close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61).
34
УДК 517.984.54.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
НА РАВНОБЕДРЕННОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ
ТРЕУГОЛЬНИКЕ
© 2008
Г.А. Закирова,1
А.И. Седов2
В работе приведены достаточные условия, налагаемые на последовательность комплексных чисел, для которых существует возмущенный оператор
Лапласа, порожденный задачей Дирихле на равнобедренном прямоугольном
треугольнике.
Введение
В работе рассматривается следующая обратная задача спектрального анализа:
дана последовательность комплексных чисел {ξt }∞
t=1 , мало отличающаяся от спектра σ(T ) оператора T . Требуется доказать существование оператора P такого, что
спектр σ(T + P) ”совпадает” с последовательностью ξt .
Обратная задача в данной постановке рассматривалась многими авторами. Однако для оператров с частными производными имеется не так много результатов.
Так, в работе [1] был рассмотрен оператор Лапласа T с простым спектром и предложен резольвентный метод, которым было доказано существование и единственность оператора T +P. В дальнейшем метод применялся для различных операторов
с простым спектром [2–5].
В представленной работе мы применили резольвентный метод для решения
обратной задачи для случая оператора T с кратным спектром.
1. Постановка задачи
π!
π
Пусть K = {(x, y) : 0 x y π}, D = (x, y) : x π, 0 y . В про2
2
странстве L2 (K) рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор T 0 , порожденный краевой задачей Дирихле:
−∆v = λv,
v|∂K = 0.
1
Закирова Галия Амрулловна (zakirova81@mail.ru), кафедра математического анализа Магнитогорского государственного университета, 455038, Россия, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 114.
2 Седов Андрей Иванович (sedov@masu.ru),
кафедра математических методов в экономике Магнитогорского государственного университета, 455038, Россия, г. Магнитогорск,
пр. Ленина, 114.
Обратная задача спектрального анализа для степени оператора
35
∞
Введем оператор T = 0 λβ dE(λ), где E(λ) — спектральное разложение единицы,
β > 1, λβ > 0 при λ > 0.
Известно [6], что собственнымчислам λmn = (m2 + n2 )β оператора T соответству2
(sin mx sin ny − sin nx sin my), m > n > 0, образуюют собственные функции vmn =
π
щие ортонормированный базис в L2 (K). Иногда для удобства упорядоченные по
возрастанию собственные числа λmn и связанные с ними спектральные объекты
будем нумеровать одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при
этом верхний индекс будет отвечать за кратность νt собственного числа λt , т.е.
λt = λts = λtj , s, j = 1, νt .
Пусть P — оператор умножения на функцию p ∈ L2 (K). Обозначим через µt
собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.
2. Предварительные сведения
Введем следующие обозначения:
1
1
1) rt = min{λt+1 − λt ; λt − λt−1 }, r1 = (λ2 − λ1 ), r0 = inf rt ;
t
2
2
∞ 1
2
2) s =
r2k (m+n),2k (m−n)
max
R0 (λ)2 +
λ∈γ2k (m+n),2k (m−n)
22k
m>n>0 k=0
1
+ 2k+1 r2k+1 m,2k+1 n max R0 (λ)22 ;
λ∈γ2k+1 m,2k+1 n
2
" 1
#
3) 0 < r < min √ ; r0 ;
3 2s
4) R0 (λ) = (T − λE)−1
— резольвента оператора T ;
2
5) φmn = (cos mx cos ny + cos nx cos my), m, n = 0, 1, . . . ;
π
6) γt = {λ ∈ : |λt − λ| = r0 };
7) Ωt = {λ ∈ : |λt − λ| r0 }, Ω = ∩∞
t=1 Ωt ;
8) · 2 — норма Гильберта–Шмидта.
Лемма 3.1. Пусть P < r0 /2, тогда оператор T + P — дискретен и его собственные числа µt имеют такую же кратность, что и λt , причем
(i) если R0 (λ) — оператор Гильберта–Шмидта, то и R(λ) — оператор Гильберта–Шмидта,
(ii) если λt ∈ \ Ωt , то µts ∈ \ Ωt , s = 1, νt .
Доказательство.
Рассмотрим очевидное операторное тождество, справедливое при всех λ ∈ Ω:
T + P − λE = [E + PR0 (λ)](T − λE).
1
r 1
1
, то PR0 (λ) < · . Значит, существует линейТак как R0 (λ) =
d(λ, σ(T ))
2 r0
2
ный ограниченный в L2 оператор
∞
[E + PR0 (λ)]−1 =
(−1)k [PR0 (λ)]k ,
k=0
причем ряд сходится по норме равномерно по λ ∈ Ω и (E + PR0 (λ))−1 2.
Тогда всюду на Ω существует линейный ограниченный оператор
R(λ) = (T + P − λE)−1 = R0 (λ)[E + PR0 (λ)]−1 .
Г.А. Закирова, А.И. Седов
36
Отсюда следует, что R(λ) — оператор Гильберта–Шмидта, и для него справедливо разложение в сходящийся по норме ряд
∞
R(λ) =
(−1)k R0 (λ)[PR0(λ)]k , λ ∈ Ω.
k=0
Так как R(λ) — компактный оператор в L2 , то оператор T + P
Норма разности проекторов Рисса при любом t ∈ $$
$$
$$
$$ 1
2
1
1
2πrt
[R(λ)
−
R
(λ)]dλ
R(λ) · PR0 (λ)|dλ| <
0
$$
$$
2πi γt
2π γt
2π
r0
дискретен.
·
1
1,
2
поэтому все корневые подпространства оператора T + P имеют такую же размерность, как и у оператора T .
Кроме того, если λt ∈ \ Ωt , то µts ∈ \ Ωt , s = 1, νt .
Лемма доказана.
rt
Теорема 3.1. Если β > 1, P < , то имеет место спектральное тождество
2
νt
νt
µts = νt λt +
(Pvts , vts ) + αt (p),
s=1
где
αt (p) =
s=1
1
2πi
γt
(λt − λ)Sp R(λ)[PR0 (λ)]2 dλ.
Доказательство. Поскольку β > 1, то
λ ∈ Ω. Рассмотрим операторное тождество
∞
1
< ∞, а значит, R0 (λ) ядерный,
λ
m>n>0 mn
R(λ) = R0 (λ) − R0 (λ)PR0 (λ) + R(λ)[PR 0(λ)]2 , λ ∈ Ω.
λt − λ
Возьмем след от обеих частей данного тождества, затем умножим его на
2πi
и проинтегрируем по окружности γt . Получим
1
1
(λt − λ)SpR(λ)dλ =
(λt − λ)SpR0 (λ)dλ−
2πi γt
2πi γt
1
(λt − λ)Sp[R0 (λ)PR0 (λ)]dλ+
−
2πi γt
1
(λt − λ)Sp[R(λ)[PR 0(λ)]2 ]dλ.
+
2πi γt
Далее воспользуемся теоремой В.Б. Лидского о равенстве матричного и спектрального следов ядерного оператора и ортонормированностью собственных функций операторов T и T + P. Получим при всех λ ∈ Ω
∞
∞
1
SpR(λ) =
,
(2.1)
(R(λ)umn, umn ) =
µ −λ
m>n>0
m>n>0 mn
SpR0 (λ) =
∞
(R0 (λ)vmn , vmn ) =
m>n>0
∞
∞
1
.
λ
−λ
m>n>0 mn
(2.2)
∞
1
1
,
и ограниченности контура
λ − λ m>n>0 µmn − λ
m>n>0 mn
γt ряды в правых частях равенств (2.1), (2.2) сходятся равномерно по λ из γt ,
В силу сходимости рядов
Обратная задача спектрального анализа для степени оператора
37
при любом t ∈ . Поэтому
∞
λt − λ
1
1
dλ =
(λt − λ)SpR(λ)dλ =
2πi γt
2πi γt m>n>0 µmn − λ
νt
∞ λt − λ
1 dλ =
=
(µts − λt ).
2πi m>n>0 γt µmn − λ
s=1
Аналогично находим
1
2πi
γt
(λt − λ)SpR0 (λ)dλ = 0.
Используя равенство (R0 (λ)PR0 (λ)vmn , vmn ) =
λ ∈ Ω, получаем
Sp(R0 (λ)PR0 (λ))dλ =
(Pvmn , vmn )
, справедливое при всех
(λmn − λ)2
∞
(Pvmn , vmn )
.
(λmn − λ)2
m>n>0
(2.3)
Так как R0 (λ) — ядерный, ряд (2.3) сходится равномерно по λ ∈ Ω. Поэтому
1
(λt − λ)Sp(R0 (λ)PR0 (λ))dλ =
2πi γt
νt
∞
1
(λt − λ)(Pvmn , vmn )
=
dλ
=
(Pvts , vts ).
2
2πi
(λ
−
λ)
mn
γ
t
m>n>0
s=1
Теорема доказана.
Лемма 3.2. Если P j r/2, 0 < r r0 , j = 1, 2, то
√
3 2
rrt p1 − p2 L2 (K) max R0 (λ)22 .
|αt (p1 ) − αt (p2 )| λ∈γt
π
(2.4)
Доказательство.
Введем обозначение R j (λ) = (T + P j − λE)−1 , j = 1, 2.
Оценим разность
|αt (p1 ) − αt (p2 )| =
1 2
2
=
(λt − λ)Sp R1 (λ)(P1 R0 (λ)) − R2 (λ)(P2 R0 (λ)) dλ 2π γt
$
$
rt maxλ∈γt $$R1 (λ)(P1 R0 (λ))2 − R2 (λ)(P2R0 (λ))2 $$1 .
(2.5)
При λ ∈ γt имеем
R1 (λ)[P1R0 (λ)]2 − R2 (λ)[P2 R0 (λ)]2 = [R1 (λ) − R2 (λ)][P1 R0 (λ)]2 +
+R2 (λ) [P1 R0 (λ)(P1 − P2 )R0 (λ) + (P1 − P2 )R0 (λ)P2 R0 (λ)] .
Используя тождество Гильберта, получим
R1 (λ) − R2 (λ) = R1 (λ)(P2 − P1 )R2 (λ) =
= R1 (λ)(P2 − P1 )R0 (λ) + R1 (λ)(P1 − P2 )R2 (λ)P2 R0 (λ).
Учитывая неравенства R j (λ) 2R0 (λ), j = 1, 2 и AB1 A2 B2 , а также
√
2
pL2 (K) , получим
очевидное равенство P =
π
Г.А. Закирова, А.И. Седов
38
$
$
maxλ∈γt $$R1 (λ)[P1 R0 (λ)]2 − R2 (λ)[P2R0 (λ)]2 $$1 maxλ∈γt R1 (λ) · (P1 − P2 )R0 (λ)2 P1 R0 (λ) · P1 R0 (λ)2 +
+R1 (λ) · (P2 − P1 )R0 (λ)2 P2 R2 (λ) · P1 R0 (λ) · P1 R0 (λ)2 +
+R2 (λ) · P1 R0 (λ)2 (P1 − P2 )R0 (λ)2 +
+R2 (λ) · (P1 − P2 )R0 (λ)2 P2 R0 (λ)2 √ 2
2 r
r3
2r
+
+
max R0 (λ)22 p1 − p2 π 2rt2 2rt3
rt λ∈γt
√
3 2r
max R0 (λ)22 p1 − p2 L2 (K) .
πrt λ∈γt
r
< 1, то, подставляя полученное в (2.5), имеем (2.4).
rt
Лемма доказана.
Очевидно, что ряд
Так как
∞ 1
k
rk
max
R0 (λ)22 +
2k 2 (m+n),2 (m−n) λ∈γ k
2
k (m−n)
2
(m+n),2
m>n>0 k=0
+
1
r2k+1 m,2k+1 n max
λ∈γ2k+1 m,2k+1 n
22k+1
R0 (λ)22
сходится. Обозначим его сумму через s.
3. Основной результат
1
Теорема 4.1. Пусть β > 2, r ∈ 0, min r0 , √
. Если для комплексной по3 2s
следовательности {ξmn } выполняется неравенство:
∞
4 1
k
(ξ k
− λ2k (m+n),2k (m−n) )−
π m>n>0 k=0 22k 2 (m+n),2 (m−n)
r
√
k+1 m,2k+1 n − λ2k+1 m,2k+1 n ) <
(1
−
3
(ξ
2sr),
2
2
22k+1
то существует функция p ∈ L∞ (K) такая, что для любого t ∈ 1
1
µmn − µm+n,m−n =
ξmn − ξm+n,m−n ,
2
2
2
2
2
2
−
m +n =λt
1
(3.1)
m +n =λt
где σ(T + P) = {µmn }.
Доказательство.
В пространстве L∞ (D) рассмотрим уравнение
p = α0 − α(p),
(3.2)
Обратная задача спектрального анализа для степени оператора
где
39
(p, ϕ2m,2n )ϕ2m,2n ;
⎧∞
⎪
⎪
⎨ 1 α0 = π
ξ2k (m+n),2k (m−n) − λ2k (m+n),2k (m−n) −
⎪
⎪
⎩
22k
m>n>0 k=0
%
1
− ξ2k+1 m,2k+1 n − λ2k+1 m,2k+1 n
φ2m,2n ;
2
⎧∞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎨ 1
⎬ φ2m,2n
k
k
k+1
k+1
α(p) = π
α
−
.
α
⎪
2 (m+n),2 (m−n)
2 m,2 n ⎪
⎪
⎪
2k
⎩
⎭ νmn
2
2
m>n>0 k=0
p=
m>n>0
Введем оператор A : L∞ (D) → L∞ (D), определяемый равенством
Ap = α0 − α(p).
Так как при условиях теоремы выполняется неравенство
√
√
r
r
r
Ap α0 + α(p) (1 − 3 2sr) + 3 2sr ,
2
2
2
то оператор A отображает замкнутый шар U(0, 2r ) в себя.
Покажем, что оператор A сжимающий. Имеем
Ap1 − Ap2 L∞ (D) = α(p1 ) − α(p2 )L∞ (D) ∞ 1
π
2k [α2k (m+n),2k (m−n) (p1 ) − α2k (m+n),2k (m−n) (p2 )]−
2
m>n>0 k=0
1
− 2k+1 [α2k+1 m,2k+1 n (p1 ) − α2k+1 m,2k+1 n (p2 )] × ess sup |φ2m,2n | 2
x∈D
∞ √
1
r2k (m+n),2k (m−n) ×
3 2rp1 − p2 L∞ (K)
22k
m>n>0 k=0
1
×
max
R0 (λ)22 + 2k+1 r2k+1 m,2k+1 n max R0 (λ)22 =
λ∈γ2k (m+n),2k (m−n)
λ∈γ2k+1 m,2k+1 n
2
√
= 3 2rsp1 − p2 L∞ (D) .
По принципу С. Банаха уравнение (3.2) имеет единственное решение p. Из
уравнения (3.2) видно, что p удовлетворяет свойству:
p(π − x, y) = p(π − y, x).
Расширим область определения функции p до K, доопределив ее по свойствам:
π
(i) p(x, y) = p(π − x, y) при (x, y) ∈ D 1 , D1 = {(x, y) : x π, 0 y π − x};
2
π
(ii) p(x, y) = p(x, π − y) при (x, y) ∈ D 2 , D2 = {(x, y) : x π, π − x y π}.
2
Определим оператор P, действующий в L2 (K), следующим образом:
Pv(x, y) = p(x, y)v(x, y),
где p — решение уравнения (3.2). В силу леммы 1 оператор T + P дискретный,
и его собственные числа µt также можно занумеровать двойным натуральным
индексом, т.е. σ(T + P) = {µmn }.
Покажем, что это решение p и есть искомый потенциал, т.е. для него выполняется (3.1).
По теореме 1 имеем:
µmn =
λmn +
(Pvmn , vmn ) + αmn (p).
m2 +n2 =λt
m2 +n2 =λt
m2 +n2 =λt
Г.А. Закирова, А.И. Седов
40
Преобразуем (Pvmn , vmn ).
(Pvmn , vmn )L2 (K) =
4
p(x, y)(sin mx sin ny − sin nx sin my) 2 dxdy =
π2
K
4
= 2
p(x, y)(sin2 mx sin2 ny−
π
K
−2 sin mx sin ny sin nx sin my + sin 2 nx sin2 my)dxdy =
4
= 2
p(x, y) sin2 mx sin2 nydxdy−
π
K
8
p(x, y) sin mx sin ny sin nx sin mydxdy+
− 2
π
K
4
+ 2
p(x, y) sin2 nx sin2 mydxdy =
π
K
1
= 2
p(x, y)(1 − cos 2mx)(1 − cos 2ny)dxdy−
π
K
8
− 2
p(x, y)(sin mx sin nx)(sin my sin ny)dxdy+
π
K
1
p(x, y)(1 − cos 2nx)(1 − cos 2my)dxdy =
+ 2
π
K
1
= 2
p(x, y) cos 2mx cos 2nydxdy−
π
K
2
− 2
p(x, y)[cos(m − n)x − cos(m + n)x]×
π
K
×[cos(m − n)y − cos(m + n)y]dxdy+
1
p(x, y) cos 2nx cos 2mydxdy =
+ 2
π
K 1
= 2
p(x, y)(cos 2mx cos 2ny + cos 2nx cos 2my)dxdy−
π
K
2
− 2
p(x, y)[cos(m − n)x cos(m − n)y−
π
K
− cos(m − n)x cos(m + n)y − cos(m + n)x cos(m − n)y+
(3.3)
+ cos(m + n)x cos(m + n)y]dxdy =
1
1
(p, φ2m,2n )L2 (D) + (p, φm+n,m−n )L2 (D) ,
2π
π
= 2π(Pvmn , vmn )L2 (K) − 2(p, φm+n,m−n)L2 (D) .
=
(p, φ2m,2n )L2 (D)
Обозначим amn = (Pvmn , vmn )L2 (K) , pmn = (p, φmn )L2 (D) и перепишем (3.3) в виде
1
1
p2m,2n + pm+n,m−n .
2π
π
Отсюда имеем два следующих равенства:
amn =
am+n,m−n =
и
1
1
p2(m+n),2(m−n) + p2m,2n
2π
π
1
1
1
a2m,2n =
p4m,4n +
p2(m+n),2(m−n) .
2
4π
2π
(3.4)
Обратная задача спектрального анализа для степени оператора
41
Используя их, получим ряд.
π
1
a2m,2n + p4m,4n =
2
4
π
1
= πam+n,m−n − a2m,2n + p2(2m),2(2n) =
2
4
π
1
π
1
p8m,8n ) =
= πam+n,m−n − a2m,2n + (πa2(m+n),2(m−n) − a4m,4n +
2
4
2
4π
π
π
π
1
p2(4m),2(4n) =
= πam+n,m−n + a2(m+n),2(m−n) − a2m,2n − a4m,4n +
4
2
8
16
π
π
π
= πam+n,m−n + a2(m+n),2(m−n) − a2m,2n − a4m,4n +
4
2
8
π
1
1
+ (πa4(m+n),4(m−n) − a8m,8n + p16m,16n ) = . . .
16
2
4
∞
∞
1
1
(a2k (m+n),2k (m−n) − π
a2k+1 m,2k+1 n ) =
... = π
2k
2k+1
2
2
k=0
k=0
∞
1
1
=π
(a2k (m+n),2k (m−n) − a2k+1 m,2k+1 n ) =
2k
2
2
k=0
∞
1
1
=π
(a2k (m+n),2k (m−n) − a2k+1 m,2k+1 n ).
2k
2
2
k=0
p2m,2n = πam+n,m−n −
Таким образом,
(p, φ2m,2n ) = π
∞
1
1
k
(a k
− a2k+1 m,2k+1 n ).
2k 2 (m+n),2 (m−n)
2
2
k=0
Из (3.3) имеем:
(Pvm+n,m−n , vm+n,m−n ) =
и
(Pv2m,2n , v2m,2n ) =
1
1
p2(m+n),2(m−n) + p2m,2n
2π
π
1
1
p4m,4n + p2(m+n),2(m−n) .
2π
π
Исключим слагаемое p2(m+n),2(m−n) :
1
1
1
(Pvm+n,m−n , vm+n,m−n ) − (Pv2m,2n , v2m,2n ) = p2m,2n −
p4m,4n ,
2
π
4π
1
(Pvm+n,m−n , vm+n,m−n ) − (Pv2m,2n , v2m,2n ) = ξm+n,m−n − λm+n,m−n −
2
1
1
− (ξ2m,2n − λ2m,2n ) − (αm+n,m−n − α2m,2n ),
2
2
1
(µm+n,m−n − ξm+n,m−n ) =
(µ2m,2n − ξ2m,2n ),
2
2
2
2
2
(m+n) +(m−n) =λt
m2 +n2 =λt
(m+n) +(m−n) =λt
1
(µmn − µm+n,m−n ) =
2
m2 +n2 =λt
1
(ξmn − ξm+n,m−n ).
2
Замечание 3.1. Если под единственностью понимать класс операторов, удовлетворяющих свойству (3.1), то можно говорить о единственности решения.
Г.А. Закирова, А.И. Седов
42
Литература
[1] Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным
потенциалом / В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // ДУ. – 1990. – Т. 26. – №9. –
С. 1563–1567.
[2] Дубровский, В.В. Терема существования в обратной задаче спектрального
анализа / В.В. Дубровский // ДУ. – 1997. – Т. 33. – №12. – С. 1702–1703.
[3] Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач / В.В. Дубровский // УМН. – 1996. – Т. 51. – №4(310). – С. 155–156.
[4] Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // ДУ. – 1992. – Т. 28. –
№9. – С. 1552–1561.
[5] Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой /
А.И. Седов, В.В. Дубровский // Электромагнитные волны & электронные системы. – 2005. – Т. 10. – №1–2. – С. 4–9.
[6] Шестопал, А.Ф. Геометрия оператора Лапласа / А.Ф. Шестопал. – K.: Выща
шк., 1991. – 159 с.
Поступила в редакцию 24/I/2008;
в окончательном варианте — 25/I/2008.
AN INVERSE PROBLEM FOR THE LAPLACE OPERATOR
IN THE ISOSCELES RECTANGULAR TRIANGLE
© 2008
G.A. Zackirova,3
A.I. Sedov4
The paper is devoted to an inverse problem for the Laplace operator with
the multiple spectrum. The sufficient conditions for the existence and uniqueness
solution of this problem are obtained.
Paper received 24/I/2008.
Paper accepted 25/I/2008.
3 Zackirova
Galiya Amrullovna (zakirova81@mail.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Magnitogorsk State University, Magnitogorsk, 455038, Russia.
4 Sedov Andrey Ivanovich (sedov@masu.ru), Dept. of Mathematical Methods in Economics, Magnitogorsk State University.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа