close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном обобщении задачи П. Я. Полубариновой-кочиной об опорожнении бассейна

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (537)
УДК 517.955 : 532.5.0
Л.Д. ЭСКИН
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ЗАДАЧИ П.Я. ПОЛУБАРИНОВОЙ-КОЧИНОЙ
ОБ ОПОРОЖНЕНИИ БАССЕЙНА
1. Уравнение нелинейной теплопроводности
ut = (um ux)x
(1.1)
возникает при моделировании самых разнообразных процессов в механике сплошной среды.
Сюда относятся процессы переноса тепла (или массы) в среде с коэффициентом теплоемкости (диффузии), степенным образом зависящим от температуры (концентрации), фильтрации
политропного газа в пористую среду (в этом случае уравнение (1.1) называется уравнением
Лейбензона, а при m = 1 | уравнением Буссинеска). Это же уравнение возникает и при моделировании динамики грунтовых вод. Будем рассматривать уравнение (1.1) на полуоси x > 0
вместе с начальным и граничным условиями
u(x; 0) = cx (x > 0); u(0; t) = 0 (t > 0):
(1.2)
Целью данной статьи является построение неотрицательного автомодельного решения u(x; t) с
непрерывным при x > 0 потоком q = um ux смешанной задачи (1.1), (1.2) и его асимптотики вблизи границы x = 0 и x = 1. В частном случае = 0 (известная задача Полубариновой-Кочиной
об опорожнении бассейна) решение задачи (при m = 1) протабулировано в [1], а ее приближенное аналитическое решение построено в [2] и [3], асимптотика решения задачи ПолубариновойКочиной как при x ! 0, так и при x ! 1 получена в работе [4]. Здесь, используя развитую в [4]
методику, рассмотрим случай произвольного | обобщенную задачу Полубариновой-Кочиной.
Поскольку предлагаемая здесь методика связана с качественной теорией динамических систем
и теорией нормальных форм обыкновенных дифференциальных уравнений, будем предполагать
m 2 натуральным числом (случай m = 1 удобнее рассматривать отдельно).
2. Автомодельные решения уравнения (1.1) имеют вид [5]
u = tf (); = xt; ; = (1 + m)=2;
(2.1)
где неизвестная функция f ( ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
(f m f ) + f = f:
(2.2)
Следуя ([4], [6], с. 135), положим
f = 2=m (); = :
(2.3)
Из неотрицательности u(x; t) следует неотрицательность f ( ), а следовательно, и ( ). В результате подстановки (2.3) в уравнение (2.2) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение для = ()
= Q=P; Q = ((1 + 2=m)m + mm;1 + )w + 2m;1 m ; ;
(2.4)
P = ;m ; w = + 2m;1 ;
56
причем
f = ;
1+2
=m w:
(2.5)
Уравнение (2.4) удобно заменить динамической системой
= P; = Q
(2.6)
(выбор независимой переменной роли не играет, т. к. будут исследоваться лишь траектории
динамической системы (2.6) в фазовой плоскости (; ), а не закон движения по траектории).
Отметим прежде всего, что, имея фазовую траекторию (интегральную кривую уравнения (2.4)),
можно найти из второго уравнения (2.3) однопараметрическое семейство его решений = (; c),
а затем с помощью первого из равенств (2.3) | однопараметрическое семейство автомодельных
решений уравнения (1.1). Поскольку ( ) неотрицательна, то интересны лишь траектории динамической системы (2.6), принадлежащие правой полуплоскости 0 фазовой плоскости (; ).
Прямая w = 0 разбивает правую полуплоскость на два сектора: сектор I, который лежит в полуплоскости > 0 и ограничен полуосями = 0 ( > 0) и w = 0 ( > 0), и сектор II, ограниченный
полуосями w = 0 ( > 0) и = 0 ( < 0). С помощью стандартной методики качественной теории динамических систем на плоскости ([7], с. 107) нетрудно исследовать поведение траекторий
уравнения (2.6) в полуплоскости 0 фазовой плоскости (; ). В этом пункте ограничимся
тем, что приведем лишь необходимые для дальнейшего окончательные результаты проведенного
анализа (см. рис. 1) для случая
1) > 0 (следовательно, и > 0).
Рис. 1
В этом случае правой полуплоскости принадлежат две ветви изоклины нуля уравнения (2.4).
Ветвь
1() = a() + b(); a() = ;((3 + 4=m)m + )=(2mm;1 );
b() = f(1 + 4=m)2 2m + (2 (4m;1 + 3) ; 4)m + 2 g1=2 =(2mm;1 );
расположена в той части сектора I, которая принадлежит четвертому квадранту фазовой
плоскости (; ). Она входит в начало координат в направлении с угловым коэффициентом
57
k1 = ;1=(m ) и уходит в 1 в направлении с угловым коэффициентом k2 = ;1=m, с координатными осями и прямой w = 0 эта ветвь пересекается лишь в начале координат. Ветвь 1 и координатная полуось ( > 0) разбивают сектор I на три подсектора I1 , I2 , I3 , знаки +, ; на рис. 1
указывают знаки производной вдоль траектории в этих подсекторах. Ветвь 2 () = a() ; b()
целиком расположена в секторе II и разбивает его на два подсектора II1, II2. Справедливы асимптотики 2 ;=(mm;1 ) ( ! 0), 2 k3 ( ! 1), k3 = ;2m;1 (1 + 2m;1 ). Уравнение (2.4)
в полуплоскости 0 имеет единственную конечную особую точку | седло-узел O(0; 0) и
четыре бесконечных | неэлементарные особые точки A(0; +1) и B (0; ;1), простой узел C в
направлении с угловым коэффициентом k4 = ;2m;1 , простое седло D в направлении с угловым
коэффициентом k5 = ;(m + 2)=(m(m + 1)). Полученные результаты позволяют утверждать, что
в полуплоскости > 0 существуют ровно три однопараметрических семейства интегральных
кривых уравнения (2.4). Интегральные кривые семейства S1 выходят из начала O в подсектор
I3 сектора I в направлении с угловым коэффициентом k1 , переходят в подсектор I2 , горизонтально пересекая ветвь 1 изоклины нуля, затем переходят в подсектор I1 , вертикально пересекая
координатную полуось > 0, после чего уходят в особую точку A, в окрестности которой для
них справедлива асимптотика
A;m ; ! 0;
(2.7)
A > 0 | параметр семейства. Интегральные кривые семейства S2 также выходят с угловым
коэффициентом k1 из начала O в подсектор I3 сектора I (часть из них затем переходит в сектор II,
пересекая полуось w = 0 ( > 0)), после чего все они входят в узел C , в окрестности которого
для них справедлива асимптотика
;2m;1 + B ; ! 1; = 1 ; 2;1 m;
(2.8)
B | параметр семейства. Наконец, интегральные кривые семейства S3 целиком принадлежат
сектору II, они выходят в подсектор II1 из особой точки B , в окрестности которой для них
справедлива асимптотика (2.7), но с параметром A < 0, затем переходят в подсектор II2 , горизонтально пересекая ветвь 2 изоклины нуля, после чего входят в узел C , в окрестности
которого для них также справедлива асимптотика (2.8). Семейства S1 и S2 разделяет кривая S
| ус сепаратрисы седла D, который, как и кривые семейств S1 и S2, выходит в седло из начала
O в направлении с угловым коэффициентом k1 . Интегральные кривые семейств S2 и S3 также
разделяет идущая из точки B в узел C интегральная кривая Se, ее асимптотика в окрестности
точки B имеет вид
;1;m ; ! 0;
(2.9)
в окрестности узла C она определяется асимптотической формулой (2.8), в которой теперь параметр B принимает определенное значение B = B0 , которое для каждого m определяется
лишь в численном эксперименте. Отметим, что для кривых семейства S2 B > B0 , а для кривых
семейства S3 B < B0 . Однопараметрические семейства S1 , S2 и S3 порождают в силу соотношений(2.1) и (2.3) двупараметрические семейства T1 , T2 и T3 автомодельных решений уравнения
(1.1), интегральные кривые S , Se порождают соответственно однопараметрические семейства
T , Te автомодельных решений. В силу соотношения (2.5) решения, принадлежащие семействам
T1 и T , монотонно возрастают по x, а решения, принадлежащие семействам T3 , Te, монотонно убывают, решения, принадлежащие семейству T2 , либо монотонно возрастают, либо имеют
единственный минимум. С помощью асимптотических формул (2.7){(2.9) и соотношений (2.1),
(2.3) нетрудно показать, что решения из семейств T1 и T3 обладают подвижной точкой фронта,
в которой поток q 6= 0, а для решений из семейств T2 и Te справедливо неравенство u(0; t) 6= 0.
Следовательно, решения, принадлежащие семействам T1 , T2 , T3 и Te, не могут быть решениями
смешанной задачи (1.1), (1.2). Для сепаратрисы S справедливы асимптотики
k1 ( ! 0); k5 ( ! 1):
(2.10)
58
С помощью первой из асимптотик (2.10) из (2.3) и (2.1) для решения u(x; t) уравнения (1.1),
порожденного сепаратрисой S , найдем
u c t = ; ! 1;
(2.11)
1
а с помощью второй из (2.3) и (2.1) получим
u c t = m ; ! 0
(2.12)
(здесь c | параметр однопараметрического семейства T , c | функция параметра c ). При
x ! 0 имеем ! 0, а при t ! 0 и x > 0 будем иметь ! 1. Соотношения (2.11), (2.12)
2
1 (
+1)
1
2
1
позволяют теперь без труда заключить, что, положив в построенном автомодельном решении
u, порожденном сепаратрисой S и принадлежащем семейству T , c1 = c, = = , откуда
= =(2 ; m); = 1=(2 ; m);
(2.13)
получим требуемое решение смешанной задачи (1.1), (1.2). Из условия > 0 следует условие
0 < < 2m;1 :
(2.14)
Итак, в случае выполнения условия (2.14) построено монотонно возрастающее непрерывное вместе с потоком автомодельное решение u(x; t) смешанной задачи (1.1), (1.2). Оно порождается с
помощью соотношений (2.3), (2.1) сепаратрисой S уравнения (2.4), и, следовательно, принадлежит семейству T . В пунктах 4, 5 будут построены асимптотические разложения этого решения
вблизи границы x = 0 и x = 1. С этой целью прежде всего заметим, что асимптотическое
разложение f ( ) при ! 0 определяется асимптотическим разложением кривой S при ! 1
(т. е. асимптотикой в окрестности седла на 1), а асимптотическое разложение f ( ) при ! 1
| асимптотическим разложением S при ! 0 (т. е. асимптотикой в окрестности положения
равновесия = 0, = 0). Старшие члены этих разложений определяются для u = t f ( )
соотношениями (2.11), (2.12). После получения этих асимптотических разложений необходимо
выбрать значение параметра семейства решений, порожденных в силу (2.3) кривой S , таким
образом, чтобы выполнялось и начальное условие (1.2).
3. Результаты качественного анализа поля интегральных кривых уравнения (2.4) в оставшихся нерассмотренными случаях
2) < 0, < 0
(этот случай возникает в силу соотношений (2.13) при > 2m;1 в начальном условии (1.2)) и
3) < 0, > 0
(этот случай возникает при < 0) приводятся соответственно на рис. 2 и 3.
В обоих случаях в полуплоскости 0 фазовой плоскости (; ) уравнение (2.4) имеет, как
и в случае 1), единственную конечную особую точку O(0; 0) и четыре бесконечных: две неэлементарные особые точки A(0; 1) и B (0; ;1), узел C в направлении с угловым коэффициентом
k4 , седло D в направлении с угловым коэффициентом k5 . В случае 2) в полуплоскости 0
имеется однопараметрическое семейство S2 интегральных кривых уравнения (2.4), выходящих
из начала с угловым коэффициентом k1 = ;1=(m ), горизонтально пересекающих в первом
квадранте плоскости , изоклину нуля, а затем вертикально | полуось > 0, после чего они
уходят на 1 в особую точку B , в окрестности которой для них справедлива асимптотика (2.7)
с коэффициентом A < 0. Для двупараметрического семейства автомодельных решений T2 уравнения (1.1), порожденных в силу (2.3), (2.1) семейством S2 , асимптотика (2.11) справедлива при
! 0. Но в случае 2) автомодельная переменная ! 0 как при x ! 0, так и при t ! 0. Отсюда
нетрудно заключить, что все автомодельные решения семейства T2 удовлетворяют граничному
условию (1.2), причем, положив c1 = c, удовлетворим и начальному условию (1.2).
59
Рис. 2
Рис. 3
Однако с учетом асимптотики (2.7) построенное автомодельное решение будет обладать подвижной точкой фронта x0 (t) = 0 t (0 > 0 | второй параметр семейства T2 , t > 0), в которой
поток q 6= 0. Определено оно будет лишь для значений 0 x x0 (t). В результате оказывается невозможным продолжить построенное решение в область x > x0 (t), сохранив требование
его неотрицательности и непрерывности потока на всей полуоси x > 0. Для других автомодельных решений, которые порождаются в случае 2) интегральными кривыми уравнения (2.4),
не принадлежащими семейству S2 , начальное условие (1.2) выполняться не будет. В случае 3)
получается аналогичная ситуация с той лишь разницей, что теперь автомодельное решение,
удовлетворяющее начальному условию (1.2) с < 0, оказывается определенным при x > x0 (t),
x0 (t) = 0 t | подвижная точка фронта. Поток q при x = x0 снова отличен от нуля, и решение не удается продолжить в область 0 x x0 (t), сохранив требование его неотрицательности и непрерывности потока на всей полуоси x 0. Из сказанного следует, что в случаях
> 2m;1 и < 0 обобщенную задачу Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна следует формулировать как задачу об отыскании автомодельного решения уравнения (1.1), которое
удовлетворяет начальному условию
u(x; 0) = cx (x > 0)
(3.1)
u(x ; t) = 0 (t > 0)
(3.2)
и граничному условию
0
в подвижной точке фронта x = x0 , движущейся по закону x0 (t) = 0 t , где 0 > 0 задано, а
= 1=(2 ; m). В случае > 2m;1 решение ищется при t > 0 на интервале 0 < x < x0 (t), а в
случае < 0 | на полуоси x > x0 (t).
4. Для вычисления асимптотического разложения для кривой S при ! 1 (в окрестности
седла на 1) выполним в динамической системе (2.6) преобразование Пуанкаре
= 1=y ; = ( + y )=y ;
1
1
60
2
1
(4.1)
которое переводит систему (2.6) в систему
y = y + y y ; y = y + (m + 1)y + ym y + ym:
1
1 1
1 2
2
2
2
2 2
1
2
1
(4.2)
Для удобства всюду в п. 4 полагаем
1 = ;(m + 2)=(m(m + 1)); 2 = 1; = m;1 (1 ; (m + 2)(m + 1);1 ):
Седло D динамической системы (2.6) преобразованием (4.1) переводится в седло y1 =y2=0 системы (4.2), а кривая S | в одну из ветвей сепаратрисы этого седла. Для вычисления асимптотического разложения для кривой S при ! 1 приведем систему (4.2) к нормальной форме
в окрестности седла y1 = y2 = 0. Система (4.2) при m 2 имеет канонический вид. Будем использовать обозначения и результаты из ([8], с. 85), полагая Q = (d; e), Z Q = z1d z2e . В ([8], с. 98)
показано, что если = 1 =2 = ;r=s, где r=s | несократимая рациональная дробь, то система
(4.2) с помощью преобразования
yi = zi + hi (Z ); i = 1; 2;
P
(4.3)
где hi (Z ) = hiQ Z Q | степенной ряд, не содержащий свободного и линейных слагаемых, в
Q
окрестности седла y1 = y2 = 0 приводится к нормальной форме
zi = zi i +
1
X
k=1
gi ks;kr z ks zkr ; i = 1; 2:
(
) 1
2
(4.4)
В случае системы (4.2) и нечетного m имеем r = m + 2, s = m(m + 1), а в случае четного m = 2t
имеем r = t +1, s = t(2t +1). Седло y1 = y2 = 0 преобразование (4.3) переводит в седло z1 = z2 = 0
системы (4.4). Очевидно, сепаратриса этого седла имеет ветвь z1 = exp(1 ), z2 = 0 (она входит
в седло при ! 1). С учетом преобразования (4.3) и того обстоятельства, что степенные ряды
hi (Z ) не содержат свободного и линейных слагаемых, получаем для седла y1 = y2 = 0 ветвь
сепаратрисы
y = exp( ) +
1
1
1
X
k=2
h
y2 =
1(k;0) exp(1 k );
1
X
k=2
h
k;0) exp(1 k ):
2(
(4.5)
Коэффициенты hi(k;0) могут быть последовательно определены в результате подстановки рядов
(4.5) в систему (4.2) и применения метода неопределенных коэффициентов. Оказывается, что
y1 , y2 разлагаются в ряды по степеням u = exp m1 . А именно,
y =u
1
1
=m
1+
где
1
X
k=1
ak
uk
; y =
2
1
X
k=1
bk uk ;
(4.6)
b = ;(m + 1)=(2m + 3); a = ;b =;
(4.7)
= ;m = (m + 2)=(m + 1);
а остальные коэффициенты ak , bk определяются из рекуррентных соотношений, которые не
1
1
1
1
понадобятся и ввиду их громоздкости не приводим. Соотношения (4.1), (4.6) задают параметрическое представление ветви сепаратрисы седла y1 = y2 = 0 системы (4.2), причем малой
окрестности седла соответствуют малые значения параметра u. Полагая
1+
1
X
k=1
ak
uk
;1
61
=1+
1
X
k=1
rk uk ;
где коэффициенты rk выражаются через as (s = 1; : : : ; k) и могут последовательно определяться с помощью метода неопределенных коэффициентов, с учетом соотношений (4.1) получим
параметрическое представление ветви сепаратрисы седла на 1 системы (2.6) в виде
(u) = y; = u; =m 1 +
1
(u) = (1 + y2 )=y1 = u;1=m
1
1
1
X
k=1
1 X
+ ( r + b )u +
1
1 1
rk uk ;
1
k=2
(4.8)
rk + bk +
1
X
s+t=k
rsbt uk :
В (4.8) r1 = ;a1 , r2 = a21 ; a2 , для остальных коэффициентов получаются все более громоздкие
формулы и их не приводим. Из (4.8) без труда находим, что при u ! 0 эта кривая стремится
к седлу D системы (2.6) в направлении с угловым коэффициентом k5 = 1 , т. е. эта кривая
совпадает с кривой S и формулы (4.8) дают искомое асимптотическое представление этой кривой
в окрестности седла D. Обозначим
d(u) = u; =m ((u)); ; 1 =
1
1
1
1
X
dk uk ;
k=1
1
X
p(u) = ps us = d(u) ;1 rk (1 ; km)uk;1 :
s=1
k=1
1
X
Из второго уравнения (2.3) получим
Z
= c exp
1
X
1
;
1
1=
;
1
k
d = c1u exp
((k + 1) pk u + (dk + rk (1 ; km))=(k ))u :
(4.9)
k=1
Из (4.9) следует, что при u ! 0 и ! 0. С помощью (4.8), (4.9) и достаточно громоздких
выкладок, аналогичных проведенным в [4] в случае = 0, получим разложение ( ) по дробным
степеням , т. е. асимптотическое разложение ( ) при ! 0, а затем с помощью первого из
равенств (2.3) и равенства (2.1) и асимптотическое разложение однопараметрического семейства
T решений u(x; t; c1 ) уравнения (1.1), удовлетворяющего граничному условию (1.2) при x = 0.
Это разложение имеет вид
u(x; t) = c =m t(=c ) = m
2
1
1
1 (
+1)
1
X
k=0
lk (=c )k ;
(4.10)
1
c > 0 | параметр семейства. Коэффициенты lk в (4.10) выражаются через коэффициенты as,
bs, rs , ds , ps с s k, т. е. через коэффициенты рядов (4.6), и зависят от a и . В силу громоздкости
этих выражений ограничимся вычислением двучленной асимптотики u(x; t). Будем иметь l = 1,
l = b = . Значение параметра c для решения u(x; t) смешанной задачи (1.1), (1.2) определяется
значением коэффициента c в начальном условии (1.2), оно зависит от m и может быть найдено
для каждого значения m лишь с помощью численного эксперимента, значения параметров и определяются равенствами (2.13), причем для параметра должно выполняться условие (2.14).
Докажем, что ряд (4.10) сходится в некоторой окрестности точки = 0. Для этого достаточно
доказать, что в некоторой окрестности точки u = 0 сходятся ряды (см. формулы (4.6))
1
0
1
1
1
x = u; ym = 1 +
1
1
x
2
= u;1 y
2
=
1
1
X
k=0
1
X
k=1
ak uk
m
=
1
X
k=0
k uk ; = 1;
(4.11)
0
k uk ; k = bk ; = ;(m + 1)(2m + 3); ;
+1
0
u = exp(m ); = ;(m + 2)=(m(m + 1)):
1
1
62
1
(4.12)
Из уравнений (4.2) для y1 , y2 получаем уравнения для x1 , x2
x1u = ;m(m + 1)(m + 2);1 x1 x2 ;
ux2u = ;(m + 2);1 ((2m + 3)x2 + (m + 1)x1 + (m + 1)ux1 x2 + (m + 1)2 ux22 ):
Из этих уравнений для коэффициентов k , k получаем рекуррентные соотношения
X
(k + 1)k+1 = ;m(m + 1)(m + 2);1
p s ;
(4.13)
p+s=k
((k + 1)(m + 2) + 2m + 3)k+1 = ; (m + 1)k+1 +
+ (m + 1)
X
p+s=k
p s + (m + 1)
X
2
p+s=k
p s :
(4.14)
Обозначим через " = max(j j; j j) наибольшую из величин j j, j j. Из соотношений (4.13), (4.14)
найдем
X
jk+1 j m(m + 1)((m + 2)(k + 1));1
jp j js j;
(4.15)
p+s=k
X
jk+1 j ((m + 2)(k + 1) + 2m + 3);1 "(m + 1) jk+1 j +
jp j js j +
p+s=k
X
+(m + 1)2
jpj js j :
p+s=k
(4.16)
С помощью неравенств (4.15), (4.16), положив k = 0, с учетом оценки j0 j < "=2 находим
j1 j "(m + 1)=2; j1j "2 (m + 1)=2:
Предположив, что справедливы оценки
js j "s (m + 1)s =2; js j "s+1 (m + 1)s =2; s = 1; 2; : : : ; k;
(4.17)
с помощью (4.15), (4.17) и оценки j0 j < "=2 получим оценку
jk j m(m + 1)((m + 2)(k + 1));
1
+1
k
X
p=0
jpj jk;p j m(m + 1)((m + 2)(k + 1)); jk j + jk j j j +
1
0
kX
;1
jp j jk;p j p=1
k
+1
;
1
;
1 k+1
m(m + 1) (2(m + 2)) (k + 2)(2(k + 1)) "
< "k (m + 1)k =2; (4.18)
после чего с помощью неравенства (4.16) и оценок (4.17), (4.18) снова с учетом оценки j j < "=2
+1
+1
0
аналогично найдем
jk j ((m + 2)(k + 1) + 2m + 3); "(m + 1) jk j + jk j + jk j j j +
1
+1
+
kX
;1
p=1
+1
0
jpj jk;p j + (m + 1) 2jk j j j +
2
0
kX
;1
p=1
jpj jk;p j < "k (m + 1)k =2:
+2
+1
Таким образом, по индукции доказана справедливость оценок (4.17) при всех s 1, а из этих
оценок следует сходимость рядов (4.11), (4.12) в некоторой окрестности точки u = 0, следовательно, и ряда (4.10) в некоторой окрестности точки = 0.
63
5. Перейдем к изучению асимптотики решения смешанной задачи (1.1), (1.2) при x ! 1.
Динамическую систему (2.6) теперь удобно переписать в виде системы
y1 = 1 y1 + 2m;1 y1m+1 ; y1my2 ;
(5.1)
y2 = 2y2 ; y1 + (2m;1 ; 1)y1m y2 + my1m;1 y22 ;
где 1 = 0, 2 = ,
y1 = ; y2 = w:
(5.2)
Система (5.1) не каноническая, но приводится к каноническому виду
x1 = 1 x1 + x1 f1 ; x2 = 2 x2 + x2 f2 ;
(5.3)
f1 = xm1 ; xm1 ;1x2 ; f2 = rxm1 +1x;2 1 + pxm1 + mxm1 ;1 x2
(5.4)
с помощью преобразования
y1 = x1 ; y2 = x1 + x2 :
(5.5)
В (5.4), (5.5) и далее в п. 5 обозначаем
= 1=(m ); = =; r = ((m + 1) ; 1); p = 2m;1 ; 1 + (2m + 1):
В ([8], с. 97) показано, что система вида (5.3) с 1 = 0 и 2 6= 0 с помощью преобразования
x1 = z1(1 + h1 (Z )); x2 = z2 (1 + h2 (Z ));
(5.6)
где снова формальные степенные ряды zi hi (Z ) не имеют свободного и линейных слагаемых,
приводится к нормальной форме
z1 = z1 g1 (z1 ); z2 = z2 g2 (z1 );
(5.7)
g (z ) =
1
1
1
X
k=1
g
1(
k;0)
z k ; g (z ) = +
1
2
1
2
1
X
k=1
g
2(
k
k;0) z1 ;
(5.8)
причем коэффициенты gi(k;0) степенных рядов (5.8) и коэффициенты hiQ (Q = (q1 ; q2 )) степенных
рядов
X
X
h1 (Z ) = h1QZ Q (q1 ;1; q2 0); h2 (Z ) = h2Q Z Q (q1 0; q2 ;1)
(5.9)
Q
Q
последовательно определяются из соотношений ([8], с. 95)
(2)
hi(k;0) = 0; gi(k;s) = 0 (s 6= 0); gi(k;0) = c(1)
i(k;0) + ci(k;0) ;
(2)
hiQ = (q2 );1 (c(1)
iQ + ciQ ) (q2 6= 0);
где
X
X
c(1)
hiP giR ;
(p1 g1R + p2 g2R )hiP ;
iQ = ;
P +R=Q
P +R=Q
коэффициенты при Z Q в
(2)
а c(2)
разложении функций
1Q , c2Q | соответственно
(1 + h1 )f1 (z1 (1 + h1 ); z2 (1 + h2 )) = A1 + A2 ;
A1 = z1m(1 + h1 )m+1 ; A2 = ;z1m;1 z2 (1 + h1 )m (1 + h2 );
(1 + h2 )f2 (z1 (1 + h1 ); z2 (1 + h2 )) = B1 + B2 + B3 ;
B1 = rz1m+1z2;1(1 + h1 )m+1 ; B2 = pz1m (1 + h1 )m (1 + h2 );
B3 = mz1m;1 z2 (1 + h1 )m;1 (1 + 2h2 + h22 ):
64
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
Преобразования (5.2), (5.5) и (5.6) особую точку O(0; 0) системы (2.6) переводят в особую точку
z1 = z2 = 0 системы (5.7). Прежде всего найдем асимптотическое разложение в окрестности
этой особой точки траекторий системы (5.7). Поскольку разложение функции zi hi не содержит
свободного и линейных слагаемых, имеем
h
;1;0) = h2(0;;1) = h1(;1;1) = h2(1;;1) = 0:
1(
(5.14)
С помощью последнего соотношения в (5.10) и соотношений (5.11){(5.14) по индукции нетрудно
доказать, что
h
;1;k) = 0
1(
(k 0):
(5.15)
Отметим, что справедливо
h
h
Утверждение A.
Среди коэффициентов g1(q;0) , g2(q;0) рядов (5:8) и коэффициентов h1(q;1) ,
q;;1) рядов (5:9) отличными от нуля могут быть лишь коэффициенты g1(km;0) , g2(km;0) ,
1(km;1;1) , h2(km+1;;1) , k 1. Кроме того, справедливы равенства
2(
m;0) = ; g2(m;0) = p; g1(2m;0) = ;h2(m+1;;1) = r=;
g2(2m;0) = ;(m + 1)r=; h1(m;1;1) = ;1=;
h1(2m;1;1) = ;1h1(m;1;1) ((m + 1) ; mg1(m;0) ; g2(m;0) ) = ;2 (p ; ):
g
1(
(5.16)
Не останавливаясь на деталях выкладок, которые приводят к утверждению A (оно доказывается методом математической индукции в п. 6) и соотношениям (5.16), укажем,
что с помощью соотношения (5.11) и первых двух равенств в (5.10) нетрудно показать, что
(1)
(2)
c(1)
1(q;0) = c2(q;0) = 0, после чего третье соотношение в (5.10) принимает вид gi(q;0) = ci(q;0) . Отметим
также, что при вычислении вкладов слагаемых A1 , A2 из (5.12) в коэффициенты c(2)
1Q и вкла(2)
дов слагаемых B1 , B2 , B3 из (5.13) в коэффициенты c2Q необходимо учитывать соотношения
(5.14), (5.15), а также и то обстоятельство, являющееся следствием первого из равенств (5.10),
что в степенном разложении функции h1 все ненулевые слагаемые содержат множитель z2 как
минимум в первой степени. Отсюда сразу следует, что g1(m;0) | первый отличный от нуля коэффициент в разложении функции g1 | совпадает с вкладом в c(2)
i(m;0) слагаемого A1 в правой
части равенства (5.12), причем этот вклад оказывается равным = 1=(m ), вклад в c(2)
i(m;0) от
слагаемого A2 равен нулю как раз вследствие соотношений (5.14). Тем самым получено первое
из равенств (5.16). Аналогичные соображения позволяют получить и остальные соотношения в
(5.16).
Замечание 1. Все встречающиеся ниже степенные ряды являются формальными и это обстоятельство в дальнейшем оговариваться не будет. Известно ([8], с. 108), что в случае 1 = 0,
2 6= 0 нормализующее преобразование (5.6) для системы вида (5.3) как правило расходится.
С учетом утверждения A нормальная форма (5.6) системы (5.3) имеет вид
z = z m
1
1
+1
1 + ;1
z = z 1 + 2
2
1
X
k=1
1
X
;1
k=1
65
g
g
k
m;0)
1(( +1)
km;0)
2(
zkm
1
zkm ;
:
1
(5.17)
Система (5.17) легко интегрируется. Найдем
z = cz d exp(; =z m )R(z );
d = m ; = ; g m; ; mg m; = ; p ; mr;
2
2
1
2
1
2(
0)
1
X
R (z ) = 1 +
1
k=1
(5.18)
(5.19)
1
1
1(2
1
0)
rk zkm ;
1
степенной ряд, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты g1(km;0) , g2(km;0) , на
их вычислении не останавливаемся, т. к. они не понадобятся, c > 0 | произвольный параметр.
С учетом соотношений (5.2), (5.5), (5.6) и равенства (5.18) получаем
= x = z (1 + h ) = z + czd m exp(; =z m )R(z )(h m; ; + h m; ; z m + O(z m )); (5.20)
d = f1 + czd; exp(; =z m )R(z )[h m; ; (m + (d + m)zm ) +
+m h m; ; z m + O(z m )]gdz ;
(5.21)
;
= y ; 2m y = z (1 + h ) ; :
(5.22)
1
1
1
1
1
1
+
2
1
2
2
1
1
1(2
1
1
1(
1 1)
2
1
1 1) 1
1
2
1(
1
1 1)
1(2
2
2
1
1 1) 1
1
1
2
2
С помощью (5.18) и (5.20) после достаточно громоздких выкладок из равенства (5.22) находим
= ;z P (z )f1 ; c ; z d; exp(; =z m )[1 + (s ; h
где s = r + ; h m ;; , а
1
1
1
1
2(
1
1
+1
1
1
2
1
1
m
2m
m;1;1) )z1 + O (z1 )]g;
(5.23)
1(
1)
P (z ) = 1 +
1
1
X
k=1
pk zkm
(5.24)
1
| степенной ряд с коэффициентами
pk = ; ; h mk ;; :
(5.25)
При z ! +0 имеем ! +0, ! ;0, w ! +0 при c > 0. Уравнения (5.20), (5.23) задают в параметрической форме (параметром является z ) асимптотику семейства интегральных кривых
уравнения (2.4), входящих при z ! +0 в начало координат O в секторе I фазовой плоскости
(; ) в направлении с угловым коэффициентом k = ; (т. е. асимптотику семейств S , S и кривой S ). Кривая S получается из семейства кривых (5.20), (5.23) при значении параметра c = cm ,
которое зависит от m и определяется для каждого конкретного значения m лишь численно.
1
2(
+1
1)
1
1
1
1
1
2
С учетом равенств (5.21), (5.23) второе уравнение в (2.3) принимает вид
; d = ;(z ); (1 + G(z ))[1 + acm zd
1
1
1
1
1
+
G = P; ; 1 =
1
m;1 exp(; 2 =z m )(1 + O (z m ))]dz
1
X
1
1
1
gk z km ;
1
k=1
2
a = m (h1(2m;1;1) + mh2(m+1;;1) ) ; ;1 (d + m ; 1):
;
(5.26)
(5.27)
(5.28)
Интегрируя уравнение (5.26), получим
Z z1
;
m
;
1
d
+m;2
2
m
m
c = z F (z1 ) 1 ; mcm a z
exp(; =z )(1 + O(z ))dz ;
1
1
0
где
F (z ) = exp
1
1
1
X
X
;
1
km
; k gk z1 = 1 + fk z1km :
k=1
k=1
66
(5.29)
(5.30)
Из (5.29) следует, что ! 1 при z1 ! +0. Используя неполную гамма-функцию ;(; x) ([9],
с. 954), найдем
Zz
Zz
0
0
m;2 exp(; 2 =z m )dz
= m;1 2(d+m;1)=m ;(;(d + m;1)=m; 2 =z m );
m;2 exp(; 2 =z m )dz
= m;1 2(d+2m;1)=m ;(;(d + 2m;1)=m; 2 =z m );
zd
+
zd
+2
после чего, используя асимптотику ;(; x) при x ! 1 ([9], с. 956), из (5.29) получим
c;1 1 = z1;m F (z1 )(1 ; cm ;1 az1d+2m;1 exp(; 2 =z1m )(1 + O(z1m ))):
(5.31)
С учетом соотношений (5.16), (5.19) и (5.28) нетрудно вычислить коэффициент a. Будем иметь
a = ;m= . В результате равенство (5.31) примет окончательный вид
c;1 1 = z1;m F (z1 )(1 + mcm ;2 z1d+2m;1 exp(; 2 =z1m )(1 + O(z1m ))):
(5.32)
С помощью (5.32) при ! 1 находится асимптотика
1
z = (=c ); 1 + P lk (=c );k= k
(1 + cm ; e (=c ); d m; exp(; (=c ) = )(1 + O((=c ); = ))); (5.33)
где = f , l = f . В результате подстановки (5.33) в (5.15) при ! 1 и m 2 получаем
1
1
1
=1
3
1
асимптотику
1
( +2
1
1)
2
1
1
1
1
1
1
() = (=c ); 1 + P lk (=c );k= ;
1
k=1
1
; cm ; e (=c ); d
1
1
m;1) exp(; 2 (=c
( +
1=
)(1 + O((=c1 );1= )) : (5.34)
1)
С помощью первого соотношения (2.3) и соотношения (2.1) теперь получаем асимптотику однопараметрического семейства автомодельных решений (c1 > 0 | параметр семейства) уравнения
(1.1), принадлежащих семейству T (т. е. порожденных в силу уравнений (2.3) сепаратрисой S )
и удовлетворяющих при любом значении параметра c1 граничному условию (1.2). Начальное
условие (1.2) будет выполняться, если положить c1 = c1= , где c | коэффициент в начальном
условии (2.1). Итак, с учетом соотношений (2.1), (2.3) и (5.34) окончательно находим следующее
представление в окрестности = 1 для решения смешанной задачи (1.1), (1.2):
u(x; t) = c =m t(=c )
2
1
X
1
1
; cm
k=0
lk (=c );k= ;
1
;1 e(=c );(d+m;1) exp(; 2 (=c
1
1
)
= )(1 + O ( ;1= )) ;
1
c = c = : (5.35)
1
1
Вычислив несколько первых коэффициентов pk (5.25) степенного ряда (5.24), для чего необходимо вычислить несколько первых коэффициентов h2(km+1;;1) , нетрудно с помощью метода
неопределенных коэффициентов найти несколько первых коэффициентов gk ряда (5.27), а затем
| и коэффициентов fk ряда (5.30). После этого находятся несколько первых коэффициентов
lk в разложениях (5.33), (5.34) и (5.35). Для вычисления коэффициентов h2(km+1;;1) удобно воспользоваться рекуррентными соотношениями (k > 2)
h2(km+1;;1) = ; ;1
(p ; ((k ; 1)m + 1))h2((k;1)m+1;;1) +
+
kX
;1
s=2
((k ; s)m + 1)h2((s;1)m+1;;1) h
k;s)m+1;;1)
2((
67
;
(5.36)
если k четно,
h
km+1;;1)
2(
h
= ; ;1 (p ; ((k ; 1)m + 1))h2((k;1)m+1;;1) +
+ m(h2((k;1)m=2+1;;1) )2 +
если k нечетно,
(5.37)
= r(p ; (m + 1) )= 2 :
(5.38)
Для вывода рекуррентных соотношений (5.36){(5.38) следует воспользоваться соотношениями
(5.10), (5.11) при i = 2 и Q = (km+1; ;1) и равенством (5.13). Приведем значения коэффициентов
l0 = 1, l1 = r в равенстве (5.35), кроме того, будем иметь = r=m. С помощью (5.36), (5.37) и
(5.38) нетрудно показать, что в случае = 0 (следовательно, = 0, = 1=2) и в случае =
1=(m + 1) (следовательно, = 1=(m + 2), = (m + 1)=(m + 2)) все коэффициенты h2(km+1;;1) = 0.
В результате в этих двух случаях будем иметь gk = fk = dk = lk = 0 при k 1, что приводит к
существенному упрощению основного соотношения (5.35). А именно, в случае = 0 находим
u(x; t) = c21=m (1 ; 2cm (=c1 );1 exp(; 2 =4c21 )(1 + O( ;2 ))); c1 = cm=2
(этот результат был получен в [4]), а в случае = 1=(m + 1)
u(x; t) = c21=m t1=(m+2)(=c1 )1=(m+1) (1 ; cm (=c1 );(1+) exp(;;2 (=c1 ) )(1 + O(; ))); c1 = cm= :
(5.39)
В равенстве (5.39) = (m + 2)=(m + 1).
Замечание 2. Асимптотика f () при ! 0 ( ! 1) одновременно дает асимптотику при
x ! 0 (x ! 1), t > 0 фиксировано, решения u(x; t) задачи (1.1), (1.2) и равномерную по x на
любом конечном интервале полуоси x 0 асимптотику этого решения при t ! 1 (t ! 0).
Замечание 3. В пунктах 4, 5 построены асимптотические разложения вблизи границы x = 0
(равенство (4.10)) и x = 1 (равенство (4.35)) решения задачи (1.1), (1.2) для случая 0<<2m;1 .
Как указано в п. 3, в случаях > 2m;1 и < 0 решение уравнения (1.1), удовлетворяющее
начальному условию (1.2), имеет подвижную точку фронта и представляет интерес построить
асимптотическое разложение решения в ее окрестности. В данной работе отметим лишь, что с
помощью асимптотики (2.7) нетрудно построить старший член искомого разложения.
Замечание 4. В случае 2) > 2m;1 (следовательно, < 0, < 0) разложение (5.35)
остается справедливым при x ! 0 для решения смешанной задачи (1.1), (3.1), (3.2), а в случае 3)
< 0 (следовательно, < 0, > 0) оно остается справедливым при x ! 1, но постоянная cm в
этих двух случаях определяется законом движения точки фронта x0 (t), т. е. выбором значения
параметра 0 > 0.
6. В этом дополнении дадим доказательство утверждения
A. Из первых двух соотношений
(1)
(5.10) и соотношения (5.11) следует, что c(1)
=
c
=
0,
так
что третье соотношение (5.10)
1(q;0)
2(q;0)
принимает вид
(2)
g1(q;0) = c(2)
(6.1)
1(q;0) ; g2(q;0) = c2(q;0) :
h
2(
m+1;;1) = ;r=;
i
kP
;1
((k ; s)m + 1)h2((s;1)m+1;;1) h2((k;s)m+1;;1) ;
s=2
h
2(2
m+1;;1)
Q в разложении функции (5.12) | является
Далее заметим, что c(2)
1Q | коэффициент при Z
Q в разлосуммой вкладов слагаемых A1 и A2 в этот коэффициент, а c(2)
2Q | коэффициент при Z
жении функции (5.13) | суммой вкладов слагаемых B1 , B2 , B3 . Каждый раз при вычислении
этих вкладов необходимо учитывать соотношения (5.14), (5.15) и то обстоятельство, вытекающее из (5.9), (5.10), что в разложении функции h1 по мономам Z Q все мономы с ненулевыми
коэффициентами содержат множитель z2 как минимум в первой степени. Докажем, что
68
a0 ) g1(q;0) = 0 при q < m,
b0) g2(q;0) = 0 при q < m,
c0 ) h1(q;1) = 0 при q < m ; 1,
d0) h2(q;;1) = 0 при q < m + 1.
В силу (6.1) g1(q;0) есть сумма вкладов в c(2)
1(q;0) слагаемых A1 , A2 . Из (5.12) находим, что
при q < m вклад A1 равен нулю. Вклад A2 с учетом соотношения (5.14) также оказывается
равным нулю. Утверждение a0 ) доказано. Утверждение b0 ) доказывается аналогично. Нужно
лишь проверить равенство нулю вкладов в c(2)
2(q;0) каждого из слагаемых B1 , B2 , B3 функции
(2)
(1)
(5.13). Далее с помощью (5.10) находим h1(q;1) = (c(1)
1(q;1) + c1(q;1) )= . Соотношение (5.11) для c1(q;1)
принимает вид
c
(1)
1( 1)
q;
=;
X
p+r=q
h
p;1) g1(r;0) ;
1(
X
p+r=q
(pg1(r;0) + g2(r;0) )h1(p;1) ; q < m ; 1:
(6.2)
В силу утверждений a0 ), b0 ) получаем, что в правой части соотношения (6.2) g1(r;0) = g2(r;0) = 0,
;1 c(2) . Вклад A1 при q < m ; 1 в c(2) с учетом (5.14) равен
так что c(1)
1(q;1) = 0 и h1(q;1) = 1(q;1)
1(q;1)
нулю. Аналогично, оказывается равным нулю при q < m ; 1 и вклад A2 . Утверждение c0 )
доказано. Докажем утверждение d0). Как и в случае c0 ), с учетом (5.14) нетрудно проверить,
;1 c(2) . В силу условия q < m + 1 вклад B1
что c(1)
2(q;;1) = 0 при q < m + 1, так что h2(q;;1) = ;
2(q;;1)
в c(2)
равен
нулю.
Вклад
B
с
учетом
соотношений
(5.14) также при q < m + 1 оказывается
2
2(q;;1)
равным нулю. Наконец, снова с учетом (5.14) получаем, что при q < m + 1 равен нулю и вклад
B3 в c(2)
2(q;;1) . Утверждение d0 ) доказано. Пусть уже доказано, что
a1 ) g1(q;0) = 0 при q < km, q 6 0 (mod m),
b1) g2(q;0) = 0 при q < km, q 6 0 (mod m),
c1 ) h1 (q; 1) = 0 при q < km ; 1, q 6 ;1 (mod m),
d1) h2(q;;1) = 0 при q < km + 1, q 6 1 (mod m).
Отметим, что утверждения a1 ), b1), c1 ), d1 ) при k = 1 совпадают соответственно с утверждениями a0 ), b0 ), c0 ), d0 ). Докажем, что тогда
a2 ) g1(q;0) = 0 при q, удовлетворяющих оценке
km < q < (k + 1)m;
(6.3)
b2) g2(q;0) = 0 при q, удовлетворяющих оценке (6.3),
c2 ) h1(q;1) = 0 при q, удовлетворяющих оценке
km ; 1 < q < (k + 1)m ; 1;
(6.4)
d2) h2(q;;1) = 0 при q, удовлетворяющих оценке
km + 1 < q < (k + 1)m + 1:
(6.5)
После этого справедливость утверждения A будет доказана индукцией по(2)k. Докажем утверждение a2 ). В силу (6.1) достаточно доказать, что c(2)
1(q;0) = 0. Вклад A1 в c1(q;0) при q 6= m (это
условие в силу оценки (6.3), очевидно, выполнено) оказывается равным нулю. С учетом сделанного выше замечания относительно разложения функции h1 по мономам Z Q вклад A2 в c(2)
1(q;0)
оказывается равным (;h2(q;m+1;;1) ). Так как q < (k + 1)m, то q ; m + 1 < km + 1, причем
q ; m + 1 6 1 (mod m) поскольку q 6 0 (mod m) (воспользовались оценкой (6.3)). В силу d1)
получаем, что h2(q;m+1;;1) = 0, так что равен нулю и вклад A2 в c(2)
1(q;0) . Утверждение a2 ) доказано. Докажем утверждение b2 ). В силу (6.1) достаточно проверить, что c(2)
= 0. Вклад B1 в
2(q;0)
69
равен r(m + 1)h1(q;m;1;1) = 0, т. к. в силу оценки (6.3) q ; m ; 1 < km ; 1, q ; m ; 1 6 ;1
(mod m) и справедливо c1 ). Вклад B2 оказывается равным
X
pm
h1(l;1) h2(s;;1) (l 0; s 2)
(6.6)
c
(2)
2( 0)
q;
l+s=q;m
(воспользовались равенствами (5.14)). Находим l < km ; 1, s < km + 1. В силу c1 ), d1 ) произведение h1(l;1) h2(s;;1) может быть отлично от нуля, только если одновременно l ;1 (mod m),
s 1 (mod m), но тогда q ; m = l + s 0 (mod m), т. е. q 0 (mod m), что в силу условия (6.3)
не выполняется. Следовательно, все слагаемые в (6.6) равны нулю, т. е. равен нулю вклад B2 в
(2)
c(2)
2(q;0) . Вклад B3 в c2(q;0) равен
2mh2(q;m+1;;1) + m(m ; 1)
X
l+2s=q;m+1
h
l;
1( 1)
(h2(s;;1) )2 :
Имеем q ; m +1 < km +1, q ; m +1 6 1 (mod m) (воспользовались оценкой (6.3)). Следовательно,
в силу d1 ) h2(q;m+1;;1) = 0. Так как снова l 0, s 2, то l < km ; 1, s < km + 1 и произведение
h1(l;1) (h2(s;;1) )2 может быть отлично от нуля лишь в случае, если одновременно имеем l ;1
(mod m), s 1 (mod m), т. е. q ; m + 1 = l + 2s 1 (mod m), следовательно, q 0 (mod m),
что в силу (6.3) не выполняется. Следовательно, равен нулю и вклад B3 в c(2)
2(q;0) и доказано
утверждение b2 ). Докажем утверждение c2 ). Учитывая утверждения a2 ), b2 ) и оценку (6.4),
равенству (5.11) для c(1)
1(q;1) придадим вид
c
(1)
1( 1)
q;
=;
k
X
s=1
h
q;sm;1) g1(sm;0) ;
1(
k
X
s=1
((q ; sm)g1(sm;0) + g2(sm;0) )h1(q;sm;1) :
Так как q < (k + 1)m ; 1, то q ; sm < km ; 1 (s = 1; 2; : : : ; k). В силу c1 ) h1(q;sm;1) может быть
отлично от нуля лишь в случае q ; sm ;1 (mod m), т. е. в случае q ;1 (mod m), но это
невозможно в силу оценки (6.4). Следовательно,
c(1)
(6.7)
1(q;1) = 0
(2)
и h1(q;1) = ;1 c(2)
1(q;1) . Вклад A1 в c1(q;1) равен (m + 1)h1(q ;m;1) . С учетом оценки (6.4) имеем
q ; m < km ; 1, q ; m 6 ;1 (mod m), так что h1(q;m;1) = 0 в силу c1 ) и вклад A1 в c(2)
1(q;1) равен
(2)
нулю. Вклад A2 в c1(q;1) с учетом оценки (6.4) равен
;m
X
l+s=q;m+1
h
l;
1( 1)
h
s;;1) ;
(6.8)
2(
l 0, s 2, откуда l < q ; m ; 1 < km ; 1, s < km < km + 1 (воспользовались оценкой (6.4)).
В силу c ), d ) произведение h l; h s;; в сумме (6.8) может быть отлично от нуля, лишь если
одновременно l ;1 (mod m), s 1 (mod m), но тогда q ; m + 1 = l + s 0 (mod m), т. е.
q ;1 (mod m), что не выполняется в силу оценки (6.4). Таким образом, и вклад A в c q;
равен нулю. Следовательно, c q; = 0 и утверждение c ) доказано.
Осталось доказать утверждение d ). Доказательство равенства c q;; = 0 с учетом оценки (6.5) проводится аналогично доказательству равенства (6.7). Следовательно, h q;; =
; ; c q;; . Вклад B в c q;; при условии, что выполнена оценка (6.5), равен нулю. Вклад
B оказывается равным ph q;m;; . Имеем с учетом оценки (6.5) q ; m < km + 1 и q ; m 6 1
(mod m). В силу утверждения d ) получаем h q;m;; = 0, следовательно, равен нулю и вклад
B в c q;; (km + 1 < q < (k + 1)m + 1). Вычисляя вклад B , найдем, что он равен m(h l;; ) ,
где 2l = q ; m +1. Следовательно, если q ; m +1 нечетно, то вклад B равен нулю. В случае, если
q ; m +1 четно, то вклад B может быть отличен от нуля лишь в случае l 1 (mod m), но тогда
1
1
1( 1)
2(
1)
(2)
1( 1)
2
(2)
1( 1)
2
(1)
2(
2
1 (2)
2(
1)
2
2
1
(2)
2(
2(
1)
1)
2(
(2)
2(
1)
1)
1
2(
1)
3
1)
2(
3
3
70
1)
2
q ; m 1 (mod m), т. е. q 1 (mod m), что невозможно в силу оценки (6.5). Таким образом,
и вклад B в c q;; равен нулю. Следовательно, c q;; = 0, а вместе с ним и h q;; = 0 при
km + 1 < q < (k + 1)m + 1. Утверждение d ) доказано. Таким образом, с помощью индукции
по k доказано утверждение A.
3
(2)
2(
(2)
2(
1)
1)
2(
1)
2
Отметим, что рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве утверждения A,
позволяют получить и соотношения (5.16).
Литература
1. Полубаринова-Кочина П.Я. Об одном нелинейном уравнении в частных производных, встречающемся в теории фильтрации // ДАН СССР. { 1948. {Т. 63. { Є 6. { С. 623{626.
2. Качан М.В., Пименов С.Ф., Сущий С.М., Энтель М.Б. О некоторых автомодельных решениях
уравнения Лейбензона // Механика жидкости и газа. { 1991. { Є 5. { С. 145{150.
3. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой
среде // ПММ. { 1952. { Т. 16. { Є 1. { С. 67{78.
4. Эскин Л.Д. К задаче П.Я. Полубариновой-Кочиной об опорожнении бассейна // Изв. вузов.
Математика. { 2004. { Є 9. { С. 73{84.
5. Gilding B.H., Peletier L.A. On a class of similarity solutions of the porous media equation // J.
Math. Anal. and Appl. { 1976. { V. 55. { P. 351{364.
6. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением
в задачах для квазилинейных параболических уравнений. { М.: Наука, 1987. { 479 с.
7. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических
систем на плоскости. { М.: Наука, 1990. { 488 с.
8. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1979.{ 253 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. { М.: Физматгиз, 1962. { 1100 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
20.04.2005
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
217 Кб
Теги
бассейн, обобщение, опорожнении, одной, кочиной, задачи, полубариновой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа