close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном диофантовом уравнении с лакунарными слагаемыми.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 4 (2014)
—————————————————————–
УДК 519.2+511
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ
С ЛАКУНАРНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ1
В. Н. Чубариков (г. Москва), Н. М. Добровольский (г. Тула)
Аннотация
С помощью метода М. П. Минеева основных и вспомогательных систем доказана теорема о количестве решений диофантова неоднородного
уравнения с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел.
Исследован вопрос о количестве основных систем и для него получено
полиномиальное выражение с использованием чисел Бернулли.
Получены оценки для числа вспомогательных систем.
Ключевые слова: диофантово уравнение, лакунарная последовательность.
Библиография: 12 названий.
ON SOME DIOPHANTINE EQUATION WITH
VARIABLES FROM LACUNAR SEQUENCE
V. N. Chubarikov (Moscow), N. M. Dobrovolskiy (Tula)
Abstract
By M. P. Mineev’s method of basic and auxiliary systems, we prove a
theorem on a number of solutions of some inhomogeneous Diophantine equation with variables from a lacunar sequence of natural numbers.
Using Bernoulli numbers, we obtain a polynomial-type expression for the
number of basic systems. The estimates for the number of auxiliary systems
are also given.
Keywords: Diophantine equation, gap sequence.
Bibliography: 12 titles.
1
Работа выполнена по гранту РФФИ, №НК-13-01-00835
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
125
1. Введение
Рассмотрим Fx — лакунарную последовательность натуральных чисел типа
β. Напомним, что монотонная последовательность Fx натуральных чисел называется лакунарной типа β с константой A, если выполнены соотношения
Fx+1
> β > 1,
Fx
Fx 6 Aβ x .
Нетрудно видеть, что лакунарные последовательности имеют экспоненциальный рост:
F1 β x−1 6 Fx 6 Aβ x .
(1)
В класс лакунарных последовательностей попадают целочисленные геометрические прогрессии со знаменателем больше 1, многие рекуррентные последовательности с характеристическими числами больше 1 [5].
Лемма 1. Пусть N, k, m1 , . . . , mk — натуральные числа, а Fx — последовательность натуральных чисел такая, что FFx+1
> β > 1. Тогда для количества
x
решений rk (N ) уравнения
(2)
N = m1 F x 1 + . . . + mk F x k
в целых числах x1 , . . . , xk > 1 справедлива следующая оценка rk (N ) 6 ck k!, где
β
c = β−1
.
Доказательство см. в [1], [2] стр. 16, [3] стр. 7–8.
Пусть Tm — количество решений уравнения
Fx1 + . . . + Fxk = Fy1 + . . . + Fyk + m,
где m — целое число, отличное от нуля.
В работе [12] с использованием леммы 1 доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Fx — лакунарная последовательность натуральных
чисел такая, что FFx+1
> β > 1, Fx 6 Aβ x , k — фиксированное натуральное
x
число, P — растущее натуральное число, Tm — количество решений диофантова уравнения
(3)
Fx1 + . . . + Fxk = Fy1 + . . . + Fyk + m
в целых числах 1 6 xi , yj 6 P. Тогда верно следующее неравенство
Tm 6 (2γ + 1)ck k!P k−1 + 2ck k!Ck2 T P k−1 ,
[
где γ =
(
ln
c2
c1
ln β
)]
+1, c =
β
,
β−1
c1 =
1
,
2A
c2 =
β
,
κF1
κ=
1
2
(
1−
1
β
[
)
иT =
4β
ln( β−1
)
ln β
]
+1.
126
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
Уравнения вида (2) будем называть уравнением первого типа, а уравнение
вида (3) — второго типа.
Цель данной работы — дать новое доказательство уточненной теоремы о количестве решений диофантова неоднородного уравнения второго типа с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел.
Существенную роль в нашем исследовании будет играть метод М. П. Минеева основных и вспомогательных систем. Следуя М. П. Минееву, система чисел
x1 , . . . , xk называется основной, если для любых i, j (i ̸= j) выполняется неравенство |xi − xj | > T, где T —некоторое натуральное число. В противном случае
система x1 , . . . , xk называется вспомогательной.
В работах [4, 6] рассматриваются связанные вопросы и применение указанных оценок к исследованию тригонометрических сумм.
2. Число основных и вспомогательных систем
Прежде всего определим число основных систем Nk,P,T , то есть таких наборов натуральных чисел x1 , . . . , xk , что выполнены соотношения xj 6 P (1 6 j 6
k), для любых i, j (i ̸= j) выполняется неравенство |xi − xj | > T .
Назовем основную систему x1 , . . . , xk канонической, если выполнены соотношения x1 > x2 > . . . > xk . Количество канонических основных систем обозначим через Kk,P,T .
Из любой канонической основной системы перестановками членов получается k! различных основных систем, а из любой основной системы перестановками
можно получить только одну каноническую основную систему. Отсюда следует,
что Nk,P,T = k!Kk,P,T .
Ясно, что наименьшая каноническая основная система имеет вид
x1 = 1 + (k − 1)T > x2 = 1 + (k − 2)T > . . . > xk−1 = 1 + T > xk = 1.
Поэтому при P 6 (k − 1)T имеем Nk,P,T = Kk,P,T = 0.
Далее нам потребуются числа и многочлены Бернулли (см. [7] стр. 256 – 273,
[8] стр. 45 – 46).
По определению числа Бернулли задаются равенствами:
)
( n−1
∑
1
B0 = 1, Bn = −
(n > 1);
C n+1−ν Bν
n + 1 ν=0 n+1
соответственно, многочлены Бернулли —
B0 (x) = 1,
Bn (x) =
n
∑
ν=0
Cnν Bν xn−ν
(n > 1).
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
127
Для степеней натурального ряда справедлива формула
P
−1
∑
xν =
x=0
Bν+1 (P ) − Bν+1
ν+1
(ν > 1),
или
P
∑
xν =
x=1
Bν+1 (P + 1) − Bν+1
Bν+1 (P ) + (ν + 1)P ν − Bν+1
=
ν+1
ν+1
(ν > 1).
Определим многочлены Chk (x) для натуральных x равенствами:
Ch1 (x) = x,
Chν (x) =
x
∑
Chν−1 (y) (ν > 2).
y=1
Лемма 2. Для многочленов Chk (x) справедливо равенство
Chν (x) =
ν
∑
µ
Chν,µ x =
µ=1
где
Chν,µ =
ν−1
∑
Chν,µ xµ +
µ=1

1


,


ν!






 ν−1
∑
xν
,
ν!
(4)
при µ = ν,
Chν−1,λ Bλ + Chν−1,1 ,
при µ = 1, ν > 1,
λ=1


ν−1

∑ Chν−1,λ µ



Cλ+1 Bλ+1−µ + Chν−1,µ , при ν > 1, 1 < µ < ν,

λ+1

λ=µ−1


 1,
при µ = ν = 1.
(5)
Доказательство. Проведем индукцию по ν. Получим
Chν+1 (x) =
x
∑
y=1
Chν (y) =
x ∑
ν
∑
y=1 µ=1
µ
Chν,µ y =
ν
∑
µ=1
Chν,µ
x
∑
y=1
yµ =
)
ν
Bµ+1 (x + 1) − Bµ+1 ∑ Chν,µ
λ
=
Chν,µ
=
Bµ+1−λ xλ + (µ + 1)xµ =
Cµ+1
µ
+
1
µ
+
1
µ=1
µ=1
λ=1
( ν
)
)
( ν
ν+1
ν
∑
∑ ∑ Chν,µ
∑
λ
λ
=
Chν,µ Bµ x +
Cµ+1 Bµ+1−λ x +
Chν,µ xµ =
µ
+
1
µ=1
µ=1
λ=2
µ=λ−1
)
( ν
)
(
ν
ν
∑
∑
∑
xν+1
Chν,µ λ
=
Chν,µ Bµ + Chν,1 x +
Cµ+1 Bµ+1−λ + Chν,λ xλ +
,
µ
+
1
(ν
+
1)!
µ=1
λ=2
µ=λ−1
ν
∑
( µ+1
∑
128
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
поэтому
Chν+1,1 =
ν
∑
Chν,µ Bµ + Chν,1
µ=1
и
Chν+1,λ
ν
∑
Chν,µ λ
=
C Bµ+1−λ +Chν,λ
µ + 1 µ+1
µ=λ−1
(1 < λ < ν +1),
Chν+1,ν+1 =
1
,
(ν + 1)!
что доказывает лемму. 2
Теорема 2. При P > (k − 1)T для количества основных систем справедливы соотношения
Kk,P,T =
k−1
∑
Chk,µ (P − (k − 1)T )µ +
µ=1
Nk,P,T = (P − (k − 1)T ) + k!
k
k−1
∑
(P − (k − 1)T )k
,
k!
Chk,µ (P − (k − 1)T )µ .
(6)
(7)
µ=1
Доказательство. Ясно, что K1,P,t = P , так как условия основной системы
и канонической являются тривиальными (отсутствуют) и любое натуральное x
с 1 6 x 6 P образует каноническую основную систему.
При k > 1 рассмотрим каноническую систему x1 > x2 > . . . > xk . Ясно, что
x1 — любое из условий (k − 1)T + 1 6 x 6 P .
При фиксированном значении x1 числа x2 > . . . > xk образуют каноническую основную систему при замене P на x1 − T . Поэтому их будет ровно
Kk−1,x1 −T,T . Следовательно, имеет место рекуррентное соотношение
Kk,P,T =
P
∑
Kk−1,x−T,T .
x=(k−1)T +1
По индукции покажем, что справедливо равенство Kk,P,T = Chk (P −(k−1)T ).
Действительно, при k = 1 имеем K1,P,t = P = Ch1 (P − (1 − 1)T ) и утверждение справедливо.
Далее,
Kk+1,P,T =
P
∑
Kk,x−T,T =
x=kT +1
=
P
∑
Chk (x − T − (k − 1)T ) =
x=kT +1
P∑
−kT
Chk (x) = Chk+1 (P − kT )
x=1
и утверждение доказано для любого натурального k.
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
129
Применяя лемму 2, получим равенство (6), из которого непосредственно
вытекает равенство (7). 2
∗
Обозначим через Nk,P,T
количество вспомогательных систем, то есть таких
систем x1 , . . . , xk натуральных чисел, что выполнены соотношения xj 6 P (1 6
j 6 k), и найдутся i, j (i ̸= j), для которых выполняется неравенство |xi − xj | <
T.
Лемма 3. При k > 2 выполняется оценка
(
)
1
T −1
∗
2 k−1
Nk,P,T 6 Ck P T 2 − −
.
T
P
(8)
Доказательство. Пусть система x1 , . . . , xk вспомогательная, тогда найдутся номера i и j такие, что 1 6 xi − xj < T или xi = xj .
В первом случае номера i и j можно выбрать k(k −1) способами, переменные
xν (ν ̸= j, i) могут независимо принимать любое значение от 1 до P , переменная
xi — от 2 до P , а переменная xj — не более min(xi −1, T −1) различных значений
от xi − 1 до max(xi − T + 1, 1).
Во втором случае номера i и j можно выбрать Ck2 способами, переменные xν
(ν ̸= j, i) могут независимо принимать любое значение от 1 до P , переменные
xi = xj и одновременно принимают P различных значений от 1 до P .
Поэтому
( P
)
T −1
∑
∑
∗
Nk,P,T
(T − 1) +
(x − 1) + Ck2 P k−1 =
6 k(k − 1)P k−2
x=2
x=T
(
)
(T − 2)(T − 1)
k−2
= k(k − 1)P
(P − T + 1)(T − 1) +
+ Ck2 P k−1 =
2
)
(
T −1
1
2 k−1
.
= Ck P T 2 − −
T
P
2
3. Свойства основных канонических систем
Обозначим через Xk (P, T ) множество всех основных канонических систем
x = (x1 , . . . , xk ). Таким образом имеем:
}
{
1 6 xk < . . . < x1 6 P,
.
Xk (P, T ) = x = (x1 , . . . , xk ) xj − xj+1 > T, j = 1, . . . , k − 1
На множестве основных канонических систем задан естественный лексикографический порядок: x > y тогда и только тогда, когда найдется номер j 6 k
такой, что xν = yν при ν < j и xj > yj . Величину j = j(x, y) будем называть
индексом порядка.
130
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
Ясно, что максимальный элемент xmax = (P, P − T, . . . , P − (k − 1)T ), а
минимальный элемент xmin = (1 + (k − 1)T, . . . , 1 + T, 1).
Зададим на множестве основных канонических систем Xk (P, T ) функционал
F (x) равенством
k
∑
F (x) =
Fx ν .
ν=1
ln( 4β )
Лемма 4. При T > lnβ−1
функционал F (x) монотоннен на множестве
β
основных канонических систем Xk (P, T ), то есть из x > y следует F (x) >
> F (y). При этом справедливы неравенства
β−1
4
Fxj < F (x) − F (y) < Fxj ,
2β
3
(9)
где j = j(x, y) — индекс порядка.
Доказательство. Обозначим через x+
j наибольшую основную каноническую систему z такую, что j(z, x) > j(x, y), а через x−
j наименьшую основную
каноническую систему z такую, что j(x, z) > j(x, y). Нетрудно видеть, что x+
j =
= (x1 , . . . , xj , xj − T, . . . , xj − (k − j)T ) и x−
=
(x
,
.
.
.
,
x
,
1
+
(k
−
j
−
1)T,
.
.
.
,
1+
1
j
j
+T, 1).
Аналогично, обозначим через yj+ наибольшую основную каноническую систему z такую, что j(x, z) = j(x, y), а через yj− наименьшую основную каноническую систему z такую, что j(x, z) = j(x, y). Нетрудно видеть, что yj+ =
= (x1 , . . . , xj − 1, xj − 1 − T, . . . , xj − 1 − (k − j)T ) и yj− = (x1 , . . . , xj−1 , 1 + (k−
−j)T, 1 + (k − j − 1)T, . . . , 1 + T, 1).
Из сделанных определений следует, что
−
x+
j > x > xj > y,
−
j(x+
j , y) = j(x, y) = j(xj , y)
x > yj+ > y > yj− ,
j(x, yj+ ) = j(x, y) = j(x, yj− ).
Переходя к значениям функционалов, получим
−
F (x+
j ) > F (x) > F (xj ) > F (y),
F (x) > F (yj+ ) > F (y) > F (yj− ).
Поэтому
−
−
+
F (x+
j ) − F (yj ) > F (x) − F (y) > F (xj ) − F (yj ).
Далее имеем:
F (x+
j )
−
F (yj− )
= Fxj +
k−j
∑
Fxj −νT −
ν=1
k−j−1
+
F (x−
j ) − F (yj ) = Fxj +
∑
ν=0
k−j
∑
F1+νT ,
ν=0
k−j
F1+νT −
∑
ν=0
Fxj −1−νT .
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
131
Из определения лакунарной последовательности имеем неравенства
Fx+1
> Fx > βFx−1 .
β
Отсюда следует, что
Fxj −νT 6
Fx j
,
β νT
Fxj −1−νT 6
и
(
−
F (x+
j ) − F (yj ) 6 Fxj ·
Fx j
β 1+νT
k−j
∑
1
1+
β νT
ν=1
)
=
β T (k−j+1) − 1
βT
= Fx j T
<
F
,
xj T
(β − 1)β T (k−j)
β −1
(
)
(
)
k−j
∑
1
β T (k−j+1) − 1
−
+
= Fxj · 1 −
F (xj ) − F (yj ) > Fxj 1 −
β 1+νT
β(β T − 1)β T (k−j)
ν=0
ln( 4β )
имеем T >
При T > lnβ−1
β
Аналогично, имеем
ln 2
ln β
и βT >
4β
β−1
> 4,
βT
β T −1
< 43 .
4β
β T (k−j+1) − 1
βT
βT
4
β−1
<
<
<
=
.
4β
T
T
(k−j)
T
T
β(β − 1)β
β(β − 1)
β(β − 1)
3β + 1
β( β−1 − 1)
Следовательно,
1−
β T (k−j+1) − 1
4
β−1
>1−
>
,
T
T
(k−j)
β(β − 1)β
3β + 1
2β
так как
(3β + 1)(β − 1) < 2β(3β + 1) − 8β;
3β 2 − 2β − 1 < 6β 2 − 6β;
(
)
1
2
3β − 4β + 1 = 3(β − 1) β −
> 0 при β > 1.
3
Таким образом соотношения (9) доказаны и доказательство леммы завершено. 2
Доказанная лемма позволяет существенно усилить лемму 1 для случая канонического основного решения.
Лемма 5. Пусть N, k — натуральные числа, а Fx — последовательность
4β
ln( β−1
)
натуральных чисел такая, что FFx+1
>
β
>
1.
Тогда
при
T
>
для колиln β
x
∗
чества основных канонических решений rk (N, T ) уравнения
N = Fx1 + . . . + Fxk
в целых числах x1 , . . . , xk > 1 справедлива следующая оценка rk∗ (N ) 6 1.
(10)
132
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
Доказательство. Действительно, если x = (x1 , . . . , xk ) — основное каноническое решение уравнения (10), то F (x) = N . Если y — другое основное
каноническое решение, то y ̸= x и по лемме 4 F (x) ̸= F (y). Следовательно,
уравнение (10) имеет не более одного основного канонического решения. 2
4. Число решений диофантова уравнения первого
типа для лакунарной последовательности
Рассмотрим неоднородное диофантово уравнение первого типа вида
(11)
N = Fx1 + . . . + Fxk
для лакунарной последовательности F1 , F2 ,. . . .
Уравнение (11) будем называть каноническим, если выполнено дополнительно условие упорядоченности x1 > x2 > . . . > xk .
Через rk (N ) обозначим количество решений уравнения (11), а через rk∗ (N )
— количество решений канонического уравнения. Ясно, что rk (N ) 6 k!rk∗ (N ).
Очевидно, что rk (N ) равно числу представлений натурального N в виде сумм
k слагаемых из лакунарной последовательности, а rk∗ (N ) равно числу канонических представлений натурального N в виде сумм k слагаемых из лакунарной
последовательности, то есть невозрастающей последовательностью слагаемых.
Нетрудно видеть, что максимальное значение N , имеющего представления
со слагаемыми xν 6 P , есть kFP . Так как количество систем x = (x1 , . . . , xk ) с
xν 6 P (1 6 ν 6 k) равно P k , а kFP > kF1 β P −1 , то для большей части значений
N величина rk (N ) = 0.
В силу важности леммы 1 приведем доказательство модифицированного
утверждения для числа решений уравнения (11).
Лемма 6. Для числа решений уравнения (11) справедлива оценка
(
)k−1
β − FN1
rk (N ) 6 k!
.
β−1
(12)
Доказательство. Проведем доказательство по индукции. При k = 1 справедливо равенство
{
1, при N ∈ {F1 , F2 , . . .},
r1 (N ) =
0, при N ̸∈ {F1 , F2 , . . .}
и утверждение леммы справедливо.
Пусть k > 1. Обозначим через n номер, такой что Fn 6 N < Fn+1 . В силу
неравенств (1) имеем
ln N − ln F1
ln N − ln A
−1<n6
+ 1,
ln β
ln β
β 1−n 6
F1
.
N
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
133
Обозначим через Yk (N ) множество всех y таких, что F (y) = N , тогда справедливо равенство
rk (N ) =
k
∑ F (y) ∑
∑ Fy
ν
=
.
N
N
ν=1
y∈Yk (N )
y∈Yk (N )
Так как все переменные равноправные, то
∑ Fy
ν
=
N
y∈Yk (N )
∑ Fyµ
N
y∈Yk (N )
для любых 1 6 ν, µ 6 k и
n
∑ Fy
∑
Fj
1
rk (N ) = k
=k
rk−1 (N − Fj ).
N
N
j=1
y∈Yk (N )
Fn
N
Воспользуемся оценкой Fj 6 j−1 6 j−1 и индукционным предположением,
β
β
получим
(
)k−2
n
∑
β − FN1
1
rk (N ) 6 k
(k − 1)!
=
j−1
β
β
−
1
j=1
)k−2
(
)k−1
(
)(
β − FN1
β − FN1
β − β 1−n
= k!
6 k!
β−1
β−1
β−1
и лемма доказана. 2
5. Число решений диофантова уравнения второго
типа для лакунарной последовательности
Так как уравнения
Fx1 + . . . + Fxk = Fy1 + . . . + Fyk + m
и
Fx 1 + . . . + Fx k = Fy 1 + . . . + Fy k − m
имеют одинаковое количество решений при 1 6 xj , yj 6 P (1 6 j 6 k), то без
ограничения общности можно считать, что m > 0.
Будем говорить, что решение Fx1 , . . . , Fxk , Fy1 , . . . , Fyk диофантова уравнения
(3)— основное, если и x1 , . . . , xk , и y1 , . . . , yk — основные системы. В противном
случае, когда либо x1 , . . . , xk , либо y1 , . . . , yk , либо обе системы вспомогательные,
то и решение Fx1 , . . . , Fxk , Fy1 , . . . , Fyk называется вспомогательным.
134
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
Обозначим через Tm (k, P, T ) число основных решений уравнения (3), а через
Tm∗ (k, P, T ) число вспомогательных решений, тогда
Tm = Tm (k, P, T ) + Tm∗ (k, P, T ).
(13)
Лемма 7. Для количества вспомогательных решений уравнения (3) справедливо неравенство
)k−1
(
) (
F1
β
−
1
T
−
1
N
Tm∗ (k, P, T ) 6 2Ck2 P k−1 T 2 − −
k!
.
(14)
T
P
β−1
Доказательство. Пусть x1 , . . . , xk — фиксированная вспомогательная система, для которой Fx1 + . . . + Fxk > m, тогда для натурального
N1 = Fx1 + . . . + Fxk − m
решения уравнения
Fy1 + . . . + Fyk = N1
(15)
будут задавать вспомогательные решения Fx1 , . . . , Fxk , Fy1 , . . . , Fyk диофантова
уравнения (3). По лемме 6 таких решений уравнения (15) не более ck k!. Поэтому,
применяя лемму 3, получим, что число вспомогательных решений, для которых
x1 , . . . , xk — вспомогательная система, будет не более
)k−1
(
) (
F1
β
−
1
T
−
1
N
Ck2 P k−1 T 2 − −
k!
.
T
P
β−1
Аналогично, если y1 , . . . , yk — произвольная фиксированная вспомогательная система и натуральное N2 = Fy1 + . . . + Fyk + m, то решения уравнения
Fx1 + . . . + Fxk = N2
(16)
будут задавать вспомогательные решения Fx1 , . . . , Fxk , Fy1 , . . . , Fyk диофантова
уравнения (3). По лемме 1 таких решений уравнения (16) не более ck k!. Поэтому,
применяя лемму 3, получим, что число вспомогательных решений, для которых
y1 , . . . , yk — вспомогательная система, будет не более
)k−1
) (
(
F1
β
−
T −1
1
N
Ck2 P k−1 T 2 − −
k!
.
T
P
β−1
Объединяя обе оценки, получим утверждение леммы. 2
ln( 4β )
Лемма 8. При T > lnβ−1
для количества Tm (k, P, T ) основных решений
β
уравнения (3) справедлива оценка
)k−1
]
)(
([
F1
β
−
ln
8
−
ln
3
+
ln
A
−
ln
F
1
N
·
+3
Tm (k, P, T ) 6 k · (k!)2 ·
ln β
β−1
·Chk−1 (P − (k − 2)T ).
(17)
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
135
Доказательство. Из любого основного решения Fx1 , . . . , Fxk , Fy1 , . . . , Fyk
диофантового уравнения (3) перестановками можно получить только одно основное каноническое решение Fx∗1 , . . . , Fx∗k , Fy1∗ , . . . , Fyk∗ , то есть такое, где x∗1 >
. . . > x∗k , y1∗ > . . . > yk∗ . Наоборот, из любого основного канонического решения
можно получить ровно (k!)2 различных основных решений.
Кроме этого заметим, что в силу неоднородности уравнения, соглашения о
положительности свободного члена m и леммы 4 для решения x, y имеем x > y.
Поэтому для любого основного канонического решения x, y определен индекс
порядка j = j(x, y).
∗
Обозначим через Tm,j
(k, P, T ) количество основных канонических решений
уравнения (3), для которых индекс порядка равен j.
Согласно предыдущему получим
2
Tm (k, P, T ) = (k!)
k
∑
∗
Tm,j
(k, P, T ).
(18)
j=1
Пусть x, y основное каноническое решение с индексом порядка j уравнения
(3), тогда согласно лемме 4 получим
β−1
4
Fxj < F (x) − F (y) = m < Fxj .
2β
3
Отсюда и из неравенств (1) следует, что
β−1
4
F1 β xj −1 < m < Aβ xj ,
2β
3
ln m + ln 2 − ln F1 − ln(β − 1)
ln m + ln 3 − ln 4 − ln A
< xj <
+ 2,
ln β
ln β
поэтому количество различных значений xj не превосходит величины
[
]
ln 8 − ln 3 + ln A − ln F1
C=
+ 3.
ln β
Так как при фиксированном значении основной канонической системы x величина rk (F (x) − m) равна количеству всех систем y, удовлетворяющих уравнению F (x) = F (y) + m, то величина k!rk (F (x) − m) будет не превосходить
согласно лемме 5 величины
(
)k−1
β − FN1
.
k!
β−1
Если x = (x1 , . . . , xk ) — основная каноническая система, то и система z =
(x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xk ), получающаяся выкидыванием j-ой компоненты, будет основной канонической системой. Поэтому количество основных канонических систем x с ограничением на j-ую компоненту, что она принимает не более
C значений, будет не превосходить величины CKk−1,P,T .
136
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
Так как последняя оценка не зависит от j, то для числа основных решений
уравнения (3) получаем
(
Tm (k, P, T ) 6 k · k! · C · Kk−1,P,T · k! ·
β − FN1
β−1
)k−1
,
что доказывает утверждение леммы. 2
Теорема 3. Для количества решений уравнения (3) справедлива оценка
)k−1
) (
(
F1
β
−
T
−
1
1
N
k!
+ k · (k!)2 ·
Tm 6 2Ck2 P k−1 T 2 − −
T
P
β−1
)k−1
([
]
)(
β − FN1
ln 8 − ln 3 + ln A − ln F1
·
+3
· Chk−1 (P − (k − 2)T ),
ln β
β−1
[
где T =
4β
ln( β−1
)
ln β
(19)
]
+ 1.
Доказательство. Действительно, при указанном значении параметра T
выполнены условия леммы 8, поэтому из лемм 7 и 8 следует утверждение теоремы. 2
6. Заключение
Общий взгляд на применение диофантовых уравнений с показательной функцией содержится в работах А. Г. Постников [11] и М. П. Минеева [9, 10]. Было
бы интересно получить результаты, аналогичные теоремам настоящей работы
для функций с более медленным ростом на бесконености, чем показательная
функция.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на
последовательности Фиббоначи // Доклады РАН. 2001. Т. 379. № 1. С. 9—
11.
2. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций:
дис. . . . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2002.
3. Бояринов Р. Н., Нгонго И. И., Чубариков В. Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова // Современные проблемы теории чисел и
ее приложения: труды IV Междунар. Конф. Тула, 2002. С. 5—31.
ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ С ЛАКУНАРНЫМИ . . .
137
4. Бояринов Р. Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической
суммы // Дискрет. мат. 2012. Т. 24, № 1. С. 26—29.
5. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004.
6. Бояринов Р. Н. О скорости сходимости распределений случайных величин
// Докл. РАН. 2010. Т. 435, № 3. С. 295—297.
7. А. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.
8. Н. М. Коробов Теоретико-числовые методы в приближённом анализе. —
М.: МЦНМО. 2004. — 288 с.
9. Минеев М. П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его
приложение к изучению эргодической суммы // Изв. АН СССР. Сер. Мат.
1958. Т. 26, №5. С. 282–298.
10. Минеев М. П. О проблеме Тарри для быстрорастущих функций // Мат.
сб. 1958. Т. 46(88), № 4. С. 451–454.
11. Постников А. Г. Избранные труды / Под ред. В. Н. Чубарикова. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 512 с.
12. И. С. Тимергалиев, Р. Н. Бояринов О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах // Чебышевский
сборник. 2013. Т. 14, вып. 2. С. 154–163.
REFERENCES
1. Boyarinov, R. N. & Chubarikov, C. N. 2001, "About the distribution of values
of functions on a sequence of Fibbonaci" , Dokl. RAS, vol. 379, № 1, pp. 9—11.
(Russian)
2. Boyarinov, R. N. 2002, "About the distribution of values of sums of arithmetic
functions" , Thesis . . . c.f.-m.s. Moscow: MSU. (Russian)
3. Boyarinov, R. N., Ngongo, I. I. & Chubarikov, V. N. 2002, "About new metric
theorems in method A. G, Postnikova" , Modern problems of number theory and
its applications: proceedings of the IV Int. Proc. Tula, pp. 5—31. (Russian)
4. Boyarinov, R. N. 2012, "On the distribution of absolute values of of trigonometric sum" , Increments. Mat., vol. 24, № 1, pp. 26—29. (Russian)
5. Arkhipov G., I., Sadovnichy V. A. & Chubarikov V. N. 2004, "Lectures on
mathematical analysis" , M: Drofa. (Russian)
138
В. Н. ЧУБАРИКОВ, Н. М. ДОБРОВОЛЬСКИЙ
6. Boyarinov, R. N. 2010, "On the rate of convergence of the distributions of
random variables" , Dokl. Russian Academy of Sciences, vol. 435. № 3, pp. 295—
297. (Russian)
7. Gelfond, A. O. 1967, "Calculus of finite dierences" , Moscow: Nauka, 376 p.
(Russian)
8. Korobov, N. M. 2004, "Number-Theoretic methods in approximate analysis" ,
Moscow: MCCME. 288 p. (Russian)
9. Mineev, M. P. 1958, "Diophantine equation with exponential function and its
application to the study of the ergodic sum" , Izv. A. S. SSSR, ser. Math.,
vol. 26, №. 5, pp. 282–298. (Russian)
10. Mineev, M. P. 1958, "The problem Tarri for the fast-growing functions" , Mat.
Proc., vol. 46(88), no. 4, pp. 451–454. (Russian)
11. Postnikov, A. G. 2005, "Selected works / edited by V. N. Chubarikov." , Moscow:
FIZMATLIT, 512 p. (Russian)
12. Temirgaliev, I. S. & Boyarinov, R. N. 2013, "On the distribution of absolute
values of trigonometric sums at short intervals" , Chebyshev sb., vol. 14, is. 2,
pp. 154–163. (Russian)
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Поступило 5.12.2014
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
249 Кб
Теги
уравнения, слагаемые, лакунарными, одной, диофантовые
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа