизмом, что доказывает утверждение (aω).
Если α = β + 1, то C p ([1, α]) ≈ C p ([1, β]) , поэтому
(aα) следует из (aβ).
Пусть α – предельный ординал и пусть α = sup α n ,
n∈N
где 0 = α0 < α1 < α2 <… − возрастающая последовательность счётных ординалов. Возьмём δ > 0 так, чтобы
(1 + δ) 2 ≤ 1 + ε . По следствию 11 существует fu-гомеоморfu
физм S δ : C p ([1, α]) → C p ([1, α] | {α}) (так как C p ([1, α ]) ≅
fu
≅ R × C p ([1, α ] | {α}) ≈ C p ([1, α ] | {α}), такой, что
(1 + δ) −1 f ≤ S δ ( f ) ≤ f , f ∈C p ([1, α]) .
(1)
для каждого g n ∈ Bn , n ∈ N . (i)
⎛
⎞
Легко видеть, что C p ([1, α] | {α}) ≈ C p ⎜ ⊕ (α n−1 , α n ] ⎟ , а
⎝ n∈N
⎠0
каждый полуинтервал (αn-1, αn] гомеоморфен некоторому
сегменту [1, βn], причём βn < α. Обозначим X n = [1, ω],
⎧
⎫
⎛
⎞
Определим множества A = ⎨ f ∈ C p ⎜ ⊕ X n ⎟ : f | X n ∈ An ⎬
⎝ n∈N
⎠
⎩
⎭
⎧
⎫
⎛
⎞
и B = ⎨ g ∈ C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ : g |Yn ∈ Bn ⎬, и отображение
⎝ n∈N ⎠
⎩
⎭
⎛
⎞
Yn = [1, β n ], n ∈ N , тогда C p ([1, α ] | {α}) ≈ C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ . Так
⎝ n∈N ⎠ 0
как βn < α, то по индуктивному предположению для
каждого n ∈ N существует fu-гомеоморфизм hn : C p (Y n) →
n
n
n
11
→ C p ([1, ω] | {ω}) такой, что для каждого g n ∈ C p (Y n) выполнено неравенство
(1 + δ) −1 g n
Yn
≤ hn ( g n )
Xn
≤ gn
Yn
.
(2)
Обозначим An = C p ([1, ω] | {ω}) ⊂ C p ( X n ), Bn = C p (Yn ).
Определим множества
⎧
⎫
⎛
⎞
A = ⎨ f ∈ C p ⎜ ⊕ X n ⎟ : f | X n ∈ An ⎬ ;
⎝ n∈N
⎠
⎩
⎭
ние, можно считать, что построенное выше отображе⎛
⎞
ние h является fu–гомеоморфизмом из C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ на
⎝ n∈N ⎠ 0
C p ([1, ω] | {ω}) . Композиция T = h o S δ по следствию 7
является fu-гомеоморфизмом пространства C p ([1, α]) на
C p ([1, ω] | {ω}) . Из формул (1) и (3) следует, что выполне-
но неравенство (1 + δ) −2 f ≤ T ( f ) ≤ f , f ∈ C p ([1, α]).
⎧
⎫
⎞
⎛
⎞
⎛
B = ⎨ g ∈ C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ : g |Yn ∈ B n ⎬ = C p ⎜ ⊕ Yn ⎟
∈
∈
n
N
n
N
⎠
⎝
⎠
⎝
⎩
⎭
⎛
⎞
⎛
⎞
и отображение h : B I C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ = C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ → A , оп⎝ n∈N ⎠ 0
⎝ n∈N ⎠ 0
ределённое формулой h( g ) | X n = hn ( g |Yn ), где g ∈ B . Та-
Полагая Tε=T, мы получаем утверждение (aα). Индукция полная. Итак,
ким образом, мы находимся в условиях следствия 14, откуда
получаем, что h является fu-гомеоморфизмом из
⎛
⎛
⎞
⎞
C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ на A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ . Из формулы (2) следу⎝ n∈N ⎠ 0
⎝ n∈N
⎠0
ет также неравенство
⎛
⎞
(1 + δ) −1 g Y ≤ h( g ) X ≤ g Y , g ∈ C p ⎜ ⊕ Yn ⎟ . (3)
⎝ n∈ N ⎠
для любых двух счётных ординалов α и β, следовательно,
⎞
⎛
⎞ ⎛
Ясно, что A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ ≈ ⎜ ∏ An ⎟ и An ≈ c 0 , n ∈ N .
⎝ n∈N
⎠ 0 ⎝ n∈N ⎠ C0
⎛
⎞
A I C p ⎜ ⊕ X n ⎟ ≈ (c0 × c0 × ...)C 0 ,
⎝ n∈ N
⎠0
≈ c0 ≈ C p ([1, ω] | {ω}). Учитывая это замеча-
Таким образом,
(c0 × c0 × ...)C
0
fu
C p ([1, α]) ≅ C p ([1, ω] | {ω})
и
fu
C p ([1, β]) ≅ C p ([1, ω] | {ω})
fu
C p ([1, α]) ≅ C p ([1, β]) . Теорема доказана.
Ч. Бессага и А. Пелчинский [6] установили, что для счётных ординалов α и β, α≤β пространства Cp([1, α]) и Cp([1, β])
линейно гомеоморфны тогда и только тогда, когда α≤β<αω.
γ
Следовательно, отрезки ординалов [1, ωω ] при 0 ≤ γ < ω1
будут попарно не l-эквивалентны между собой.
Следствие 15. Существуют счётные fu-эквивалентные
компакты X и Y, не являющиеся l-эквивалентными.
Вопрос о различении u- и fu-эквивалентных пространств пока остаётся открытым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Velichko N.V. The Lindelof property is l-invariant // Topol. and its Appl. 1998. Vol. 89. P. 277−283.
2. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. Vol. 80. P. 177−188.
3. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1992.
Т. 193. С. 82−88.
4. Арбит А.В. О многозначных отображениях, порождаемых равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций.// Международная конференция по математике и механике: Избранные доклады / Под общ. ред. Н.Р.Щербакова. Томск: Томский государственный
университет, 2003. С. 45−49.
5. Gul’ko S.P. The space Cp(X) for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to c0 // Bull. Acad. Polon. Sci. ser. Math. 1990.
6. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia math. 1960.
V. 19. P. 53−62.
Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в
научную редакцию «Математика» 11 июня 2004 г.
12
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
271 Кб
Теги
пространство, одной, эквивалентность, модификация, понятие, топологическими
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа