close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об определении коэффициента поверхностного натяженияв двухфазовых задачах теории упругостипри условии несжимаемостиили наличии жестких включений.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9+539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3
А. С. Михайлов
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА
ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
В ДВУХФАЗОВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПРИ УСЛОВИИ НЕСЖИМАЕМОСТИ
ИЛИ НАЛИЧИИ ЖЕСТКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ∗
1. Введение. Рассматривается модель фазовых переходов в механике сплошных сред
[1], в которой функционал энергии состоит из суммы энергии деформации и поверхностной энергии. Существует несколько способов учета поверхностной энергии [2, 3], в том
числе прямой способ, при котором поверхностная энергия считается пропорциональной
площади границы раздела фаз с коэффициентом пропорциональности, называемым коэффициентом поверхностного натяжения. Эта физическая характеристика зависит от
рассматриваемой упругой среды, мала, но ее точная величина неизвестна. Возникает вопрос, можно ли оценить коэффициент поверхностного натяжения через другие
характеристики упругой среды? Подобное исследование проводилось в работе [4].
Мы рассмотрим однородную анизотропную двухфазовую упругую среду с нулевым граничным полем смещений и дополнительным условием несжимаемости или абсолютной жесткости одной из фаз. Следуя схеме [4–7], мы исследуем соответствующий
функционал энергии с нулевым и отличным от нуля коэффициентом поверхностного
натяжения, рассмотрим вопрос зависимости температур фазовых переходов от размера области и, в заключение, ответим на основной вопрос — дадим метод определения
коэффициента поверхностного натяжения.
2. Постановка задачи. Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область с липшицевой
границей, в которой расположена двухфазовая упругая среда. Пусть функция u ∈
W01,2 (Ω, Rn ) задает поле смещения каждой точки x ∈ Ω упругой среды, а характеристические функции χ = (χ+ , χ− ), χ± ∈ BV (Ω) своими носителями задают распределения
фаз упругой среды по области Ω.
Функционал энергии двухфазовой упругой среды имеет вид
+
+
−
−
(1)
I[u, χ, t, σ] = (F (∇u, t)χ (x) + F (∇u, t)χ (x)) dx + σ |Dχ|.
Ω
Ω
±
Здесь F — плотности энергии деформации каждой из фаз, параметр t играет роль
температуры, σ = (σ+ , σ− ) — коэффициенты поверхностного натяжения и
+
σ |Dχ| = σ+ |Dχ | + σ− |Dχ− |,
Ω
где
Ω
Ω
|Df | =
Ω
∗ Работа
sup
h∈C01 (Ω,Rn ),|h|1
f divh dx.
Ω
выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-01063) и Совета по грантам
Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ
(грант № НШ-8336.2006.1).
c А. С. Михайлов, 2006
24
Будем предполагать, что фазы не перемешиваются, т. е. выполняется условие
χ± — характеристические функции,
χ+ (x) + χ− (x) = 1
при п.в. x ∈ Ω.
(2)
Определим плотности энергии деформации F ± (M, t) равенствами
+
+
F + (M, t) = a+
ij,kl (ξij − ζij )(ξkl − ζkl ) − t,
−
−
F − (M, t) = a−
ij,kl (ξij − ζij )(ξkl − ζij ) + t,
ξ=
1
2 (M
∗
(3)
t ∈ R,
+ M ),
где коэффициенты a±
ij,kl ∈ R удовлетворяют условиям симметрии
±
±
±
a±
ij,kl = akl,ij = aji,kl = aij,lk
и условию положительной определенности
a±
ij,kl ξij ξkl νξij ξij ,
ν > 0,
справедливому для всех симметричных матриц ξ, а симметричные матрицы ζ ± в (3)
играют роль тензоров остаточного напряжения.
В дальнейшем будем рассматривать две задачи на минимум функционала (1) с
плотностями энергии деформации (3) при различных дополнительных ограничениях
на поле смещений.
Первое ограничение говорит о несжимаемости фазы с индексом «+». Итак, в качестве первого множества определения функционала (1) рассмотрим
D1 = {(u, χ) : χ+ div u = 0}.
(4)
Второе ограничение говорит о том, что фаза с индексом «+» состоит из абсолютно
жесткого вещества, т. е. не испытывает деформаций:
D2 = {(u, χ) : χ+
ui + uj xj
xi
2
= 0, ∀i, j = 1 . . . n}.
(5)
Такие вариационные задачи рассматривались в монографии [2] и статье [8], где были
доказаны теоремы существования при положительных коэффициентах поверхностного натяжения и получены необходимые условия минимума. Отличие рассматриваемой
ситуации от изученной состоит в том, что плотности энергии деформации F ± не зависят от точки x ∈ Ω. Это позволяет исследовать задачи при нулевом коэффициенте
поверхностного натяжения, а также пронаблюдать зависимость характера состояния
равновесия от параметров задачи, чисел t и σ.
3. Задача с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения. При σ =
0 функционал (1) может быть переписан следующим образом
I[u, χ, t, 0] =
+
a+
ij,kl ξij ξkl χ
Ω
+
Ω
dx −
+
2a+
ij,kl ζkl
+
ξij χ dx +
Ω
−
−
−
a−
ij,kl ξij ξkl χ dx − 2aij,kl ζkl
Ω
+ +
[a+
ij,kl ζij ζkl
− t]
χ+ dx+
Ω
− −
ξij χ− dx + [a−
ij,kl ζij ζkl + t]
χ− dx,
Ω
25
где ξij =
uixj +ujxi
. Привлекая условие (2), перепишем последнее выражение в виде
I[u, χ, t, 0] = aij,kl (x)ξij ξkl dx − 2Aij ξij χ+ dx + A(t),
(6)
2
Ω
где
Ω
−
+
−
aij,kl (x) = a+
ij,kl χ (x) + aij,kl χ (x),
+
−
−
Aij = a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl ,
(7)
A(t) = I[0, χ, t, 0].
Заметим, что если минимизировать функционал (1) на множестве (5), то второе
слагаемое в правой части (6) обнулится и мы придем к выводу, что
I[u, χ, t, 0] = aij,kl (x)ξij ξkl dx + I[0, χ, t, 0] I[0, χ, t, 0].
Ω
Таким образом, минимум функционала (1) на множестве (5) достигается на паре (û, χ̂),
где û = 0. Подставим û = 0 в (1) при σ = 0:
+
+ +
−
− −
+
I[0, χ, t, 0] = [aij,kl ζij ζkl − t] χ dx + [aij,kl ζij ζkl + t] (1 − χ+ ) dx.
Ω
Ω
Правая часть последнего равенства линейно зависит от
χ+ dx, следовательно, функ-
Ω
ционал
в крайних точках χ+ ≡ 1 или χ+ ≡ 0, или если множители
+достигает
минимума
+
при χ dx и (1−χ ) dx уравновешены, при произвольной характеристической функΩ
Ω
ции χ+ . Результат вычислений сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть минимум функционала (1) при σ = 0 на множестве (5) реализуется на паре (û, χ̂). Тогда û = 0 и χ̂+ ≡ 1, если t > t∗ ; χ̂+ ≡ 0, если t < t∗ ; χ̂+ —
произвольная характеристическая функция, если t = t∗ , где
t∗ =
1 + + +
− −
(a
ζ ζ − a−
ij,kl ζij ζkl ).
2 ij,kl ij kl
(8)
Таким образом, состояния равновесия функционала (1) при σ = 0 однофазовы всегда, за исключением одного выделенного значения температуры t∗ . Если пронаблюдать
динамику изменения характера состояний равновесия при повышении температуры t,
то можно увидеть, что среда из однофазового состояния «−» перерождается в однофазовое состояние «+» при критическом значении температуры t = t∗ .
Изучим вопрос о характере состояний равновесия функционала (1) при σ = 0 на
множестве (4). Для этого запишем (6) в виде
I[u, χ, t∗ + ε, 0] = aij,kl (x)ξij ξkl dx − 2Aij ξij χ+ dx + I[0, χ, t∗ + ε, 0] =
Ω
Ω
(9)
= aij,kl (x)ξij ξkl dx − 2Aij ξij χ+ dx + ε (χ− − χ+ ) dx + I[0, χ, t∗ , 0].
Ω
Ω
Ω
Проанализируем полученное соотношение. Первое слагаемое правой части (9)
квадратично зависит от ∇u, второе — линейно, а последние два не зависят от ∇u.
26
Пусть Aij = cδij , где δij = 0 при i = j, δij = 1 при i = j. Тогда второе слагаемое в
правой части (9) перепишется в виде
2Aij ξij χ+ dx = 2cδij ξij χ+ dx = 2c div u χ+ dx = 0.
Ω
Ω
Ω
Последнее равенство выполнено, т. к. пара (u, χ) принадлежит множеству определения
(4). Следовательно, в (9) отсутствует линейное по ∇u слагаемое и минимум достигается
на паре (û, χ̂) при û = 0. Таким образом, (û, χ̂) ∈ D2 , и можно утверждать, что мы
находимся в условиях теоремы 1.
Пусть Aij = cδij , тогда можно подобрать функции (ũ, χ̃) ∈ D1 так, что div ũ = 0,
aij,kl (x)ξ˜ij ξ̃kl dx − 2Aij
Ω
ξ˜ij χ̃+ dx = −Λ = −Λ(ũ, χ̃) < 0,
ξ˜ij =
Ω
ũixj + ũjxi
2
.
(10)
С учетом последнего тождества, (9) предстает в виде
I[ũ, χ̃, t∗ + ε, 0] = −Λ + ε (χ̃− − χ̃+ ) dx + I[0, χ̃, t∗ , 0] =
Ω
= −Λ + ε
(χ̃− − χ̃+ ) dx + I[0, χ̂, t∗ , 0] =
Ω
= −Λ + ε
(χ̃− − χ̃+ ) dx + I[0, χ̂, t∗ + ε, 0] − ε
Ω
= −Λ + ε
(χ̂− − χ̂+ ) dx =
Ω
(χ̃− − χ̃+ ) dx + I[0, χ̂, t∗ + ε, 0] + |ε||Ω|.
(11)
Ω
В последней цепочке χ̂+ ≡ 1 при ε > 0, χ̂− ≡ 1 при ε < 0, а при ε = 0 χ̂+ – произвольная
характеристическая функция. Правую часть (11) можно оценить следующим образом:
I[ũ, χ̃, t∗ + ε, 0] −Λ + 2|ε||Ω| + I[0, χ̂, t∗ + ε, 0],
откуда видно, что при малых ε состояния равновесия функционала I[u, χ, t∗ +ε, 0] двухфазовые. А именно, верна следующая теорема.
Теорема 2. Пусть минимум функционала (1) при σ = 0, t = t∗ + ε на множестве
+
−
−
(4) реализуется на паре (û, χ̂) и пусть a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl = cδij , где δij = 0 при i = j,
1
+
δij = 1 при i = j, c ∈ R . Тогда û = 0 и 0 ≡ χ̂ ≡ 1, если
|ε| <
Λ
,
2|Ω|
(12)
где t∗ задается тождеством (8), а число Λ определяется в (10).
+
−
−
Если a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl = cδij , то верно утверждение теоремы 1.
Сделаем замечание к последней теореме. Число Λ в (10) определяется неоднозначно.
Оно зависит от функций (ũ, χ̃), и чем лучше мы сможем ими распорядиться, тем лучше
оценим Λ. В статье [7] указан метод построения оптимальной оценки Λ, к сожалению,
в нашем случае этот метод не работает из-за наличия дополнительного ограничения на
27
поле смещений (условия несжимаемости). Метод состоит в явном построении функций
(ũ, χ̃) таких, что Λ в (10) становится большим. Для этого выписывается вспомогательная задача в шаре и строятся ее симметричные решения. Специфика нашей ситуации
заключается в том, что все симметричные решения из-за наличия условия несжимаемости (4) автоматически становятся нулевыми и, как следствие, Λ = 0. Построение
несимметричных решений в явном виде — это отдельная задача, выходящая за рамки
данной статьи. Поэтому мы ограничимся только лишь существованием таких решений.
Теорема 2 характеризует состояния равновесия функционала (1) при σ = 0 на множестве (4) при температурах, мало отличающихся от критической t = t∗ . Возникает
вопрос — что будет с состояниями равновесия при больших температурах? Ответ на
аналогичный вопрос можно найти в работе [7], приведем его точную формулировку и
упрощенное доказательство.
Теорема 3. Пусть минимум функционала (1) при σ = 0, t = t∗ + ε на множестве
(4) реализуется на паре (ũ, χ̃). Тогда ũ = 0 и χ̃+ ≡ 1 при ε > ε+ , χ̃− ≡ 1 при ε < ε− ,
где
− −
+
+ −
+
+ +
− −1
+
ε+ = 12 (a−
ij,kl ζij ζkl − 2aij,kl ζij ζkl + (a )kl,st aij,kl ζij apq,st ζpq ),
(13)
+ +
−
− +
−
− −
+ −1
−
ε− = − 21 (a+
ij,kl ζij ζkl − 2aij,kl ζij ζkl + (a )kl,st aij,kl ζij apq,st ζpq ),
±
число t∗ задается тождеством (8), а (a± )−1
kl,st — тензоры, обратные к aij,kl .
Доказательство. Возьмем тождество (11), подставив в него Λ из (10), считая,
что (ũ, χ̃) — пара, на которой реализуется минимум функционала (1) на множестве (4),
χ̂+ ≡ 1 при ε > 0, χ̂− ≡ 1 при ε < 0, а при ε = 0 χ̂+ — произвольная характеристическая
функция:
∗
I[ũ, χ̃, t + ε, 0] =
aij,kl (x)ξ˜ij ξ˜kl dx − 2Aij
Ω
−
ξ˜ij χ̃+ dx+
Ω
+
∗
aij,kl (x)ξ˜ij ξ˜kl dx−
(χ̃ − χ̃ ) dx + I[0, χ̂, t + ε, 0] + |ε||Ω| =
+ε
Ω
− 2Aij
ξ˜ij χ̃+ dx +
Ω
Ω
((|ε| + ε)χ̃− + (|ε| − ε)χ̃+ ) dx + I[0, χ̂, t∗ + ε, 0]. (14)
Ω
При ε < 0 правую часть (14) можно упростить и, используя условие положительной
определенности коэффициентов a−
ij,kl , получить неравенство
I[ũ, χ̃, t∗ + ε, 0] − I[0, χ̂, t∗ + ε, 0] = 2(ε− − ε)
+
˜ ˜
˜
(a+
ij,kl (x)ξij ξkl − 2Aij ξij + (−2ε))χ̃ dx =
Ω
+
χ̃ dx +
Ω
+
˜ ˜
˜
(a+
ij,kl (x)ξij ξkl − 2Aij ξij + (−2ε− ))χ̃ dx.
Ω
Исходя из определения числа ε− , подынтегральное выражение последнего интеграла
содержит полный квадрат, поэтому мы можем сказать, что
I[ũ, χ̃, t∗ + ε, 0] − I[0, χ̂, t∗ + ε, 0] 2(ε− − ε) χ̃+ dx.
Ω
28
Следовательно, при ε− − ε > 0 χ̃+ ≡ 0, иначе пара (ũ, χ̃) не доставляла бы минимум
функционалу (1).
При ε > 0 доказательство проводится аналогично, с заменой индекса «+» на «−»,
ввиду того, что
ξ̃ij χ̃+ dx = −Aij
Aij
Ω
ξ̃ij χ̃− dx.
Ω
Проанализируем последние две теоремы. Нетрудно увидеть, что если выполняет+
−
−
∗
ся условие a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl = cδij , то при t = t у функционала (1) на множестве
(4) наблюдаются только однофазовые состояния равновесия. Если же условие не выполняется, то из теоремы 2 следует, что при температурах, близких к критической, у
функционала (1) на множестве (4) наблюдаются многофазовые состояния равновесия,
а из теоремы 3 следует, что при температурах, далеких от критической, все состояния
равновесия однофазовые.
4. Задача с положительным коэффициентом поверхностного натяжения.
Из условия несмешиваемости (2) можно сделать вывод, что
σ |Dχ| = σ+ |Dχ+ | + σ− |Dχ− | =
Ω
Ω
Ω
−
|Dχ | = (σ+ + σ− )
= (σ+ + σ− )
Ω
|Dχ+ |.
Ω
Поэтому функционал (1) зависит от |σ| = σ+ + σ− . Исследуем эту зависимость. Подобная задача рассматривалась в [2, 5, 8–10], и, как отмечалось, верен следующий простой
факт. Так как исходный функционал (1) линейно зависит от параметров t, |σ|, если
мы минимизируем его по (u, χ) ∈ D1,2 , то такой минимум будет являться вогнутой
функцией по переменным (t, |σ|). Вогнутость функции означает выпуклость ее подграфика. Как простейшее следствие, мы получаем, что множества значений параметров
(t, |σ|) ∈ R2+ , соответствующих каждому из однофазовых состояний равновесия, являются выпуклыми.
Для задачи с жесткими включениями из сказанного и теоремы 1 можно сделать
следующий вывод.
Теорема 4. Пусть минимум функционала (1) при |σ| > 0 на множестве (5) реализуется на паре (û, χ̂). Тогда û = 0 и χ̂+ ≡ 1, если t > t∗ ; χ̂+ ≡ 0, если t < t∗ ; χ̂+ —
либо 0, либо 1, если t = t∗ , где t∗ определяется равенством (8).
Аналогичное утверждение верно, если мы рассматриваем задачу на минимизацию
+
−
−
функционала (1) на множестве (4) при условии, что a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl = cδij .
Нам осталось ответить на вопрос, что происходит с состояниями равновесия
функционала (1) на множестве (4), если последнее условие не выполняется. Из теоремы 2, теоремы 3 и свойства выпуклости однофазовых зон множества R2+ (t, |σ|) следует, что существует функция σ0 = σ0 (t), выпуклая на каждом из интервалов (−∞, t∗ ),
(t∗ , ∞) такая, что график функции σ0 и (может быть) прямая t = t∗ делят R2+ на три
зоны.
M1 = {(t, |σ|) : t > t∗ , |σ| > σ0 (t)},
M2 = {(t, |σ|) : t < t∗ , |σ| > σ0 (t)},
M3 = {(t, |σ|) : t ∈ R1 , |σ| < σ0 (t)}.
(15)
29
В первой зоне, множестве M1 , все состояния равновесия однофазовые с чистой фазой
«+». Во второй зоне, множестве M2 , все состояния равновесия однофазовые с чистой
фазой «−». В третей зоне, множестве M3 , все состояния равновесия двухфазовые. Открытым остается вопрос, как правая и левая ветки выпуклой на каждом из интервалов
(−∞, t∗ ), (t∗ , ∞) функции σ0 (t) ведут себя при приближении к прямой t = t∗ . Ответ на
него дают две следующие леммы.
Лемма 1. Функция σ0 (t), отделяющая зоны однофазовых состояний равновесия от
двухфазовых на множестве параметров R2 (t, |σ|) функционала (1), ограничена, и
верна оценка
|Aij ||Aij | |Ω| 1/n
,
(16)
σ0 (t∗ ) k(Ω)
ν
2
где Aij задаются равенством (7), а k(Ω) — константа в изопериметрическом неравенстве (21).
Доказательство. Метод доказательства аналогичен [5], здесь приведен из-за своей
простоты и для полноты картины. Пусть пара (û, χ̂) доставляет минимум функционалу
(1) на множестве (4) при t = t∗ , |σ| > 0 и пусть состояние равновесия двухфазово, т. е.
0 ≡ χ+ ≡ 1. Преобразуя функционал (1) как в (9), получим
I[û, χ̂, t∗ , σ] = aij,kl (x)ξˆij ξˆkl dx − 2Aij ξ̂ij χ̂+ dx + I[0, χ̂, t∗ , 0] + σ |Dχ̂| =
Ω
Ω
ξ̂ij χ̂+ dx + σ
aij,kl (x)ξˆij ξˆkl dx − 2Aij
=
Ω
Ω
Ω
|Dχ̂| + I[0, χ̃, t∗ , σ],
(17)
Ω
где χ̃+ ≡ 1. Перенесем последнее слагаемое из правой части (17) налево и учтем, что
пара (û, χ̂) доставляет минимум функционалу (1). В результате придем к неравенству
+
ˆ
ˆ
ˆ
aij,kl (x)ξij ξkl dx + σ |Dχ̂| 2Aij ξij χ̂ dx = −2Aij ξ̂ij χ̂− dx.
(18)
Ω
Ω
Ω
Ω
Пусть теперь χ̂τ — та из функций χ̂+ или χ̂− , для которой
1
1
χ̂τ dx .
|Ω|
2
(19)
Ω
Тогда из неравенства (18) следует соотношение
τ
ˆ
ˆ
aij,kl (x)ξij ξkl dx + |σ| |Dχ̂ | 2|Aij | |ξˆij |χ̂τ dx Ω
Ω
ν
Ω
Ω
|Aij ||Aij |
ξˆij ξˆij χ̂τ dx +
ν
χ̂τ dx.
(20)
Ω
Далее, пользуясь изопериметрическим неравенством
Ω
30
n−1
n
χ dx
k(Ω) |Dχ|,
Ω
∀χ :
1
|Ω|
χ dx Ω
1
,
2
(21)
и неравенством Гёльдера для функции χ̂τ
n−1
n1
n
τ
τ
χ̂ dx χ̂ dx
χ̂τ dx ,
Ω
Ω
Ω
получим из (20) следующее:
n1
|Aij ||Aij |
|σ| |Dχ̂τ | k(Ω) |Dχ̂τ |
χ̂τ dx .
ν
Ω
Ω
Ω
Последний множитель можно оценить сверху, используя (19), после чего остается заметить, что в левой части неравенства число |σ| не может быть большим, иначе неравенство перестанет быть верным. Таким образом, доказательство леммы завершено.
Лемма 2. Функция σ0 (t), отделяющая зоны однофазовых состояний равновесия от
+
двухфазовых на множестве параметров R2 (t, |σ|) функционала (1), при a+
ij,kl ζkl −
−
−
aij,kl ζkl = cδij не равна нулю и верна оценка
σ0 (t∗ ) Λ
,
P
(22)
где числа Λ, P задаются равенствами (10), (24).
Доказательство. Перепишем (17) в виде
I[û, χ̂, t∗ , σ] − I[0, χ̃, t∗ , σ] = aij,kl (x)ξˆij ξˆkl dx − 2Aij ξˆij χ̂+ dx + σ |Dχ̂|,
Ω
Ω
Ω
(23)
где (û, χ̂) — произвольный элемент из множества определения (4) функционала (1),
χ̃+ ≡ 1. Положим в (23) |σ| = σ0 (t∗ ). При таком критическом значении параметра
σ пара (0, χ̃) является состоянием равновесия функционала, следовательно левая часть
равенства (23) неотрицательна, откуда следует оценка
⎛
⎞
−1
⎝ aij,kl (x)ξˆij ξˆkl dx − 2Aij ξ̂ij χ̂+ dx⎠ = Λ(û, χ̂) .
σ0 (t∗ ) |Dχ̂|
|Dχ̂+ |
Ω
Ω
Ω
Ω
Далее, возьмем функции (û, χ̂) такие, что div û = 0, Λ(û, χ̂) > 0. Это возможно ввиду
выполнения условия Aij = cδij . А так как пространство BV (Ω) плотно вкладывается в
L1 (Ω), можно подобрать такую функцию χ̃, что
P = |Dχ̃+ | < ∞.
(24)
Ω
Доказательство леммы завершено.
Сформулируем результат о зависимости состояний равновесия функционала (1) на
множестве (4) от параметров (t, |σ|) в виде теоремы.
Теорема 5. Пусть минимум функционала (1) при |σ| = σ+ + σ− > 0, t = t∗ + ε
+
−
−
на множестве (4) реализуется на паре (û, χ̂) и пусть a+
ij,kl ζkl − aij,kl ζkl = cδij . Тогда существует финитная функция σ0 = σ0 (t), выпуклая на каждом из интервалов
31
(−∞, t∗ ), (t∗ , ∞), такая, что на множествах Mi , i = 1, 2, 3, задаваемых (15), выполняется следующее: χ̂+ ≡ 1 если (t, |σ|) ∈ M1 , χ̂− ≡ 1 если (t, |σ|) ∈ M2 , 0 ≡ χ̂+ ≡ 1
если (t, |σ|) ∈ M3 . Кроме того, σ0 (t) σ0 (t∗ ), где для σ0 (t∗ ) верны оценки (16), (22), а
неравенства (12), (13) дают двустороннюю оценку для носителя функции σ0 :
Λ
Λ
,
(25)
−
⊂ supp σ0 − t∗ ⊂ (ε− , ε+ ).
2|Ω| 2|Ω|
5. Зависимость температуры фазовых переходов от размера области и
определение коэффициента поверхностного натяжения. В этом параграфе будем полагать, что вместе с областью Ω 0 задано семейство пропорциональных областей ΩR :
(26)
ΩR = {y ∈ Rn : y = Rx, x ∈ Ω},
в каждой из которых можно рассматривать задачу на нахождение минимума функционала
|Dχ|
(27)
I[u, χ, t, σ, ΩR ] = (F + (∇u, t)χ+ (y) + F − (∇u, t)χ− (y)) dy + σ
ΩR
ΩR
на множестве
D1R = {(u, χ) : u ∈ W01,2 (ΩR ), х.ф. χ± ∈ BV (ΩR ), χ+ div u = 0, y ∈ ΩR },
(28)
где плотности энергии деформации F ± задаются равенствами (3), σ = (σ+ , σ− ), χ =
(χ+ , χ− ) определяют местоположение фаз и выполняется условие несмешиваемости
χ+ + χ− = 1
при п.в. y ∈ ΩR .
Сведем вариационную задачу в ΩR к изученной задаче в области Ω. Пусть
uR (y) = Ru(x),
Тогда
±
χ±
R (y) = χ (x),
где
y = Rx,
x ∈ Ω,
σ I[uR , χR , t, σ, ΩR ] = Rn I u, χ, t, , Ω .
R
y ∈ ΩR .
(29)
Кроме того, если (uR , χR ) ∈ D1R , то (u, χ) ∈ D1 . В силу этого обстоятельства, задача по
определению минимума функционала энергии в множестве ΩR при температуре t и коэффициенте поверхностного натяжения σ сводится к задаче по определению минимума
этого функционала в области Ω при той же температуре и коэффициенте поверхностного натяжения σ/R. Такую задачу мы изучали в предыдущем параграфе и проследили зависимость характера состояния равновесия от параметров. Соотношение (29)
показывает, что изменение размеров области ΩR сводится к изменению коэффициента
σ. Переформулируем теорему 5 в терминах изменения коэффициента поверхностного
натяжения.
Теорема 6. Пусть минимум функционала (27) при R = 1, |σ| = σ+ + σ− > 0,
+
t = t∗ + ε на множестве (28) реализуется на паре (û, χ̂) и пусть Aij = a+
ij,kl ζkl −
−
−
aij,kl ζkl = cδij . Тогда существуют выпуклые функции t+ (|σ|) и −t− (|σ|) такие, что
χ̂+ ≡ 1 при t > t+ (|σ|), χ̂− ≡ 1 при t < t− (|σ|), 0 ≡ χ̂+ ≡ 1 при t− (|σ|) < t < t+ (|σ|).
32
Кроме того, |t± (0)| < ∞ и
t+ (0) t∗ + ε+ ,
t− (0) t∗ + ε− ,
(30)
где ε± задаются равенствами (13).
Функции t± (|σ|) = t∗ при |σ| σ ∗ , где t∗ определяется тождеством (8), а на σ ∗
есть двустороняя оценка
Λ
σ ∗ k(Ω)
P
|Aij ||Aij |
ν
|Ω|
2
1/n
,
(31)
в которой k(Ω) — константа в изопериметрическом неравенстве (21), числа Λ, P ,
задаются в (10) и (24).
Функции t± (|σ|) определяют температуру фазовых переходов для состояний равновесия функционала (27) при R = 1. Если же мы захотим рассмотреть температуры
фазовых переходов t±
R (|σ|) для функционала (27) при произвольных R, то из соотношения (29) будет следовать, что
|σ|
±
.
(32)
t±
(|σ|)
=
t
R
R
На основании последнего равенства можно построить алгоритм по определению
(оценке) коэффициента поверхностного натяжения. Будем полагать, что |σ| = σ0 нам
неизвестен. Предположим также, что мы можем экспериментальным путем определить
температуры фазовых переходов, т. е. считаем, что t±
R (σ0 ) — наблюдаемые величины.
Тождество (32) и теорема 6 говорят, что при малых значениях R (т. е. в малых областях) при изменении температуры от +∞ до −∞ состояние вещества всегда остается
±
∗
однофазовым (t±
R (σ0 ) = t (σ0 /R) = t при σ0 /R > σ∗ ). Начинаем увеличивать параметр
R, продолжая проводить эксперименты в области ΩR . При постепенном увеличении параметра R наступит момент, когда в состоянии равновесия будут присутствовать обе
−
+
−
фазы (t+
R (σ0 ) = t (σ0 /R) > t (σ0 /R) = tR (σ0 ) при σ0 /R < σ∗ ). Этот момент мы фиксируем. Таким образом нам удалось определить число R∗ такое, что при R < R∗ при
любых температурах все состояния равновесия функционала энергии однофазовые, а
при R > R∗ будут наблюдаться двухфазовые состояния равновесия. Следовательно
σ0 /R∗ = σ∗ и, вспоминая оценку (31) мы делаем вывод, что
σ0
Λ
∗ k(Ω)
P
R
|Aij ||Aij |
ν
|Ω|
2
1/n
.
(33)
Кроме того, заметим, что эксперимент по определению температуры фазовых переходов можно ставить не при всех температурах t ∈ R, а только на интервале
t ∗ + ε − < t < t∗ + ε + .
Автор признателен В. Г. Осмоловскому за постановку задачи.
33
Summary
A. S. Mikhailov. On determination of the surface tension coefficient in the two-phase elasticity
problems under the assumption of incompressibility or with inflexible inclusions.
The homogeneous anisotropic two-phase elastic medium with one incompressible or absolutely
inflexible phase and a shear field vanishing at the boundary is considered. The detailed description
of the dependence of equilibrium states on the temperature and the surface tension coefficient
is obtained. The method of determining the surface tension coefficient in the problem of phase
transitions is suggested.
Литература
1. Гринфельд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений.
Москва, 1990. 180 с.
2. Осмоловский В. Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной
среды. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000. 260 с.
3. Михайлов А. С. Фазовые переходы в многофазовых средах при учете поверхностной
энергии границы раздела фаз с помощью интеграла от старших производных поля смещений
// Проблемы мат. анализа, 2001. Т. 22. С. 106–126.
4. Осмоловский В. Г. Об определении коэффициента поверхностного натяжения в механике
двухфазовых упругих сред // Проблемы мат. анализа, 2005. Т. 30. C. 61–68.
5. Осмоловский В. Г. Зависимость состояний равновесия двухфазовой упругой среды от
температуры при положительном коэффициенте поверхностного натяжения // Записки научных семинаров ПОМИ (в печати).
6. Осмоловский В. Г. Зависимость темпереатуры фазовых переходов от размеров области
// Зап. научных семинаров ПОМИ, 2004. Т. 310. С. 98–114.
7. Осмоловский В. Г. Зависимость состояний равновесия двухфазовой упругой среды от
температуры при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения // Проблемы мат. анализа, 2004. Т. 28. С. 95–104.
8. Михайлов А. С., Михайлов В. С. Фазовые переходы в многофазовых средах // Проблемы
мат. анализа, 2000. Т. 20. C. 120–170.
9. Осмоловский В. Г. Фазовые переходы для модели упругой среды с остаточным напряжением // Проблемы мат. анализа, 1997. Т. 17. С. 153–191.
10. Осмоловский В. Г. Зависимость характера состояний равновесия двухфазовой упругой
среды от параметров задачи // Записки научных семинаров ПОМИ, 2000. Т. 271. С. 156–175.
Статья поступила в редакцию 10 апреля 2006 г.
34
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа