close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная спектральная задача для степени оператора Лапласа в случае задачи Неймана на параллелепипеде.

код для вставкиСкачать
А. И. СЕДОВ, Г. А. ЗАКИРОВА
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В СЛУЧАЕ
ЗАДАЧИ НЕЙМАНА НА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
Приведены условия на последовательность комплексных чисел, достаточные
для того, чтобы она совпадала со спектром возмущенного оператора Лапласа,
порожденного задачей Неймана на n-мерном параллелепипеде.
Kлючевые слова: обратная спектральная задача, оператор Лапласа, собственные
числа, ядерный оператор.
Данная работа продолжает исследования обратных задач спектрального
анализа для некоторых дифференциальных операторов с кратным спектром
[1; 2].
1. Постановка задачи
Пусть при aj > 0, j = 1, . . . , N,
Π = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) : 0 ≤ xj ≤ aj , j = 1, . . . , N}.
В пространстве L2 (Π) рассмотрим оператор Лапласа T0 , порожденный краевой
задачей Неймана
−∆v = λv,
∂v = 0,
∂ν ∂Π
N
X
∂2
, λ — спектральный параметр, ν — нормаль к границе ∂Π пря2
∂x
j
j=1
моугольника Π. Оператор T0 является дискретным, самосопряженным, неотрицательным.
Z∞
Введем в рассмотрение оператор T =
λβ dE(λ), где E(λ) — спектраль-
где ∆ =
0
N
, λβ > 0 при λ > 0. Об2
ласть определения DomT = {v ∈ H : T v ∈ H} оператора T плотна в H.
!β
N
X
π 2 m2j
оператора
Нетрудно показать, что собственным числам λm =
2
a
j
j=1
ное разложение единицы оператора T0 , β ≥
T соответствуют ортонормированные в L2 (Π) собственные функции vm (x) =
v
N
u
Y
πmj xj
2N
u
cos
, где m — мультииндекс, m = (m1 , . . . , mN ),
u N
a
t Q
j
(1 + δmj ,0 ) j=1
V
j=1
64
А. И. Седов, Г. А. Закирова
mj = 0, 1, 2, . . ., V =
N
Y
aj . При mj > 0, j = 1, N, иногда, для удобства, будем ну-
j=1
меровать упорядоченные по возрастанию собственные числа λm = λ(m1 ,m2 ,...,mN )
оператора T и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет обозначать
порядковый номер в списке объектов, соответствующих одному и тому же собственному значению, и поэтому не будет превосходить кратности νt собственного
числа λt .
Известна [3, c. 206] асимптотика собственных чисел оператора T : λt ∼
X 1
N
C1 t2β/N , C1 = const > 0, поэтому при β ≥
ряд
сходится, а значит,
2
λ2t
t
для любого λ ∈ ρ(T ) резольвента R0 (λ) = (T − λE)−1 ∈ S2 .
Пусть P — оператор умножения на функцию p ∈ L2 (Π). Обозначим через
µm собственные числа оператора T + P , занумерованные в порядке возрастания
действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через um — соответствующие ортонормированные в L2 (Π) собственные функции.
2. Основные спектральные тождества
Введем обозначения:
R(λ) = (T + P − λE)−1 — резольвента оператора T + P , λ ∈ ρ(T + P );
1
rt = min{λt+1 − λt ; λt − λt−1 }, r0 = inf rt ;
t
2
∞
T
γt = {λ : |λt − λ| = r0 }; Ωt = {λ : |λt − λ| ≥ r0 }; Ω =
Ωt .
t=1
Лемма 1. [1] Пусть kP k < r/2, где 0 < r ≤ r0 , тогда оператор T + P дискретен
и его собственные числа µt имеют такую же кратность, что и λt , причем
(i) если R0 (λ) — оператор Гильберта — Шмидта, то и R(λ) — оператор Гильберта — Шмидта;
(ii) если λt ∈ C \ Ωr , то µt ∈ C \ Ωr .
Аналогично [2] можно доказать
Теорема 1. Если β ≥ N/2, kP k <
νt
X
rt
,
2
µkt = νt λt +
1
αt (p) = −
2πi
νt
X
(P vtk , vtk ) + αt (p),
k=1
k=1
где
то имеет место спектральное тождество
Z
γt
λSp R(λ)(P R0 (λ))2 dλ.
Лемма 2. Если kPj k ≤ r/2, 0 < r ≤ r0 , j = 1, 2, то
|αt (p1 ) − αt (p2 )| ≤ rrt kP1 − P2 k max kR0 (λ)k22 .
λ∈γt
(1)
Обратная спектральная задача для степени оператора Лапласа . . .
Очевидно, что при β >
сумму данного ряда через s2 .
65
∞
X
3N
ряд
rt2 max kR0 (λ)k42 сходится. Обозначим
λ∈γt
4
t=1
3. Основной результат
Ввведем полную ортонормированную в пространстве L2 (Π) систему функций
N
Y
2πmj xj
ϕm (x) = hm
cos
aj
j=1
,
√
где hm = 2N +q V −1 , mj ∈ {0}∪N, j = 1, N, q — число ненулевых индексов в мультииндексе m. Будем нумеровать эти функции нижним и верхним натуральными
индексами
N
2πmj xj
2N Y
k
cos
,
ϕt (x) = √
aj
V j=1
N
X
π 2 m2j
в соответствии с числами λkt =
a2j
j=1
!β
, занумерованными в порядке воз-
растания величин, mj ∈ N.
В пространстве L2 (Π) рассмотрим уравнение относительно p
(2)
p = α0 − α(p),
где
∞ X
νt
X
√
N
α0 = (−1)
(ξtk − λt )ϕkt ,
2 V
N
t=1 k=1
α(p) = (−1)
N
√
2N V
∞ X
νt
X
αt (p)
t=1 k=1
νt
ϕkt .
Из вида уравнения следует, что решение обладает свойствами
p(a1 − x1 , x2 , . . . , xN ) = p(x1 , a2 − x2 , . . . , xN ) = . . .= p(x1 , x2 , . . . , aN − xN ) =
= p(x1 , x2 , . . . , xN ) для почти всех (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ Π, (3)
(p, ϕm ) = 0, при
N
Y
mj = 0, mj = 0, 1, . . .
(4)
j=1
Введем в рассмотрение оператор A : L2 (Π) → L2 (Π), определяемый равенством Ap = α0 − α(p). Так как
r
r
r
kApkL2 ≤ kα0 k + kα(p)k ≤ (1 − ω) + ω = ,
2
2
2
то оператор A отображает замкнутый шар U(0, 2r ) в себя. Можно показать, что
пересечение данного шара с множеством функций, удовлетворяющих свойствам
66
А. И. Седов, Г. А. Закирова
(3) и (4), есть замкнутое множество. Используя лемму 2, покажем, что оператор
A является сжимающим на этом метрическом пространстве. Имеем
!1/2
∞ X
νt
2
X
√
|α
(p)
−
α
(p
)|
t
t 2
kAp1 − Ap2 kL2 = kα(p1 ) − α(p2 )k = 2N V
≤
ν
t
t=1 k=1
√
≤
2N rkp1 − p2 kL2 s = ωkp1 − p2 kL2 .
По принципу С. Банаха в случае ω < 1 уравнение (2) имеет единственное решение
p.
Определим оператор P , действующий в L2 (Π), следующим образом:
P v(x) = p(x)v(x), где p — решение уравнения (2). Оператор T + P дискретный
и его собственные числа µm также можно занумеровать одним нижним и одним
верхним индексами. Покажем, что решение p и есть искомый потенциал.
Умножим скалярно уравнение (2) на функции ϕkt и просуммируем по k =
1, νt . Получим
νt
X
k=1
νt
X
√
√
(p, ϕkt ) = (−1)N 2N V
ξtk − νt λt − (−1)N 2N V αt (p).
(5)
k=1
Используя свойства (3), (4), преобразуем
Z
2N
(P vm , vm ) =
V
p(x1 , . . . , xN )
Z
2
cos
j=1
Π
(−1)N
=
V
N
Y
p(x1 , . . . , xN )
N
Y
cos
j=1
Π
Отсюда, учитывая кратность,
2πmj xj
aj
πmj xj
aj
dx1 . . . dxN =
(−1)N
(p, ϕm ).
dx1 . . . dxN = √
2N V
νt
X
νt
(−1)N X
(P vtk , vtk ) = √
(p, ϕkt ).
N
2 V k=1
k=1
(6)
Подставляя (5) в (6) и сравнивая с (1), получаем
νt
X
k=1
ξtk =
νt
X
µkt ,
k=1
где σ(T + P ) = {µkt }.
Таким образом, доказана
√
1
3N
, r < min{r0 , √ }, ω = 2N sr. Если для ком4
s 2N
k
плексной последовательности {ξt } выполняется неравенство
Теорема 2. Пусть β >
√
2N V
∞ X
νt
X
t=1 k=1
|ξtk − λt |2
! 21
r
< (1 − ω),
2
Обратная спектральная задача для степени оператора Лапласа . . .
67
то существует потенциал p ∈ L2 (Π) такой, что для любого t ∈ N
νt
X
k=1
ξtk =
νt
X
µkt ,
k=1
где σ(T + P ) = {µkt }, причем
p(a1 − x1 , x2 , . . . , xN ) = p(x1 , a2 − x2 , . . . , xN ) = . . . =
= p(x1 , x2 , . . . , aN − xN ) = p(x1 , x2 , . . . , xN )
для почти всех (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ Π,
(p, ϕm ) = 0, при
N
Y
j=1
mj = 0, mj = 0, 1, . . . ,
r
kpkL2 ≤ .
2
Список литературы
1. Седов, А. И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на параллелепипеде / А. И. Седов, Г. А. Закирова // Математика. Механика. Информатика : материалы Всерос. науч. конф.— Челябинск :
Челяб. гос. ун-т, 2007.— С. 160—167.
2. Седов, А. И. О существовании и единственности решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на параллелепипеде / А. И. Седов, Г. А. Закирова // Вестн. МаГУ. Математика.— Вып. 9.— Магнитогорск : МаГУ,
2006.— С. 145—149.
3. Титчмарш, Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2 / Э. Ч. Титчмарш.— М. : Иностр. лит.,
1961.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
268 Кб
Теги
степени, обратная, спектральная, нейман, оператора, параллелепипеде, лапласа, задачи, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа