close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.

код для вставкиСкачать
УДК 517. 937
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.И. Фомин
Кафедра «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ»
Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым
Ключевые слова и фразы: банахово пространство; оператор-функция;
операторный дискриминант; полугруппа; производящий оператор полугруппы;
резольвента; характеристический оператор.
Аннотация: Найдены двухпараметрические семейства решений уравнения
из заголовка статьи в случае, когда операторный дискриминант позитивен или
равен нулю.
В банаховом пространстве E изучается уравнение
u ′′(t ) + Bu ′(t ) + Cu (t ) = f (t ) , 0 ≤ t < ∞ ,
(1)
где f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) ; B, C ∈ N ( E ); N ( E ) – множество замкнутых неограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е, с плотными в Е областями определения.
Рассмотрим операторный дискриминант Д = B 2 − 4C .
Заметим, что D (Д) = D( B 2 ) ∩ D (C ) . Пусть
1) Д = F 2 , где F – некоторый оператор из N(E);
2) характеристические операторы Λ1,2 = (1/ 2)( − B m F ) являются производящими операторами полугрупп U1 (t ) и U 2 (t ) класса C0 ;
3)
BFx = FBx ,
x ∈ D(Λ 2 ) ,
где
D (Λ 2 )::=D (Λ12 ) = D (Λ 22 ) = D(Λ1Λ 2 ) =
= D(Λ 2 Λ1 ) = D( B 2 ) ∩ D (C ) ∩ D( BF ) ∩ D ( FB);
4) f (t ) ∈ D(Λ 2 ) при каждом t ∈ [0, ∞ ) ;
5) Bf (t ), Ff (t ), B 2 f (t ), BFf (t ), Cf (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) .
Теорема 1. При выполнении условий 1) – 5) уравнение (1) имеет двухпараметрическое семейство дважды непрерывно дифференцируемых решений вида
t − s

 U 2 (t − s − τ)U1 (τ) f ( s )d τ  ds,
 0

(2)
t
t
∫
∫ ∫
0
0
u (t ) = U1 (t ) x1 + U 2 (t − τ)U1 (τ)( x2 − Λ1 x1 )d τ +
где x1, x2 – параметры; x1 ∈ D1 , x2 ∈ D( Λ 2 );
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
529
D1 = D ( B 2 ) ∩ D ( BC ) ∩ D ( BF ) ∩ D( FB ) ∩ D( FC ) .
Перед доказательством теоремы 1 сделаем несколько замечаний, которые
понадобятся нам в дальнейшем.
В силу условия 3) справедливы соотношения
( Λ 2k + BΛk + C ) x = 0 , x ∈ D ( Λ2 ) ; k = 1, 2 ;
Λ1Λ 2 x = Λ 2 Λ1 x = Cx , x ∈ D ( Λ 2 ) ;
( Λ1 + Λ2 ) x = − Bx ,
x ∈ D(Λ ) ,
(3)
(4)
(5)
где D ( Λ ) :: = D(Λ1 ) = D(Λ 2 ) = D( B) ∩ D( F ) .
В силу условия 2) имеем при k = 1, 2 [1, c.17]
U k (0) = I ,
U k (t ) x ∈ D (Λ ), t ∈ [0, ∞) ; U k′ (t ) x = Λ k U k (t ) x = U k (t )Λ k x, ∀x ∈ D(Λ) ,
(6)
(7)
кроме того, D ( Λ ) = E и операторы Λ1 , Λ 2 замкнуты.
В силу условий 3) – 5) справедливо включение FBf (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) и из условия 5) следует, что
Λip Λ qj f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) ;
1 ≤ i, j ≤ 2; 0 ≤ p, q ≤ 2; 1 ≤ p + q ≤ 2
(8)
(по определению, Λ 0k = I , k = 1, 2) .
Пусть Φ = Φ ([0, ∞) ; L( E ) ) – множество оператор-функций A(t ) действи-
тельного переменного t ∈ [0, ∞ ) со значениями в L( E ) , где L( E ) – пространство
линейных ограниченных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим семейство сильно непрерывных по t ∈ [0, ∞ ) на пространстве E функций:
Φ 0E = { A(t ) ∈ Φ | A(t ) x ∈ C ([0, ∞); E ) при каждом x ∈ E} .
В силу условия 2) справедливо включение
U k (t ) ∈ Φ 0E ; k = 1, 2 .
(9)
Ниже неоднократно будет использован без дополнительных оговорок следующий
факт: если A(t ) ∈ Φ 0E , g (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) , то A(t ) g (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) , т.е. композиция сильно непрерывной операторнозначной функции и непрерывной векторнозначной функции является непрерывной функцией [2, c. 21].
Замечание 1. В силу (7), (9) справедливо включение
U k (t ) x ∈ C1 ([0, ∞); E ), ∀x ∈ D ( Λ ), k = 1, 2.
В дальнейшем потребуются частный случай формулы дифференцирования
интеграла по параметру
′
t
 t
 g (τ, t )d τ  = [ g (τ, t )]t′ d τ + g (t , t ),
 0
 0
а также следующие вспомогательные утверждения.
∫
530
∫
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
(10)
Лемма 1. При выполнении условий 1) – 3) справедливо соотношение
Λ 2U1 (t ) y = U1 (t ) Λ 2 y , y ∈ D( Λ ) .
(11)
Доказательство. Покажем вначале, что
Λ 2U1 (t ) x = U1 (t ) Λ 2 x, x ∈ D(Λ 2 ),
(12)
для чего достаточно установить, что
FU1 (t ) x = U1 (t ) Fx, x ∈ D (Λ 2 ) ,
(13)
ибо формула (12) следует из (13) в силу равенства Λ 2 = Λ1 + F и соотношения
(см. (7))
Λ1U1 (t ) x = U1 (t ) Λ1 x, x ∈ D ( Λ ) .
(14)
Покажем справедливость (13). По условию 3) Λ1 является производящим оператором полугруппы U (t ) класса C0 . Известно [2, с. 61], что производящий оператор полугруппы класса C0 для всех λ с достаточно большой вещественной частью имеет резольвенту и справедливо представление
U1 (t ) y = −
1
2πi
σ+ i∞
∫
σ−i∞
eλt RΛ1 (λ ) yd λ, y ∈ D ( Λ ),
(15)
где RΛ (λ) = (Λ1 − λI )−1. Если y ∈ D ( Λ ) , то в силу (7) U1 (t ) y ∈ D(Λ) , следова1
тельно, U1 (t ) y ∈ D( F ) . Тогда, используя формулу (15) и замкнутость оператора F,
получаем соотношение
FU1 (t ) y = −
1
2πi
σ+i∞
∫
σ−i∞
eλt FRΛ1 (λ) yd λ , y ∈ D (Λ ) .
(16)
Покажем, что
FRΛ1 (λ) y = RΛ1 (λ) Fy , y ∈ D (Λ ).
(17)
Пусть H = Λ1 − λI , тогда H −1 = RΛ1 (λ) . В силу условия 3)
FHx = HFx , x ∈ D(Λ 2 ) .
(18)
Пусть y ∈ D(Λ) = D(Λ1 ) . Тогда H −1 y ∈ D(Λ12 ) = D (Λ 2 ) , ибо RΛ1 (λ)[ D(Λ1 )] = D(Λ12 )
[2, с. 30]. Используя соотношение (18), получаем:
FH −1 y = H −1[( HF ) H −1 y ] = H −1[( FH ) H −1 y ] = H −1[ F ( HH −1 y )] = H −1Fy .
Соотношение (17) установлено. В силу (16), (17)
FU1 (t ) y = −
1
2πi
σ+ i∞
∫
σ−i∞
eλt RΛ1 (λ) Fyd λ , y ∈ D ( Λ ).
(19)
Пусть x ∈ D(Λ ) , тогда x ∈ D ( Λ ) , Fx ∈ D ( Λ ) и в силу (15), (19)
2
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
531
FU1 (t ) x = −
1
2πi
σ+i∞
∫
σ−i∞
eλt RΛ1 (λ ) Fxd λ = U1 (t ) Fx ,
т.е. имеет место равенство (13). Соотношение (12) доказано.
Пусть y ∈ D ( Λ ) . Известно [2, с. 60], что область определения любой положительной степени производящего оператора полугруппы класса C0 плотна в E ,
в частности, D (Λ12 ) = D (Λ 2 ) плотна в E. Следовательно, существует последовательность {xn } ⊂ D( Λ 2 ), такая, что lim xn = y. В силу (12)
n →∞
Λ 2U1 (t ) xn = U1 (t )Λ 2 xn , n ∈ N .
(20)
Учитывая замкнутость оператора Λ 2 , замкнутость U (t ) при каждом t ∈ [0, ∞ )
как ограниченного оператора и тот факт, что для замкнутого оператора знак оператора и знак предела можно менять местами, и переходя в равенстве (20) к пределу при n → ∞ , получаем соотношение (11). Лемма 1 доказана.
В силу равенства B = − F − 2Λ1 и соотношений (13), (14)
BU1 (t ) x = U1 (t ) Bx , x ∈ D(Λ 2 ) ,
(21)
откуда следует в силу плотности D(Λ 2 ) в E и замкнутости операторов B, U1 (t )
соотношение
BU1 (t ) x = U1 (t ) Bx , x ∈ D ( Λ ) .
Аналогично, из равенства (13) следует, что
(22)
FU1 (t ) x = U1 (t ) Fx , x ∈ D ( Λ ) .
(23)
Используя равенство C = (1/ 4)( B 2 − F 2 ) и соотношения (22), (23), приходим
к формуле вида
CU1 (t ) x = U1 (t )Cx , x ∈ D(Λ 2 ) .
(24)
Пусть x ∈ D ( Λ ) , x фиксирован. Рассмотрим функцию действительного переменного t ∈ [0, ∞ ) вида
t
∫
J1 (t , x) = U 2 (t − τ)U1 (τ) xd τ .
0
Лемма 2. При любом фиксированном x ∈ D ( Λ ) справедливы соотношения
J1 (t , x) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(25)
J1′ (t , x) = U1 (t ) x + J1 (t , Λ 2 x) .
(26)
Доказательство. В силу включения (9) подынтегральная функция
g1 (τ, t ) = U 2 (t − τ)U1 (τ) x непрерывна по τ и t. В силу (7) справедливо включение
U1 (τ) x ∈ D(Λ) при каждом τ ∈ [0, t ] и [ g1 (τ, t )]t′ = U 2 (t − τ)Λ 2U1 (τ) x или в силу
(11) [ g1 (τ, t )]t′ = U 2 (t − τ)U1 (τ)Λ 2 x , откуда видно в силу (9), что производная
[ g1 (τ, t )]t′ непрерывна по τ и t. Следовательно, можно применить формулу (10), в
силу которой и соотношения (6)
532
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
t
∫
J1′ (t , x) = U 2 (t − τ)U1 (τ)Λ 2 xd τ + U1 (t ) x = U1 (t ) x + J1 (t , Λ 2 x) ,
0
т.е. получили формулу (26), из которой видно, что справедливо включение (25),
ибо в силу (9) оба слагаемых в правой части последней формулы непрерывны по t.
Лемма 2 доказана.
В силу (7), (11) и замкнутости оператора Λ 2 формулу (26) можно записать в
виде
J1′ (t , x ) = U1 (t ) x + Λ 2 J1 (t , x ) .
Пусть
Ω = {h( s) ∈ C ([0, ∞); E ) h( s) ∈ D(Λ)
(27)
при
каждом
s ∈ [0, ∞ ) ;
Λ k h( s ) ∈ C ([0, ∞); E ), k = 1, 2} . Рассмотрим для фиксированной функции h( s ) ∈ Ω
функции действительного переменного t ∈ [0, ∞ ) вида
t t − s

J 2 (t , h( s)) =  U 2 (t − s − τ)U1 (τ)h( s)d τ  ds ,


0 0
∫ ∫
t
∫
J 3 (t , h( s ) = U1 (t − s ) h( s )ds .
0
Лемма 3. При любой фиксированной функции h( s ) ∈ Ω справедливы соотношения
J 2 (t , h ( s )) , J 3 (t , h( s )) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(28)
J 2′ (t , h( s)) = J 2 (t , Λ 2 h( s)) + J 3 (t , h( s)) ,
(29)
J 3′ (t , h( s)) = J 3 (t , Λ1h( s)) + h(t ) .
(30)
Доказательство. В силу включения (9) и непрерывности функции h( s) подынтегральная функция
t −s
g 21 ( s, t ) =
∫ U 2 (t − s − τ)U1 (τ)h( s)d τ
0
непрерывна по s и t как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. При фиксированном значении s подынтегральная функция
g 22 (τ, t ) = U 2 (t − s − τ)U1 (τ)h( s) непрерывна по τ и t в силу (9).
По условию h( s ) ∈ D ( Λ ) , следовательно, в силу (7) справедливо включение
U1 (τ)h( s ) ∈ D(Λ) и [ g 22 (τ, t )]t′ = U 2 (t − s − τ)Λ 2U1 (τ)h( s) или в силу (11)
[ g 22 ( τ,t )]t′ = U 2 ( t − s − τ ) U1 ( τ ) Λ 2 h ( s ) , откуда видно в силу (9), что производная
[ g 22 ( τ,t )]t′ непрерывна по τ и t . По формуле (10)
[ g 21 ( s, t )]t′ =
t −s
∫ U 2 (t − s − τ)U1 (τ)Λ 2 h(s )d τ + U1 (t − s )h(s),
(31)
0
откуда видно, что производная [ g 21 ( s, t )]t′ непрерывна по s и t как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции, ибо подынтегральная
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
533
функция в формуле (31) непрерывна по s и t в силу включения (9) и непрерывности функции Λ 2 h( s ) . По формуле (10)
t t − s

J 2′ ( t ,h ( s ) ) =  U 2 ( t − s − τ )U1 ( τ ) Λ 2 h( s )d τ +


0 0
∫ ∫
(32)
t
+ U 1( t − s ) h ( s ) ds = J 2 ( t ,Λ 2 h( s ) ) +J 3 ( t ,h( s ) ) ,
∫
0
т.е. справедлива формула (29). Из (32) видно, что J 2 ( t , h( s ) ) ∈ C1 ([0, ∞); E ), ибо
каждое слагаемое в правой части (32) непрерывно по t как интеграл с переменным
верхним пределом от непрерывной функции. Докажем формулу (30). В силу
включения (9) и непрерывности функции h(s) подынтегральная функция
g3 ( s, t ) = U1 (t − s )h( s ) непрерывна по s и t.
По условию h( s ) ∈ D ( Λ ) , следовательно, в силу (7) справедлива формула
[ g3 ( s, t )]t′ = U1 (t − s)Λ1h( s) , откуда видно, в силу (9) и непрерывности функции
Λ1h( s) , что производная [ g3 ( s, t )]′t непрерывна по s и t. Применяя формулу (10) и
используя (6) при k = 1, получаем соотношение
t
J 3′ ( t , h( s ) ) = U1 (t − s ) Λ1h( s ) ds + h(t ) = J 3 ( t , Λ1h( s ) ) + h(t ) ,
∫
0
т.е. справедлива формула (30), из которой видно, что J 3 ( t , h( s ) ) ∈ C1 ([0, ∞ ); E ).
Лемма 3 доказана.
В силу (7), (11) и замкнутости операторов Λ1 , Λ 2 формулы (29), (30) можно
записать в виде
J 2′ ( t , h( s ) ) = Λ 2 J 2 ( t , h( s ) ) + J 3 ( t , h( s ) ) ,
(33)
J 3′ ( t , h( s ) ) = Λ1 J 3 ( t , h( s ) ) + h(t ) .
(34)
Доказательство теоремы 1. Пусть
( )
x1 ∈ D1 , x2 ∈ D Λ 2 ,
(35)
( )
и параметры x1 , x2 фиксированы. Тогда в силу включения D1 ⊂ D Λ 2
( )
x1 ∈ D Λ 2 ,
( )
(36)
и в силу включения D Λ 2 ⊂ D ( Λ )
x1 , x2 ∈ D (Λ).
(37)
Покажем, что функция вида (2) является решением уравнения (1). Используя введенные выше обозначения, запишем ее в виде
u (t ) = U1 (t ) x1 + J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) + J 2 ( t , f ( s ) ) .
(38)
В силу (7), (37)
U1′ (t ) x1 = U1 (t ) Λ1 x1.
534
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
(39)
В силу (36), (37) справедливо включение x2 − Λ1 x1 ∈ D(Λ), следовательно, по
формуле (26)
J1′ (t , x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )( x2 − Λ1 x1 ) + J1 (t , Λ 2 x2 − Λ 2 Λ1 x1 )
или в силу (4), (36)
J1′ (t , x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )( x2 − Λ1 x1 ) + J1 (t , Λ 2 x2 − Cx1 ) .
(40)
В силу условия 4) и соотношения (8) справедливо включение f ( s ) ∈ Ω , следовательно, по формуле (29)
J 2′ ( t , f ( s ) ) = J 2 ( t , Λ 2 f ( s ) ) + J 3 ( t , f ( s ) ) .
(41)
В силу (38) – (41)
u ′(t ) = U1 (t ) x2 + J1 (t , Λ 2 x2 − Cx1 ) + J 2 ( t , Λ 2 f ( s ) ) + J 3 ( t , f ( s ) ) .
(42)
В силу (27), (33) формулу (42) можно записать в виде
u ′(t ) = U1 (t ) x2 + Λ 2 J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) + Λ 2 J 2 ( t , f ( s ) ) + J 3 ( t , f ( s ) ) .
(43)
В силу (7), (37)
U1′ (t ) x2 = U1 (t )Λ1x2 .
(44)
В силу (35) справедливо включение Λ 2 x2 − Cx1 ∈ D(Λ) , следовательно, по формуле (26)
J1′ (t , Λ 2 x2 − Cx1 ) = U1 (t )(Λ 2 x2 − Cx1 ) + J1 (t , Λ 22 x2 − Λ 2 Cx1 ) .
(45)
В силу условия 4) и соотношения (8) справедливо включение Λ 2 f ( s) ∈ Ω , следовательно, по формуле (29)
(
)
J 2′ ( t , Λ 2 f ( s ) ) = J 2 t , Λ 22 f ( s ) + J 3 ( t , Λ 2 f ( s ) ) .
(46)
J 3′ ( t , f ( s ) ) = J 3 ( t , Λ1 f ( s ) ) + f (t ) .
(47)
По формуле (30)
В силу (43) – (47) с учетом соотношения (5) получаем, что
u ′′(t ) = U1 (t )(− Bx2 − Cx1 ) + J1 (t , Λ 22 x2 − Λ 2Cx1 ) +
(
)
+ J 2 t , Λ 22 f ( s ) + J 3 ( t , − Bf ( s ) ) + f (t ).
(48)
В силу непрерывности функции f ( s ) , условия 4) и включений (8), (9) каждое слагаемое в правой части (48) непрерывно по t, следовательно, u (t ) ∈ C 2 ([0, ∞); E ) .
Учитывая (7), (11), (27), (33), (34) и замкнутость операторов Λ 2 , B , формулу
(48) можно записать в виде
u ′′(t ) = f (t ) + U1 (t )(− Bx2 − Cx1 ) + Λ 22 J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) +
+ Λ 22 J 2 ( t , f ( s ) ) − BJ 3 ( t , f ( s ) ) .
(49)
Покажем, используя представление (43), что
u ′(t ) ∈ D ( B ) , t ∈ [0, ∞ ) .
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
(50)
535
В силу (7), (37)
U1 (t ) x2 ∈ D(Λ) .
(51)
Из (49) видно, что
J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) , J 2 ( t , f ( s ) ) ∈ D(Λ 2 ) ,
(52)
Λ 2 J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) , Λ 2 J 2 ( t , f ( s ) ) ∈ D(Λ) .
(53)
следовательно,
Из (47) видно в силу (34), что
J 3 ( t , f ( s ) ) ∈ D(Λ ) .
(54)
В силу (43), (51), (53), (54) справедливо включение u ′(t ) ∈ D ( Λ ) , t ∈ [0, ∞ ) , откуда
следует (50). Покажем, используя представление (38), что
u (t ) ∈ D (C ) , t ∈ [0, ∞ ) .
(55)
В силу (24), (36) имеем равенство U1 (t )Cx1 = CU1 (t ) x1 , откуда видно, что
U1 (t ) x1 ∈ D(C ) .
(56)
В силу (52)
J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) , J 2 ( t , f ( s) ) ∈ D(C ) ,
(57)
и включение (55) следует из (38), (56), (57).
Учитывая (38), (43), (49), (50), (55), а также соотношения (3), (21), (24), (52),
получаем:
u ′′(t ) + Bu ′(t ) + Cu (t ) = f (t ) + U1 (t )(− Bx2 − Cx1 ) + U1 (t ) Bx2 + U1 (t )Cx1 +
+ (Λ 22 + BΛ 2 + C ) J1 (t , x2 − Λ1 x1 ) + (Λ 22 + BΛ 2 + C ) J 2 ( t , f ( s ) ) −
− BJ 3 ( t , f ( s ) ) + BJ 3 ( t , f ( s ) ) = f (t ).
Теорема 1 доказана.
Представление решений уравнения (1) в виде (2) полезно тем, что, как видно
из (2), (42), значения параметров x1 , x2 – это значения соответствующего решения
и его производной в нуле: u (0) = x1 , u ′(0) = x2 , откуда вытекает
Следствие 1. При выполнении условий 1) – 5) задача Коши для уравнения
(1) с начальными условиями u (0) = u0 , u ′(0) = u0′ , где u0 ∈ D1 , u0′ ∈ D (Λ 2 ) , имеет
решение вида (2) с x1 = u0 , x2 = u0′ .
Пусть оператор F из условия 1) имеет ограниченный обратный F −1 .
Тогда семейство решений (2) уравнения (1) можно записать в виде
u (t ) = U 2 (t ) F −1 ( x2 − Λ1 x1 ) − U1 (t ) F −1 ( x2 − Λ 2 x1 ) +
t
(58)
+ ∫ [U 2 (t − s ) − U1 (t − s ) ] F −1 f ( s )ds.
0
Действительно, известно [2, с. 188], что если A2 = A1 + Q , то
t
∫ U A2 (t − τ)QU A1 (τ) xd τ = U A2 (t ) − U A1 (t ) x ,
x ∈ D ( A12 ) ,
0
где U Ak (t ) – полугруппа, порожденная оператором Ak , k = 1,2 .
536
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
В нашем случае Λ 2 = Λ1 + F , следовательно,
t
∫ U 2 (t − τ) FU1(τ) xd τ = [U 2 (t ) − U1(t )] x ,
x ∈ D(Λ 2 ) .
(59)
0
Известно [3, с. 218], что если обратимый оператор T коммутирует с оператором
A ∈ L ( E ) , то T −1 тоже коммутирует с A. Следовательно, в силу (23) и включения
D (Λ ) ⊂ D ( F )
F −1U1 (t ) x = U1 (t ) F −1 x , x ∈ D ( Λ ) .
(60)
Известно [4], что
F −1 [ D ( Λ ) ] ⊂ D ( Λ 2 ) .
(61)
F −1 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ D (Λ 2 ) .
(62)
В силу (36), (37), (61)
В силу условия 4) и включения (61)
F −1 f ( s ) ∈ D (Λ 2 ) .
(63)
Используя (59), (60), (62), а также включение x2 − Λ1 x1 ∈ D(Λ) , получаем:
t
∫
t
U 2 (t − τ)U1 (τ)( x2 − Λ1 x1 )d τ = U 2 (t − τ) F  F −1U1 (τ)  ( x2 − Λ1 x1 )d τ =


∫
0
0
t
t
∫
∫ [U 2 (t − τ) FU1 (τ)] F
0
0
= U 2 (t − τ) F U1 (τ) F −1  ( x2 − Λ1 x1 )d τ =


−1
( x2 − Λ1 x1 )d τ =
= [U 2 (t ) − U1 (t )] F −1 ( x2 − Λ1 x1 ).
(64)
Аналогично, учитывая, что f ( s ) ∈ D ( Λ ) и включение (63), приходим к формуле
t−s
∫ U 2 (t − s − τ)U1(τ) f (s)d τ = [U 2 (t − s) − U1(t − s)] F
−1
f (s) .
(65)
0
Из (2), (64), (65) следует представление (58).
Если Д = 0 , то Λ1 = Λ 2 = Λ0 = −(1/ 2)B ; следовательно, U1 (t ) = U 2 (t ) = U (t ),
где U (t ) – полугруппа, порожденная оператором Λ 0 = −(1/ 2)B , и формула (2) с
учетом полугруппового свойства U (t1 )U (t2 ) = U (t1 + t2 ) принимает вид
t
u (t ) = U (t )  x1 + ( x2 − Λ 0 x1 ) t  + U (t − s )(t − s ) f ( s )ds .
∫
(66)
0
Получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
а) Д = 0 , т.е. C = (1/ 4) B 2 ;
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
537
б) оператор Λ 0 = −(1/ 2)B является производящим оператором полугруппы
U (t ) класса C0 ;
в) f (t ) ∈ D( Λ 02 ) при каждом t ∈ [0, ∞ ) ;
г) Λ 0 f (t ) , Λ 02 f (t ) ∈ C ([0, ∞ ); E ) .
Тогда уравнение (1) имеет двухпараметрическое семейство дважды непрерывно дифференцируемых решений вида (66), где x1 , x2 – параметры;
x1 ∈ D( Λ 30 ) , x2 ∈ D ( Λ 02 ) .
Заметим, что в условиях в), г) вместо оператора Λ 0 можно записать оператор B , ибо, D ( Λ 0k ) = D ( B k ) , k ∈ N .
Теорема 2 доказывается аналогично теореме 1, при этом используются замкнутость оператора Λ 0 , соотношения U (0) = I , U (t ) ∈ Φ 0E ; U (t ) x ∈ D(Λ 0 ) , U ′(t ) x =
= Λ 0U (t ) x = U (t )Λ 0 x, ∀x ∈ D(Λ 0 ) ,
вытекающие
из
условия
б);
включение
U (t ) ∈ Φ1D( Λ 0 ) , где Φ1D( Λ0 ) = { A(t ) ∈Φ | A(t ) x ∈C1 ([0, ∞); E ) при каждом x ∈ D(Λ 0 )} ;
известный факт о том, что композиция сильно непрерывно дифференцируемой
операторнозначной функции и непрерывно дифференцируемой векторнозначной
функции является непрерывно дифференцируемой функцией [2, с. 22], в силу которого для любой функции ϕ(t ) ∈ W , где W = {ϕ(t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) | ϕ(t ) ∈ D (Λ 0 ) при
каждом t ∈ [0, ∞ )} , справедливы включение U (t )ϕ(t ) ∈ C1 ([0, ∞ ); E ) и формула
[U (t )ϕ(t ) ]′ = U ′(t )ϕ(t ) + U (t )ϕ′(t ) ; а также следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 4. При любой фиксированной функции
h( s ) ∈ Ω0 ,
где
Ω0 =
= {h( s ) ∈ C ([0, ∞); E ) | h( s ) ∈ D(Λ 0 ) при каждом s ∈ [ 0, ∞ ) и Λ 0 h( s ) ∈ C ([0, ∞); E )} ,
для
t
функций
действительного
переменного
t ∈ [0, ∞ )
вида
J (t, h ( s )) =
t
= U (t − s )(t − s )h( s )ds , J 4 ( t , h( s) ) = U (t − s)h( s)ds справедливы соотношения
∫
0
∫
0
J ( t , h( s ) ) , J 4 ( t , h( s ) ) ∈ C1 ([0, ∞); E ); J ′ ( t , h( s ) ) = J ( t , Λ 0 h( s ) ) + J 4 ( t , h( s ) ) ;
J 4′ ( t , h( s ) ) = J 4 ( t , Λ 0 h( s ) ) + h(t ).
Лемма 4 доказывается аналогично лемме 3 .
Следствие 2. При выполнении условий а) – г) задача Коши для уравнения (1)
с начальными условиями u(0) = u0, u ′(0) = u0′ , где u0 ∈ D( B3 ) , u0′ ∈ D( B 2 ) , имеет
решение вида (66) с x1 = u0 , x2 = u0′ .
Аналоги формул (58), (66) в случае B, C ∈ L ( E ) найдены в [5].
Формулы (2), (66) позволяют получить оценки сверху по норме для решений
уравнения (1). В силу известной оценки [6, с. 211] имеем для k = 1, 2
|| U k (t ) || ≤ M k δ exp(ωk δt ), 0 ≤ t < ∞ ,
(67)
где ωk δ = ωk + δ , ωk – тип полугруппы U k (t ), δ – произвольное сколько угодно
малое положительное число, M k δ = const, M k δ > 0 .
Используя неравенства (67) и обозначение N (t ) = max || f ( s ) || , получаем
0≤ s ≤t
следующую оценку для решений вида (2) уравнения (1):
538
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
|| u (t ) || ≤ M1δ exp(ω1δt ) || x1 || + [ ( M1δ M 2δ ) /(ω2 − ω1 ) ]{|| x2 − Λ1 x1 || exp(ω1δt ) ×
× exp ( (ω2 − ω1 ) t ) − 1 + [ N (t ) /(ω1δ ω2δ )] ×
}
× ω2 − ω1 + exp(ω1δt )  ω1δ exp ( (ω2 − ω1 ) t ) − ω2δ   .
Аналогичная оценка для решений (66) уравнения (1) имеет вид
|| u (t ) ||≤ M δ exp(ωδ t ) || x1 || +t (|| x2 || + (1/ 2) || Bx1 ||)  +
+ M δ N (t )  (1/ ωδ ) t exp(ωδt ) + (1/ ωδ2 ) (1 − exp(ωδ t ) )  ,


где ωδ = ω + δ , ω – тип полугруппы U(t), δ – произвольное сколь угодно малое
положительное число, M δ = const , M δ > 0 .
Если рассмотреть скалярную задачу Коши
u ′′(t ) + bu ′(t ) + cu (t ) = f (t ), 0 ≤ t < ∞, u (0) = u0 , u ′(0) = u0′ ,
то в силу следствий 1, 2 можно, не прибегая к стандартной процедуре нахождения
решения задачи Коши [7, с. 281], непосредственно указать ее решение: оно задается в случае Д = b2 − 4ac > 0 формулой
u (t ) = ( λ 2 − λ1 )
где λ1,2
−1
t


eλ 2 t ( u0′ − λ1u0 ) − eλ1t ( u0′ − λ 2u0 ) + ∫ eλ 2 ( t − s ) − eλ1 ( t − s )  f ( s )ds  ,




0
1


= (1/ 2 ) −b m Д 2  ; а в случае Д = 0 формулой




t
u (t ) = eλ0t [u0 + (u0′ − λ 0u0 ) t ] + eλ0 (t − s ) (t − s ) f ( s )ds,
∫
0
где λ 0 = −(1/ 2)b .
При исследовании некоторых вопросов приходится иметь дело с решениями
дифференциального уравнения, порядок гладкости которых выше порядка уравнения. Такая картина наблюдается, например, при изучении малых стабилизирующих возмущений вырождающихся линейных дифференциальных уравнений в
банаховом пространстве: оказывается, что решение возмущенного уравнения с
порядком гладкости, большим порядка уравнения, сходится при стремлении возмущающего параметра к нулю к ограниченному в точке вырождения решению
соответствующего вырождающегося уравнения, тогда как для решения с порядком гладкости, равным порядку уравнения, такая сходимость может отсутствовать [8]. Укажем, как за счет ужесточения требований на операторные коэффициенты B, C , правую часть f(t) и параметры x1, x2 можно повышать гладкость решений уравнения (1).
Пусть n ∈ N , n ≥ 3. Заметим, что для любых 0 ≤ i, j ≤ n; 0 ≤ p, q ≤ n;
i + j = n, p + q = n выполняется равенство D (Λ1i Λ 2j ) = D (Λ1p Λ q2 ) ::= D (Λ n ) . Мно-
жество D (Λ n ) = D (Λ1n ) плотно в Е как область определения положительной степени производящего оператора полугруппы класса С0 .
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1) – 3) теоремы 1 и, кроме того,
3.1) x1 ∈ D (Λ 4 ), x2 ∈ D(Λ3 ) ;
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
539
3.2) f (t ) ∈ D(Λ 3 ) при каждом t ∈ [0, ∞ ) ;
3.3) Λ ip Λ qj f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ); 1 ≤ i, j ≤ 2; 0 ≤ p, q ≤ 3; 1 ≤ p + q ≤ 3;
3.4) f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ).
Тогда при фиксированных значениях параметров х1, х2 решение вида (2)
уравнения (1) удовлетворяет условию u (t ) ∈ C 3 ([0, ∞); E ) и справедлива формула
 2

 2
 
u (3) (t ) = U1 (t )  ∑ Λ12 − i Λ i2  x2 −  ∑ Λ13− i Λi2  x1  +



 i = 0

 i =1
 
  2


+ J1 t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ32 f ( s ) + J 3  t ,  ∑ Λ12 − i Λ i2  f ( s )  +
(68)

 

i
=
0




 1 1− i i 
+  ∑ Λ1 Λ 2  f (t ) + f ′(t ).


 i=0

Доказательство. Из условий теоремы 3 вытекают условия теоремы 1, следовательно, для решения вида (2) уравнения (1) справедлива формула (48), которую
можно записать в силу (4), (5) в виде
(
)
(
)
(
)
u ′′(t ) = U1 (t ) ( Λ1 + Λ 2 ) x2 − Λ1Λ 2 x1  + J1 t , Λ 22 ( x2 − Λ1x1 ) +
(
)
(69)
+ J 2 t , Λ 22 f ( s) + J 3 ( t , (Λ1 + Λ 2 ) f ( s) ) + f (t ).
В силу условия 3.1) справедливо включение ( Λ1 + Λ 2 ) x2 − Λ1Λ 2 x1 ∈ D ( Λ ) , следовательно, в силу замечания 1
U1 (t ) [ (Λ1 + Λ 2 ) x2 − Λ1Λ 2 x1 ] ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(70)
U1′ (t ) [ ( Λ1 + Λ 2 ) x2 − Λ1Λ 2 x1 ] = U1 (t )  ( Λ12 + Λ1Λ 2 ) x2 − Λ12 Λ 2 x1  .


(71)
и в силу (7)
В силу условия 3.1) справедливо включение Λ 22 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ D ( Λ ) , следовательно,
в силу (25), (26)
(
)
J1 t , Λ 22 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(
)
(72)
(
)
J1′ t , Λ 22 ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )( Λ 22 x2 − Λ 22 Λ1 x1 ) + J1 t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) .
В силу условия 3.1) справедливо включение x1 , Λ 2 x1 ∈ D( Λ 2 ) , следовательно, в
силу (4)
Λ 22 Λ1 x1 = Λ 2 [(Λ 2 Λ1 ) x1 ] = Λ 2 [(Λ1Λ 2 ) x1 ] = (Λ 2 Λ1 )Λ 2 x1 = (Λ1Λ 2 )Λ 2 x1 = Λ1Λ 22 x1.
Тогда
(
)
(
)
J1′ t , Λ 22 ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )( Λ 22 x2 − Λ1Λ 22 x1 ) + J1 t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) .
(73)
В силу условий 3.2), 3.3) справедливо включение Λ 22 f ( s ) , ( Λ1 + Λ 2 ) f ( s ) ∈ Ω ,
следовательно, в силу (28) – (30)
540
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
(
)
J 2 t , Λ 22 f ( s) , J 3 ( t , (Λ1 + Λ 2 ) f ( s) ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(
)
(
(74)
)
(
)
J 3′ ( t , ( Λ1 + Λ 2 ) f ( s ) ) = J 3 ( t , ( Λ12 + Λ1Λ 2 ) f ( s ) ) + ( Λ1 + Λ 2 ) f (t ) .
J 2′ t , Λ 22 f ( s ) = J 2 t , Λ 32 f ( s ) + J 3 t , Λ 22 f ( s ) ,
(75)
(76)
В силу (69), (70), (72), (74) и условия 3.4) справедливо включение
u ′′(t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) , т.е. u (t ) ∈ C 3 ([0, ∞); E ) .
В силу (69), (71), (73), (75), (76) и условия 3.4)
(
u (3) (t ) = U1 (t )  ( Λ12 + Λ1Λ 2 + Λ 22 ) x2 − ( Λ12 Λ 2 + Λ1Λ 22 ) x1  +


)
(
)
(
)
+ J1 t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ 32 f ( s ) + J 3 t , ( Λ12 + Λ1Λ 2 + Λ 22 ) f ( s ) +
+ ( Λ1 + Λ 2 ) f (t ) + f ′(t ).
т.е. справедлива формула (68). Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 1) – 3) теоремы 1; n ∈ N , n ≥ 4 и, кроме того,
4.1) x1 ∈ D ( Λ n +1 ), x2 ∈ D( Λ n );
4.2) f (t ) ∈ D ( Λ n ) при каждом t ∈ [0, ∞);
4.3) ( Λip Λ qj ) f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ); 1 ≤ i, j ≤ 2; 0 ≤ p, q ≤ n, 1 ≤ p + q ≤ n;
4.4) f (t ) ∈ C n − 2 ([0, ∞); E );
4.5) f (l ) (t ) ∈ D( Λ n − 2 −l ) при каждом t ∈ [0, ∞) , 1 ≤ l ≤ n − 3;
4.6) для любых 1 ≤ m ≤ n − 3, 0 ≤ i ≤ m
( Λ1m −i Λ i2 ) f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(77)
( Λ1m − i Λi2 ) f (t )  ′ = ( Λ1m − i Λ i2 ) f ′(t ) ;


(78)
4.7) в случае n ≥ 5 для любых 4 ≤ k ≤ n − 1, 3 ≤ j ≤ k − 1, 0 ≤ i ≤ k − j ,
(Λ1k − j −i Λi2 ) f ( j − 2) (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(Λ k − j −i Λi ) f ( j − 2) (t )  ′ = (Λ k − j −i Λi ) f ( j −1) (t ) .
2
2
1
 1

(79)
(80)
Тогда при фиксированных значениях параметров х1, х2 решение вида (2)
уравнения (1) удовлетворяет условию u (t ) ∈ C n ([0, ∞); E ) и справедлива формула
 n −1

 n −1 n − i i  
u ( n ) (t ) = U1 (t ) 
Λ1n −1− i Λi2  x2 − 
Λ1 Λ 2  x1  +



 i = 0

 i =1
 
∑
∑
  n −1


+ J1 t , Λ 2n ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ 2n f ( s ) + J 3  t , 
Λ1n −1− i Λ i2  f ( s )  +

 


  i =0

(
)
(
)
∑
(81)
n −1  n − j

 n − 2 n − 2−i i 

+
Λ1
Λ 2  f (t ) +
Λ1n − j − i Λi2  f ( j − 2) (t ) + f ( n − 2) (t ).




j =3  i =0
 i =0


∑
∑ ∑
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
541
Замечание 2. Запись условия 4.6) корректна, ибо в силу условия 4.2) справедливо включение f (t ) ∈ D( Λ m ) при каждом t ∈ [0, ∞), 1 ≤ m ≤ n − 3, а в силу
условия 4.5) при l=1 справедливо включение f ′(t ) ∈ D (Λ n − 3 ), t ∈ [0, ∞ ) , следовательно, f ′(t ) ∈ D ( Λ m ) при каждом t ∈ [0, ∞), 1 ≤ m ≤ n − 3 .
Замечание 3. Запись условия 4.7) корректна, ибо в силу условия 4.5) справедливы включения f ( j − 2) (t ) , f ( j −1) (t ) ∈ D( Λ k − j ) при каждом t ∈ [0, ∞ ) ,
4 ≤ k ≤ n − 1, 3 ≤ j ≤ k − 1 .
В силу замечаний 2, 3 для справедливости формул (78), (80) достаточно, чтобы операторы вида
Λ1m−i Λ i2 , 1 ≤ m ≤ n − 3 , 0 ≤ i ≤ m,
(82)
были замкнуты.
Доказательство теоремы 4. Покажем вначале справедливость теоремы 4
при n = 4. Из условий теоремы 4 при n = 4 вытекают условия теоремы 3, следовательно, для решения вида (2) уравнения (1) справедлива формула (68). В силу условия 4.1) справедливо включение
 2 2−i i 
 2

 Λ1 Λ 2  x2 −  Λ13−i Λ i2  x1 ∈ D (Λ ) ,




 i =0

 i =1

∑
∑
следовательно, в силу замечания 1
 2

 2
 
U1 (t )  Λ12−i Λi2  x2 −  Λ13−i Λi2  x1  ∈ C1 ([0, ∞); E ),



 i =0

 i =1
 
∑
∑
(83)
и в силу (7)
 2

 2
 
U1′ (t )  Λ12 −i Λi2  x2 −  Λ13−i Λ i2  x1  =





 i =1
 
 i = 0
∑
∑
(84)
 2

 2
 
= U1 (t )  Λ13−i Λ i2  x2 −  Λ14 −i Λi2  x1  .



 i =0

 i =1
 
∑
∑
В силу условия 4.1) справедливо включение Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ D (Λ ) , следовательно, в силу (25), (26)
(
)
J1 t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ C1 ([0, ∞ ); E ),
(
)
(
)
J1′ t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )( Λ 32 x2 − Λ 32 Λ1 x1 ) + J1 t , Λ 42 ( x2 − Λ1 x1 ) .
(85)
В силу условия 4.1) и соотношения (4) справедливо равенство Λ 32 Λ1 x1 = Λ1Λ32 x1 ,
следовательно,
(
)
(
)
J1′ t , Λ 32 ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )(Λ 32 x2 − Λ1Λ 32 x1 ) + J1 t , Λ 24 ( x2 − Λ1 x1 ) .
В силу условий 4.2), 4.3) справедливо включение
 2

Λ 22 f ( s ) ,  Λ12 −i Λi2  f ( s ) ∈ Ω ,


 i =0

∑
542
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
(86)
следовательно, в силу (28) – (30)
  2


J 2 t , Λ32 f ( s ) , J 3  t ,  Λ12 − i Λi2  f ( s )  ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,

 


  i =0

(
)
∑
(
)
(
)
(
)
J 2′ t , Λ 32 f ( s ) = J 2 t , Λ 42 f ( s ) + J 3 t , Λ 32 f ( s ) ,
(88)
  2

  2
  2



J 3′  t ,  Λ12 − i Λi2  f ( s )  = J 3  t ,  Λ13− i Λ i2  f ( s )  +  Λ12 − i Λ i2  f (t ) .



 

 
 



  i =0

  i =0
  i =0
∑
∑
(87)
∑
(89)
Условие 4.6) при n = 4 имеет следующий вид:
Λ k f (t ) ∈ C1 ([0, ∞ ); E ) ; [ Λ k f (t )]′ = Λ k f ′(t ), k = 1, 2 .
(90)
В силу (90)
 1 1− i i 
 Λ1 Λ 2  f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,


 i =0

(91)
 1
′  1


 ∑ Λ11−i Λi2  f (t )  =  ∑ Λ11−i Λi2  f ′(t ) .




 i =0


 i =0

(92)
∑
В силу (68), (83), (85), (87), (91) и условия 4.4) справедливо включение
u (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) , т.е. u (t ) ∈ C 4 ([0, ∞); E ) . В силу (68), (84), (86), (88), (89),
(92) и условия 4.4)
(3)
 2

 2
 
u (4) (t ) = U1 (t )  ∑ Λ13−i Λi2  x2 −  ∑ Λ14−i Λi2  x1  +

 i =1
 
 i = 0
(
)
+U1 (t )(Λ32 x2 − Λ1Λ32 x1 ) + J1 t , Λ 24 ( x2 − Λ1 x1 ) +
(
)
(
)
  2


+ J 2 t , Λ 24 f ( s) + J 3 t , Λ32 f ( s) + J 3  t ,  ∑ Λ13−i Λi2  f ( s)  +

  i =0

 1

 2

+  ∑ Λ12−i Λi2  f (t ) +  ∑ Λ11−i Λi2  f ′(t ) + f ′′(t )
 i =0

 i =0

или
 3

 3
 
u (4) (t ) = U1 (t )  ∑ Λ13−i Λi2  x2 −  ∑ Λ14−i Λi2  x1  +



 i =0

 i =1
 
  3


+ J1 t , Λ 24 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ 24 f ( s) + J 3  t ,  ∑ Λ13−i Λi2  f ( s )  +





  i =0

(
)
(
)
 2

 1

+  ∑ Λ12−i Λi2  f (t ) +  ∑ Λ11−i Λi2  f ′(t ) + f ′′(t ),




 i =0

 i =0

т.е. получена формула (81) при n = 4. Теорема 4 при n = 4 доказана. Пусть теорема 4
верна для k, где 4 ≤ k ≤ n − 1 , т.е. u (t ) ∈ C k ([0, ∞ ); E ) и справедлива формула
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
543
 k −1

 k −1
 
u ( k ) (t ) = U1 (t )  ∑ Λ1k −1−i Λi2  x2 −  ∑ Λ1k −i Λi2  x1  +



 i =0

 i =0
 
(
)
(
)
+ J1 t , Λ k2 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ k2 f ( s ) +
  k −1
  k −2


+ J 3  t ,  ∑ Λ1k −1−i Λi2  f ( s )  +  ∑ Λ1k −2 −i Λi2  f (t ) +


 
 


  i =0
  i =0
(93)
k −1  k − j

+ ∑  ∑ Λ1k − j −i Λi2  f ( j −2) (t ) + f ( k − 2) (t ).


j =3  i = 0

Покажем, что теорема 4 верна для k + 1 . В силу условия 4.1) справедливо
включение
 k −1 k −1− i i 
 k −1 k −i i 
Λ1
Λ 2  x2 − 
Λ1 Λ 2  x1 ∈ D (Λ ) ,





 i =0

 i =1

∑
∑
следовательно, в силу замечания 1
 k −1

 k −1 k − i i  
U1 (t ) 
Λ1k −1− i Λi2  x2 − 
Λ1 Λ 2  x1  ∈ C1 ([0, ∞); E ),



 i = 0

 i =1
 
∑
∑
(94)
и в силу (7)
 k −1

 k −1
 
U1′ (t )  ∑ Λ1k −1−i Λ i2  x2 −  ∑ Λ1k −i Λi2  x1  =



 i = 0

 i =1
 
(95)
 k −1

 k −1
 
= U1 (t )  ∑ Λ1k −i Λi2  x2 −  ∑ Λ1k +1−i Λi2  x1  .



 i = 0

 i =1
 
В силу условия 4.1) справедливо включение Λ k2 ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ D (Λ ) , следовательно, в силу (25), (26)
(
)
J1 t , Λ 2k ( x2 − Λ1 x1 ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
(
)
(96)
(
)
J1′ t , Λ k2 ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )(Λ k2 x2 − Λ k2 Λ1 x1 ) + J1 t , Λ k2 +1 ( x2 − Λ1 x1 ) .
В
Λ k2 Λ1 x1
силу
=
условия
Λ1Λ 2k x1 ,
(
4.1)
и
соотношения
(4)
справедливо
равенство
следовательно,
)
(
)
J1′ t , Λ 2k ( x2 − Λ1 x1 ) = U1 (t )(Λ k2 x2 − Λ1Λ k2 x1 ) + J1 t , Λ k2 +1 ( x2 − Λ1 x1 ) . (97)
В силу условий 4.2), 4.3) справедливо включение
 k −1 k −1− i i 
Λ1
Λ 2  f (s) ∈ Ω ,
Λ k2 f ( s ) , 


 i =0

∑
следовательно, в силу (28) – (30)
544
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
  k −1


J 2 t , Λ 2k f ( s ) , J 3  t ,  Λ1k −1−i Λ i2  f ( s )  ∈ C1 ([0, ∞); E ),

 


  i =0

(
)
∑
(
)
(
)
(
(98)
)
J 2′ t , Λ k2 f ( s ) = J 2 t , Λ k2 +1 f ( s ) + J 3 t , Λ k2 f ( s ) ,
(99)
  k −1

  k −1
  k −1



J 3′  t , 
Λ1k −1− i Λi2  f ( s )  = J 3  t , 
Λ1k −i Λ i2  f ( s )  + 
Λ1k −1− i Λi2  f (t ). (100)



 

 
 



  i =0

  i =0
  i =0
∑
∑
∑
В силу условия 4.6) при m = k – 2 ( k ≤ n − 1 ⇒ k − 2 ≤ n − 3 , т.е. m ≤ 3 )
( Λ1k − 2 − i Λ i2 ) f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) , 0 ≤ i ≤ k − 2 ,
(
)
(
)
 Λ k − 2−i Λ i f (t )  ′ = Λ k − 2−i Λ i f ′(t ) , 0 ≤ i ≤ k − 2 .
2
1
2
 1

Следовательно,
 k − 2 k − 2 −i i 
Λ1
Λ 2  f (t ) ∈ C1 ([0, ∞ ); E ) ,



 i =0

∑
(101)
 k − 2
 ′  k −2



Λ1k − 2−i Λ i2  f (t )  = 
Λ1k − 2−i Λ i2  f ′(t ) .



 i =0


 i =0

∑
∑
(102)
В силу условия 4.7)
k −1  k − j

∑  ∑ Λ1k − j −i Λi2  f ( j − 2) (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) ,
j =3  i =0
(103)

 k −1  k − j
 ′ k −1  k − j


 

Λ1k − j −i Λi2  f ( j − 2) (t )  =
Λ1k − j −i Λi2  f ( j −1) (t ) .



 j =3  i =0

j =3  i =0




∑ ∑
∑ ∑
(104)
В силу (93), (94), (96), (98), (101), (103) и условия 4.4) справедливо включение u ( k ) (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) , т.е. u (t ) ∈ C k +1 ([0, ∞); E ) . В силу (93), (95), (97), (99),
(100), (102), (104) и условия 4.4)
 k −1

 k −1
 
u ( k +1) (t ) = U1 (t )  Λ1k −i Λ i2  x2 −  Λ1k +1−i Λ i2  x1  + U1 (t ) Λ k2 x2 − Λ1Λ k2 x1 +



 i =0

 i =1
 
∑
(
∑
)
  k −1


+ J1 t , Λ k2 +1 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ k2 +1 f ( s ) + J 3 t , Λ k2 f ( s ) + J 3  t ,  Λ1k −i Λi2  f ( s )  +

 


  i =0

k −1  k − j

 k −1

 k − 2 k − 2−i i 

+  Λ1k −1−i Λi2  f (t ) + 
Λ1
Λ 2  f ′(t ) +
Λ1k − j −i Λi2  f ( j −1) (t ) + f ( k −1) (t ).






j =3  i = 0
 i =0

 i =0


(
∑
)
(
∑
)
(
)
∑
∑ ∑
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
545
Заметим, что
 k −1 k −i i 
 k

 Λ1 Λ 2  x2 + Λ 2k x2 =  Λ1k −i Λi2  x2 ,




 i =0

 i =0

∑
k −1
(
∑
i =1
∑
Λ1k +1−i Λ i2 ) x1 + Λ1 Λ 2k x1 = (
Λ 2k f ( s) + (
k
∑ Λ1k +1−i Λi2 ) x1 ,
k −1
i =1
k
i =0
i =0
∑ Λ1k −i Λi2 ) f (s) = (∑ Λ1k −i Λi2 ) f (s) ,
k −1  k − j

 k − 2 k − 2 −i i 

Λ1
Λ 2  f ′(t ) +
Λ1k − j −i Λi2  f ( j −1) (t ) =





j =3  i = 0
 i =0


∑
∑ ∑
=
 k +1− j k +1− j −i i  ( j −2)

Λ1
Λ2  f
(t ).


j =3  i = 0

k
∑ ∑
Тогда
 k

 k
 
u ( k +1) (t ) = U1 (t )  ∑ Λ1k −i Λi2  x2 −  ∑ Λ1k +1−i Λi2  x1  +




 i =0

 i =1
 
  k


+ J1 t , Λ 2k +1 ( x2 − Λ1 x1 ) + J 2 t , Λ k2 +1 f ( s) + J 3  t ,  ∑ Λ1k −i Λi2  f ( s)  +

 


  i =0

k  k +1− j

 k −1

+  ∑ Λ1k −1−i Λi2  f (t ) + ∑  ∑ Λ1k +1− j −i Λi2  f ( j − 2) (t ) + f ( k −1) (t ).




j =3  i =0
 i =0


Теорема 4 доказана.
Заметим, что условия 4.1) – 4.7), несмотря на их жесткость, имеют естественное происхождение. Если рассмотреть случай B, C ∈ L( E ) , то Λ1 , Λ 2 ∈ L( E )
[5]. Следовательно, операторы вида (82) тоже ограничены, а значит непрерывны
[9, с. 119] и замкнуты [9, с. 162], в силу чего для справедливости включения
u (t ) ∈ C n ([0, ∞); E ) достаточно выполнимости условия 4.4) и включений (77), (79).
(
)
(
)
В скалярном случае для справедливости включения u (t ) ∈ C n ([0, ∞ ); R ) достаточно потребовать, чтобы f (t ) ∈ C n − 2 ([0, ∞ ); R ) .
Аналогично повышается гладкость решений уравнения (1) в случае Д = 0 .
Теорема 5. Пусть выполнены условия а), б) теоремы 2 и, кроме того,
5.1) x1 ∈ D( Λ 04 ), x2 ∈ D( Λ30 );
5.2) f (t ) ∈ D( Λ30 ) при каждом t ∈ [0, ∞);
5.3) Λ 0m f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ), 1 ≤ m ≤ 3;
5.4) f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ).
Тогда при фиксированных значениях параметров х1, х2 решение вида (66)
уравнения (1) удовлетворяет условию u (t ) ∈ C 3 ([0, ∞); E ) и справедлива формула
(
) t  +
+ J ( t , Λ 30 f ( s) ) + 3 J 4 ( t , Λ 02 f ( s) ) + 2Λ 0 f (t ) + f ′(t ).
u (3) (t ) = U (t ) 3Λ 02 x2 − 2Λ30 x1 + Λ30 x2 − Λ 04 x1

546
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
Теорема 6. Пусть выполнены условия а), б) теоремы 2; n ∈ N , n ≥ 4 и, кроме
того,
(
)
f (t ) ∈ D ( Λ 0n ) при каждом t ∈ [0, ∞);
6.1) x1 ∈ D Λ 0n +1 , x2 ∈ D( Λ 0n );
6.2)
6.3) Λ 0m f (t ) ∈ C ([0, ∞); E ) , 1 ≤ m ≤ n;
6.4) f (t ) ∈ C n − 2 ([0, ∞); E );
(
)
6.5) f (l ) (t ) ∈ D Λ 0n − 2 −l при каждом t ∈ [0, ∞), 1 ≤ l ≤ n − 3;
′
6.6) Λ 0m f (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ),  Λ 0m f (t )  = Λ 0m f ′(t ) , 1 ≤ m ≤ n − 3;


6.7) в случае n ≥ 5 для любых 4 ≤ k ≤ n − 1, 3 ≤ j ≤ k − 1, справедливы вклю-
′
чения Λ 0k − j f ( j − 2) (t ) ∈ C1 ([0, ∞); E ) и формула  Λ 0k − j f ( j −2) (t )  = Λ 0k − j f ( j −1) (t ) .


Тогда при фиксированных значениях параметров х1, х2 решение вида (66)
уравнения (1) удовлетворяет условию u (t ) ∈ C n ([0, ∞); E ) и справедлива формула
u ( n ) (t ) = U (t )  nΛ 0n −1 x2 − (n − 1)Λ 0n x1 + (Λ 0n x2 − Λ 0n +1 x1 ) t 


(
)
(
)
+ J t , Λ 0n f ( s ) + nJ 4 t , Λ 0n −1 f ( s ) + (n − 1)Λ 0n −2 f (t ) +
+
n −1
∑ (n + 1 − j)Λ0n− j f ( j −2) (t ) + f (n−2) (t ).
j =3
Доказанные выше утверждения анонсированы в [10]; они обобщают результаты работы [4], в которой уравнение (1) исследовано в предположении, что оператор F из условия 1) имеет ограниченный обратный.
Список литературы
1. Иванов, В.K. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные
задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. – М. : Физматлит, 1995. –
176 с.
2. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. – М. : Физматлит, 1967. – 464 c.
3. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. – М. : Мир,
1972. – 740 с.
4. Фомин, В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. – 2005. – Т. 41,
№ 8. – С. 1130–1133.
5. Фомин, В.И. О решении задачи Коши для линейного дифференциального
уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. –
2002. – Т. 38, № 8. – С. 1140–1141.
6. Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ / А.В. Балакришнан. – М. : Наука, 1980. – 384 с.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
547
7. Зимина, О.В. Высшая математика / О.В. Зимина, А.И. Кириллов,
Т.А. Сальникова. – М. : Физматлит, 2001. – 368 с.
8. Фомин, В.И. Малые возмущения сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве : автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 /
В.И. Фомин. – Воронеж, 1989. – 15 с.
9. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. – М. : Наука,
1980. – 496 с.
10. Фомин, В.И. Об одном семействе решений линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / В.И. Фомин // ХI научная конференция ТГТУ. Фундаментальные и прикладные исследовантя, инновационные технологии, профессиональное образование : сб. тр. в 2 ч. / – Тамб. гос.
техн. ун-т. – Тамбов, 2006. – Ч. 1. – С. 24–28.
On a Family of Solutions for a Second-Order Linear Differential Equation
with Constant Unbounded Operator Coefficients in a Banach Space
V.I. Fomin
Department of Applied Mathematics and Mechanics, TSTU
Key words and phrases: Banach space; characteristic operator; generator of
semi-group; operator-function; operator discriminant; resolvent; semi-group.
Abstract: Two-parameter families of solutions for the above-mentioned equation
under the operator discriminant being positive or equal to null are found.
Über eine Familie der Beschlüsse der linearen Differentialgleichung
der zweiten Ordnung mit den ständigen unbeschränkten
Operatorenkoeffizienten im Banachischen Raum
Zusammenfassung: Es sind die zweiparametrischen Familien der Beschlüsse
der Gleichung aus dem Titel des Artikels im Falle gefunden, wenn die Operatrendiskriminante positiv oder der Null gleich ist.
Sur une famille des solutions de l’équation linéaire du deuxième
ordre avec un coefficient différentiel opérateur constant non limité
dans un espace de Banach
Résumé: Sont trouvées les propriétés de deux paramètres pour la solution de
l’équation du titre de l’article dans le cas discriminant est positif ou bien égal à zéro.
548
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2007. Том 13. № 2Б. Transactions TSTU
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа