close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).
28
УДК 517.95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ1
© 2008
Н.В. Бейлина2
В работе рассматривается обратная задача для волнового уравнения с неизвестной функцией, входящей в граничное условие. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи. Для доказательства существования обобщенного решения была построена, с
помощью метода Галеркина, последовательность приближенных решений, а затем, с помощью полученной априорной оценки, доказана
сильная сходимость построенной последовательности к искомому решению. Доказательство единственности обобщенного решения базируется на полученной априорной оценке.
Ключевые слова: интегральное условие переопределения, нелокальная задача, обратная задача.
Введение
К настоящему времени появилось значительное количество работ, посвященных исследованию обратных задач с интегральным условием переопределения. В большинстве работ, посвященных исследованиям в этой области, изучались обратные задачи для уравнений параболического типа.
Среди них работы таких авторов, как Кэннона [1, 2], А.И. Прилепко и
А.Б. Костина [11, 12], А.И. Прилепко и Д.С. Ткаченко [13, 14], А.И. Кожанова
[8], В.Л. Камынина [6, 7], Н.И. Иванчова [4, 5]. В предлагаемой работе рассмотрена обратная задача с интегральным условием переопределения для
гиперболического уравнения.
1. Постановка задачи
Пусть Ω ∈ Rn — ограниченная область с гладкой границей ∂Ω ∈ C 2 . Рассмотрим в цилиндре Q = Ω × (0, T ), T < ∞, с боковой поверхностью S =
1
Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С.Пулькиной.
Бейлина Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара,
ул. Акад. Павлова, 1.
2
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
29
= ∂Ω×(0, T ) следующую обратную задачу: найти пару функций (u(x, t), p(t)),
удовлетворяющих уравнению
utt (x, t) − ∆u(x, t) + c(x, t)u(x, t) = f (x, t),
(x, t) ∈ Q,
(1.1)
начальным условиям
u(x, 0) = ϕ(x),
ut (x, 0) = ψ(x),
(1.2)
граничному условию
∂u = p(t)h(x, t)
∂n S
и интегральному условию переопределения
K(x)u(x, t)dx = E(t).
(1.3)
(1.4)
Ω
Функции ϕ(x), ψ(x), K(x) заданы в Ω̄, h(x, t), c(x, t) — в Q̄, E(t) задана на
[0, T ].
2. Разрешимость поставленной задачи
∂K(x) =
Теорема: Если K(x) ∈
E(t) ∈
c(x, t) ∈
∂n ∂Ω
1
1
=
0, f (x, t) ∈ L2 (Q), ft (x, t) ∈ L2 (Q), ϕ(x) ∈ W2 (Ω), ψ(x) ∈ L2 (Ω), h(x, t) ∈ C (Q̄),
h(x, t)K(x)ds 0, то существует единственное обобщенное решение из проC 2 (Ω̄),
C 3 [0, T ],
C1 (Q̄),
∂Ω
странства W21 задачи (1.1)–(1.4).
Прежде всего уточним, что понимается под обобщенным решением задачи (1.1)–(1.4). Заметим, что условие (1.4) эквивалентно следующему условию:
⎞−1 ⎡
⎛
⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢
⎜⎜⎜ ⎟ ⎢
⎜
h(x, t)K(x)ds⎟⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢⎢E (t) − ∆K(x)u(x, t)dx +
p(t) = ⎜⎜⎜⎜
⎠ ⎣
⎝
Ω
∂Ω
(2.1)
⎤
⎥⎥⎥
⎥
K(x)c(x, t)u(x, t)dx − K(x) f (x, t)dx⎥⎥⎥⎥ .
+
⎦
Ω
Ω
Действительно, дифференцируя (1.4) дважды по t и учитывая, что u(x, t)
удовлетворяет (1.1), получим (2.1). Обратное показывается прямым вычислением.
Обозначим
Ŵ21 = {v(x, t) : v(x, t) ∈ W21 (Q), v(x, T ) = 0}.
Умножим уравнение (1.1) на функцию v(x, t) ∈ Ŵ21 (Q) и проинтегрируем по
Н.В. Бейлина
30
цилиндру Q. После интегрирования по частям получим
T [∇u(x, t)∇v(x, t) − ut (x, t)vt (x, t) + c(x, t)u(x, t)v(x, t)] dxdt =
0
T Ω
f (x, t)v(x, t)dxdt +
=
0
Ω
(2.2)
T p(t)h(x, t)v(x, t)dsdt +
ψ(x)v(x, 0)dx.
Ω
0 ∂Ω
Определение: Пару функций (u(x, t), p(t)) будем называть обобщенным
решением задачи (1.1)–(1.4), если u(x, t) ∈ W21 (Q), u(x, 0) = ϕ(x), p(t) ∈ W21 (0, T ),
p(0) = 0 и (u(x, t), p(t)) удовлетворяет (2.1) (в смысле равенства функций в
L2 ) и тождеству (2.2) для любой функции v(x, t) ∈ Ŵ21 (Q).
Доказательство: Доказательство сформулированной теоремы разобьем
на несколько этапов.
1) Построим последовательность приближенных решений;
2) Покажем, что последовательность имеет предел;
3) Покажем, что найденный предел и есть искомое обобщенное решение.
Не ограничивая общности будем считать, что ϕ(x) = 0. Это предположение избавит от излишней громоздкости вычислений.
Будем искать приближенное решение (um (x, t), pm (t)) из следующих соотношений
T 0
T m
m
∇u (x, t)∇v(x, t) − um
t (x, t)vt (x, t) + c(x, t)u (x, t)v(x, t) dxdt =
Ω
T f (x, t)v(x, t)dxdt +
=
0
Ω
pm (t)h(x, t)v(x, t)dsdt +
0 ∂Ω
(2.3)
ψ(x)v(x, 0)dx.
Ω
m
u (x, 0) = 0.
⎛
⎞−1 ⎡
⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢ m
h(x, t)K(x)ds⎟⎟ ⎢⎢E (t) − ∆K(x)um−1 (x, t)dx+
p (t) = ⎜⎜
⎝
⎠ ⎣
∂Ω
+
Ω
Ω
K(x)c(x, t)um−1 (x, t)dx −
pm (0) = 0.
Ω
⎤
⎥⎥⎥
⎥
K(x) f (x, t)dx⎥⎥⎥⎥ .
⎦
(2.4)
(2.5)
Прежде всего заметим, что для каждого m существует единственная
функция um (x, t), удовлетворяющая тождеству (2.3) и условию (2.4), если
pm (t) известно.
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
31
Действительно, тождество (2.3) и равенство (2.4) определяют обобщенное решение из W21 (Q) второй начально–краевой задачи с неоднородными
условиями:
m
m
(2.6)
um
tt (x, t) − ∆u (x, t) + c(x, t)u (x, t) = f (x, t),
um (x, 0) = 0, um
(2.7)
t (x, 0) = ψ(x),
m
∂u = H(x, t),
H(x, t) = pm (t)h(x, t).
(2.8)
∂n S
Доказательство разрешимости этой задачи было проведено стандартным
методом. Для доказательства единственности обобщенного решения из W21 (Q)
в тождестве (2.3) с f (x, t) = 0, H(x, t) = 0, ψ(x) = 0 полагается
⎧ τ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ũm (x, η)dη, 0 t < τ,
⎨
v(x, t) = ⎪
⎪
⎪
t
⎪
⎪
⎪
⎩ 0,
τ t T,
что позволяет получить неравенство
m
ũ (x, τ) 2 dx 0,
Ω
из которого и вытекает единственность решения.
Для доказательства существования обобщенного решения поставленной
задачи применим метод Галеркина. Пусть {wk (x)} — фундаментальная система в W21 (Ω), причем (wk (x), wl (x))L2 (Ω) = δkl .
Приближенное решение будем искать в виде
um,N (x, t) =
N
dk (t)wk (x),
(2.9)
k=1
где dk (t) подлежат определению, из соотношений
!
m,N
(x, t)∇wl (x) + c(x, t)um,N (x, t)wl (x) dx =
um,N
tt (x, t)wl (x) + ∇u
Ω
f (x, t)wl (x)dx +
=
Ω
(2.10)
H(x, t)wl (x, t)ds,
∂Ω
dk (0) = 0,
dk
(0)
= βk ,
где βk = (ψ, wk )L2 (Ω) .
Подставляя (2.9) в (2.10) и меняя порядок суммирования и интегрирования приходим к выражению:
⎡
N ⎢⎢
⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣d k (t) wk (x)wl (x)dx + dk (t) ∇wk (x)∇wl (x)dx+
k=1
Ω
⎤ Ω
⎥⎥⎥ ⎥
f (x, t)wl (x)dx + H(x, t)wl (x, t)ds.
+dk (t) c(x, t)wk (x)wl (x)dx⎥⎥⎥⎥ =
⎦
Ω
Ω
∂Ω
Н.В. Бейлина
32
Обозначим
f˜l (t) =
f (x, t)wl (x)dx +
Ω
H(x, t)wl (x, t)ds;
∂Ω
γkl (t) = (∇wk (x), ∇wl (x))L2 (Ω) + (c(x, t)wk (x), wl (x))L2 (Ω) ,
получим
d
l (t) +
N
dk (t)γkl (t) = f˜l (t),
(2.11)
k=1
dl
(0) = βl .
dl (0) = 0,
Заметим, что (2.11) представляет собой задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций
dk (t), которая однозначно разрешима и dk (t) ∈ C 2 [0, T ] [10].
Таким образом, для любого натурального N существует единственная
функция um,N (x, t) вида (2.9), удовлетворяющая тождеству (2.10), то есть
построена последовательность {um,N (x, t)}. Исследуем сходимость этой последовательности. Для этого умножим (2.10) на d
k (t) и просуммируем по l от
1 до N, а затем проинтегрируем по t от 0 до τ. После преобразований получим
τ "#
$2 #
$2 %
m,N
m,N
f (x, t)um,N
(x, t)dxdt−
ut (x, τ) + ∇u (x, τ) dx = 2
t
Ω
τ −2
0
0
c(x, t)um,N (x, t)um,N
(x, t)dxdt
t
Ω
Ω
+2
τ H(x, t)um,N
(x, t)dsdt+
t
0 ∂Ω
"#
$2 #
$2 %
m,N
m,N
ut (x, 0) + ∇u (x, 0) dx.
+
Ω
Применяя к первым двум слагаемым в правой части элементарное неравенство 2ab a2 + b2 , третье слагаемое интегрируя по частям, а затем оценивая интегралы по границе с помощью неравенства [7]
∂Ω
v2 (x, t)ds #
$
|∇v|2 + c()v2 dx,
Ω
(2.12)
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
33
получим следующую цепочку неравенств:
"#
$2 #
$2 %
m,N
(x,
τ)
+
∇u
(x,
τ)
um,N
dx t
Ω
τ 0
τ #
$2
f (x, t)dxdt +
(x,
t)
dxdt+
um,N
t
2
Ω
τ +
2
0
Ω
#
m,N
c (x, t) u
τ #
$2
$2
(x, t) dxdt +
(x, t) dxdt+
um,N
t
0 Ω
0 "Ω #
$2 %
2
m,N
m,N
H (x, τ)ds +
ε ∇u (x, τ) + c(ε) u (x, τ) dx+
(2.13)
2
+
∂Ω
τ
Ω
" τ #
$2 %
2
m,N
m,N
µ ∇u (x, t) + c(µ) u (x, t) dxdt +
Ht2 (x, t)dsdt+
+
Ω
0
0 ∂Ω
τ "#
$2 #
$2 %
m,N
m,N
ut (x, 0) + ∇u (x, 0) dx.
+
0
Ω
Заметим, что
m,N
u
τ
(x, τ) =
um,N
(x, t)dt,
t
0
откуда нетрудно получить неравенство
τ #
τ #
$2
$2
(x, t) dxdt.
um,N (x, t) dxdt 2T 2
um,N
t
0
Ω
0
Ω
Учитывая (2.14), и полагая в (2.13) ε =
1
2
(2.14)
1
, получим
2
"#
$2 2 %
m,N
dx (x,
τ)
+
∇u
(x,
τ)
um,N
t
Ω
τ "#
$2 2 %
m,N
dxdt+
(x,
t)
+
∇u
(x,
t)
um,N
M
t
τ 0
2
Ω
f (x, t)dxdt +
+
0
Ω
2
τ H (x, τ)ds +
∂Ω
0 ∂Ω
Ht2 (x, t)dsdt +
#
$2
(x, 0) dx.
um,N
t
Ω
(2.15)
Применяя к (2.15), неравенство Гронуолла [3], а затем интегрируя по τ от
Н.В. Бейлина
34
0 до T приходим к следующей оценке:
τ "#
$2 2 %
m,N
dxdt (x,
t)
+
∇u
(x,
t)
um,N
t
0
Ω
!
(2.16)
e2MT T f 2L2 (Q) + H)2L2 (S ) + T Ht 2L2 (S ) + ψ2L2 (Ω) .
Заметим, что с помощью (2.14) нетрудно получить неравенство
τ "#
$2 $2 %
2 # m,N
m,N
(x,
t)
+
∇u
(x,
t)
+
u
(x,
t)
um,N
dxdt t
0
Ω
τ "#
$2 2 %
2
m,N
dxdt.
(x,
t)
+
∇u
(x,
t)
um,N
(1 + 2T )
t
(2.17)
Ω
0
Тогда из (2.16) и (2.17) следует оценка
!
um,N 2W 1 (Q) M1 (T ) f 2L2 (Q) + H2L2 (S ) + Ht 2L2 (S ) + ψ2L2 (Ω) ,
2
где M1 (T ) = max{(1 + 2T 2 )T e2MT , 2(1 + 2T 2 )T 2 e2MT }.
Поскольку все нормы справа ограничены, то ясно, что последовательность {um,N (x, t)} ограничена в пространстве W21 (Q); следовательно, из нее
можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность {um,Nn (x, t)} [7].
Покажем, что ее предел при N → ∞ {um (x, t)} ∈ W21 (Q) и есть искомое обобщенное решение.
Умножим (2.10) на hi (t), hi (t) ∈ W21 (0, T ) и hi (T ) = 0, просуммируем по i
от 1 до N и проинтегрируем по t от 0 до T . Обозначив
ηN (x, t) =
N
hi (t)wi (x),
i=1
а через NN — совокупность всех таких η, получим
T !
m,Nn
N
m,Nn N
n N
η
+
∇u
∇η
+
c(x,
t)u
η
um,N
dxdt =
tt
Ω
0
τ τ N
f (x, t)η dxdt +
=
0
Ω
H(x, t)ηN dsdt.
0 ∂Ω
Проинтегрировав первое слагаемое слева по частям, мы для каждой функции η ∈ NN получим равенство
T !
m,Nn N
n N
η
+
c(x,
t)u
η
∇um,Nn ∇ηN − um,N
dxdt =
t
t
Ω
0
τ =
0
Ω
f (x, t)ηN dxdt +
τ 0 ∂Ω
H(x, t)ηN dsdt +
Ω
(2.18)
um,Nn (x, 0)ηN (x, 0)dx.
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
35
Зафиксировав произвольно выбранную η ∈ NN , перейдем в (2.18) к пределу при Nn → ∞. Тогда в силу доказанной слабой сходимости будем иметь
T 0
m
m
∇u (x, t)∇η(x, t) − um
t (x, t)ηt (x, t) + c(x, t)u (x, t)η(x, t) dxdt =
Ω
T T f (x, t)η(x, t)dxdt +
=
Ω
0
H(x, t)η(x, t)dsdt +
0 ∂Ω
ψ(x)η(x, 0)dx.
Ω
Таким образом, тождество, определяющее обобщенное решение, выпол∞
NN всюду плотно в Ŵ21 (Q), то тожденяется для всех η ∈ NN . Так как
N=1
ство выполняется для произвольной v(x, t) ∈ Ŵ21 (Q).
Итак, доказали, что предельная функция является обобщенным решением задачи (2.6)–(2.8).
Заметим, что в силу условий на входные данные решение имеет вторую
производную utt (x, t) ∈ L2 (Q) и uxt (x, t) ∈ L2 (Q), а существование ∆u(x, t) ∈
L2 (Q) гарантирует условие гладкости границы ∂Ω [7].
Так как все сказанное выше справедливо для любого m, то, учитывая явное представление функции pm (t), можно считать, что последовательность {um (x, t), pm (t)} построена.
Для обоснования сходимости этой последовательности рассмотрим разности
zm (x, t) = um (x, t) − um−1 (x, t), rm (t) = pm (t) − pm−1 (t).
Заметим, что для zm (x, t) справедливо тождество
τ 0
m
ztt (x, t)v(x, t) + ∇zm (x, t)∇v(x, t) + c(x, t)zm (x, t)v(x, t) dxdt =
Ω
τ =
rm (t)h(x, t)v(x, t)dsdt.
0 ∂Ω
Положим v(x, t) = zm
t (x, t) и, интегрируя по частям интегралы в левой части,
получим
"
2 %
m
1
zt (x, τ) 2 + ∇zm (x, τ) dx =
2
Ω
τ =
r
0 ∂Ω
m
(t)h(x, t)zm
t (x, t)dsdt
τ −
(2.19)
m
c(x, t)z
0
Ω
(x, t)zm
t (x, t)dxdt.
Н.В. Бейлина
36
Выполним некоторые преобразования в (2.19), интегрируя по частям:
τ r
m
0 ∂Ω
τ (t)h(x, t)zm
t (x, t)dsdt
τ
h(x, t)rm (t)zm (x, t) ds−
=
0
∂Ω
−
h(x, t)r (t) t zm (x, t)dsdt = rm (τ)
m
0 ∂Ω
h(x, τ)zm (x, τ)ds−
∂Ω
τ h(x, t)rtm (t)zm (x, t)dsdt −
−
0 ∂Ω
τ ht (x, t)rm (t)zm (x, t)dsdt.
0 ∂Ω
Оценим полученное выражение, используя неравенство (2.12):
m
|∂Ω|
h(x, t)z (x, τ)ds δ rm (τ) 2 +
δ
m
2r (τ)
∂Ω
τ
2
rtm (t)
|∂Ω|h21
δ rm (τ) 2 +
δ
τ
δ
0
τ
m
0
∂Ω
" 2
%
ε ∇zm (x, τ) + c(ε) zm (x, τ) 2 dx,
Ω
|∂Ω|h21
m 2
rt (t) dt +
δ
τ " 2
%
ν ∇zm (x, t) + c(ν) zm (x, t) 2 dxdt,
Ω
0
ht (x, t)zm (x, t)dsdt r (t)
2
h2 (x) zm (x, τ) 2 ds h(x, t)zm (x, t)dsdt ∂Ω
0
∂Ω
τ
δ
0
|∂Ω|h22
m 2
r (t) dt +
δ
τ " 2
%
µ ∇zm (x, t) + c(µ) zm (x, t) 2 dxdt.
Ω
0
Тогда справедлива оценка
"
2
zm
t (x, τ)
τ m
2 %
m
+ ∇z (x, τ) dx zt (x, t) 2 dxdt +
Ω
τ +
0
Ω
0
c (x, t) z (x, t) 2 dxdt +
2
Ω
m
τ 0
Ω
m
zt (x, t) 2 dxdt +
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
|∂Ω|h21
+δ rm (τ) 2 +
δ
τ
+δ
0
" 2
%
ε ∇zm (x, τ) + c(ε) zm (x, τ) 2 dx+
Ω
|∂Ω|h21
m 2
rt (t) dt +
δ
τ
+δ
0
τ " 2
%
ν ∇zm (x, t) + c(ν) zm (x, t) 2 dxdt+
Ω
0
|∂Ω|h22
m 2
r (t) dt +
δ
τ " 2
%
µ ∇zm (x, t) + c(µ) zm (x, t) 2 dxdt.
Ω
0
(2.20)
Заметим, что выполняется неравенство
τ τ 2
m
m
2
z (x, t) dxdt 2T
zt (x, t) 2 dxdt,
0
37
Ω
0
(2.21)
Ω
следовательно, (2.20) примет вид
τ "
2 %
2 m
m
m
zt (x, t) 2 dxdt + δ rm (τ) 2 +
zt (x, τ) + ∇z (x, τ) dx A1
Ω
τ
+δ
rm (t) 2 dt + δ
0
τ
0
0
Ω
τ m 2
∇zm (x, t)2 dxdt,
rt (t) dt + A2
0
(2.22)
Ω
где A1 и A2 зависят только от входных данных.
δ
, применим к (2.22) неравенство Гронуолла [3], а
Выберем ε =
2|∂Ω|h21
затем интегрируя по τ от 0 до T , придем к оценке
&
(2.23)
zm W 1 (Q) N1 (T )δrm (t)W 1 (0,T ) ,
2
2
где δ > 0 произвольно.
Оценим теперь значение rm (t), для которого справедливо равенство
⎛
⎞−1 ⎡
⎤
⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥
⎜
⎟ ⎢
⎥
hKds⎟⎟⎟⎟ ⎢⎢⎢⎢ K(x)c(x, t)zm−1 dx − ∆K(x)zm−1 dx⎥⎥⎥⎥ .
(2.24)
rm (t) = ⎜⎜⎜⎜
⎝
⎠ ⎣
⎦
∂Ω
Ω
Ω
Возводя (2.24) в квадрат, учитывая условия теоремы, а также что zm−1 (x, t) ∈
W21 (Q) нетрудно получить неравенство
&
(2.25)
rm (t))L2 (0,T ) N2 zm−1 (x, t)W 1 (Q) .
2
Далее продифференцируем (2.24) по t и, повторяя предыдущие рассуждения приходим, к оценке
&
(2.26)
rtm (t))L2 (0,T ) N3 zm−1 (x, t)W 1 (Q) .
2
Из (2.23), (2.25) и (2.26) вытекает, что
√
zm (x, t))W 1 (0,T ) Lzm−1 (x, t)W 1 (Q) .
2
2
(2.27)
Н.В. Бейлина
38
rm (t))W 1 (0,T ) 2
√
Lrm−1 (t))W 1 (0,T ) ,
2
(2.28)
где L = N1 (N2 + N3 )δ.
√
L = q < 1. Тогда
Пользуясь произволом δ, выберем его так, чтобы
неравенства (2.27) и (2.28) означают, что последовательность (um (x, t), pm (t))
фундаментальна.
Так как W21 (Q) — полное пространство, то фундаментальная последовательность (um (x, t), pm (t)) сходится к элементу (u(x, t), p(t)), где u(x, t) ∈ W21 (Q),
p(t) ∈ W21 (0, T ). Но тогда, переходя к пределу в (2.3) и (2.5), мы получим
соответственно тождества (2.1) и (2.2), так как из сильной сходимости следует слабая.
Таким образом, пара функций (u(x, t), p(t)), полученная в результате предельного перехода в (um (x, t), pm (t)) и эквивалентных преобразований, является обобщенным решением задачи (1.1)–(1.4).
Единственность задачи (1.1)–(1.4) непосредственным образом следует из
оценок (2.27) и (2.28).
Литература
[1] Cannon, J.R. Determination of a control parameter in a parabolic partial
differential equation / J.R. Cannon, S.Y. Lin // J. Austral.Math. Soc. Ser.
B – 1991. – Vol. 33. – P. 149-163.
[2] Cannon, J.R. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear
parabolic differential equations / J.R. Cannon, Y. Lin // Inverse Problems – 1998. – Vol. 4. – P. 35-45.
[3] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. / Л. Гординг
– М.: Иностр. лит., 1961. – 120 с.
[4] Иванчов, Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости / Н.И. Иванчов // Сибирский мат. журнал. – 1994. – Т. 35. – №3. – С. 612–621.
[5] Иванчов, Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении / Н.И. Иванчов // Сибирский
мат. журнал. – 1998. – Т. 39. – №3. – С. 539–550.
[6] Камынин, В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для
параболических уравнений с условием финального переопределения / В.Л. Камынин // Матем. заметки – 2003. – Т. 73. – Вып. 2. –
С. 217–227.
[7] Камынин, В.Л. Об обратной задаче определения правой части в
параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В.Л. Камынин // Матем. заметки – 2005. – Т. 77. – Вып. 4. –
С. 522–534.
[8] Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сибирский мат. журнал. – 2005. – Т. 46. – Вып. 5. – С. 1053–1071.
Обратная задача с интегральным условием для волнового уравнения
39
[9] Ладыженская, О.А.
Краевые
задачи
математической
физики. / О.А. Ладыженская. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
[10] Понтрягин, Л.С.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения / Л.С. Понтрягин. – М., 1961. – 311 с.
[11] Прилепко, А.И О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А. Б. Костин // Мат. сборник – 1992. – Т. 183. –
№4. – С. 49–86.
[12] Прилепко, А.И Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении II / А.И. Прилепко, А. Б. Костин // Сибирский мат. журнал. – 1993. – Т. 33. – №3. – С. 146–155.
[13] Прилепко, А.И Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным
переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖВМиМФ –
2003. – Т. 43. – №4. – С. 562–570.
[14] Прилепко, А.И Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖВМиМФ – 2003. – Т. 43. –
№9. – С. 1329–1401.
Поступила в редакцию 12/II/2008;
в окончательном варианте — 27/II/2008.
AN INVERSE PROBLEM WITH AN INTEGRAL
OVERDETERMINATION CONDITION FOR WAVE
EQUATION3
© 2008
N.V. Beilina4
In the paper we study an inverse problem with an integral overdetermination condition for a wave equation with an unknown coefficient
in boundary condition is considered. The existence and uniqueness of a
solution is proved with help of an a priori estimate and the Galerkin
procedure.
Keywords and phrases: inverse problem, non-local problem, integral condition
of overdetermination.
Paper received 12/II/2008.
Paper accepted 27/II/2008.
3
Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S. Pulkina.
Beilina Natalya Viktorovna (natalie@samdiff.ru), Dept. of Mathematical Physics,
Samara State University, Samara, 443011, Russia.
4
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
289 Кб
Теги
уравнения, переопределение, обратная, интегральная, волнового, задачи, условие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа