close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном способе построения приближенных решений линейных систем на длинных интервалах времени.

код для вставкиСкачать
2011
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 1
Вып. 3
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925.5
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ
ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
НА ДЛИННЫХ ИНТЕРВАЛАХ ВРЕМЕНИ∗
В. А. Васильев
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, vasiliev_vl.a@mail.ru
Качественное исследование свойств системы дифференциальных уравнений часто производится построением приближенных решений этой системы на длинных
интервалах времени. Следует отметить, что такой метод исследования может быть
использован только в случае, когда в окрестности приближенного решения системы
дифференциальных уравнений существует истинное решение этой системы, в противном случае такой метод исследования не позволяет получить никаких новых данных
о качественном поведении решений рассматриваемой системы. В связи с этим встает
вопрос о существовании истинного решения в окрестности приближенного.
В этой работе мы продолжим изучение проблемы существования истинного решения в окрестности приближенного, рассмотренной в статье [1]. Там были сформулированы условия, при которых данному приближенному решению системы дифференциальных уравнений соответствует истинное решение, располагающееся в малой
окрестности приближенного решения.
В настоящей работе предлагается метод построения приближенных решений линейных систем дифференциальных уравнений на длинных интервалах времени. Этот
способ позволяет зффективно проверять выполнение условий теоремы 4.1 [1]. Теорема 4.1 [1] показывает, что решение задачи о нахождении условий, при которых для
заданных чисел ε > δ > 0 и заданного δ-решения ψ(t) системы дифференциальных
уравнений, определенного на промежутке J, существует решение ϕ(t) системы, определенное на том же промежутке и такое, что при всех t ∈ J выполняется неравенство
|ψ(t) − ϕ(t)| < ε, основывается на изучении свойств линейной части исходной системы. Покажем, как анализ линейной системы может быть проведен при помощи
алгоритмов приближенных вычислений на промежутке [t0 , t′ ] по аналогии с тем, как
это сделано в работе [2].
∗ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект № 2010-1.1-111-128-033) и РФФИ (грант № 08-01-00346).
c В. А. Васильев, 2011
3
Рассмотрим линейную систему
dy
= P(t)y,
dt
(1)
где P(t) равномерно непрерывна и |P(t)| < H при t ∈ [t0 , t′ ]. Зафиксируем произвольное число δ ′ > 0 и число h1 > 0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
|P(t) − P(t)| < δ ′ /2 при |t − t| < h1 , t, t ∈ [t0 , t′ ]. Пусть 0 < h < h1 и пусть τr = t0 + hr,
где r = 0, 1, . . . , ν, и пусть τν < t′ , t′ − τν ≤ h, τν+1 = t′ .
Рассмотрим кусочно-постоянную матрицу P(t), определенную на промежутке
[t0 , t′ ], при помощи следующих равенств:
P(t) = P(τr )
при t ∈ [τr , τr+1 ], r = 0, 1, . . . , ν. При этом разность τr+1 − τr = h такова, что при всех
t0 ≤ t ≤ t′ выполняется неравенство
|P(t) − P(t)| <
δ′
.
2
(2)
Обратимся к стандартным методам Рунге—Кутты [3, 4] для нахождения приближенного решения задачи Коши. Приведем рекуррентную запись построения приближенного решения в явной форме. Полученные выражения соответствуют формулам
приближенного вычисления интегралов:
y(t) = y(τr ) +
Zt
τr
P(τ )y(τ )dτ ≈

q
X
≈ y(τr ) +  (t − τr )s
s=1
X
Y
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
lr+1 ∈j1 ,...,js

P(ςlr+1 ) y(τr )
при t ∈ [τr , τr+1 ], r = 0, 1, . . . , ν, где все ςlr+1 ∈ [τr , τr + h], при q > 1, m ≥ 1, ςlr+1 = τr
при q = 1. Все Kj1 ,...,js ≤ 1. Введем матрицу


Ψ(t) = E + 

q
X
s=1
(t − τr )s

× E + 

q
X
X
hs
s=1

. . . × E + 
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
X
s=1
hs
lr+1 ∈j1 ,...,js
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
q
X
Y
X
j1 ,...,js ∈1,...,m
Y
lr+1 ∈j1 ,...,js
Kj1 ,...,js
Y

P(ςlr+1 ) ×

P(ςlr+1 ) × . . .
l1 ∈j1 ,...,js

P(ςl1 ) =
t
= (E + Kp_(r+1)
)(E + Kp_(r+1) )(E + Kp_(r) ) . . . (E + Kp_(1) ) (3)
при τr ≤ t ≤ τr+1 , r = 0, 1, . . . , ν, где E есть единичная матрица, Ψ(t) — невырожq
P
P
денная, когда
hs H s
Kj1 ,...,js < 1. Эта матрица будет приближенной
s=1
4
j1 ,...,js ∈1,...,m
фундаментальной матрицей решений системы (1). Из равенства (3) следует равенство
t
Ψ(t) = E + Kp_(r+1)
Ψ(τr )
(4)
при τr ≤ t ≤ τr+1 , r = 0, 1, . . . , ν.
Определим матрицу Q(t) посредством равенства

Q(t) = P(τr ) +
q
X
s=2
s(t − τr )s−1
X
j1 ,...,js ∈1,...,m
Kj1 ,...,js
Y
lr+1 ∈j1 ,...,js

P(ςlr+1 ) ×
−1 −1
s_t
t
t
× E + Kp_(r+1)
= P(τr ) + Kp_(r+1) E + Kp_(r+1)
(5)
при τr ≤ t ≤ τr+1 , r = 0, 1, . . . , ν. Из равенства (4) следует, что
dΨ s_t
= P(τr ) + Kp_(r+1) Ψ(τr )
dt
или, что то же самое,
−1 dΨ s_t
t
t
= P(τr ) + Kp_(r+1) E + Kp_(r+1)
E + Kp_(r+1)
Ψ(τr )
dt
при τr ≤ t ≤ τr+1 , r = 0, 1, . . . , ν. Из этого равенства, а также из равенств (4) и (5)
получаем, что
dΨ
= Q(t)Ψ(t)
dt
при всех t ∈ [t0 , t′ ]. Другими словами, матрица Ψ(t) является фундаментальной матрицей решений системы
dx
= Q(t)x
(6)
dt
такой, что Ψ(t0 ) = E.
Докажем, что матрица Q(t) отличается от матрицы P(t) не более, чем на δ ′ на
промежутке [t0 , t′ ]. Для этого рассмотрим разность Q(t) − P(t). При t ∈ [τr , τr+1 ]
имеем
−1
s_t
t
Q(t) − P(t) = P(τr ) + Kp_(r+1) E + Kp_(r+1)
− P(τr ).
(7)
Если
q
P
s=1
P
hs H s
j1 ,...,js ∈1,...,m
Kj1 ,...,js < 1, то матрица
t
E + Kp_(r+1)
быть представлена рядом
−1
t
t
t
E + Kp_(r+1)
= E − Kp_(r+1)
+ (Kp_(r+1)
)2 − . . .
−1
может
Из такого представления и равенства (7) заключаем, что
s_t
s_t
t
|Q(t) − P(t)| = |Kp_(r+1) − (P(τr ) + Kp_(r+1) )Kp_(r+1)
×
t
t
× (E − Kp_(r+1)
+ (Kp_(r+1)
)2 − . . .)| =

X
X
Y
q
= 
s(t − τr )s−1
Kj1 ,...,js
P(ςlr+1 )−
s=2
j1 ,...,js ∈1,...,m
lr+1 ∈j1 ,...,js
5


q
X
− P(τr ) + 
s(t − τr )s−1

×

s=2
q
X
s=1

(t − τr )s
X
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
X
lr+1 ∈j1 ,...,js
s=1
Y
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
q
X
× E −  (t − τr )s
Y
lr+1 ∈j1 ,...,js
X
Kj1 ,...,js
j1 ,...,js ∈1,...,m
Y

P(ςlr+1 ) ×

P(ςlr+1 ) ×
lr+1 ∈j1 ,...,js

P(ςlr+1 ) +

X
Y

s


(t − τr )
Kj1 ,...,js
P(ςlr+1 )
− . . . .
+
s=1
j1 ,...,js ∈1,...,m
lr+1 ∈j1 ,...,js

q
X
2
Из этого равенства и неравенств |P(t)| < H, t − τr < h следует неравенство
|Q(t) − P(t)| <
qH 2 h(1 − H s−1 hs−1 )
<
+
1 − Hh
H 2h
q(1−H s−1 hs−1 )
1−Hh
1 − Hh
q
P
+
q
P
hs−1 H s−1
s=1
hs−1 H s−1
s=1
P
j1 ,...,js ∈1,...,m
P
j1 ,...,js ∈1,...,m
Kj1 ,...,js
Kj1 ,...,js
!
!
.
Следовательно, если h ≤ δ ′ /(H(2H(2q + 1)+ δ ′ )) и H > 2, δ ′ < 2, то |Q(t)− P(t)| <
δ /2 при всех t ∈ [t0 , t′ ], так как при указанных H и δ ′ выполняется неравенство
q
P
P
h ≤ 1/2H, которое сразу влечет за собой, что
hs H s
Kj1 ,...,js < 1 (все
′
s=1
Kj1 ,...,js ≤ 1 и
∞
P
j1 ,...,js ∈1,...,m
(1/2)s = 1). Из этого неравенства и (2) мы получаем неравенство
s=1
′
|Q(t) − P(t)| < δ при всех t ∈ [t0 , t′ ].
Таким образом, системы (1) и (7) близки, что и позволяет проверить условие
теоремы 4.1 из [1].
Литература
1. Васильев В. А. Условия существования решения системы дифференциальных уравнений, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3.
С. 310–321.
2. Pliss V. A. The existence of a true solution of a differential equation in the neighbourhood
of an approximate solution // Journal of Differential Equations. 2005. N 208. P. 64–85.
3. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чиженков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. С. 363–369.
4. Blom J. G., Louter-Nool M. A class of Runge—Kutta Rosenbrock methods for solving
stiff differential equations. Preprint. Afdeling Numerieke Wiskunde (Department of numerical
mathematics). Mathematisch centrum. 1982. N 125.
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.
6
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
236 Кб
Теги
времени, построение, решение, способы, длинный, система, одной, линейный, интервала, приближенные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа