close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об операторе кривизны на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

код для вставкиСкачать
Об операторе кривизны . . .
УДК 514.765
О.П. Гладунова, Е.Д. Родионов, В.В. Славский
Об операторе кривизны на четырехмерных
группах Ли с левоинвариантной римановой
метрикой
O.P. Gladunova, E.D. Rodionov, V.V. Slavsky
About Curvature Operator on Four Dimensional Lie
Groups with Left-Invariant Riemannian Metric
В статье дается полная классификация
вещественных четырехмерных алгебр Ли групп
Ли с левоинвариантной римановой метрикой
и нулевым произведением Кулкарни-Номидзу
тензора одномерной кривизны и метрического
тензора.
Ключевые слова: алгебры и группы Ли,
Complete classication of real four dimensional
Lie algebras of Lie groups with left-invariant
Riemannian metric and zero Kulkarni-Nomidzy
product of one dimensional curvature tensor and
metric tensor is given in this paper.
Пусть (M, g) { ориентированное риманово многообразие размерности n, X , Y , Z ,
V { векторные поля на M .
Обозначим
через ? связность Леви-Чивита и через
R(X, Y )Z = [?Y , ?X ]Z + ?[X,Y ] Z { тензор кривизны Римана. Тензор Риччи r и скалярную кривизну s определим соответственно как
r(X, Y ) = tr(V ? R(X, V )Y ) и s = tr(r). Разделим тензор кривизны R на метрический тензор
g в смысле произведения Кулкарни-Номидзу [1],
получим тензор Вейля W и тензор одномерной
кривизны A:
для любых ?, ? ? 2x M, x ? M ), где vol { форма объема на M , обладает тем свойством, что
?2 = Id. Отсюда
левоинвариантные римановы метрики, оператор кривизны.
R=W
?
+ A░g,
left-invariant Riemannian metrics, curvature
operator.
2 M = + ? ? ,
hX1 ? X2 , Y1 ? Y2 i = det(hXi , Yj i).
R : 2 M ? 2 M,
определяемый равенством
hX ? Y, R(Z ? T )i = R(X, Y, Z, T ),
(3)
где R(X, Y, Z, T ) = g(R(X, Y )Z, T ).
Матрицу оператора кривизны R относительно разложения (2) можно представить в блочном
виде [2]:
╡
? : 2 M ? 2 M , задаваемый
(2)
где + и ? обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и ?1 оператора ?.
Риманов тензор кривизны в любой точке
можно рассматривать как оператор
(1)
? )(X, Y, Z, V ) = A(X, Z )g (Y, V ) +
где (A░g
A(Y, V )g (X, Z ) ?A(X, V )g (Y, Z ) ?g (Y, Z )P (X, V )
и
╡
╢
1
sg
A=
r?
.
n?2
2(n ? 1)
Будем считать, что dim M = 4. Тогда риманова метрика g индуцирует скалярное произведение h╖, ╖i на расслоении 2 M по правилу
Оператор Ходжа
соотношением
Key words: Lie algebras and Lie groups,
R=
s
W + + 12
Id
t
Z
Z
s
W ? + 12
Id
╢
,
(4)
где W + и W ? { матрицы автодуальной и антиавтодуальной составляющих тензора Вейля W .
h??, ?i vol = ? ? ?
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (№08-01-98001, №10-01-90000-Бел а), Совета
по грантам Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ РФ (№НШ-5682.2008.1), а
также ФЦП ¤Научные и научно-педагогические кадры инновационной России■ на 2009{2013 гг. (гос. контракт
№02.740.11.0457).
?
29
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Согласно (1) можем записать
╡
R=
12 Id
Zt
s
Z
12 Id
s
╢
╡
+
W+
0
0
W?
╢
,
(5)
где первая матрица соответствует произведению
? , а вторая { тензору Вейля W .
A░g
Любой ортонормированный базис E1 , E2 , E3 ,
E4 пространства Tx M определяет ортонормированный базис
1
? (E1 ? E2 ▒ E3 ? E4 ),
2
1
? (E1 ? E3 ▒ E4 ? E2 ),
(6)
2
1
? (E1 ? E4 ▒ E2 ? E3 )
2
пространства ▒x M (см., например: [1]).
Отметим, что элементы блока Z в ортонормированном базисе (6) находятся по формулам:
1
Z11 = (R1212 ? R3434 ),
2
1
Z22 = (R1313 ? R2424 ),
2
1
Z33 = (R1414 ? R2323 ),
2
(7)
1
Z12 = (R1213 ? R1242 + R3413 ? R3442 ),
2
1
Z13 = (R1214 ? R1223 + R3414 ? R3423 ),
2
1
Z23 = (R1314 ? R1323 + R4214 + R4223 ).
2
Пусть далее M = G { группа Ли, g = Te G {
алгебра Ли группы G. Фиксируем в g базис
E1 , E2 , E3 , E4 левоинвариантных векторных полей в G. Положим
[Ei , Ej ] = ckij Ek , ?E Ej =
hEi , Ej i = gij ,
i
k
ij Ek ,
(8)
1
= (cijk ? cjki + ckij ),
2
s
ks
ij = ij,k g ,
c31,2
= A, c41,2 = ?AM , c12,3 = B , c42,3 = ?BK ,
c21,3 = ?C , c41,3 = CL,
где
K, L, M ? R
A ? B ? C.
{ произвольные,
(9)
30
A, B, C ? R
и
В зависимости от знаков чисел A, B и C получаются различные алгебры Ли. Все они, с
точностью до изоморфизма, приведены в таблице 1, основанной на результатах Дж. Милнора
о трехмерных унимодулярных алгебрах Ли [5].
Здесь 4A1 { коммутативная алгебра Ли, а каждая A3,i есть унимодулярная алгебра Ли размерности 3 (см.: [6]).
Таблица 1
Вещественные четырехмерные
унимодулярные разложимые алгебры Ли
Алгебра Ли
4 A1
A3,1 ? A1
A3,4 ? A1
A3,6 ? A1
где {ckij } { структурные константы алгебры Ли,
{gij } { метрический тензор.
Пусть cijs = ckij gks . Тогда символы Кристоффеля первого и второго родов вычисляются соответственно по формулам
ij,k
где kgks k есть матрица, обратная к kgks k.
Из (8) и (9), очевидно, следует, что тензоры
Римана Rijkt , Риччи rik , скалярная кривизна s и
тензор Вейля Wijkt являются функциями структурных констант ckij и компонент метрического
тензора gij (см. также: [3]). Следовательно, тем
же свойством обладают и компоненты Z.
Нам понадобятся следующие результаты работы [4].
Лемма 1. Для произвольного скалярного
произведения h╖, ╖i на четырехмерной действительной разложимой унимодулярной алгебре
Ли g существует h╖, ╖i-ортонормированный базис, в котором ненулевые структурные константы алгебры Ли g имеют вид:
A3,8 ? A1
A3,9 ? A1
Знаки A, B, C
0, 0, 0
0, 0, +
?, 0, +
0, +, +
?, +, +
+, +, +
Лемма 2. Для произвольного скалярного
произведения h╖, ╖i на четырехмерной действительной неразложимой унимодулярной алгебре
Ли g существует h╖, ╖i-ортонормированный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 2.
Об операторе кривизны . . .
Таблица 2
Вещественные четырехмерные унимодулярные неразложимые алгебры Ли
Алгебра Ли
Структурные константы
Ограничения
c12,4 = A, c13,4 = B , c23,4 = C
A4,1
A > 0, C > 0
2
A?
4, 2
c11,4
= ?2A, c12,4 = B , c22,4 = A, c13,4 = C , c23,4 = D, c33,4 = A
A > 0, D > 0
?1??
,
A?,
4, 5
? ? (?1, 21 ]
c11,4
c33,4
= A, c12,4 = B , c22,4 = C , c13,4 = D, c23,4 = F ,
= ?A ? C
A > 0, C < 0
2?,?
A?
4, 6 ,
? ? (0, +?)
c11,4
c23,4
= ?2A, c12,4 = B ,
= G, c33,4 = A ? C
A4,8
c12,3
c12,3
= A, c12,4 = B , c22,4 = C , c13,4 = D, c23,4 = F , c33,4 = ?C
A4,10
c22,4
=
A + C , c32,4
=
D, c13,4
= F,
= A, c12,4 = B , c32,4 = C , c13,4 = D, c23,4 = G
Теорема 1. Пусть G { действительная четырехмерная унимодулярная группа Ли
с левоинвариантной римановой метрикой. То? = 0, то алгебра g изоморфна либо
гда если A░g
алгебре Ли 4A1 , либо A3,6 ? A1 .
Доказательство. Фиксируя базис работы
[4] на 4-мерной унимодулярной разложимой алгебре Ли, находим скалярную кривизну
1
(2AC ? A2 ? A2 M 2 ? C 2 ? B 2
2
? C 2 L2 + 2AB ? B 2 K 2 + 2CB ).
s=
Применяя формулы (7), определяем элементы блока Z в матрице оператора кривизны (5)
1
= (2AC ? 3A2 + 2AB ? 3A2 M 2 + C 2
8
? 2CB + B 2 ? C 2 L2 ? B 2 K 2 ),
1
Z22 = (2AC ? 3C 2 + 2CB ? 3C 2 L2 + A2
8
? 2AB + B 2 ? A2 M 2 ? B 2 K 2 ),
1
Z33 = (A2 M 2 + C 2 L2 ? 2AB + 3B 2
8
? 2CB + 3B 2 K 2 ? A2 + 2AC ? C 2 ),
1
Z12 = (AM CL + B 2 K ),
4
1
Z13 = (AM BK ? C 2 L),
4
1
Z23 = (?A2 M ? BKCL).
4
Z11
1. A = B, B = B, C = 0, K = 0, L = L, M = 0.
2. A = C, B = 0, C = C, K = K, L = 0, M = 0.
3. A = 0, B = C, C = C, K = 0, L = 0, M = M.
4. A = 0, B = 0, C = 0, K = K, L = L, M = M.
Сопоставляя полученные результаты с данными таблицы 1, получаем, что все четырехмерные действительные разложимые унимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой и
Z = 0, s = 0, исчерпываются следующими алгебрами: 4A1 , A3,6 ? A1 . с ограничениями из
леммы 1.
Далее мы последовательно рассмотрим все
вещественные четырехмерные унимодулярные
неразложимые алгебры Ли, чем и завершим доказательство теоремы 1.
Алгебра A4,1 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Z в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
31
1 2
(A + B 2 + C 2 ).
2
1
= (A2 + 3B 2 + 3C 2 ),
8
1
Z22 = (B 2 + 3A2 ? C 2 ),
8
1
Z33 = (A2 + B 2 ? C 2 ),
8
1
Z12 = ? AB,
4
1
Z23 = ? CB.
4
Z11
Находим решения системы уравнений
= 0, s = 0 относительно структурных констант A, B , C , K , L, M :
A > 0, C > 0
A > 0, C < 0, G > 0
s=?
Z
A > 0, D < 0, G > 0
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Ввиду того, что структурные константы
A и C положительны, система уравнений
Z = 0, s = 0 не имеет решений.
Алгебра A?4,22 . Фиксируем ортонормирован-
ный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Z в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
s=?
1
(12A2 + B 2 + C 2 + D2 ).
2
s=?
1
(12A2 + B 2 + F 2 + 4C 2 + 2GD + D2 + G2 ).
2
1
= (B 2 + 12A2 + 3F 2 + 3G2 + 2GD
8
+ 4C 2 ? D2 ),
1
Z22 = (F 2 + 12A2 + 3B 2 + 4C 2 + 2GD
8
+ 3D2 ? G2 ),
1
Z33 = (?12A2 + B 2 + F 2 ? 2GD ? G2
8
2
? D ? 4C 2 ),
1
Z12 = ? (BF ? 2DC + 2GC ),
4
1
Z13 = (3AF ? CF + BD),
4
1
Z23 = ? (F G + 3AB + CB ).
4
Z11
1
= (B 2 + 12A2 + 3C 2 + 3D2 ),
8
1
Z22 = (C 2 + 12A2 + 3B 2 ? D2 ),
8
1
Z33 = (?12A2 + B 2 + C 2 ? D2 ),
8
1
Z12 = ? CB,
4
1
Z13 = ? AC,
4
1
Z23 = ? (DC + 3AB ).
4
Нетрудно заметить, что при A > 0 и D > 0
система уравнений Z = 0, s = 0 не имеет решений.
?1??
Алгебра A?,
, где ? ? (?1, 12 ]. Фикси4,5
руем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Z в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
Z11
s=?
в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
Z
1 2
(4A + B 2 + 4C 2 + D2 + F 2 + 4AC ).
2
Так как A > 0, D < 0 и G > 0, то, как легко
заметить, скалярная кривизна s не обращается
в нуль. Следовательно, не имеет решений и система уравнений Z = 0, s = 0.
Алгебра A4,8 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока Z в разложении оператора кривизны. Соответственно имеем
s=?
1
= (B 2 + 4AC + 3D2 + 3F 2 + 4A2 + 4C 2 ),
8
1
Z22 = (D2 + 4A2 + 4AC + 3B 2 + 4C 2 ? F 2 ),
8
1
Z33 = (?4A2 + B 2 + D2 ? F 2 ? 4AC ? 4C 2 ),
8
1
Z12 = ? (BD + AF + 2CF ),
4
1
Z13 = ? D(C + 2A),
4
1
Z23 = ? (F D + AB + CB ).
4
Очевидно,
что система уравнений
Z = 0, s = 0 не имеет решений в силу ограничений на структурные константы A > 0, C < 0.
Алгебра A?4,26?,? , где ? ? (0, +?). Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную кривизну и компоненты блока
Z11
32
1 2
(A + B 2 + D2 + F 2 + 4 C 2 ).
2
1
= (A2 + B 2 + 3D2 + 3F 2 + 4C 2 ),
8
1
Z22 = (A2 + D2 + 3B 2 + 4C 2 ? F 2 ),
8
1 2
Z33 = (B + D2 + 3A2 ? F 2 ? 4C 2 ),
8
1
Z12 = ? (BD + 2CF ),
4
1
Z13 = D(A ? C ),
4
1
Z23 = ? (AB + F D + CB ).
4
Z11
Поскольку A и C положительны, то система
уравнений Z = 0, s = 0 не имеет решений.
Алгебра A4,10 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим скалярную
Об операторе кривизны . . .
кривизну и компоненты блока Z в разложении
оператора кривизны. Соответственно имеем
1
s = ? (A2 + B 2 + D2 + G2 + C 2 + 2 GC ),
2
1 2
Z11 = (A + B 2 + 3D2 + 3G2 + 2GC ? C 2 ),
8
1
Z22 = (A2 + D2 + 3B 2 + 2GC + 3C 2 ? G2 ),
8
1
Z33 = (B 2 + D2 + 3A2 ? 2GC ? G2 ? C 2 ),
8
1
Z12 = ? BD,
4
1
Z13 = (AD + CB ),
4
1
Z23 = ? (AB + GD).
4
Очевидно, что система уравнений Z = 0,
s = 0 не разрешима при заданных ограничениях
на структурные константы A > 0, C < 0, G > 0.
Тем самым доказательство теоремы 1 завершено.
Заметим, что метрики, удовлетворяющие
условиям теоремы 1, являются плоскими, в том
смысле, что секционная кривизна данных многообразий тривиальна.
Кроме того, аналогично исследован случай
действительных четырехмерных неунимодулярных групп Ли и доказана
Теорема 2. Пусть G { действительная
четырехмерная неунимодулярная группа Ли с
левоинвариантной римановой метрикой. Тогда
? 6= 0.
A░g
Отметим также, что при доказательстве теоремы 2 существенно использовались результаты
работ [6, 7].
Библиографический список
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: пер. с
англ.: в 2 т. { М., 1990.
2. Singer I.M., Thorpe J.A. The curvature of
4-dimensional Einstein spaces // Global Analisis, Papers in Honour of K. Kodarira. { Tokyo,
1969.
3. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. { 2008. { Т. 419,
№ 6.
4. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура
кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли.
33
Унимодулярный случай // Мат. труды. {
2008. { Т. 11, № 2.
5. Milnor J. Curvature of left invariant metric
on Lie groups // Advances in mathematics. {
1976. { V. 21.
6. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах
Ли // Изв. вузов. Математика. { 1963. { Т. 32,
№ 1.
7. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура
кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли.
Неунимодулярный случай // Мат. труды. {
2009. { Т. 12, № 1.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
233 Кб
Теги
метрикой, кривизна, римановой, оператора, группа, четырехмерных, левоинвариантными
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа