close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости знакоопределенных решений скалярных уравнения с несколькими запаздываниями.

код для вставкиСкачать
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
28
УДК 517.929
В.В.МАЛЫГИНА, К.М.ЧУДИНОВ
Пермский государственный технический университет
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ СКАЛЯРНЫХ
УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ
Найдены достаточные условия, формулируемые в терминах параметров исходной задачи,
при которых функция Коши дифференциального уравнения с несколькими переменными
запаздываниями сохраняет знак и имеет экспоненциальную оценку. Для случаев, когда число
ненулевых коэффициентов уравнения не превосходит трех, приведена геометрическая
интерпретация полученных признаков в виде областей устойчивости на прямой, на плоскости и
в трехмерном пространстве.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
n
x& (t ) = a0 x(t ) − ∑ ak x(t − rk (t )), t ∈
k =1
+
= [0, +∞),
(1)
считая функцию x : + → доопределенной при отрицательных значениях аргумента
некоторой локально суммируемой начальной функцией. Здесь a0 – любое вещественное
число, при всех k = 1,K , n коэффициенты ak неотрицательны, запаздывания
rk : + → + измеримы по Лебегу на
+ и имеется такой набор положительных
констант ωk , что 0 ≤ rk (t ) ≤ ωk .
Решением уравнения (1) назовем локально абсолютно непрерывную функцию
x : + → , удовлетворяющую равенству (1) почти всюду на
+ . Как известно
[1, с.35], уравнение (1) с заданными начальной функцией и начальным условием
x(0) = x0 однозначно разрешимо.
Цель данной работы – получение признаков устойчивости уравнения (1). Все
определения устойчивости мы понимаем в классическом смысле: либо как
непрерывную зависимость от начальных данных [2, с.59], [3, с.130], либо как
соответствующие свойства (оценки) функции Коши [1, с.90].
Уточним постановку задачи. Мы будем искать условия устойчивости,
формулируемые в терминах параметров a0 , a1,K , an и ω1 ,K , ωn , которые считаем
фиксированными, то есть признаки устойчивости решений всех уравнений вида (1)
с заданным набором этих параметров при всевозможных функциях r1 ,K , rn ,
удовлетворяющих указанным выше условиям. В связи с этим оказывается удобным
расширить используемую терминологию. Именно: когда ниже мы будем иметь в виду
некоторый определенный набор чисел ak и ωk и функций rk , то будем говорить
о соответствующем уравнении (1), когда же будем говорить о семействе уравнений (1),
© Малыгина В.В., Чудинов К.М., 2009.
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
29
будем иметь в виду множество уравнений с фиксированным набором параметров ak
и ωk и всевозможными функциями rk .
Определение. Семейство уравнений (1) будем называть устойчивым (по
начальным данным, равномерно, асимптотически, экспоненциально), если все
входящие в него уравнения устойчивы (в соответствующем смысле).
В работе [5] предложен метод исследования асимптотических свойств решений
уравнения (1), сводящий вопрос о его устойчивости к исследованию свойств
вспомогательного автономного уравнения. Данная статья углубляет разработку этого
метода.
Предварительные результаты
Если для данных параметров a0 , a1,K , an и ω1 ,K , ωn найдется такой набор
запаздываний rk , что уравнение (1) неустойчиво, то неустойчиво и семейство,
в которое входит уравнение. Таким образом, при изучении условий устойчивости
семейства (1) можно отбрасывать такие наборы ak и ωk .
n
Теорема 1. Если a0 − ∑ ak > 0 , то семейство (1) не является устойчивым по
k =1
n
начальным
данным,
а
если
a0 − ∑ ak ≥ 0 ,
то
семейство
(1)
не
является
k =1
асимптотически устойчивым.
Доказательство. Положим все запаздывания rk нулевыми. Получим
обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого неограниченно
в случае строгого неравенства и не имеет нулевого предела в случае нестрогого
неравенства. ▲
В связи с только что доказанным фактом наибольшего внимания при
исследовании устойчивости требует случай, когда справедливо неравенство
a0 −
n
∑ ak < 0 .
k =1
Дополним уравнение
n
y& (t ) = a0 y (t ) − ∑ ak y (t − ωk ), t ∈
k =1
+,
(2)
начальной функцией y (ξ) ≡ 1 , ξ ∉ + , и начальным условием y (0) = 1 . Заметим, что
в силу автономности задачи (2) ее решение является непрерывно дифференцируемой
на + функцией.
Уравнение (2) будем называть test-уравнением семейства уравнений (1).
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
30
В
предположении
справедливости
неравенства
a0 −
n
∑ ak < 0
поставим
k =1
в соответствие семейству (1) величину l по следующему принципу. Очевидно, что для
некоторого τ > 0 решение y : + →
задачи (2) с данным набором параметров ak
и ωk убывает на отрезке [0, τ] . Если оно убывает на полуоси + , то положим l = +∞ .
В
противном
случае
положим
l = inf{t ∈ + : ∀ε > 0∃τ ∈ (t , t + ε) ( y (τ) ≥ y (t ))}
и обозначим h = − y (l ) . В работе [5] наибольшее внимание уделено случаю l < +∞ .
В данной статье подробно рассматривается случай l = +∞ .
Лемма 1. Пусть a0 −
n
∑ ak < 0 и l < +∞ . Тогда
k =1
a)
b)
c)
l = sup{t ∈
y& (l ) = 0 ;
h>0.
+
: 0 < τ < t ⇒ y& (τ) < 0} ;
Доказательство. Пункты a) и b) следуют из определения точки l, отмеченной
выше непрерывной дифференцируемости функции y и необходимого условия
локального минимума. Докажем с). Пусть h ≤ 0 , то есть y (l ) ≥ 0 . Так как на отрезке
(0, l ) функция y убывает, то y (l − ωk ) > y (l ) . Среди коэффициентов ak , k = 1,K , n , есть
хотя бы один ненулевой, следовательно, с учетом b) из уравнения (2) получаем
n
n
n


0 = y& (l ) = a0 y (l ) − ∑ ak y (l − ωk ) < a0 y (l ) − ∑ ak y (l ) = y (l )  a0 − ∑ ak  ≤ 0 ,
k =1
k =1
k =1


что невозможно. ▲
Для каждого s ∈ определим функцию ys : → , положив ys (t ) = y (t − s ) , где
y – решение задачи (2). Функции семейства { ys } назовем test-функциями. Таким
образом, каждая test-функция ys тождественно равна 1 при t ≤ s , строго убывает на
промежутке ( s, s + l ) до значения y (l ) = −h < 0 и для некоторого δ > 0 возрастает на
промежутке ( s + l , s + l + δ) . Отметим используемый ниже факт, что для каждой пары
чисел t ∈ и ξ ∈ [−h,1) существует единственное число s ∈ [t − l , t ) такое, что ys (t ) = ξ .
Обозначим ω = max ωk .
k
Лемма 2 [5]. Пусть a0 −
n
∑ ak < 0 , l < +∞ ,
k =1
x:
+
→
– решение уравнения (1),
ys – test-функция, ys (t0 ) = x(t0 ) , s ∈ [t0 − l , t0 ] , и для любого t ∈ [t0 − ω, t0 ] справедливо
неравенство x(t ) ≤ ys (t ) . Тогда найдётся такое число δ > 0 , что для любого
t ∈ [t0 , t0 + δ] справедливо неравенство x(t ) ≥ ys (t ) .
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
31
Очевидно, что лемма 2 остается справедливой, если вместо решения x
уравнения (1)
рассматривать
функцию
c :[τ, +∞) → ,
определенную
равенством c(t ) = C (t , τ) , t ∈ [τ, +∞) , где C – функция Коши [7, стр.47] уравнения (1).
Пользуясь этим, докажем следующий используемый в дальнейшем изложении факт.
Теорема 2. Пусть a0 −
n
∑ ak < 0 , l < +∞
и найдутся такие числа s, t1 , t2 ∈
, что
k =1
s + l + ω ≤ t1 < t2 и 0 < C (t1 , s ) ≤ C (t2 , s ) , где C – функция Коши уравнения (1). Тогда
найдется такое число t0 ∈ ( s, t1 ) , что (− h)C (t0 , s ) = C (t1 , s ) .
Доказательство.
1. Обозначим для краткости c(⋅) = C (⋅, s ) . Пусть τ = sup{t ∈ [t1 , t2 ] : c(t ) ≤ c(t1 )} ).
Имеем: τ ∈ [t1 , t2 ) , c(τ) = c(t1 ) и для любого ε > 0 найдется такая точка τ1 ∈ (τ, τ + ε) , что
c(τ) < c(τ1 ) .
c ( τ)
ys , s ∈ . В силу определения test-функций имеем
2. Обозначим ηs = −
h
yτ−l (τ) = − h , откуда ητ−l (τ) = c(τ) . Так как для некоторого δ > 0 функция ητ−l убывает
на интервале (τ, τ + δ) , с учетом п. 1 получаем: для любого ε > 0 найдется такая точка
τ1 ∈ (τ, τ + ε) , что ητ−l (τ1 ) < c(τ1 ) .
3. Допустим, что теорема неверна. Тогда для всех t ∈ [τ − l − ω, τ] имеем
c(t ) > − c(τ) h . Для каждого такого t ∈ [τ − l , τ] , что c(t ) < c(τ) , найдется единственное
число s (t ) такое, что ηs (t ) (t ) = c(t ) ; для остальных t ∈ [τ − l , τ] положим s (t ) = τ − l .
Обозначим σ = sup{s (t ) : t ∈ [τ − l , τ]} . Имеем σ ∈ [τ − l , τ) . Далее, для всех t ∈ [σ − ω, τ]
имеем ησ (t ) ≤ c(t ) , поскольку для t ∈ [σ − ω, σ] в силу сделанного допущения имеем
c(τ)
ησ (t ) = −
< c(t ) , а для t ∈ [σ, τ] из ησ (t ) > c(t ) следует ησ (t ) > ηs (t ) (t ) , а значит,
h
s (t ) > σ , что противоречит определению точки σ .
4. В случае σ = τ − l согласно п. 3 и лемме 2 найдется такое число δ > 0 , что
c(t ) ≤ ησ (t ) для любого t ∈ [τ, τ + δ] , что противоречит п. 2.
5. Рассмотрим случай σ > τ − l . Тогда для любого ε > 0 найдется число
sε ∈ [σ − ε, σ] такое, что ηsε (t ) = c(t ) для некоторого t ∈ [τ − l , τ] . В силу равномерной
непрерывности test-функций на компакте [τ − l , τ] , sup{t ∈ [τ − l , τ] :| ησ (t ) − ηsε (t ) |} → 0
при ε → 0 , а значит, найдется точка tσ ∈ [σ, τ] такая, что c(tσ ) = ησ (tσ ) . Это
противоречит п. 3, поскольку согласно лемме 2 найдется такое число δ > 0 , что
c(t ) ≤ ησ (t ) для всех t ∈ [tσ , tσ + δ] . ▲
Рассмотрим задачу (2) в предположении l = +∞ , то есть (строгого) убывания ее
решения на полуоси + . Приведем полезную переформулировку этого условия. Для
этого рассмотрим еще одну задачу: уравнение
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
32
u& (t ) +
n
∑ ak e−a ω u (t − ωk ) = 0,
t∈
0 k
дополненное начальной функцией u (ξ) ≡ 0 , ξ ∉
Лемма 3. Пусть a0 −
(3)
+,
k =1
и начальным условием u (0) = 1 .
+
n
∑ ak < 0 . Тогда решение задачи (2) убывает на
k =1
и только если решение задачи (3) положительно на
+
+
если
.
Доказательство. Сделаем в уравнении (2) замену переменных:
y (t ) = 1 + (a0 −
t
n
∑ ak )∫ ea su (s)ds .
0
k =1
Легко видеть, что y& (t ) = ea0t (a0 −
0
n
∑ ak ) u (t ) , откуда сразу следует, что для всех
k =1
t ∈ если y& (t ) < 0 , то u (t ) > 0 . Подставляя выражения для y (t ) и y& (t ) в уравнение (2),
получаем
t −ωk
t
n
n
n



 n
a0t
a0 s
e (a0 − ∑ ak )u (t ) = a0 1 + (a0 − ∑ ak ) ∫ e u ( s )ds  − ∑ ak 1 + (a0 − ∑ ak ) ∫ e a0 s u ( s )ds  ,


k =1
k =1
k =1
0
0

 k =1 

или
t
n
e u (t ) = 1 + a0 ∫ e u ( s )ds − ∑ ak
a0t
a0 s
k =1
0
t −ωk
∫
e a0 s u ( s )ds .
0
Дифференцируя и деля на экспоненту, получаем
n
u& (t ) = −∑ ak e − a0ωk u (t − ωk ) ,
k =1
то есть u удовлетворяет уравнению (3), что и требовалось доказать. ▲
→
Введем функцию P :
n
равенством P (ζ ) = −ζ − a0 + ∑ ak eζωk .
k =1
n
n
k =1
k =1
Имеем: P′(ζ ) = −1 + ∑ ak ωk eζωk , P′′(ζ ) = ∑ ak ωk2 eζωk . Очевидно, что P′′(ζ ) > 0 при
всех ζ ∈ . Таким образом, функция P′ возрастает на всей вещественной оси, причем
lim P′(ζ ) = −1 , а lim P′(ζ ) = +∞ . Следовательно, P′ обращается в нуль в единственной
ζ→−∞
ζ→∞
точке ζ , являющейся единственной точкой минимума функции P . Если P (ζ* ) > 0 , то
функция P не имеет нулей; если P (ζ* ) = 0 , то ζ* – единственный нуль функции P ;
если P (ζ* ) < 0 , то функция P имеет ровно два нуля – справа и слева от ζ* .
*
Лемма 4. Решение задачи (3) положительно на
функция P имеет хотя бы один нуль.
+
тогда и только тогда, когда
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
Необходимость установлена в работе [6].
Достаточность. Пусть существует число ζ 0 ∈
положив u (t ) = e− ( ζ 0 + a0 )t > 0 , t ∈
+,
33
такое, что P (ζ 0 ) = 0 . Тогда,
и подставив в левую часть уравнения (3), получаем
n

e− ( ζ0 + a0 )t  −ζ 0 − a0 + ∑ ak eζ0ωk
k =1

Отсюда по теореме о дифференциальном
решение задачи (3) положительно на + .▲
 − ( ζ0 + a0 )t
P (ζ 0 ) ≡ 0 .
=e

неравенстве [4, с. 65] следует, что
n
Отметим, что
P(0) = ∑ ak − a0 . Таким образом, предыдущие рассуждения
k =1
данного раздела проводились в предположении, что P (0) > 0 . Объединяя леммы 3 и 4,
получаем следующий результат.
Теорема 3. Пусть P (0) > 0 . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
a) l = +∞ ;
b) pешение задачи (2) убывает на полуоси + ;
c) pешение задачи (3) положительно на полуоси + ;
d) функция P имеет нули на оси .
Заметим, что справедливость утверждений a)–d) теоремы 3 не гарантирует
устойчивость test-уравнения (и тем более семейства (1)): среди монотонных решений
могут оказаться и неустойчивые. Для того чтобы выяснить, устойчиво ли семейство (1),
требуется более подробная информация о нулях функции P.
Лемма 5. Пусть функция P имеет нуль на множестве (−∞, 0] . Тогда семейство
уравнений (1) не является асимптотически устойчивым.
Доказательство. Пусть существует такое ζ 0 ≤ 0 , что P (ζ 0 ) = 0 . Положим
в уравнении (1) rk (t ) = ωk при всех k = 1, 2,K , n и доопределим его условием
x(ξ) = e −ζ 0ξ , ξ ∈ (−∞, 0] . Тогда функция x(t ) = e −ζ 0t , t ∈ + , будет решением такого
уравнения. Так как −ζ 0 ≥ 0 , функция x(t ) не стремится к нулю при t → ∞ ,
следовательно, семейство уравнений (1) не является асимптотически устойчивым. ▲
Лемма 6. Пусть функция P имеет нули. Для того чтобы все они лежали на
полуоси (0, +∞) , необходимо и достаточно, чтобы были справедливы неравенства
P (0) > 0 и P′(0) < 0 .
Необходимость. Случай обыкновенного дифференциального уравнения
тривиален, поэтому далее будем считать, что среди коэффициентов ak при k = 1, 2,K , n
есть ненулевые. Рассмотрим случаи, когда не выполняется хотя бы одно из неравенств
P (0) > 0 и P′(0) < 0 .
Если P (0) ≤ 0 , то, поскольку lim P(ζ ) = +∞ , функция P обращается в 0 на (−∞, 0] .
ζ→−∞
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
34
Пусть P (0) > 0 и P′(0) ≥ 0 . Рассмотрим точку минимума ζ* функции P .
Функция P′ возрастает на , поэтому ζ* ≤ 0 . Если P (ζ* ) ≤ 0 , то функция P имеет нули
на множестве (−∞, 0] , а если P (ζ* ) > 0 , то вообще не имеет нулей, что противоречит
условиям леммы.
Достаточность. Поскольку функция P′ на множестве (−∞, 0] возрастает, из
неравенства P′(0) < 0 следует, что P′ отрицательна на (−∞, 0] , то есть функция P
убывает. А тогда из неравенства P (0) > 0 следует, что функция P положительна на
(−∞, 0] , то есть все ее нули лежат на + . ▲
Теперь рассмотрим параметры уравнения (1) как задающие некоторые множества
точек пространства n +1 .
Обозначим через F множество точек (u0 , u1 ,K , un ) ∈ n +1 , определяемое
уравнениями в параметрической форме:
−ζ − u0 +
n
∑
uk eζωk = 0, − 1 +
k =1
n
∑u ω e
k
ζωk
k
= 0, ζ ∈
.
(4)
k =1
Далее, обозначим через O начало координат (0,K , 0) ∈ n+1 и через M – точку
(a0 , a1 ,..., an ) ∈ n +1 . Зададим луч OM параметрическими уравнениями
u k = ak s ,
k = 0,1, 2,K , n, s ∈
+
.
(5)
Подставляя (5) в (4), получаем уравнение
n
n
k =1
k =1
−ζ ∑ ak ωk eζωk + ∑ ak eζωk = a0 .
Нетрудно убедиться, что при условии P(0) > 0 оно в случае a0 ≤ 0 имеет
единственный корень, который положителен, а в случае a0 > 0 – два корня,
положительный и отрицательный. Обозначим положительный корень через ζ 0 . Таким
образом, если P (0) > 0 , то луч OM имеет с множеством F общую точку M 0 ,
1
соответствующую значениям ζ = ζ 0 и s = s0 = n
параметров уравнений (4)
ζ 0 ωk
∑ ak ωk e
k =1
и (5). Если a0 ≤ 0 , то M 0 – единственная точка пересечения луча OM с множеством F,
а если a0 > 0 – одна из двух, ближайшая к началу координат. Если s0 = 1 , то точки M
и M 0 совпадают.
В связи со сказанным множество F в дальнейшем будем называть поверхностью
и говорить, что точка M лежит ниже поверхности F, если s0 > 1 ; на поверхности F, если
s0 = 1 ; и выше поверхности F, если s0 < 1 .
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
35
Теорема 4. Пусть P(0) > 0 и P′(0) < 0 . Тогда, для того чтобы функция P имела
нули, необходимо и достаточно, чтобы точка M лежала не выше поверхности F.
Необходимость. Пусть 1) P(0) > 0 , 2) P′(0) < 0 и 3) точка M (a0 , a1 ,..., an ) лежит
выше поверхности F. Из условия 1) получаем, что существуют параметры ζ 0 и s0
такие, что −ζ0 − a0 s0 + s0
n
∑
ak eζ0ωk = 0 , −1 + s0
k =1
n
∑a ω e
k
ζ0 ωk
= 0 . Условие 3) означает, что
k
k =1
n
∑
s0 < 1 , а тогда P′(ζ 0 ) = −1 +
ak ωk eζ0 ωk > −1 + s0
k =1
*
n
∑a ω e
k
ζ 0 ωk
k
= 0 , то есть P′(ζ 0 ) > 0 .
k =1
Следовательно, ζ* < ζ 0 , где ζ – точка минимума функции P . Учитывая условие 2),
получаем ζ* ∈ (0, ζ 0 ) .
Рассмотрим вспомогательную функцию Q :
Q(ζ ) = −ζ − a0 s0 + s0
n
∑a e
k
ζωk
, Q′(ζ ) = −1 + s0
k =1
Так как Q′′(ζ ) > 0 при всех ζ ∈
→
и ее производные:
n
∑a ω e
k
ζωk
k
, Q′′(ζ ) = s0
k =1
n
∑a ω e
k
2 ζωk
k
.
k =1
, функция Q′ возрастает, а так как Q′(ζ 0 ) = 0 ,
при всех ζ ∈ [ζ* , ζ 0 ) имеем Q′(ζ ) < 0 . Значит, Q(ζ ) убывает на [ζ* , ζ 0 ) , то есть
Q(ζ* ) > Q(ζ 0 ) = 0 , но тогда в силу неотрицательности ζ* P(ζ* ) > Q(ζ* ) > 0 . Таким
образом, функция P положительна в точке, где она принимает наименьшее значение,
следовательно, не имеет нулей.
Достаточность. Пусть точка M лежит не выше поверхности F. Значит, существуют
ζ 0 > 0 и s0 ≥ 1 такие, что −ζ 0 − a0 s0 + s0
n
∑a e
ζ 0 ωk
k
= 0 . Тогда
k =1
n
 n

ak eζωk ≤ −ζ0 + s0  ak eζωk − a0  = −ζ0 − a0s0 + s0 ak eζωk = 0 ,
k =1
k =1
 k =1

то есть P(ζ 0 ) ≤ 0 . Но lim P (ζ ) = +∞ , значит, функция P имеет нули. ▲
P(ζ0 ) = −ζ0 − a0 +
n
∑
∑
∑
ζ→∞
Лемма 6 и теорема 4 дают следующую теорему.
Теорема 5. Пусть функция P имеет нули. Для того чтобы все они лежали на
полуоси (0, +∞) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства P(0) > 0
и P′(0) < 0 , а точка M лежала не выше поверхности F.
Асимптотическая устойчивость
Обозначим ∆ = {(t , s ) ∈ 2+ : t ≥ s} . Множество ∆ есть область определения
функции Коши рассматриваемых уравнений.
Лемма 7. Пусть функция P имеет нули на полуоси (0, +∞) . Тогда функция Коши
любого уравнения семейства (1) положительна на множестве ∆.
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
36
Доказательство. Обозначим функцию Коши уравнения (1) через C. Заменой
переменных x(t ) = e a0t z (t ) преобразуем уравнение (1) к виду
( Lz )(t ) ≡ z& (t ) +
n
∑ ak e− a r (t ) z(t − rk (t )) = 0,
t∈
0 k
k =1
+
.
(a)
Легко видеть, что функция Коши C1 уравнения (a) определяется уравнением
C1 (t , s) = C (t , s) e − a0 (t − s ) , (t , s ) ∈ ∆ , и значения функций C и C1 имеют одинаковый знак
во всех точках множества ∆. По условиям леммы функция P имеет нуль ζ 0 ∈ (0, +∞) .
Положив v(t ) = e − (ζ 0 + a0 )t > 0 , t ∈
+,
( Lv)(t ) = −(ζ 0 + a0 )e
получаем
− ( ζ 0 + a0 )t
+
n
∑ ak e−a r (t )e−(ζ +a )(t −r (t )) =
0 k
0
0
k
k =1
n

 − ( ζ + a )t 

ζ 0 rk (t )
0
0
=e
ak e
ak eζ 0ωk  = e − (ζ 0 + a0 )t P(ζ 0 ) = 0 .
 −ζ 0 − a0 +
 ≤ e
 −ζ 0 − a0 +

k =1
k =1




Отсюда по теореме о дифференциальном неравенстве [4, с.65] получаем, что функция
Коши уравнения (a) положительна на множестве ∆, а значит, положительна и функция
Коши любого уравнения семейства (1). ▲
n
∑
− ( ζ 0 + a0 ) t
∑
Лемма 8. Пусть функция P имеет нули и все они лежат на полуоси (0, +∞) .
Тогда найдется такое число T > 0 , что для всех s ∈ + функция C (⋅, s ) , где C –
функция Коши произвольного уравнения семейства (1), убывает на полуоси (T + s, +∞) .
Доказательство. Пусть функция P имеет нули, и все они лежат на полуоси
(0, +∞) . Тогда согласно теореме 5 точка M (a0 , a1 ,..., an ) лежит не выше поверхности F,
1
то есть существуют ζ 0 > 0 и s0 ≥ 1 такие, что s0 = n
. Значит, можно
ζ 0ωk
∑ ak ωk e
k =1
зафиксировать число τ , удовлетворяющее условиям s0 < τ <
1
n
, при этом точка
∑ ak ωk
k =1
M τ (a0 τ, a1τ,..., an τ) оказывается лежащей выше поверхности F. Рассмотрим функцию
n
Pτ (ζ ) = −ζ − a0 τ + τ∑ ak eζωk , ζ ∈
. Легко видеть, что в силу выбора τ и справедливости
k =1
неравенств P(0) > 0 и P′(0) < 0 справедливы неравенства Pτ (0) > 0 и Pτ′(0) < 0 .
Определения точки M τ и функции Pτ получаются из определений точки M и функции
P путем замены набора параметров ak набором ak τ , k = 1,K , n . Из этого с учетом
отмеченных выше свойств точки M τ и функции Pτ согласно теореме 4 получаем, что
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
функция
не имеет нулей. Значит, функция
Pτ
37
P1 , задаваемая
уравнением
n
P1 (ζ ) = −ζ − a0 + ∑ ak eζωk τ = τPτ (ζ τ) , ζ ∈
, тоже не имеет нулей.
k =1
Рассмотрим произвольное уравнение семейства (1). Так как τ > 1 , имеем
0 ≤ rk (t ) ≤ τωk ,
k = 1,K , n ,
t∈ +.
Значит,
заменив
в
test-уравнении (2)
рассматриваемого семейства уравнений (1) параметры ωk параметрами τωk ,
k = 1,K , n , получаем другое test-уравнение этого семейства. Определим число l1
и функцию P1 , заменив параметры ωk параметрами τωk в определениях числа l
и функции P. По теореме 3 получаем, что l1 < ∞ , следовательно, в силу леммы 1
h1 = − y (l1 ) > 0 . Обозначим ω = max ωk и T = l1 + τω и предположим, что найдутся точки
k
t1 и t2 такие, что для некоторого s ∈ + имеем s + T ≤ t1 < t2 , но C (t1 , s) ≤ C (t2 , s) . Тогда
по теореме 2 найдется такая точка t0 ∈ ( s, t1 ) , что − h0C (t0 , s ) = C (t1 , s ) . Но по лемме 7
функция Коши положительна при всех (t , s ) ∈ ∆ . Приходим к противоречию,
следовательно, функция C (⋅, s ) строго убывает на полуоси (T + s, +∞) . ▲
Лемма 9. Пусть функция P имеет нули, и все они лежат на полуоси (0, +∞) .
Тогда существует такое число N > 0 , что для функции Коши C любого уравнения (1)
при всех (t , s ) ∈ ∆ справедлива оценка
0 < C (t , s ) ≤ Ne −α (t − s ) ,
где α = − a0 +
(b)
n
∑ ak > 0 .
k =1
Доказательство. Как известно [7, с. 56], функция Коши C как функция первого
аргумента является решением уравнения
n
∂
C (t , s) − a0C (t , s) = −∑ ak C (t − rk (t ), s),
∂t
k =1
t ≥ s,
(c)
дополненного начальными условиями C (ξ, s ) = 0 , ξ < s, и C ( s, s ) = 1 .
По лемме 8 найдется такое T > 0 , что функция C (⋅, s ) монотонно убывает на
полуоси (T + s, +∞) . Заметим, что sup C ( s + T , s ) < ∞ . Прибавляя к обеим частям
s∈
+
n
∑ ak C (τ, s)
равенства (c) одно и то же слагаемое
и пользуясь формулой Коши [7, с. 67],
k =1
запишем уравнение (c) в эквивалентном интегральном виде:
C (t , s ) = e
−α ( t − s −T )
t
C (s + T , s) +
∫
s +T
n
e−α (t −τ) ∑ ak (C (τ, s ) − C (τ − rk (τ), s )) d τ, t ≥ s + T .
k =1
В силу выбора T имеем C (τ, s ) ≤ C (τ − rk (τ), s ) , то есть
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
38
C (t , s) ≤ e−α(t −s )eαT sup C (s + T , s) = Ne−α(t −s ) .
s
Положительность функции Коши обеспечивается леммой 7. ▲
Из теоремы 5 и лемм 5 и 9 получаем следующий результат.
Теорема 6. Пусть выполнено любое из условий a)–d) теоремы 3. Тогда
эквивалентны следующие утверждения:
a) семейство уравнений (1) асимптотически устойчиво;
b) функция P имеет нули, и все они лежат на полуоси (0, +∞) ;
c) точка M (a0 , a1 , a2 ,..., an ) лежит не выше поверхности F, задаваемой
уравнениями (4), и справедливы неравенства P(0) > 0 и P′(0) < 0 .
Нетрудно заметить, что леммы 7–9 говорят о большем, чем асимптотическая
устойчивость семейства (1). Учитывая теорему 6, сконцентрируем их результаты
в одном утверждении.
Теорема 7. Пусть семейство уравнений (1) асимптотически устойчиво. Тогда
a) функция Коши C ( t , s ) любого уравнения семейства (1) положительна при
всех (t , s ) ∈ ∆ ;
b) найдется такое T > 0 , что для любого s ∈
+
функция C ( ⋅, s ) убывает на
полуоси (T + s, +∞ ) ;
c) для функции Коши любого уравнения семейства (1) справедлива оценка (b).
Заметим, что пункт c) теоремы 7 означает, что асимптотическая устойчивость
семейства уравнений (1) эквивалентна равномерной экспоненциальной.
Устойчивость по начальным данным
Найдем условия, при которых в случае l = +∞ семейство (1) будет устойчивым по
начальным данным (далее – просто устойчивым). Напомним, что в теореме 1 уже было
n
устновлено, что при a0 > ∑ ak семейство (1) не является устойчивым. Далее, из
k =1
доказательства леммы 5 следует, что если функция P имеет корень на множестве
(−∞, 0) , то семейство (1) также не является устойчивым. Если корни функции P лежат
на полуоси (0, +∞) , то по теореме 4 семейство асимптотически устойчиво (1), а значит,
устойчиво. Таким образом, в дополнительном исследовании нуждается единственный
случай, когда функция P имеет корень в точке ζ = 0 .
Итак, пусть P(0) = 0 , то есть рассмотрим семейства (1), для коэффициентов
n
которых выполнено равенство a0 = ∑ ak . Разобьем исследование на три случая.
k =1
Лемма 10. Если P(0) = 0 , а P′(0) > 0 , то семейство (1) неустойчиво.
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
39
Доказательство. Рассмотрим функцию P на множестве (−∞, 0] . Так как в точке
ζ = 0 функция обращается в нуль, а ее производная положительна, то в некоторой
(левой) окрестности этой точки P возрастает, то есть принимает отрицательные
значения. С другой стороны, lim P(ζ ) = +∞ , следовательно, существует точка
ζ→−∞
ζ 0 ∈ (−∞, 0) , в которой P(ζ 0 ) = 0 . Положим в уравнении (1) rk (t ) = ωk при всех
k = 1, 2,..., n и доопределим решение при отрицательных значениях аргумента функцией
e−ζ0t . Подставляя x(t ) = e −ζ0t в уравнение (1), получаем
−ζ0e−ζ0t − a0e−ζ0t +
n
∑ ak e−ζ (t −ω ) = e−ζ t P(ζ0 ) = 0 ,
0
k
0
k =1
то есть функция x : + →
есть решение уравнения (1). Так как ζ 0 < 0 , то x(t )
неограниченно возрастает. Следовательно, семейство уравнений (1) не является
устойчивым. ▲
Лемма 11. Если P(0) = 0 , а P′(0) < 0 , то семейство (1) равномерно устойчиво.
Доказательство. Рассмотрим соответствующее уравнению (1) неоднородное
уравнение с правой частью f из пространства L1 :
n
x& (t ) = a0 x(t ) − ∑ ak x(t − rk (t )) + f (t ), t ∈
k =1
+.
(d)
n
Так как a0 = ∑ ak , то уравнение (d) можно переписать в виде (изменив, если это
k =1
необходимо, функцию f на отрезке [0, ω] )
n
x& (t ) = ∑ ak
k =1
t
∫
x& ( s ) ds + f (t ) .
t − rk (t )
n
Оценим
норму
интегрального
( Ky )(t ) = ∑ ak
оператора
t
∫
y ( s ) ds ,
условий
леммы
k =1
t − rk (t )
n
действующего
в
пространстве
L1 :
K ≤ ∑ ak ωk .
В
силу
k =1
n
P′(0) = ∑ ak ωk − 1 < 0 , значит, K < 1 , а оператор I − K обратим в пространстве L1 .
k =1
Отсюда следует, что при любой функции f ∈ L1 решение x уравнения (d) обладает
свойством x& ∈ L1 .
t
Так как x(t ) = x(0) + ∫ x& ( s )ds , то функция x ограничена на
+
. По теореме
0
о допустимости пар пространств ( L1 , L∞ ) [4, с.106] следует, что функция Коши любого
уравнения семейства (1) ограничена в ∆ , то есть семейство уравнений (1) является
равномерно устойчивым. ▲
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
40
Лемма 12. Если P(0) = 0 , а P′(0) = 0 , то семейство (1) неустойчиво.
Доказательство. Положим в уравнении (1) rk (t ) = ωk при всех k = 1, 2,..., n
и доопределим решение при отрицательных значениях аргумента функцией t .
Подставляя функцию x(t ) = t в уравнение (1), получаем
n
n
n

 

1 − a0t + ∑ ak (t − ωk ) = t  a0 − ∑ ak  + 1 − ∑ ak ωk  = tP(0) + P′(0) = 0 ,
k =1
k =1

  k =1

то есть неограниченная функция x(t ) = t есть решение уравнения (1). Следовательно,
семейство уравнений (1) не является устойчивым. ▲
Из теоремы 6 и лемм 10–12 получаем следующий критерий устойчивости.
Теорема 8. Пусть выполнено любое из условий a)–d) теоремы 3. Тогда семейство
уравнений (1) устойчиво если и только если точка M (a0 , a1 , a2 ,..., an ) лежит не выше
поверхности F, задаваемой уравнениями (4), и справедливы неравенства
P(0) ≥ 0, P′(0) < 0 .
Заметим, что леммы 10–12 устанавливают также эквивалентность устойчивости
и равномерной устойчивости семейства (1).
Геометрическое описание и построение области устойчивости
В этом разделе, используя теоремы 6 и 8, дадим описание устойчивости
семейства (1) в терминах области в пространстве n+1 , определяемой значениями
a0 , a1 ,K , an и ω1 ,K , ωn .
Обозначим через D0 множество точек M (a0 , a1 ,K , an ) ∈ n+1 , удовлетворяющих
условиям теоремы 6, п. с). Область D0 – это область асимптотической устойчивости
семейства (1) в следующем смысле: семейство (1) асимптотически устойчиво тогда и
только тогда, когда область D0 (определяемая параметрами a0 , a1 ,K , an и ω1 ,K , ωn )
такова, что M (a0 , a1 ,K , an ) ∈ D0 .
Теорема 9. Область D0 состоит из точек M (a0 , a1 ,K , an ) ∈ n+1 , обладающих
следующими свойствами:
1) ak ≥ 0 при всех k = 1, 2,K , n ;
2) M лежит не выше поверхности F, опредляемой уравнениями (4);
n
3)
a0 < ∑ ak ;
k =1
n
4)
∑ ak ωk < 1 .
k =1
n
n
k =1
k =1
Для доказательства напомним, что P(0) = −a0 + ∑ ak , а P′(0) = −1 + ∑ ak ωk .▲
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
41
В случае a0 = 0 вид области D0 упрощается.
Теорема 10. Пусть a0 = 0 . Тогда область D0 состоит из точек M (a1,K, an ) ∈
обладающих следующими свойствами:
1)
ak ≥ 0 при всех k = 1, 2,K , n , но
n
,
n
∑ ak > 0 ;
k =1
2) M
лежит не выше поверхности,
уравнениями (4) при условии u0 = 0 , то есть
n
n
k =1
k =1
задаваемой
−ζ + ∑ uk eζωk = 0, − 1 + ∑ uk ωk eζωk = 0, ζ ∈
параметрическими
+.
(e)
Доказательство. Свойство 3) в теореме 9 следует из свойства 1). Предположим,
n
что свойство 4) не выполнено. Тогда P′(0) = ∑ ak ωk − 1 ≥ 0 и точка M должна лежать
k =1
выше поверхности, задаваемой уравнениями (e). ▲
Обозначим через D множество точек, удовлетворяющих условиям теоремы 8.
Область D – это область устойчивости семейства (1). Очевидно, D = D0 ∪ D′ , где D′ –
множество точек, для которых семейство (1) является устойчивым, но не
асимптотически. Из лемм 10–12 следует, что D′ состоит из точек (a0 , a1,K, an ) , для
n
которых a0 = ∑ ak и
k =1
n
∑ ak ωk < 1 . Особенно прост вид множества D′ для случая a0 = 0 :
k =1
оно состоит из единственной точки (0,0,K,0) .
Для случаев, когда количество слагаемых в уравнении (1) не превосходит трех,
можно дать геометрическую иллюстрацию областей D0 , D и D′ как областей на
прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве.
Случай 1 (одномерный).
1. Пусть n = 0 . Тогда D0 = {u ∈
: u < 0} , D = {u ∈
: u ≤ 0} , D′ = {0} .
2. Пусть n = 1 и a0 = 0 . Тогда D = {(0, u ) ∈ 2 : 0 ≤ u ≤ 1 eω1} .
Доказательство.
Уравнение
поверхности
(e)
имеет
вид
ζω1
ζω1
−ζ + u1e = 0, −1 + u1ω1e = 0 . Исключая параметр ζ , получаем u1 = 1 eω1 . Множество
точек, лежащих не выше поверхности, – отрезок [0,1 eω1 ] . ▲
Случай 2 (двумерный).
1. Пусть n = 1 . Тогда
D0 = {(u0 , u1 ) ∈ 2 : u0ω1 < u1ω1 ≤ eu0ω1 −1 , 0 ≤ u1ω1 ≤ 1} ,
D = {(u0 , u1 ) ∈
2
D′ = {(u0 , u1 ) ∈
2
: u0ω1 ≤ u1ω1 ≤ eu0ω1 −1 , 0 ≤ u1ω1 < 1} ,
: u0ω1 = u1ω1 , 0 ≤ u1ω1 < 1} .
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
42
2.5
u1
A
2
1.5
1
A
0.5
u0
-2
-1
1
2
-0.5
-1
Рис. 1. Области устойчивости для ω1 = 1
Доказательство. Проверим условия теоремы 9. Первое условие означает, что
область
принадлежит
полуплоскости
u1 ≥ 0 . Уравнение поверхности F
в параметрической форме: −ζ − u0 + u1eζω1 = 0, − 1 + u1ω1e ζω1 = 0 . Исключая параметр ζ ,
получаем явное уравнение u1ω1 = eu0ω1 −1 . Множество точек, лежащих не выше
поверхности F , очевидно, удовлетворяет неравенству u1ω1 ≤ eu0ω1 −1 . Условия 3 и 4 дают,
соответственно, u0 < u1 и u1ω1 < 1 . На рис. 1 приведены области устойчивости для
ω1 = 1 : область D0 заключена между кривой u1 = eu0 −1 и прямыми u1 = 0 , u0 = u1 ; она
лежит слева от точки касания A(1,1) . Множество D′ – отрезок, соединяющий начало
координат с точкой A (но не включающий точку A ). ▲
2.
кривая
u2 =
Пусть n = 2 и a0 = 0 . Тогда D = {(0, u1 , u2 ) ∈
u2 = ϕ(u1 )
задается
параметрическими
: u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u2 ≤ ϕ(u1 )} , где
ζω2 − 1 −ζω1
уравнениями u1 =
e
,
ω2 − ω1
3
1 − ζω1 −ζω2
e
, ζ ∈ [1 ω2 ,1 ω1 ] .
ω2 − ω1
Доказательство. Согласно теореме 9 поверхность (e) определяется уравнениями
−ζ + u1eζω1 + u2eζω2 = 0 , −1 + u1ω1eζω1 + u2ω2eζω2 = 0 . Выражая из них u1 и u2 , получаем
искомое параметрическое уравнение кривой. Область D есть область, заключенная
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
43
между кривой ϕ и осями координат (рис. 2). Точки пересечения с осями координат
имеют координаты (1 eω1 , 0) и (0,1 eω2 ) соответственно. ▲
0.175
u2
A
0.15
0.125
0.1
0.075
0.05
0.025
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
u1
A
Рис. 2. Область D для ω1 = 1 и ω2 = 3
Случай 3 (трехмерный).
1. Пусть n = 3 . Тогда
D0 = {(u0 , u1 , u2 ) ∈
: u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u1 + u2 ≥ u0 , u2 ≤ ψ(u0 , u1 )} ,
где поверхность u2 = ψ(u0 , u1 ) задается параметрическими уравнениями:
(ζ + u0 )ω2 − 1 −ζω1
1 − (ζ + u0 )ω1 −ζω2
u1 =
e
, u2 =
e
, ζ ∈ +.
ω2 − ω1
ω2 − ω1
3
Доказательство. Проверим условия теоремы 8. Первое условие означает, что D0
принадлежит области u1 ≥ 0 , u2 ≥ 0 . Уравнение (4) поверхности F в параметрической
форме: −ζ − u0 + u1eζω1 + u2 eζω2 = 0, − 1 + u1ω1eζω1 + u2 ω2 eζω2 = 0 . Выражая из этих равенств
u1 , u2 , получаем искомое параметрическое уравнение поверхности. Множество точек,
лежащих не выше поверхности, удовлетворяет неравенству u2 ≤ ψ (u0 , u1 ) . Условия 3 и 4
дают соответственно u0 < u1 + u2 и u1ω1 + u2 ω2 < 1 . Область D0 (рис. 3) заключена между
координатными плоскостями u1 = 0, u2 = 0 , поверхностью u2 = ψ (u0 , u1 ) и плоскостью
u0 = u1 + u2 (точки плоскости не включаются) в полупространстве u1ω1 + u2 ω2 < 1 .
Поверхность u2 = ψ(u0 , u1 ) и плоскость u0 = u1 + u2 касаются по прямой
ω τ −1
ω τ −1
u0 = τ, u1 = 2
, u2 = 1
, τ∈ ,
ω2 − ω1
ω1 − ω2
от которой координатные плоскости отсекают отрезок, соединяющий точки
A1 (1 ω1 ,1 ω1 , 0)
и
A2 (1 ω2 , 0,1 ω2 ) .
Множество
D′
представляет
собой
пространственный треугольник с вершинами в точках O , A1 и A2 , причем сторона
A1 A2 не принадлежит D′ . ▲
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
44
u1
A
A2
u2
A
u0
A
A1
A
Рис. 3. Область D0 для ω1 = 1 и ω2 = 2
u3
A
u2
A
u1
A
Рис. 4. Область D для ω1 = 1 , ω2 = 1 2 и ω3 = 1 4
Вестник ПГТУ. Механика. 2009. № 1
2.
45
Пусть n = 4 и a0 = 0 . Тогда
D = {(0, u1 , u2 , u3 ) ∈ 4 : u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0, u3 ≤ ψ(u1 , u2 )} ,
где поверхность u3 = ψ (u1 , u2 ) задается параметрическими уравнениями
u1 =
ζω2 − 1 + u3eζω3 (ω3 − ω2 ) −ζω1
1 − ζω1 + u3eζω3 (ω1 − ω3 ) −ζω2
e
e
, u2 =
, ζ∈
ω2 − ω1
ω2 − ω1
+.
Доказательство. Согласно теореме 9 поверхность (e) определяется уравнениями
−ζ + u1eζω1 + u2 eζω2 + u3eζω3 = 0 , −1 + u1ω1eζω1 + u2ω2eζω2 + u3ω3eζω3 = 0 . Выражая из них
u1 и u2 , получаем искомое параметрическое уравнение поверхности. Область D – это
область, заключенная между поверхностью ψ и координатными плоскостями
(рис. 4). ▲
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию
функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1991. – 277 c.
2. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1964. – 128 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир,
1984. – 424 с.
4. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений
с обыкновенными производными. – Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. – 229 c.
5. Малыгина В.В., Куликов А.Ю., Чудинов К.М. Неулучшаемые достаточные
условия устойчивости скалярных уравнений с несколькими запаздываниями //
Вычислительная механика. – 2008. – № 7. – С. 106–119.
6. Трамов М.И. Условия колеблемости решений дифференциальных уравнений
первого порядка с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. – 1975. –
№ 5 – С. 92–96.
7. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных
уравнений. – Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2003. – 306 c.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
312 Кб
Теги
решение, уравнения, скалярных, несколькими, знакоопределенных, устойчивость, запаздываниями
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа