close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отсутствии предельных циклов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
УДК 517.2
ББК 22.161.6
У 95
Ушхо А.Д.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженернофизического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 5939-08, e-mail: uschho76@mail.ru
Панеш Т.А.
Ассистент кафедры алгебры и геометрии факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-03, e-mail: tpanesh@yandex.ru
Об отсутствии предельных циклов полиномиальных
векторных полей с вырожденной бесконечностью
(Рецензирована)
Аннотация
Рассматриваются достаточные условия отсутствия предельных циклов полиномиальных векторных полей n-ой степени на плоскости с вырожденной бесконечностью. Приведены примеры систем,
удовлетворяющих этим условиям.
Ключевые слова: предельный цикл, векторное поле, вырожденная бесконечность, инвариант, линейное неособенное преобразование.
Ushkho A.D.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: uschho76@mail.ru
Panesh T.A.
Assistant Lecturer of Algebra and Geometry Department, Mathematics and Computer Science Faculty,
Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-03, e-mail: tpanesh@yandex.ru
On lack of limit cycles of polynomial vector fields with degenerate infinity
Abstract
Sufficient conditions of lack of limit cycles of n degree polynomial vector fields on the plane with degenerate infinity are considered. Examples of the systems meeting these conditions are given.
Keywords: limit cycle, vector field, degenerate infinity, invariant, linear nonexceptional transformation.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
 dx n
 dt = ∑ Pi ( x, y ) ≡ P( x, y ),

i =0

n
 dy = Q ( x, y ) ≡ Q( x, y ),
i
 dt ∑
i =0
где Pi ( x, y ) =
∑a
r + s =i
rs
x r y s , Qi ( x, y ) =
∑b
r + s =i
rs
(1)
xr y s .
В данной работе считается, что ( P, Q) = 1 .
По терминологии [1] система (1) называется системой с вырожденной бесконечностью, если
-9-
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
xQ( x, y ) − yPn ( x, y ) ≡ 0 .
(2)
Обозначим M sk (k ) – множество, состоящее из s параллельных между собой инвариантных прямых системы (1) с угловым коэффициентом k . Если система (1) является системой с вырожденной бесконечностью, то этот факт мы будем символически
обозначать так: (1) ∈Wn .
Можно показать, что свойство системы (1) быть вырожденной на бесконечности
является инвариантом относительно линейного неособенного преобразования.
(
)
Теорема 1. Пусть (1) ∈Wn , кроме этого M sk1 (k1 ) M rk 2 (k 2 ) – инвариантные множества системы (1), причем k1 ≠ k 2 . Тогда r + s ≤ n + 1 .
Доказательство. Следуя работе [2], применим к системе (1) преобразование
x = x + y , y = k1 x + k 2 y , которое переводит прямые множества M sk1 (k1 ) M rk2 (k2 ) в
изоклины нуля (бесконечности) дифференциальной системы (обозначения переменных
x , y , t оставляем неизменными):
(
(
 dx
 dt = ( x − α1 )( x − α 2 ) ⋅ ... ⋅ ( x − α r )[ pn−r ( x, y ) + ... + p0 ( x, y )],

 dy = ( y − β )( y − β ) ⋅ ... ⋅ ( y − β )[q ( x, y ) + ... + q ( x, y )],
1
2
s
n− s
0
 dt
)
(
)
(3)
)
где pi i = 0, n − r – однородные многочлены степени i ; q j i = 0, n − s – однородные
многочлены степени j .
Систему (3) перепишем в виде
 dx
r
 dt = x pn − r ( x, y ) + ϕ n −1 ( x, y ),

 dy = y s q ( x, y ) + ψ ( x, y ),
n−s
n −1
 dt
(4)
где ϕ n −1 , ψ n−1 – многочлены степени n − 1 ; pn − r и qn − s – однородные многочлены степеней n − r и n − s соответственно.
Так как (4) ∈ Wn , то выполняется равенство x r ypn − r ( x, y ) ≡ xy s qn − s ( x, y ) , из которого следуют отношения pn − r ( x, y ) ≡ y s −1 Bn +1− r − s ( x, y ) ,
qn − s ( x, y ) ≡ x r −1 Bn +1− r − s ( x, y ) , где
Bn +1− r − s ( x, y ) – однородный многочлен степени n + 1 − r − s . Отсюда следует, что
r + s ≤ n + 1 . Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 2.2 [1] является следствием теоремы 1.
Далее предположим, что система (1) ∈Wn имеет два инвариантных множества
k1
k2
M n−
1 ( k1 ) и M 2 ( k 2 ) , где k1 ≠ k 2 .
Тогда систему (1) можно привести к системе:
 dx
 dt = ( x − α1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − α n −1 )( y + c) ≡ P ,

 dy = ( y − β )( y − β )[ x n − 2 + Q ( x, y )] ≡ Q ,
1
2
n −3
 dt
где Qn−3 ( x, y ) – многочлен степени не выше n − 3 .
- 10 -
(5)
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
∂Qn −3 ( x, y )
≥ 0 (≤ 0) , то система (5) не имеет предельных циклов.
∂y
Доказательство.
Введем
в
рассмотрение
функцию
Дюлака
−1
D( x, y ) = [( x − α1 ) ⋅ .... ⋅ ( x − α n −1 )( y − β1 )( y − β 2 )] .
Теорема 2. Если
Тогда ( P D)′x + (Q D)′y = [( x − α1 ) ⋅ .... ⋅ ( x − α n−1 )]−1 ⋅ [Qn −3 ( x, y )]′y .
Если [Qn −3 ( x, y )]′y ≡ 0 , то система (5) является консервативной и не может иметь
изолированных периодических решений [3]. Если [Qn −3 ( x, y )]′y ≡/ 0 , но [Qn−3 ( x, y )]′y ≥ 0
или [Qn−3 ( x, y )]′y ≤ 0 , то согласно критерию Дюлака для односвязной области [3] система (5) не имеет предельных циклов. Теорема доказана.
Следствие 1. Кубическая дифференциальная система с вырожденной бесконечностью не имеет предельных циклов при наличии у этой системы инвариантных множеств M 2k (k1 ) и M 2k 2 (k 2 ) .
В самом деле, система (5) при n = 3 имеет вид
 dx
 dt = ( x − α1 )( x − α 2 )( y + c),

 dy = ( y − β )( y − β )( x + d ),
1
2
 dt
(6)
где c, d ∈ R \ {0} , c ≠ − β1, 2 , d ≠ −α1, 2 .
Очевидно , что система (6) является канонической по терминологии [4] и имеет только особые точки типа «центр » и «седло », а значит предельных циклов не
может иметь.
Следствие 2. Полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной
бесконечностью не имеет предельных циклов, если M 3k1 (k1 ) и M 2k 2 (k2 ) (k1 ≠ k2 ) – инвариантные множества указанного векторного поля.
Действительно, при n = 4 система (5) имеет вид
где c ≠ − β1, 2 .
 dx
= ( x − α1 )( x − α 2 )( x − α 3 )( y + c) ≡ P,
 dt

 dy = ( y − β )( y − β )( x 2 + Rx + Sy + T ) ≡ Q,
1
2
 dt
(7)
При S = 0 система (7) является канонической и предельных циклов не имеет. Если S =/ 0 , то в областях возможного расположения предельных циклов системы (7) выражение в правой части (8)
( PD1 )′x + (QD1 )′y = S[( x − α1 )( x − α 2 )( x − α 3 )]−1
(8)
знакопостоянно, и мы оказываемся в условиях критерия Дюлака [3].
Здесь D1 ( x, y ) = [( x − α1 )( x − α 2 )( x − α 3 )( y − β1 )( y − β 2 )]−1 .
Замечание 2. Если кубическая дифференциальная система с вырожденной бесконечностью имеет два инвариантных множества M 2k1 (k1 ) и M 2k 2 (k 2 ) (k1 ≠ k 2 ) , то она является консервативной. В отличие от этого полиномиальное векторное поле четвертой
степени с вырожденной бесконечностью может не быть консервативной.
- 11 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
Пример. Состояние равновесия (2;2) системы
 dx
 dt = ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( y − 2),

 dy = ( y − 1)( y − 3)( x 2 − y − 2),
 dt
является простым устойчивым фокусом.
Замечание 3. Существуют кубические системы, имеющие предельный цикл и два
инвариантных множества M 2k1 (k1 ) и M 2k 2 (k 2 ) (k1 ≠ k 2 ) ([5]). Очевидно, такие системы
не являются системами с вырожденной бесконечностью.
Пусть в системе (1) n – нечетно и n ≥ 3 . Предположим, что M rk1 (k1 ) и M rk 2 (k 2 ) –
инвариантные множества системы (1), причем k1 ≠ k 2 , 2r = n + 1 .
Тогда систему (1) можно привести к системе:
 dx
= ( x − α1 ) ⋅ ... ⋅ ( x − α r )[ y r −1 + Pn − r −1 ( x, y )],
 dt

 dy = ( y − β ) ⋅ ... ⋅ ( y − β )[ x r −1 + Q
1
r
n − r −1 ( x, y )],
 dt
(9)
где Pn −r −1 , Qn −r −1 – многочлены степени не выше n − r − 1 .
Теорема 3. Для отсутствия у системы (9) предельных циклов достаточно выполнения одного из трех условий:
Pn − r −1 ( x, y ) ≡ f ( y ) , Qn − r −1 ( x, y ) ≡ ϕ ( x) ;
(10)
Pn − r −1 ( x, y ) ≡ f ( y ) , Qn − r −1 ( x, y ) ≡ Ax + By + C , B ≠ 0 ;
(11)
Pn − r −1 ( x, y ) ≡ Mx + Ny + K , Qn − r −1 ( x, y ) ≡ ϕ ( x) , M ≠ 0 .
(12)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
1. Долов
Примечания:
References:
М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных
полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С.
132-137.
2. Ушхо Д.С.,
Горних М.И. Прямые изоклины и
канонические формы квадратичной дифференциальной системы на плоскости // Труды ФОРА. 2002. № 7. С. 72-82. URL:
http://fora.adygnet.ru
3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы
качественного исследования динамических
систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 490 с.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория
колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.
5. Ушхо Д.С., Ушхо А.Д. О сосуществовании
предельных циклов и линейных частных интегралов кубических дифференциальных систем
на плоскости // Труды ФОРА. 2004. № 9. С. 2024. URL: http://fora.adygnet.ru
1. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear private
integrals of polynomial vector fields of the fourth
degree with degenerate infinity. I / The NNGU
Bulletin. 2010. No. 6. P. 132-137.
2. Ushkho A.D., Gornikh M.I. Straight isoclines and
canonical forms of the quadric differential system
on the plane // Proceedings of Physical Society of
in Adygheya Republic. 2002. No. 7. P. 72-82.
URL: http://fora.adygnet.ru
3. Bautin N.N., Leontovich E.A. Methods and techniques of high-quality research of dynamic systems on the plane. M.: Nauka, 1976. 490 pp.
4. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaykin S.E. Theory
of vibrations. M.: Fizmatgiz, 1959. 916 pp.
5. Ushkho D.S., Ushkho A.D. On coexistence of limit
cycles and linear particular integrals of cubic differential systems on plane // Proceedings of Physical Society of Adygheya Republic. 2004. No. 9. P.
20-24. URL: http://fora.adygnet.ru
- 12 -
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
279 Кб
Теги
циклон, поле, бесконечности, полиномиальной, векторных, вырожденных, отсутствии, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа