close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном семействе аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (497)
УДК 514.752
А.В. ЛОБОДА, А.С. ХОДАРЕВ
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ АФФИННО-ОДНОРОДНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ 3-МЕРНОГО КОМПЛЕКСНОГО
ПРОСТРАНСТВА
Введение
Во многих разделах современной математики возникают задачи, связанные с описанием многообразий, однородных относительно действий различных групп преобразований. Простейшей
из таких задач можно считать описание плоских кривых, однородных относительно аффинных преобразований плоскости. Решение этой задачи, а также список аффинно-однородных
пространственных кривых давно известны [1]. При этом полный список аффинно-однородных
поверхностей трехмерного вещественного пространства был получен лишь недавно в [2].
В аналогичной проблеме описания вещественных гиперповерхностей комплексных пространств, являющихся орбитами тех или иных групп преобразований (аффинных, голоморфных,
дробно-линейных), пока получены лишь некоторые частные решения [3]{[5].
В соответствии с серией работ [4]{[11] задачу описания однородных подмногообразий различных пространств удобно решать, используя канонические (нормальные) уравнения таких многообразий. Например, уравнение вещественно-аналитической гиперповерхности M пространства
C 3 , строго псевдо-выпуклой в некоторой своей точке, можно привести комплексными линейными преобразованиями к виду
X
(1)
v = (jz1 j2 + jz2j2 ) + (1 z12 + 2 z22 ) + (1 z12 + 2 z22 ) + Fk (z; z; u):
k3
Здесь z1 , z2 , w | координаты в 3-мерном комплексном пространстве, u = Re w, v = Im w; Fk |
однородный многочлен суммарной степени k по z , z ; 1 и 2 | вещественные неотрицательные
числа.
Опираясь на уравнения вида (1), мы изучаем аффинную однородность вещественных гиперповерхностей в пространстве C 3 .
Везде ниже будем рассматривать только жесткие поверхности, уравнения (1) для которых
свободны от вещественной переменной u = Re w. К аффинно-однородным поверхностям такого
типа относятся, например, трубчатые поверхности (трубки) вида
M = ; + iR3
с однородными относительно вещественных аффинных преобразований основаниями ; R3 .
При этом для всех трубок, как нетрудно убедиться, коэффициенты 1 , 2 равны 1=2.
Отметим, что за счет несложных возмущений трубчатых многообразий можно построить
большое семейство аффинно-однородных поверхностей, в нормальном уравнении (1) для которых лишь один из двух коэффициентов 1 , 2 равен 1=2.
Работа выполнена при поддержке программы Министерства образования Российской Федерации \Университеты России | фундаментальные исследования" (проект Є 04-01-41) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00594).
38
В данной статье рассматривается случай 2 = 0 < 1 6= 1=2 и изучаются аффиннооднородные поверхности с дискретными группами изотропии. С учетом описания [11] групп,
включающих дискретные группы, получаем явный полный список аффинно-однородных поверхностей с представлениями вида
v = (jz j + jz j ) + (z + z ) +
1
2
2
2
2
1
2
1
X
k3
Fk (z; z ); 6= 1=2:
(2)
1. Алгебры векторных полей на однородных поверхностях
Рассмотрим вещественно-аналитическую гиперповерхность M 2 C 3 , заданную вблизи начала
координат уравнением
(z; z ) = ;v + F (z; z ) = ;v + (jz1 j2 + jz2 j2 ) + (z12 + z 21 ) +
X
k3
Fk (z; z ) = 0:
Аффинная однородность M понимается как существование в группе A (3; C ) аффинных преобразований 3-мерного комплексного пространства некоторой (локальной) подгруппы Ли G(M ),
транзитивно действующей на поверхности M .
От группы Ли переходим к инфинитезимальным преобразованиям поверхности, рассматриваемой вблизи начала координат. В современной терминологии это означает рассмотрение алгебры векторных полей (касательных к многообразию), соответствующей группе G(M ). Из однородности поверхности M вытекает наличие большой (как минимум 5-мерной) алгебры таких
полей на M .
В силу линейного характера используемых аффинных преобразований соответствующие векторные поля также являются линейными. Каждое из них можно представить в виде
Z = (A z + A z + A w + p )@z1 + (B z + B z + B w + p )@z2 +
+ (C z + C z + C w + q)@w ; (3)
где Ak , Bk , Ck , p , p , q | комплексные константы.
1 1
2 2
3
1
1 1
2 2
3
2
1 1
1
2 2
3
2
Имея линейное векторное поле на однородной вещественной поверхности, можно рассмотреть
тождество
RefZ ()gjM 0;
(4)
означающее факт касания этим полем поверхности M .
Определяя вес монома z1k z2l z s1 z t2 um как сумму k + l + s + t +2m, рассмотрим компоненты весов
0, 1, 2, 3 тождества (4). Соответствующие уравнения имеют вид
вес 0 : Refq 2i g 0;
вес 1 : Refp1 (z 1 + 2z1 ) + p2 z 2 + (C1 z1 + C2 z2 ) 2i g 0;
вес 2 : Ref(A1 z1 + A2 z2 )(F2 )z1 + p1 (F3 )z1 +
+ (B1 z1 + B2 z2 )(F2 )z2 + p2 (F3 )z2 + C3 (u + iF2 ) 2i g 0;
вес 3 : Ref(A1 z1 + A2 z2 )(F3 )z1 + A3 (u + iF2 )(F2 )z1 + p1 (F4 )z1 +
+ (B1 z1 + B2 z2 )(F3 )z2 + B3 (u + iF2 )(F2 )z2 + p2 (F4 )z2 +
+ (;C3 =2)F3 g 0:
(5)
(6)
(7)
(8)
Из самого простого тождества (5) сразу следует, что q 2 R, а из (6) выводятся два равенства:
C = 2i(p + 2 p ); C = 2ip :
1
1
1 1
39
2
2
Для получения более точной информации об однородных поверхностях естественно использовать алгебраическую структуру множества линейных векторных полей вида (3), касательных
к изучаемой поверхности. Запишем всякое такое поле в виде квадратной матрицы 4-го порядка
0A A A p 1
BB B B p CC ;
Z=B
@C C C q A
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
0
0
0
0
обозначив ее той же буквой Z , что и само поле. Тогда множество матриц, соответствующих
линейным полям на аффинно-однородной поверхности M , образует алгебру Ли относительно
обычной матричной скобки
[Z1 ; Z2 ] = Z1 Z2 ; Z2 Z1 :
Исходя из этих соображений с учетом изучения компонент второго и третьего веса основного
тождества (4), приходим к следующему результату.
Теорема 1. Алгебра векторных полей на однородной поверхности вида (2) имеет одно из
пяти нижеследующих матричных представлений :
g1
где 0 < 6= 1=2;
0
B
=B
@
0
1
0
+
i2
2 1
2i(p1 + 2p1 ) 2ip2
0
0
1
2 1
0 ( s ; 2s)p
B
(
s ; 2s)p
=B
@ 1
g2
; sp
1
1
B
2i(p + 2p ) 2ip
1
1
2
2
1
0
2
0
2
0 p1 1
0 p2 C
C
1 q A ;
0 0
0
0
1
(
sp
+ sp1 )
1
0
(9)
p1
pC
C
q A;
1
0
где 0 < 6= 1=2, s 2 R или s 2 iR, B2 = ( 21 s ; s)p1 + ( 21 s ; s)p1 + i2 ;
0 ( s ; 2s)p
B
0
B
=@
1
g3
1
(sp1 + sp1 ) + i2
2ip2
0
1
2
2i(p1 + 2p1 )
0
где 0 < 6= 1=2, s 2 C ;
0( ; 2)p ; p + p
B
;
2
p
;
p
B
=@
1
2
g4
0
1
2
1
1
1
1
2
1
2i(p1 + 2p1 )
0
1 p1
p2
1
2ip2
0
g5
0
A
B
(;2p ; p ) + (2 ; )p
=B
@
1
1
1
1
2i(p1 + 2p1 )
0
1
0
0
1
(p2 + p2 )
0
40
(p1 + p2 )
1
2
p1
pC
C
q A;
0
0
1
(
sp
1 + sp1 )
0
где 2 R+ ; 2 (2 ; 1) = 4;
B
2
2ip2
0
(10)
2
1
2
0
p1
pC
C
q A;
(11)
1
2
0
0 p1 1
0 p2 C
C
C3 q A ;
0 0
(12)
(13)
где 2 R+ , 2 (2 ; 1) = 1;
1
A1 = ; 2 + p1 ; 2 p1 + 1 (2p2 + p2 );
B = 2 ; 2 p ; 1 p + 1 p + 2 p ;
C = 3 (; (p + p ) + p + p ):
2
3
1
1
1
2
1
2
2
2
Во всех алгебрах (9){(13) имеются свободные параметры p1 , p2 , q, которые
отвечают за сдвиг вдоль поверхности. Две последние алгебры из нашего списка содержат только
эти параметры и являются 5-мерными. Алгебра (9) является 7-мерной и содержит, кроме набора
p; p, q, еще два вещественных параметра 1 , 2 . Формулы (10), (11) содержат по 6 вещественных
параметров.
При доказательстве теоремы 1 естественно выделить следующий относительно простой случай.
Предложение 1. Если в уравнении (2) однородной поверхности M многочлен F3 (z; z ) тождественно равен нулю, то M есть квадрика
v = (jz1 j2 + jz2 j2 ) + 1(z12 + z 21 );
а алгебра векторных полей на ней имеет вид (9).
В остальных случаях при изучении равенств (7), (8) приходится подробно рассматривать
многочлены F3 и F4 . Например, пусть ненулевой многочлен F3 имеет разложение
F3 = F30 + F21 + F12 + F03 ;
где
F30 =h30z13 + h21 z12z2 + h12 z1 z22 + h03 z23 ;
F21 =(g20 z12 + g11 z1 z2 + g02 z22)z 1 + (f20 z12 + f11 z1 z2 + f02 z22 )z 2 :
Из вещественности функции F3 следует, что F12 и F03 комплексно сопряжены многочленам
F21 и F30 соответственно. Тогда весь многочлен F3 определяется десятью коэффициентами: h30 ,
h21 , h12 , h03, g20 , g11 , g02 , f20, f11 , f02.
Из тождества веса 2 выводятся равенства
h12 = h03 = g02 = f02 = 0; h30 = 31 (4g20 ; g20 ); h21 = 2g11 ; f 20
и доказывается, что все коэффициенты поля Z на M выражаются линейно через p, p, q и еще
два параметра, аналогичных 1 , 2 из (9). Но при F3 (z; z ) 6= 0 эти параметры не могут быть
одновременно свободными. В тождестве (8) веса 3 либо один из них, либо оба выражаются
через набор p, p, q.
В дальнейших обсуждениях важную роль играет набор коэффициентов (h21 ; g11 ; f20 ). При
этом оказывается справедливым
Предложение 2. Для всех однородных поверхностей вида (2) выполняется равенство
g11 = 0:
Если коэффициент f20 не равен нулю, то растяжением переменных z1 , z2 его можно превратить в единицу. Поэтому изучим случаи f20 = 0 и f20 = 1.
Предложение 3. Если f20 = 0 для однородной поверхности (2), то f11 (f11 ; 2g20 ) = 0. При
этом равенства f20 = 0, f11 = 0 дают матричное представление поля Z в виде (10), а при
f20 = 0, f11 6= 0 все поля на M имеют представление (11).
Замечание.
41
Вычисление коммутатора [Z1 ; Z2 ] = Z1 Z2 ; Z2 Z1 двух матриц вида (10) или (11) показывает,
что множества матриц такого вида образуют 6-мерные алгебры.
Завершает доказательство теоремы 1
Предложение 4.
Если f20 = 1 для однородной поверхности (2), то
f (f + 2g ) = 0:
11
11
20
При этом равенства f20 = 1, f11 = 0 дают матричное представление поля Z в виде (12), а
при f20 = 1, f11 6= 0 все поля на M имеют представление (13).
Несложные матричные алгебры можно проинтегрировать посредством вычисления матричных экспонент и переходом к соответствующим матричным группам Ли. Однородная поверхность является при этом орбитой какой-либо точки под действием получаемой
группы. Такой подход реализован в работе [10]. Для рутинных вычислений в ней использован
пакет MAPLE.
В нашей ситуации вычисление экспонент для относительно просто устроенных алгебр (10)
и (11) дает семейства однородных поверхностей
Замечание.
(1 + v)t = j1 + z1 j2 jz2 j2 ; t 2 R n f0; 1; 2g;
и
v = jz j + ((1 + z )A (1 + z )A ; 1); A 2 C ;
2
2
1
1
соответственно.
Более сложные алгебры (12) и (13) будем далее называть алгебрами типов (A) и (B) соответственно. Их интегрирование основано не на вычислении матричных экспонент, а на решении
систем уравнений в частных производных.
Теорема 2. Однородная поверхность M , имеющая алгебру линейных векторных полей типа (A), задается (с точностью до линейных преобразований) уравнением
v = (jz j ; jz j ) jz + z j
1
2
2
2
1
2
;) ;
2(1
< 0:
Однородная поверхность M , имеющая алгебру линейных векторных полей типа (B), задается (c точностью до линейных преобразований) уравнением одного из двух видов:
Теорема 3.
(B1) : v = P3 (x; y) + E jP2 (x; y)j3=2 ; 6= 1;
или
(B2) : v = P1 4;(x;2xy) ; = 1:
1
Здесь константа E и многочлены P2 (x; y), P3 (x; y), P4 (x; y) от переменных x1 ; y1 , x2 , y2
однозначно определяются значением параметра .
Подробные доказательства теорем 2 и 3, а также точные выражения для E , P2 (x; y), P3 (x; y),
P4 (x; y) будут выписаны в следующих двух параграфах статьи. Здесь же сформулируем утверждение, вытекающее из них в качестве следствия.
42
Аффинно-однородная вещественная гиперповерхность M в C 3 , допускающая
представление (2), аффинно эквивалентна одной из поверхностей следующего вида :
v = (jz1 j2 + jz2 j2 ) + (z12 + z 21 );
v = jz2 j2 + ((1 + z1 )A (1 + z1 )A ; 1); A 2 C ;
(1 + v)t = j1 + z1 j2 jz2 j2 ; t 2 R n f0; 1; 2g;
v = (jz1 j2 ; jz2 j2 ) jz1 + z2 j2(1;) ; < 0;
v = P3 (x; y) + E jP2 (x; y)j3=2 ; 6= 1;
v = P1 4;(x;2xy) ; = 1:
1
Теорема 4.
2. Интегрирование алгебр типа (A)
Рассмотрим алгебру (A) линейных векторных полей в C 3 . Полагая набор параметров (p1 ; p2 ; q)
равным (1; 0; 0), (i; 0; 0), (0; 1; 0), (0; i; 0), (0; 0; 1), получим пять базисных полей этой алгебры
Z = ;2z + 1 z + 1 @ ; 1 + 2 @ + 2i(1 + 2)z @ ;
1
(1 ; 2)
1
z1
2
z2
1
w
1
1 ; 2
z + z + 1 @z1 + i z @z2 + 2(1 ; 2)z @w ;
Z = 1 z @z1 + 1 z + 1 @z2 + 2(iz + 1 w)@w ;
1
1
Z = i z @z1 + i z + 1 @z2 + 2z @w ;
Z = @w :
Z =i
2
3
4
1
1
1
2
1
2
2
2
1
(14)
2
5
Для каждого из таких полей справедливо тождество (4), т. е.
Re (Zk ())jM 0;
где = (z; z; u; v) = ;v + F (z; z ) | определяющая функция поверхности M .
Ясно, что для такой функции w = i=2, а равенство (4) для поля Z5 выполняется автоматически. Далее будем действовать только с четырьмя содержательными уравнениями (4),
соответствующими полям Z1 , Z2 , Z3 , Z4 из (14).
Складывая эти равенства попарно первое со вторым, а третье с четвертым и используя
очевидные тождества
a = Re a ; i Re(ia); a = Re a + i Re(ia);
получим
Предложение 5. Система четырех уравнений Re(Zk ())jM = 0 для полей Zk , k = 1; 4, из
(14) равносильна системе двух комплексных уравнений
z1 Fz1 + (z2 + )Fz2 = F + z2 ;
(15)
1
z1 Fz2 = Re 1 + 2 (;2z1 + z2 + )Fz1 +
i
+ i Re 1 ; 2 ((1 ; 2)z1 + z2 + )Fz1 ; z1 :
(16)
Для упрощения уравнений (15), (16) положим
H = F + (z2 + z 2 + 2 )
43
и введем следующие обозначения:
= 2 ; = 1 +2 ; = 2(1 + 2) ;
l = z ; (z + ); l = z ; (z + ); l = (z + ):
Отметим здесь, что при любых ; справедливо равенство = ; , а в силу условиясвязки (2 ; 1) = 4, означающего, в частности, что > 1=2, справедливо и неравенство
> .
Учитывая также вещественность функций F (z; z ), H (z; z ) и вытекающее отсюда равенство
Fz1 = Fz1 ;
1
1
1
1
2
3
2
2
1
2
2
3
3
2
2
3
2
1
2
3
перепишем уравнения (15), (16) в виде системы
z1 Hz1 + (z2 + )Hz2 = H;
(17)
z1 Hz2 = (;(1 + 2)z1 + 1 2 (z2 + ))Hz1 + 3(z1 ; 1 z2 )Hz1 :
Домножим второе из полученных уравнений на (z2 + ) и результат вычтем из первого
уравнения (17), умноженного на z1 . Так придем к системе
z1 Hz1 + (z2 + )Hz2 = H;
(18)
l1l2 Hz1 + l3 l1 Hz1 = z1 H:
Заметим, что системы (17) и (18) эквивалентны при > 0 и малых z2 , т. к. при этих условиях
сумма (z2 +) отлична от нуля. Если, кроме того, и z1 близко к нулю, то справедливо неравенство
jl2 j2 ; jl3 j2 6= 0:
Предложение 6. Для вещественной функции H (z; z ) второе уравнение системы (18) равносильно при малых z1 , z2 уравнению
Hz1 = l (zjll j ;;zjll j ) H:
1 2
1
2
(19)
1 3
2
3
2
Для доказательства этого предложения заметим, что обсуждаемое уравнение имеет в краткой форме вид a + b = c: Отсюда легко получить выражение для = Hz1 через a, b, c и
вывести (с учетом вещественности H (z; z )) формулу, имеющую вид (19).
Обратимся теперь к системе
z1 Hz1 + (z2 + )Hz2 = H;
(20)
Hz1 = l (zjll j ;;zjll j ) H:
1 2
1
вид
Предложение 7.
2
1 3
2
3
2
Любое аналитическое решение первого из уравнений системы (20) имеет
H = (z + )g z z+ ;
(21)
1
2
2
где g(t) | произвольная аналитическая функция одного аргумента.
Действительно, два первых интеграла системы
dz = dz = dH ;
z
z + H
z =C ; H =C :
z +
z +
1
имеют вид
1
1
2
2
2
1
2
44
2
Поэтому решение H исходного уравнения в частных производных удовлетворяет равенству
H = g z ;
z +
z +
1
2
2
т. е. совпадает с (21).
Подставим (21) во второе уравнение сиcтемы (20) и положим
t = z z+1 :
2
Таким образом, получается уравнение
g0 (t) = (z l l;(zjl lj )(;z jl+j ) )g(t)
или после деления на (z + ) (z + ) числителя и знаменателя правой части
g0 (t) = (t ; At)(+AtB; C ) g(t);
1 2
1 3
1
2
2
2
2
2
2
3
2
1
где
(22)
A = t ; ; B = ; t; C = + A :
2
Предложение 8.
2
3
3
2
Решение уравнения (22) имеет вид
g(t) = 2 ln(t ; 1 ) + 1 ; 22 ln(At ; C ) + D;
;
1
;
2
1
2
где D | произвольная константа.
Доказательство этой формулы связано с чисто техническими процедурами при выражении
одних констант через другие в процессе вычисления интеграла от рациональной функции.
Замечание. С учетом введенных выше обозначений выражение
At ; C = At ; (23 + A2 ) = A(t ; 2 ) ; 23 = jt ; 2 j2 ; 23
является вещественным.
Вводя еще одно обозначение
= 1 ;;22
1
2
и учитывая предложение 7, получаем решение системы (20) в виде
; z
; eD :
H (z; z ) = (z + ) z z+ ; ;
z +
1
1
2
1
2
2
1
2
3
2
2
Заметим, что систему (20) можно решить лишь с точностью до множителя '(z ) = '(z 1 ; z 2 ).
Тогда требование вещественности H (z; z ) означает, что множитель eD превращает комплексное
выражение
1;
(z2 + ) z z+1 ; 1
2
в вещественное. Следовательно,
;
eD = (z + ) z z+ ; r;
1
1
2
1
2
где r | вещественная константа. Тогда
H (z; z ) = r jz + j z z+ ; 2
2(1
1
2
1
2
45
z ; ; z +
;) 1
2
2
2
2
3
или
H = r jz ; (z + )j
1
1
2(1
2
;) ;jz1 ; 2 (z2 + )j2 ; 2 jz2 + j2 :
3
С точностью до линейных замен координат получаем в силу этого уравнение поверхности
;) ;jz
v = jz + z j
1
2
2(1
1
j ; jz j :
2
2
(23)
2
Для проверки аффинной однородности такой поверхности достаточно заметить, что пара
эрмитовых форм (H1 ; H2 ), где
H = jz j ; jz j ; H = jz + z j ;
1
1
2
2
2
2
1
2
2
сохраняется с точностью до умножения их на некоторые константы (c1 ; c2 ) 4-мерной группой
преобразований
z i
z ! e
1
2
! z
p
1 + t2 + is p t + is
t ; is
1 + t2 ; is
z ;
1
2
(24)
где (s; t; ; ) 2 R4 . При этом действие группы (24) в пространстве C 2 является транзитивным
вблизи точки (z1 ; z2 ) = (;2 ; ;3 ).
Дополняя эти преобразования сдвигами в направлении оси u, получаем 5-мерную группу
аффинных преобразований пространства C 3 , транзитивно действующую на многообразии (23).
Из тех же соображений следует аффинная однородность поверхностей, задаваемых уравнениями
;
v = jz1 + z2 j jz1 j2 ; jz2 j2 с произвольными вещественными показателями и .
Замечание.
3. Интегрирование алгебр типа (B)
Базисные поля Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , Z5 алгебры (13), соответствующие наборам (p1 ; p2 ; q) вида
(1; 0; 0), (i; 0; 0), (0; 1; 0), (0; i; 0), (0; 0; 1), имеют достаточно сложный вид. Перейдем от этих полей
к новому базису
Z1 + Z2 ; Z2 + Z4 ; Z3 ; Z4 ; Z5
изучаемой алгебры, сохраняя для него старые обозначения.
С учетом формулы-связки (2 ; 1) 2 = 1 систему уравнений
Re(Zk ())jM = 0; k = 1; 4;
можно тогда записать в виде
;
Re (;2z1 + 2 2 z2 + 1)Fz1 + (;2z1 + 2z2 + )Fz2 ;
; Re((1 + 2)z1 + z2 ) = 0;
Re (iz1 Fz1 + iFz2 ) + Re i(; 1 z1 + z2 ) = 0;
;
Re (3z1 + 2 z2 )Fz1 + (z1 + 3z2 + )Fz2 +
+ Re(;z2 + 3i (u + iF )) = 0;
Re (i (z1 ; z2 )Fz1 + (iz1 ; iz2 + i )Fz2 ) + Re(iz2 ) = 0:
На следующем этапе сделаем замену переменных.
46
(25)
Предложение 9.
При замене переменных
= z ; z ; = z + z
1
1
2
2
система уравнений (25) примет вид
;
1
2
Re (1 ; 2 )F1 + (2 2 ; 41 )F2 = Re 1 + (1 + ) Re 2 ;
Re (2iF ) = ; 1 Im ;
2
(26)
1
Re ( (21 ; )F1 + (42 + )F2 ) = 3F + 2 Re(;1 + 2 );
;
Re ;i 2 F1 + i (21 + 2 )F2 = 2 Im(;1 + 2 ):
Для дальнейшего упрощения системы (26) заметим, что здесь, в отличие от интегрирования
алгебр типа (A), удобно перейти к вещественным координатам. Полагая
k = Re k ; k = Im k ; k = 1; 2;
получаем в качестве следствия из предложения 9 следующую систему уравнений в частных
производных:
(1 ; 2 )F1 + (2 2 ; 41 )F2 ; 41 F2 = 21 + 2(1 + )2 ;
F =; 1 ;
2
2
(27)
1
(21 ; 2 )F1 + 21 F1 + (42 + 2 )F2 +
+42 F2 = 6F + (;1 + 2 );
2
F1 + 21 F2 ; (21 + 2 )F2 = (1 ; 2 ):
Самое простое уравнение этой системы имеет решение
F (1 ; 1 ; 2; 2 ) = ; 12 1 2 + H (1 ; 2 ; 1 );
где H (1 ; 2 ; 1 ) | произвольная аналитическая функция от трех вещественных переменных.
Подставляя эту формулу в три оставшиеся уравнения системы (27), получим ее сокращенный
вариант
(1 ; 2 )H + (2 2 ; 4 )H = 2 + 2(1 + ) ; 4 2 ;
1
2
(2 ; )H1 + 2 H1 + (4 + )H2 = 6H + (; + );
H1 + 2 H2 = ; 2 ;
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
(28)
1 1
содержащий три уравнения относительно производных функции H по переменным 1 , 2 , 1 .
Для дальнейшего упрощения полученной системы удобно еще раз произвести замену переменных.
Предложение 10.
При замене переменных
t = ; t = ; ; t = 1
1
2
2
1
47
2
3
1
система уравнений (28) примет вид
2 (1 + )t + 2 1 ; t2 ;
(1 ; 2 )Ht1 ; 2 2 ( ; 2t1 )Ht2 = 2t1 ; 2
3
(2t1 ; 2 )Ht1 + (4t2 ; 2 3 )Ht2 + 2t3 Ht3 = 6H ; t1 + 1 (t3 ; t2 );
2 H = ; 2 t t :
t3
1 3
(29)
Решением последнего уравнения этой системы является
H = ; t1 t23 + g(t1 ; t2 );
где g(t1 ; t2 ) | произвольная аналитическая функция двух переменных.
Подставляя эту формулу в остальные уравнения системы (29), получим систему двух уравнений относительно производных функции g по переменным t1 , t2
(1 ; 2 )g + 2 2 (2t ; )g = 2t ; 2 (1 + )t ;
(30)
t1
t2
1
1
2
(2t1 ; 2 )gt1 + (4t2 ; 2 3 )gt2 = 6g ; (t1 + t2 ):
(31)
В зависимости от значения параметра (и связанного с ним ) при рассмотрении системы
(30), (31) естественно выделить два случая.
1. В случае 2 = 1 ( = 1) существенно упрощается уравнение (30). Его решение имеет вид
t + '(t );
g(t ; t ) = t2tt ;
;1
1
2
2
1 2
2
1
1
где '(t1 ) | произвольная аналитическая функция одного аргумента. Тогда из (31) получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение
2(t1 ; t21 )
(2t1 ; 1)'0 (t1 ) ; 6'(t1 ) = (2
t1 ; 1)2
относительно функции '(t1 ). Решая это уравнение и возвращаясь к переменным ; , получаем
уравнение искомой однородной поверхности в виде
2
2 2
2
2
2
2
2
v = (1 + 1 ) ; 21 (1 +11;) 2; 22 1 + 1 + 1 2 + 2 :
1
2
2. В случае 6= 1 ( 6= 1) начнем изучение системы (30), (31) с ее второго уравнения.
Предложение 11. Решение уравнения (31) имеет вид
A2 ;
g(t1 ; t2) = 12 + 4 (t1 ; A) + 21 2 (t2 ; A2 ) + (t1 ; A)3 ' (tt2 ;
(32)
2
1 ; A)
где A = =2, ' | произвольная аналитическая функция одного вещественного переменного.
Для доказательства разделим уравнение (31) на 2 и запишем в виде
@g + 2(t ; A2 ) @g = 3g ; (Bt + Dt );
(t1 ; A) @t
2
1
2
@t
1
2
где B = =(2 ), D = 1=(2 ). Соответствующая этому уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид
2
dt
dt
dg
t ; A = 2(t ; A ) = 3g ; (Bt + Dt ) :
1
1
2
2
2
1
48
2
Два независимых первых интеграла этой системы
; A2 ; C = g ; N=3 ; (B=2)(t1 ; A) ; D(t1 ; A)2 ;
C1 = (tt2 ;
2
A)2
(t1 ; A)3
1
где N = DA2 + BA = 32 =8, приводят к формуле (32).
После подстановки (32) в уравнение (30) получим для функции '(s) обыкновенное дифференциальное уравнение
(s ; )'0 (s) = 32 ' + s;
(33)
где
+ 2 ; = 1 + 3 2 :
= 11 ;
2
(1 ; 4 )
Заметим, что введенный параметр может принимать значения (в зависимости от или,
что то же самое, от ) из объединения интервалов (;1; ;1) [ (1; 1). Переменная же
A
s = (tt ;
; A)
2
1
2
2
близка при малых t1 , t2 к ;1. Поэтому, интегрируя уравнение (33), получаем
'(s) = E js ; j3=2 ; 2s + 43 ;
(34)
где модуль раскрывается по-разному в зависимости от значения .
Подставляя (34) в (32) и учитывая предыдущие интегрирования, получаем окончательно
уравнение
4
1
2 2
+ 3 2 ) 3 ;
2
v = 34(1
(1 ; 2 )2 1 (1 ; 2) 11 ; 2 1 2 + 1 ; 2 1 ;
2
; 2(1(1;+32)2 ) 12 + 21;;12 12 + (1 ; 2 ) ; 6 2 2 +
2 ; 2 + 2A( ; ) ; ( + 1)A2 3=2
+ 3 (1 ; 216
1
2
1
1
2
3
=
2
) j + 1j
однородной поверхности M .
Напомним, что все коэффициенты в этой формуле, т. е. , , , A однозначно выражаются
через один параметр или .
Литература
1. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. { М.: Физматлит,
1959. { 320 c.
2. Doubrov B., Komrakov B., Rabinovich M. Homogeneous surfaces in the 3-dimensional ane
geometry // Prepr. Ser. Pure Math. / Inst. Math. Univ. { Oslo, 1995. { Є 4. { P. 1{26.
3. Cartan E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes // Ann.
Math. Pura Appl. { 1932. { V. 11. { Є 4. { P. 17{90 (Oeuvres II, 2, 1231{1304).
4. Лобода А.В. О размерности группы, транзитивно действующей на гиперповерхности в C 3
// Функц. анализ и его прилож. { 1999. { Т. 33. { Вып. 1. { C. 68{71.
5. Лобода А.В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в C 3 с двумерными
группами изотропии // Матем. сб. { 2001. { Т. 192. { Є 12. { С. 3{24.
6. Chern S.S., Moser J.K. Real hypersurfaces in complex manifolds // Acta Math. { 1974. { V. 133.
{ Є 3. { P. 219{271.
7. Белошапка В.К. Однородные гиперповерхности в C 2 // Матем. заметки. { 1996. { Т. 60. {
Є 5. { С. 760{764.
49
8. Stanton N.K. Innitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces // Amer. J. Math. { 1995.
{ V. 117. { Є 1. { P. 141{167.
9. Гузеев Р.Н., Лобода А.В. О нормальных уравнениях аффинно-однородных выпуклых поверхностей пространства R3 // Изв. вузов. Математика. { 2001. { Є 3. { С. 25{32.
10. Eastwood M., Ezhov V.V. On ane normal forms and a classication of homogeneous surfaces
in ane three-space // Geom. dedic. { 1999. { V. 77. { P. 11{69.
11. Лобода А.В., Бугаева Ж.А., Ходарев А.С. О линейной однородности жестких вещественных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства // Тез. докл. школысеминара по геометрии и анализу, посвящ. 90-летию Ефимова Н.В. { Абрау-Дюрсо, 2000. {
С. 131{133.
Воронежский государственный
архитектурно-строительный
университет
Поступили
первый вариант 28:06:2001
окончательный вариант 05:02:2003
50
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа