close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном интегральном операторе с ядром разрывным на ломаных линиях.

код для вставкиСкачать
где
Sr (f, x)
частичная сумма ряда Фурье функции
f
по собственным
функциям оператора (2), соответствующая характеристическим значениям
из круга
|?| < r.
Так как собственные функции операторов
L
и
L?1
совпа-
дают, то из соотношений (1) и (3) следует утверждение теоремы.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ
(проект НШ-2970.2008.1) и РФФИ (проект 06-01-00003).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.
2. Корнев В.В., Хромов А.П. О сходимости разложений по собственным функциям
интегрального оператора с инволюцией, имеющей особенность // Современные проблемы
теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимней шк., посвящ. памяти
акад. П.Л. Ульянова. Саратов, 28 янв. - 4 февр. 2008. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008.
С. 94-95.
УДК 517.984
О.А. Королјва
ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С ЯДРОМ,
РАЗРЫВНЫМ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ
Равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегральных операторов
с ядрами, разрывными на ломаных линиях, впервые ввел в рассмотрение
А.П. Хромов [1]. В статье изучается один частный случай такого оператора.
1. Резольвента оператора
Рассмотрим интегральный оператор
Z1
y(x) = Af =
A (x, t) f (t)dt,
(1)
0
ядро которого
?
?
?
?
?
A(x, t) = ?
?
?
?
?
A (x, t)
имеет вид
?1 ,
?5 ,
?2 ,
?
0 ? t ? 1/2 ? x
1/2 ? x ? t ? 1/2 + x ? ,
1/2 + x ? t ? 1
?3 ,
?5 ,
?4 ,
?
0 ? x ? 1/2,
(2)
0 ? t ? ?1/2 + x
?1/2 + x ? t ? 3/2 ? x ? ,
3/2 ? x ? t ? 1
31
1/2 ? x ? 1.
Лемма 1. Если y(x) = R? (A)f (x), то
v 0 (x) = ?Dv(x) + Dm(x),
x ? [0, 1/2],
P0 v(0) + P1 v(1/2) = 0,
где v(x) = (v11 (x), v12 (x), v21 (x), v22 (x))>
y(1 ? x))> ,
?
0 a
? c 0
D=?
? ?b 0
0 ?d
(3)
(4)
= (y(x), y(1/2 + x), y(1/2 ? x),
?
b 0
0 d ?
?
0 ?a ?
?c 0
a = ?5 ? ?2 , b = ?5 ? ?1 , c = ?3 ? ?5 , d = ?4 ? ?5 ,
?
?
?A 0 0 0
? 0
0 1 ?B ?
?
m(x) = (f (x), f (1/2 + x), f (1/2 ? x), f (1 ? x))> , P0 = ?
? 0 ?1 0 0 ?,
0
0 1 0
?
?
1 ?B 0
0
? 0 0 ?A 0 ?
?,
P1 = ?
?1 0
0
0 ?
0 0
0 ?1
?1 x + ?3 y = ?5
A и B являются решением системы
при условии, что
?2 x + ?4 y = ?5
?1 ?3
6= 0. Обратно, если v (x) = (v11 (x), v12 (x), v21 (x), v22 (x))> удоdet
?2 ?4
влетворяет (3), (4) и соответствующая однородная система имеет только тривиальное
решение,
иматрицаQ1 + Q2 невырождена, где
0 ?1
1 0
Q1 =
, а Q2 =
то R? существует и
?A 0
1 ?B
v11 (x),
0 ? x ? 1/2,
R? =
v12 (x ? 1/2), 1/2 ? x ? 1.
Лемма 2. При условии d 6= b, (d + b)2 ? 4ac 6= 0 матрица D подобна
диагональной D1 =diag(?1 , ?2 , ?3 , ?4 ), причем ?3 = ??2 , ?4 = ??1 , ?1 6= ?2 .
2. Теорема равносходимости
Преобразование
v = ?h,
где
??1 D? = D1 ,
приводит систему (3), (4) к
виду
h0 (x) = ?D1 h(x) + ??1 Dm(x),
(5)
U (h) = P0 ?h(0) + P1 ?h(1/2) = 0,
(6)
32
Обозначим через
e??4 x ).
Зафиксируем
?(?) = U (Y (x, ?)), где Y (x, ?)=diag(e??1 x , e??x , e??3 x ,
arg?. При этом будем считать, что
Re??1 > Re??2 > 0.
Потребуем, чтобы
?
det ?11
где
?ij
?
?11 ? B?21 ?12 ? B?22
?A?13
?A?14
? ?A?31
?A?32
?33 ? B?43 ?43 ? B?44 ?
?=
= det ?
?
? 6 0,
?11
?12
??23
??24
??41
??42
?33
?34
элементы матрицы
Удалим все нули
?.
det?(?)
(а они и являются собственными значениями
краевой задачи (5), (6)) вместе с круговыми окрестностями одного и того же
достаточно малого радиуса
?,
тогда в получившейся области
S?
имеет место
оценка
det ?(?) ? c · |e?/2(?1 +?2 ) |,
где
c>0
и зависит только от
?.
Рассмотрим краевую задачу:
u0 (x) = ?D1 u(x) + ??1 Dm(x),
U0 (u) = u(0) ? u(1/2) = 0.
Теперь
det ?0 (?),
S?
дополнительно
?0 (?) = U0 (Y (x, ?)).
из
удалены
? -окрестности
нулей
Справедлива следующая
Лемма 3. Если ? ? (0, 1/4), то для любой функции f (x) ? L[0, 1] имеет
место соотношение
Z
lim k
|h(x, ?) ? u(x, ?)|d? k[, 1/2?] = 0,
r??
|?|=r
(окружности |?| = r целиком находятся в S? ).
Теорема. При выполнении вышеуказанных условий для любой f (x) ?
L[0, 1] имеют место соотношения:
lim k Sr (f, x) ?
r??
4
X
j=1
?kj
k?1
1
?r|?j | (m1j , x ?
) k[ k?1 +, k ?] = 0,
2
2
?j
2
k = 1, 2,
где ? (0, 1/4), Sr (f, x) частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора
A для тех характеристических чисел ?k , для которых |?k | < r; ?r (f, x) 33
частичная сумма ряда Фурье по собственным функциям оператора u0 (x),
u(0) = u(1/2) (u скалярная функция) для собственных значений ?0k , для
которых |?0k | < r, m1j компоненты ??1 Dm(x).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях
// Мат. сб., 2006. Т. 197, ќ11. С. 115-142.
УДК 518.9
И.А. Кузнецова
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ
ИЕРАРХИЧЕСКИХ ИГР ТРЕХ ЛИЦ
Понятие иерархических игр было предложено Ю.Б. Гермейером [1], который вместе с учениками создал развитую теорию таких игр [2, 3]. Теория
же иерархических игр трех лиц не является такой полной и завершенной. В
работе [4] автором рассматривались иерархические игры трех лиц с коалициями. Настоящая статья посвящена некоторому классу бескоалиционных
иерархических игр трех лиц.
Рассмотрим следующую ситуацию. Главный управляющий игрок (ѕхозяинї) управляет подчиненным через посредника (ѕдиректораї). Доход ѕхозяинаї явно зависит от действий его и подчиненного, доход ѕдиректораї от действий ѕхозяинаї, доход подчиненного от действий его и ѕхозяинаї.
ѕХозяинї выбирает свою стратегию как функцию от действий ѕдиректораї,
а стратегия ѕдиректораї, в свою очередь, является функцией от действий
подчиненного. Как и обычно в иерархических играх, первый игрок первым
выбирает свою стратегию и сообщает ее второму игроку, затем второй игрок
выбирает свою стратегию и сообщает ее третьему игроку, после чего делает
свой выбор третий игрок, определяя тем самым исход игры. Каждый игрок
действует в своих интересах, максимизируя свою функцию выигрыша. Для
упрощения изложения считаем, что множества стратегий игроков конечны.
Пусть дана игра
гий игроков,
женным
F
F, G, H
? = (X, Y, Z, F, G, H),
где
X, Y, Z
множества страте-
их функции выигрыша. В соответствии с вышеизло-
отображает
X ЧZ
в
R, G ? Y
в
R, H ? Y Ч Z
в
R.
Мы будем
? =
= (?1 , ?2 , Z, F , G, H), где ?1 = {?1 }, ?1 : ?2 ? X , ?2 = {?2 }, ?2 : Z ? Y ,
при всех ?1 , ?2 , z справедливо равенство F (?1 , ?2 , z) = F (?1 (?2 ), ?2 (z), z),
функции G и H определяются аналогично. После выбора первым игроком
своей стратегии ?1 второй игрок, действуя в своих интересах, может выби-
рассматривать следующее информационное расширение данной игры:
рать свои стратегии только из множества
n
o
0
0
M2 (?1 ) = ?2 : G(?1 (?2 )) = max G(?1 (?2 )) .
?2 ??2
34
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
313 Кб
Теги
интегральная, линия, одной, оператора, ломаных, ядро, разрывных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа