close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости схем расщепления и приближенной факторизации для решения систем многомерных уравнений.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 16, ќ 6, 2011
Об устойчивости схем расщепления
и приближенной акторизации для решения
систем многомерных уравнений?
В. М. Ковеня
Институт вычислительных технологий СО АН, Новосибирск, оссия
e-mail: kovenyait.ns.ru
Проведен анализ свойств неявных разностных схем для численного решения
уравнений Эйлера и Навье Стокса несжимаемой жидкости. Показано, что разностные схемы приближенной акторизации с расщеплением по пространственным направлениям теряют свойства безусловной устойчивости уже в двумерном
случае.
Ключевые слова: уравнения Эйлера, Навье Стокса, разностная схема, методы
расщепления, метод акторизации.
Введение
Широкое использование численного моделирования в различных областях науки и техники привело к необходимости разработки алгоритмов, способных с достаточной точностью и за разумное время получать их численное решение. Такие алгоритмы должны
обеспечивать сходимость численного решения к решению исходной задачи, обладать
достаточной точностью, удовлетворять свойству экономичности и возможности адаптации к различного типа уравнениям и т. д. Данным требованиям удовлетворяют неявные
разностные схемы, которые безусловно устойчивы или имеют слабые ограничения на
устойчивость, аппроксимируют исходные уравнения с требуемым порядком по времени
и пространству и в случае одномерных задач реализуются экономичными алгоритмами,
например скалярными прогонками. Особенно эективно их применение при решении
параболических уравнений и при нахождении стационарного решения методом установления, при котором шаг по времени (итерационный шаг) можно выбирать исходя
лишь из условия максимальной сходимости.
Основные результаты по исследованию аппроксимации, устойчивости и сходимости неявных разностных схем получены для скалярных уравнений гиперболического
и параболического типа, разрешенных относительно производной по времени (см., например, [111?). Обобщение этих уравнений на системы эволюционных уравнений в
одномерном случае не приводит к существенному изменению свойств алгоритмов, хотя
их реализация усложняется. Вместо скалярных прогонок решение системы разностных
уравнений сводится к векторным прогонкам, требующим приблизительно m3 ариметических операций в каждом узле расчетной сетки, где m число уравнений. Прямое обобщение неявных схем на многомерный случай приводит к существенному росту
?
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (грант ќ 11-01-00294-а) и Интеграционных
проектов СО АН ќ 44, 103.
38
Об устойчивости схем расщепления и приближенной акторизации...
39
числа ариметических операций на узел сетки [9?, так как реализация схем сводится к
матричным прогонкам, требующим обращения матриц размером (mJ1 )Ч(mJ2 )Ч(mJ3 ),
где Ji число узлов в направлении xi (i = 1, 2, 3). Очевидно, что такой подход является
неэкономичным уже в двумерном случае. Поэтому начиная с 60-х годов XX века для
решения многомерных задач были предложены различные классы экономичных алгоритмов: метод расщепления, аддитивные схемы и схемы суммарной аппроксимации,
схемы приближенной акторизации, метод предиктор-корректор и т. д. (см. [111?). Основная идея при их построении состоит в сведении исходной многомерной задачи (на
диеренциальном или на разностном уровне) к совокупности более простых задач, например, к последовательности их одномерных аналогов, решение которых может быть
получено экономичными алгоритмами.
Ниже дается анализ основных свойств базовых неявных схем для решения многомерных уравнений. Существенное внимание уделено исследованию разностных схем
для решения уравнений неэволюционного типа на примере уравнений Навье Стокса
вязкой несжимаемой жидкости.
1. Базовые схемы для эволюционных уравнений
Иллюстрацию базовых разностных схем для численного решения многомерных уравнений, разрешенных относительно производной по времени, проведем для системы линейных уравнений гиперболического (Bj = 0) или параболического типа
?u
+ Lu = 0,
?t
L=
N
X
Lj ,
Lj = Aj
j=1
?
?2
? Bj 2 ,
?xj
?xj
(1)
где Aj , Bj квадратные матрицы размерности mЧm с постоянными коэициентами,
которые будем полагать перестановочными, N размерность задачи по пространству.
Аппроксимируем операторы Lj разностными операторами Ljh с порядком O(hkj ). азностная схема с весами
un+1 ? un
+ Lh (?un+1 + ?un ) = 0,
?
Lh =
N
X
Ljh ,
? = 1 ? ?,
(2)
j=1
или эквивалентная ей схема в каноническом виде
(I + ? ?Lh )
un+1 ? un
+ Lh un = 0,
?
(3)
аппроксимирует исходные уравнения (1) с порядком O(? 2 + hk ) при ? = 0.5 + O(? ) и
при ? ? 0.5 безусловно устойчива (см., например, [24?). Здесь ?, hj шаги сетки по
времени и пространству соответственно. Схема (3) реализуется матричными прогонками и неэкономична. Для получения экономичных схем рассмотрим схему расщепления.
Стандартная схема расщепления с весами [1? или локально одномерная схема [2?
(un+j/N ? un+(j?1)/N ) ? + Ljh (?un+j/N + ?un+(j?1)/N ) = 0, j = 1, ..., N,
(4)
аппроксимируют исходные уравнения с порядком O(? 2 + hk ) при ? = 0.5 + O(? ) и при
? ? 0.5 безусловно устойчивы [1, 2?. На каждом дробном шаге система разностных
40
В. М. Ковеня
уравнений может быть решена векторными прогонками, требующими приблизительно
O(J1 · · · JN Ч mN ) операций при переходе с n-го на (n + 1)-й слой (см. [9?). После
исключения дробных шагов она может быть записана в виде
N
Y
j=1
(I + ? ?Ljh )
un+1 ? un
+ Lh un = ?,
?
? = ? (?2 ? ? 2 )(L1h L2h + ... + LN ?1h LN h )un +
+? 2 (?3 + ? 3 )(L1h L2h L3h + ... + LN ?2h LN ?1h LN h )un + O(? 3 ).
(5)
Таким образом, схема расщепления (4) приводится к каноническому виду лишь в
двумерном случае при ? = 0.5. Следовательно, стационарное решение задачи (1) при
N > 2, полученное по схеме (4) методом установления, зависит от значения итерационного параметра ? .
Схема приближенной акторизации (см. [1, 5, 11?)
? n = ?Lh un ,
(I + ? ?L1h )? n+1/N = ? n ,
...
(I + ? ?LN h )? n+1 = ? n+(N ?1)/N ,
un+1 = un + ? ? n+1
аппроксимирует исходные уравнения (1) также порядком O(? 2 + hk ) при ? = 0.5 +
O(? ) и реализуется на дробных шагах подобно схеме расщепления. После исключения
дробных шагов она может быть представлена в каноническом виде
N
Y
j=1
(I + ? ?Ljh )
un+1 ? un
+ Lh un = 0.
?
(6)
Схема стабилизирующей поправки [1?
(un+1/N ? un ) ? + L1h (un+1/N ? un ) = ?Lh un ,
(un+2/N ? un+1/N ) ? + L2h (un+2/N ? un ) = 0,
...
n+1/N
n+(N ?1)/N
(u
?u
) ? + LN h (un+1/N ? un ) = 0
при ? = 1 также приводится к каноническому виду, т. е. обладает теми же свойствами,
что и схема приближенной акторизации. Подобные свойства имеет и схема предиктор-корректор [1?
(un+1/2N ? un ) ? ? + L1h un+1/2N = 0,
...
(un+N /2N ? un+(N ?1)/2N ) ? ? + LN h un+2/2N = 0,
(un+1 ? un ) ? + Lh un+1/2 = 0,
так как она также приводится к виду (6). Таким образом, схемы приближенной акторизации, стабилизирующей поправки и предиктор-корректор эквивалентны в целых
Об устойчивости схем расщепления и приближенной акторизации...
41
шагах и, следовательно, имеют одинаковые свойства. Как следствие, разностные схемы, приводимые к каноническому виду, обладают полной аппроксимацией и пригодны
для решения как нестационарных, так и стационарных задач. Для гиперболических
уравнений они безусловно устойчивы лишь для N ? 2 при ? ? 0.5 и в трехмерном
случае условно устойчивы для любых значений весового множителя ? (см., например,
[6, 11?). В то же время указанные схемы безусловно устойчивы для параболических
уравнений любой размерности (см. [1, 2, 6, 7?). В отличие от них схемы расщепления и
суммарной аппроксимации безусловно устойчивы для гиперболических и параболических уравнений любой размерности (см., [2, 6, 7?), но их использование при нахождении
стационарного решения методом установления не всегда целесообразно в силу возникновения остаточного члена, зависящего от ? (см. (5)).
Построение неявных разностных схем, основанных на расщеплении и акторизации
операторов, не может быть напрямую перенесено на уравнения неэволюционного типа.
Примером такой системы являются уравнения Эйлера и Навье Стокса вязкой несжимаемой жидкости [1, 5, 12?. Эти уравнения не являются системой Коши Ковалевской
[12?, что не позволяет напрямую использовать численные алгоритмы, разработанные
для решения уравнений, разрешенных относительно производной по времени.
2. Базовые неявные схемы для решения уравнений
Навье Стокса несжимаемой жидкости
Традиционно уравнения Навье Стокса вязкой несжимаемой жидкости решаются в
переменных ункция токавихрь. В этом случае система уравнений сводится к параболической системе уравнений для компонент вихря и к эллиптической системе для
векторного потенциала (в двумерном случае для ункции тока и вихря). При решении пространственных задач использование естественных изических переменных может оказаться предпочтительнее. Для численного решения уравнений Навье Стокса
в естественных переменных часто применяются различные численные методы [1, 5,
817?. Большая часть этих методов использует предположение, что на промежуточном
слое течение предполагается соленоидальным, а на полном шаге решается уравнение
для давления, т. е. в алгоритме используется идеология расщепления. Альтернативой
этим подходам является метод искусственной сжимаемости [1, 13?, состоящий во введении в уравнение неразрывности производной по времени с малым коэициентом.
Получающаяся система уравнений является классической разрешенной относительно
производной по времени, но для получения решения нестационарных задач необходимо
обеспечить сходимость решения модиицированных уравнений к решению исходных
уравнений на каждом временном слое [1, 13?. Такой подход может оказаться неэкономичным. Ниже приводятся описание и анализ классических неявных разностных схем
для решения уравнений Навье Стокса в изических переменных, приводимых к канонической орме. Некоторые схемы, основанные на методе суммарной аппроксимации,
и аддитивные схемы расщеплением многомерных операторов рассмотрены в работах
[9, 16?.
В качестве исходной модели будем рассматривать уравнения Навье Стокса вязкой
несжимаемой жидкости в декартовых координатах без учета внешних сил
?f
M
= ?W,
?t
3
X
?
W=
Wj ,
?x
j
j=1
(7)
42
где
В. М. Ковеня
?
?
p
? v1 ?
?
f =?
? v2 ? ,
v3
?
?
?
vj
0
? v1 vj + ?j1 p ? ?j1 ?
? 0
?
?
Wj = ?
? v2 vj + ?j2 p ? ?j2 ? , M = ? 0
0
v3 vj + ?j3 p ? ?j3
?vi
?vj
?ji = µ
+
.
?xj
?xi
0
1
0
0
0
0
1
0
?
0
0 ?
?,
0 ?
1
Здесь p, vj давление и компоненты вектора скорости v, µ коэициент вязкости,
которую будем полагать постоянной, Плотность ? принята постоянной и исключена
из уравнений. Отметим, что матрица M в (7) вырожденная. Наряду с дивергентной
ормой (7) приведем уравнения Навье Стокса в недивергентном виде
?f
M
+ Bf = 0,
?t
где
?
0
? ?1
B0 = ?
? ?2
?3
?1
0
0
0
?2
0
0
0
?j =
?
?3
0 ?
?,
0 ?
0
?
,
?xj
B=
3
X
(8)
Bj ,
j=0
?
0
? 0
Bj = ?
? 0
0
0
bj
0
0
0
0
bj
0
?
0
0 ?
?,
0 ?
bj
bij = vj ?j + µ?j ?j .
При записи уравнений (8) матричный оператор B представлен в виде расщепления по
изическим процессам и пространственным направлениям, где матричные операторы
Bj (j = 1, 2, 3) учитывают конвективные и вязкие члены в уравнениях движения по
направлению xj , а оператор B0 содержит члены в уравнении неразрывности и члены с
давлением в уравнениях движения. Отметим эквивалентность представления уравнений в дивергентной (7) и недивергентной (8) ормах, т. е. выполнение соотношения
(9)
W = Bf.
Аппроксимируем операторы Bj разностными операторами Bjh по ормулам
B0h
?
0
? ?1h
=?
? ?2h
?3 h
?1h
0
0
0
?2h
0
0
0
?
?3h
0 ?
?,
0 ?
0
Bjh
?
0
? 0
=?
? 0
0
0
bjh
0
0
0
0
bjh
0
?
0
0 ?
?.
0 ?
bjh
Здесь bjh = vjh ?j + µ?jj ; ?j = ?j+ , ?j = ?j? при vj ? 0, ?j = ?j? , ?j = ?j+ при vj ? 0
в случае аппроксимации производных с первым порядком O(hj ) и
?j = ?j = (?j? + ?j+ )/2
при аппроксимации производных со вторым порядком O(h2j ), где ?j± = ?(I ? T± )/hj ,
Tj± fl = fl±1 операторы сдвига, а вторые производные в Bjh аппроксимированы операторами ?jj со вторым порядком O(h2j ).
Об устойчивости схем расщепления и приближенной акторизации...
43
ассмотрим разностную схему с весами
!
3
3
X
X
f n+1 ? f n
M + ??
Bjh
+ ??
Bjh (?f n+1 + ?) f n = 0
?
j=0
j=0
и перепишем ее в каноническом виде (с учетом соотношений (9))
3
X
f n+1 ? f n
n
C
= ?Wh = ?
Bjh f n ,
?
j=0
C = M + ??
3
X
Bjh .
(10)
j=0
Данная схема линейна относительно (n + 1)-го слоя и аппроксимирует уравнения (7)
с порядком O(? 2 + hk ) при ? = 0.5 + O(? ), k = 1, 2 в зависимости от порядка аппроксимации операторов bj . еализация схемы без введения итераций (для тождественного
выполнения разностного уравнения неразрывности) невозможна. В силу вырожденности стабилизирующего оператора C его классическая акторизация, т. е. представление
в виде произведения, например одномерных операторов, невозможна, поэтому в работах
[5, 14, 15? были предложены явно-неявные схемы расщепления вида
!
3
X
e ? vn
v
n n
=?
Bjh
v + ?h pn , divh vn = 0,
?
j=1
en
vn+1 ? v
+ ?h pn+1 = 0, divh vn+1 = 0,
(11)
?
аппроксимирующие исходные уравнения (8) с порядком O(? +hk ) и условно устойчивые
в силу явной аппроксимации уравнений движения на промежуточном шаге. На полном
шаге давление pn+1 находилось из условия
e = ?? ?h (pn+1 ? pn ),
vn+1 ? v
которое с учетом уравнения divh vn+1 = 0 приводится к уравнению Пуассона
divh ?h (pn+1 ? pn ) =
1
e.
divh v
?
(12)
ешение (12) итерационным методом дает новое значение давления, после чего из (11)
явно определяются значения vn+1 . Легко видеть, что схема (11) не приводится к каноническому виду. Для повышения устойчивости схем в работах [5, 10? предложена неявная
схема расщепления (например с порядком O(? ))
3
e ? vn X n
v
e = ??h pn ,
+
Bjh v
?
j=1
3
vn+1 ? vn X n
e + ?h pn+1 = 0,
+
Bjh v
?
j=1
divh vn+1 = 0,
(13)
e сводилась к матричным прогонкам. После исреализация которой при вычислении v
e (13) можно представить в каноническом виде
ключения v
!
3
3
X
X
f n+1 ? f n
I +?
Bjh (M + ? B0h )
=?
Bjh f n = ?Whn .
(14)
?
j=1
j=0
44
В. М. Ковеня
ассмотрим устойчивость схем. Анализ устойчивости будем проводить спектральным
методом для линеаризованных уравнений уравнений с замороженными коэициентами, полагая значения коэициентов постоянными [3?. Пусть
!
!
3
3
X
X
f n = fjn1 j2 j3 = f0 exp ?tn + i
kl xl = ?n f0 exp i
kl jl hl l=1
l=1
вариация ункции f0 . Здесь tn = n ?, xl = jl hl , ? = e?n , где ? коэициент роста
гармоник. Введем сеточную норму kf n k = max fjn1 j2 j3 для всех 0 ? ji ? Ji , для которой
справедлива оценка kf n k ? |?| · |f n?1 | ? ... ? |?|n · |f0 |. Будем полагать, что разностные
операторы ?j , ?j аппроксимируют первые производные с порядком O(h) или O(h2).
Тогда при аппроксимации с первым порядком
? ?j f n = dj f n ,
где, например, при v ? 0
dj = ? (1 ? e?ikj hj ) hj ,
t0 = t1 + t2 + t3 ,
? ?j f n = dj f n ,
? µ ?jj f n = ?rj2 ,
dj = ? (eikj hj ? 1) hj ,
dj dj = ?rj2 ,
tj = vj dj + rj2 , t = 1 + t0 ,
rj2 = 4(? 2 h2 ) sin2 (kj hj /2).
(15)
tj ,
При аппроксимации со вторым порядком ?j = ?j = (?j? + ?j+ )/2 и tj = vj dj = ie
e
e
e
e
e
e
tj = (? vj /hj ) sin(kj hj ), t0 = t1 + t2 + t3 , t0 = it0 . азностной схеме (14) удовлетворяет
характеристическое уравнение
0
d1 ?
d2 ?
d3 ?
d1 [(1 + t0 )? ? t0 ] (1 + t0 )? ? 1 0
0
= 0,
det d2 [(1 + t0 )? ? t0 ] 0
(1
+
t
)?
?
1
0
0
d3 [(1 + t0 )? ? t0 ] 0
0
(1 + t0 )? ? 1 корни которого равны ?1 = 0, ?2 = t0 /(1 + t0 ), ?3,4 = 1/(1 + t0 ) и, очевидно, |?j | ? 1,
т. е. схема (14) устойчива. Заметим, что реализация этой схемы при вычислении компоe возможна матричными прогонками, что делает данный подход неэкононент вектора v
мичным.
Еще одним подходом при вычислении компонент скорости могут быть схемы расщепления или стабилизирующей поправки [10, 17?
!
3
X
(vn+1/6 ? vn ) ? + B1h (vn+1/6 ? vn ) = ?
Bjh + ?h pn ,
j=1
(vn+2/6 ? vn+1/6 ) ? + B2h (vn+2/6 ? vn ) = 0,
(vn+3/6 ? vn+2/6 ) ? + B2h (vn+3/6 ? vn ) = 0,
(vn+1 ? vn+3/6 ) ? + ?h (pn+1 ? pn ) = 0, divh vn+1 = 0.
Их реализация на дробных шагах сводится к скалярным прогонкам для вычисления
компонент вектора скорости и решению уравнения Пуассона вида (12) для нахождения
давления. После исключения дробных шагов схема приводится к канонической орме
3
Y
3
X
f n+1 ? f n
(I + ? Bjh )(M + ? B0h )
=?
Bjh f n .
?
j=1
j=0
(16)
45
Об устойчивости схем расщепления и приближенной акторизации...
Ей соответствует характеристическое уравнение
0
d1 ?
d2 ?
d1 [T (? ? 1) + 1] T (? ? 1) + t0 0
det d2 [T (? ? 1) + 1] 0
T (? ? 1) + t0
d3 [T (? ? 1) + 1] 0
0
d3 ?
0
0
T (? ? 1) + t0
корни которого ?1 = 0, ?2 = (T ? 1)/T, ?3, 4 = (T ? t0 )/T, а
T =
3
Y
= 0,
(1 + tj ) = 1 + t0 + R, t0 = t1 + t2 + t3 , R = t1 t2 + t1 t3 + t2 t3 + t1 t2 t3 (см. (15)).
j=1
При отсутствии конвективных членов в уравнениях движения (при tj = rj2 ) получим
?2 = (T ? 1)/T = (t0 + R )/(1 + t0 + R),
?3, 4 = (T ? t0 )/T = (1 + R)/(1 + t0 + R),
и, очевидно, |?j | ? 1 для j = 1, 2, 3, 4, т. е. схема (16) безусловно устойчива.
ассмотрим второй предельный случай при rj2 = 0, соответствующий уравнениям
Эйлера. Тогда, например, для схемы второго порядка получим
и
tj = i e
tj ,
T = 1 ? R1 + i(e
t0 ? R2 ),
R1 = e
t1e
t2 + e
t1e
t3 + e
t2e
t3 ,
R2 = e
t1e
t2e
t3
?R1 ? i(e
t0 ? R2 )
R12 + (e
t0 ? R2 )2
, |?2 |2 =
? 1 при |R1 | ? 0.5.
1 ? R1 ? i(e
t0 ? R2 )
(1 ? R1 )2 + (e
t0 ? R2 )2
p
Отсюда следует оценка ? ? 2/3 · h/|v|, где h = min |hj | , |v| = max |vj |. Для двух
оставшихся корней характеристического уравнения получим
?2 =
?3,4 =
1 ? R1 ? iR2
1 ? R1 ? i(e
t0 ? R2 )
и |?3,4 | ? 1 в двумерном случае, поскольку, как для всякой схемы приближенной акторизации (см. [6, 11?), R2 ? 0 и |?3,4 | ? 1 лишь при ? ? 4h/|3v|. Подобные оценки
справедливы и для схемы первого порядка аппроксимации. Таким образом, схема приближенной акторизации вида (16) для численного решения уравнений Навье Стокса
несжимаемой жидкости (7) или (8) теряет свойство безусловной устойчивости уже в
двумерном случае. Отметим, что для систем эволюционных уравнений схемы приближенной акторизации для двумерных задач безусловно устойчивы. Можно ожидать,
что полученные оценки устойчивости для линейных уравнений будут справедливы и
для нелинейной системы уравнений Навье Стокса (7). Отметим, что для модели Стокса, в которой отсутствуют конвективные члены в уравнениях движения, эти схемы безусловно устойчивы для задач любой размерности.
В работе [18? была предложена схема приближенной акторизации
? n = ?Wn ,
!
3
X
n
I + ??
Bjh
? n+1/2 = ? n ,
j=1
n
(M + ? ?B0h
)? n+1 = ? n+1/2 ,
f n+1 = f n + ? ? n+1 ,
(17)
46
В. М. Ковеня
полученная из схемы с весами (11) при замене исходного оператора на акторизованный оператор в виде
!
!
3
3
3
3
X
X
X
X
M + ??
Bjh ? I + ? ?
Bjh (M + ? ?B0h ) = M + ? ?
Bjh + ? 2 ?2
Bjh B0h .
j=0
j=1
j=0
j=1
После исключения дробных шагов она приводится к канонической орме (14), т. е. безусловно устойчива. ешение разностных уравнений на первом дробном шаге n + 1/2
предлагалось находить скалярными прогонками по одному из пространственных направлений для каждой компоненты ? n+1/2 с введением внутренних итераций. Проиллюстрируем реализацию схемы (17) на двумерной задаче. Система разностных уравнений, например, для первой компоненты скорости может быть записана на пятиточечном
шаблоне в виде
n+1/2
B?j,i
n+1/2
n+1/2
= aj ?j?1,i + bj ?j,i
n+1/2
n+1/2
n+1/2
+ cj ?j+1,i + dj ?j,i?1 + ej ?j,i+1 = fj,i .
Для решения этих разностных уравнений рассмотрим итерационную схему
A(? v+1 ? ? v ) = B? v ,
n+1/2,v
где ? v = ?j,i
, а оператор A выберем из условий наиболее быстрой сходимости.
Подобным образом могут быть реализованы разностные уравнения и для остальных
компонент скорости. В [18? для вычислений ? n+1/2 были использованы методы простой итерации и Зейделя. При расчете течений в каверне для достижения сходимости
требовалось несколько внутренних итераций. После определения невязок скоростей по
итерационной схеме численно решалось уравнение Пуассона
divh ?h ?pn+1/2
=
3
X
j=1
?jj ?pn+1/2 =
1
e
divh v
?
методом установления по указанной выше итерационной схеме или по безусловно устойчивой схеме приближенной акторизации
3 ?pv+1 ? ?pv X
1
v
e ,
(I ? ? ?jj )
=
?jj ?p ? ?j v
?
?
j=1
j=1
3
Y
реализуемой скалярными прогонками по каждому направлению. После вычисления
n+1/2
?p
явно вычислялись невязки скоростей, затем из последнего шага схемы (17) явно
находились новые значения ункций на новом временном шаге.
Таким образом, неявные разностные схемы полной аппроксимации для решения
уравнений Навье Стокса несжимаемой жидкости теряют свойство безусловной устойчивости при введении расщепления по изическим процессам и пространственным переменным. В отличие от схем для эволюционных уравнений в неявных схемах приближенной акторизации при использовании расщепления уравнений Навье Стокса
по пространственным направлениям недостаточно безусловной устойчивости схемы на
дробных шагах. Можно ожидать, что эти свойства присущи системам неэволюционных
уравнений.
Об устойчивости схем расщепления и приближенной акторизации...
47
Список литературы
[1?
Яненко Н.Н.
[2?
Самарский А.А.
[3?
одунов С.К., ябенький В.С.
[4?
Марчук .И.
[5?
Белоцерковский О.М.
[6?
Метод дробных шагов решения многомерных задач математической изики. Новосибирск: Наука, 1967.
Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1962.
Методы расщепления. М.: Наука, 1989.
ука, 1984.
Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: На-
Ковеня В.М., Яненко Н.Н.
бирск: Наука, 1979.
Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новоси-
[7?
Вабищевич П.Н., Самарский А.А.
[8?
оуч П.
[9?
изики. М.: Наука, 1999.
Аддитивные схемы для задач математической
Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
Самарский А.А., Николаев Е.С.
1978.
Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука,
[10?
Толстых А.И.
Компактные разностные схемы и их применение в задачах гидродинамики. М.: Наука, 1996.
[11?
Ковеня В.М.
[12?
Ладыженская О.А.
[13?
Chorin A.
[14?
Amsden A.A., Harlow F.N.
[15?
Белоцерковский О.М., ущин В.А., Щенников В.В.
азностные методы решения многомерных задач: Курс лекций. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2004.
сти. М.: Наука, 1970.
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидко-
Numerial solution of Navier Stokes equations // Math. Comput. 1968. Vol. 22,
No. 7. P. 745762.
Los Alamos, 1970.
The SMAC Method. Los Alamos Si. Lab. Rep. N LA-4370.
Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Журн. вычисл.
математики и матем. изики. 1975. Т. 15, ќ 1. С. 197207.
[16?
Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для некоторых диеренциально-операторных
уравнений // Там же. 2010. Т. 50, ќ 12. С. 21442154.
[17?
Моделирование трехмерной конвекции в мантии Земли с применением неявного метода расщепления по изическим процессам // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11,
ќ 4. С. 7386.
[18?
Червов В.В.
Об одном алгоритме решения уравнений Навье Стокса вязкой несжимаемой жидкости // Там же. 2006. Т. 11, ќ 2. С. 3951.
Ковеня В.М.
Поступила в редакцию 25 апреля 2011 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
213 Кб
Теги
решение, уравнения, расщепление, система, факторизация, устойчивость, приближенные, схема, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа