close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ограничено ли множество решений линейной задачи о допускахs.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 9, № 3, 2004
ОГРАНИЧЕНО ЛИ ДОПУСТИМОЕ МНОЖЕСТВО
РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ?
И. А. Шарая
Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия
e-mail: shary@ict.nsc.ru
http://www.ict.nsc.ru/lab1.2/irash
A criterion is proved for the tolerable solution set to be unbounded.
Введение
В работе используются обозначения интервального анализа, предложенные в [1], и классическая интервальная арифметика (см., например, [2, 3]).
Для интервальной системы линейных алгебраических уравнений
Ax = b,
где A ∈ IRm×n — интервальная матрица размерности m×n; b ∈ IRm — интервальный вектор длины m; x ∈ Rn — вещественный вектор длины n, допустимое множество решений Ξ
описывается так [4]:
Ξ = {x | (∀A ∈ A) (∃ b ∈ b) (Ax = b)}.
Критерий принадлежности вектора x допустимому множеству решений на языке интервальной арифметики имеет вид (см., например, [5])
x ∈ Ξ ⇐⇒ Ax ⊆ b.
(1)
Легко показать [6], что Ξ — выпуклое многогранное множество в Rn . Можно ли по
виду матрицы A судить об ограниченности множества Ξ? Этот вопрос поставил в переписке профессор Зенон Кульпа (http://www.ippt.gov.pl/~zkulpa/) — автор диаграмматического метода исследования множеств решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений [7, 8]. Поблагодарим его за интересную постановку и попробуем
ответить.
1. Критерий неограниченности
Докажем сначала два вспомогательных утверждения. Первое позволяет по специальному
виду матрицы сказать, что допустимое множество решений неограничено, а второе, наоборот, показывает, что если допустимое множество решений неограничено, то матрица
имеет этот специальный вид.
c Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
°
108
109
ОГРАНИЧЕНО ЛИ ДОПУСТИМОЕ МНОЖЕСТВО?
В соответствии с [9] будем называть конечное множество {aj } вещественных векторов
линейно зависимым, если существует соответствующее
множество {cj } вещественных чиP
aj cj = 0. Заметим, что множество из
сел, не все из которых равны нулю, такое, что
j
одного вектора линейно зависимо тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Утверждение 1. Пусть допустимое множество решений Ξ непусто. Если в матрице A есть линейно зависимые вещественные столбцы, то Ξ неограничено.
Доказательство. В силу (1) непустота Ξ означает, что существует x̃ ∈ Rn такой, что
Ax̃ ⊆ b. Расписав произведение Ax̃ по столбцам A :j , получим
n
X
(2)
A :j x̃j ⊆ b.
j=1
Пусть J — множество номеров линейно зависимых вещественных столбцов A :j . Тогда
(2) можно переписать в виде
X
A :j x̃j +
n
X
A :j x̃j ⊆ b,
(3)
j=1
j6∈J
j∈J
a линейную зависимость вещественных столбцов выразить формулой
X
A :j cj = 0,
(4)
j∈J
где cj ∈ R и
P
|cj | > 0.
j∈J
Домножая (4) на произвольное вещественное t, добавляя к (3) и пользуясь законом
дистрибутивности для вещественных чисел, получим
∀t ∈ R
X
A :j (x̃j + tcj ) +
n
X
A :j x̃j ⊆ b.
(5)
j=1
j6∈J
j∈J
Введем вектор c = (c1 , . . . , cn ), дополнив множество коэффициентов линейной зависимости нулевыми для j 6∈ J. Тогда (5) можно переписать в виде
∀t ∈ R
n
X
A :j (x̃j + tcj ) ⊆ b,
j=1
что в матричной форме выглядит так:
∀ t ∈ R A(x̃ + tc) ⊆ b.
По критерию принадлежности (1) это означает, что вместе с решением x̃ в множество Ξ
попадает прямая, проходящая через x̃ и параллельная вектору c. Значит, Ξ неограничено.
¤
Утверждение 2. Пусть допустимое множество решений Ξ непусто. Если оно неограничено, то в матрице A есть линейно зависимые вещественные столбцы.
110
И. А. Шарая
Доказательство. Как упоминалось во введении, Ξ — это выпуклое многогранное множество. Если Ξ неограничено, значит, неограничено его пересечение с каким-нибудь ортантом. Тогда в этом ортанте лежит выпуклое многогранное неограниченное подмножество
Ξ, из которого можно выбрать какой-нибудь луч (x̃ + tc), где x̃ — начало луча, c — вектор
направления, t ∈ R+ — параметр, задающий точки луча.
Так как луч (x̃ + tc) целиком лежит в Ξ, по критерию принадлежности (1)
∀ t ∈ R+
A(x̃ + tc) ⊆ b.
(6)
С другой стороны, луч (x̃ + tc) целиком лежит в одном ортанте, поэтому
∀j ∈ {1, . . . , n} xj cj ≥ 0
и в (6) можно раскрыть скобки по правилу дистрибутивности [2, 3]:
∀ t ∈ R+
Ax̃ + A(tc) ⊆ b.
(7)
Для произвольных интервальных векторов x, y, z имеет место очевидное свойство
¾
x⊆y
=⇒ |z| ≤ wid y,
x+z⊆y
где | | — модуль, wid — ширина интервальных векторов. Используя это свойство в (7) для
x = Ax̃, z = A(tc), y = b, получим, что должно выполняться неравенство
∀ t ∈ R+
|A(tc)| ≤ wid b.
(8)
Для вещественного t применимо правило дистрибутивности [2, 3]. Это позволяет переписать (8) в виде
∀ t ∈ R+ |t(Ac)| ≤ wid b.
Положительное t можно вынести за знак модуля и разделить на него обе части неравенства. Тогда
wid b
∀ t ∈ R+ \ {0} |Ac| ≤
.
t
Это возможно только при |Ac| = 0, что эквивалентно
Ac = 0.
(9)
Равенство (9) означает, что
n
X
A :j cj = 0,
j=1
т. е. линейная комбинация столбцов интервальной матрицы A с коэффициентами, соответствующими компонентам вектора c, равна нулю. Остается заметить, что ненулевые
коэффициенты в этой сумме могут стоять только при вещественных столбцах матрицы.
В противном случае радиус линейной комбинации
rad (Ac) =
n
X
j=1
|cj |rad A :j
(10)
ОГРАНИЧЕНО ЛИ ДОПУСТИМОЕ МНОЖЕСТВО?
111
будет отличен от нуля, что противоречит (9).
¤
Следствием утверждений 1 и 2 является
Критерий неограниченности. Пусть допустимое множество решений Ξ непусто.
Оно неограничено тогда и только тогда, когда в матрице A есть линейно зависимые
вещественные столбцы.
Можно ли представить, как выглядит непустое неограниченное Ξ? Давайте попробуем.
Пусть c ∈ Rn — произвольный вектор коэффициентов, для которого линейная комбинация
столбцов интервальной матрицы A равна нулю, т. е. Ac = 0. Обозначим через L пространство всех таких векторов.
В силу (10) у вектора c могут отличаться от нуля только компоненты, соответствующие вещественным столбцам матрицы A. Это значит, что размерность пространства L
равна (k 0 − k 00 ), где k 0 — число всех вещественных столбцов, k 00 — максимальное число
линейно независимых вещественных столбцов матрицы A. Например, если в матрице A
все вещественные столбцы нулевые, то k 00 = 0 и размерность пространства L равна числу
нулевых столбцов k 0 .
Опираясь на доказательство утверждения 1, можно сказать, что Ξ представляет собой
объединение прямых, параллельных произвольному вектору c из L. Следовательно, допустимое множество состоит из пространств, полученных параллельными сдвигами L. Для
выпуклого многогранного множества это означает, что все его грани лежат в гиперплоскостях, параллельных L.
2. Выводы
На основании критерия неограниченности можно по виду матрицы A судить об ограниченности допускового множества решений, если оно непусто. Делается это так.
Если в матрице A нет линейно зависимых вещественных столбцов, то Ξ ограничено;
если есть такие столбцы, то неограничено. В простейших случаях можно обойтись без
вычислений, например:
— если в матрице A нет вещественных компонент, то Ξ ограничено;
— если в матрице A каждый столбец имеет невещественную компоненту, то Ξ ограничено;
— если в матрице A есть нулевые столбцы, то Ξ неограничено;
— если в матрице A есть пропорциональные вещественные столбцы, то Ξ неограничено;
— если в матрице A число вещественных столбцов больше числа строк этой матрицы,
то Ξ неограничено.
Неограниченное допустимое множество решений представляет собой выпуклое многогранное множество, все грани которого параллельны пространству таких векторов c ∈ Rn ,
для которых Ac = 0. Размерность этого пространства равна (k 0 − k 00 ), где k 0 — число всех
вещественных столбцов, k 00 — максимальное число линейно независимых вещественных
столбцов матрицы A.
Список литературы
[1] Kearfott R.B., Nakao M.T., Neumaier A. et al. Standardized notation in interval
analysis // Reliable Computing (в печати).
(http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/int)
112
И. А. Шарая
[2] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир,
1987.
[3] Шарая И.А. О дистрибутивности в классической интервальной арифметике // Вычисл. технологии. 1997. Т. 2, № 1. C. 71–83.
(http://www.ict.nsc.ru/lab1.2/Irene/ct97.ps)
[4] Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 3.
С. 51–61. (http://www.ict.nsc.ru/lab1.2/Shary/IzvAN.ps)
[5] Shary S.P. Solving the linear interval tolerance problem // Mathematics and Computers
in Simulation. 1995. Vol. 39. P. 53–85.
(http://www.ict.nsc.ru/lab1.2/Shary/LinTol.pdf)
[6] Шайдуров В.В., Шарый С.П. Решение интервальной алгебраической задачи о
допусках // Красноярск, 1988 (Препр. АН. Сиб. отд-ние. Вычисл. центр. № 5).
[7] Kulpa Z. Diagrammatic analysis of interval linear equations. Pt I // Reliable Computing.
2003. Vol. 9, N 1. P. 1–20.
[8] Kulpa Z. Diagrammatic analysis of interval linear equations. Pt II // Reliable Computing.
2003. Vol. 9, N 3. P. 205–228.
[9] Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.: Физматгиз, 1963.
Поступила в редакцию 6 февраля 2004 г.,
в переработанном виде — 9 марта 2004 г.
Правила для авторов
<http://www.ict.nsc.ru/mathpub/comp-tech/>
1. Статья должна быть представлена в редакцию в двух экземплярах в одной из двух форм:
а) рукопись, отпечатанная на одной стороне листа стандартного формата A4 + файлы
рукописи в формате LATEX (2.09, 2ε ) и файлы рисунков на дискете;
б) рукопись, отпечатанная на одной стороне листа стандартного формата A4 + ее
электронная версия, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF), и файлы
рисунков на дискете.
Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в первой форме, минимально,
во второй — максимально.
2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5” формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по
электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива.
3. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена
авторов, аннотация (не более 300 знаков) и ключевые слова.
4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена
данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора,
с которым будет проводиться переписка.
5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного
файла следующая информация:
◦ Фамилия, имя, отчество
◦ место работы и должность
◦ ученая степень и звание
◦ год рождения
◦ почтовый адрес
◦ телефоны с кодом города (дом. и служебный), факс, e-mail, URL домашней страницы
◦ область научных интересов (краткое резюме)
6. Материалы следует направлять по адресу: редакция журнала “Вычислительные технологии", Институт
вычислительных технологий СО РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия,
Игорю Алексеевичу Пестунову (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, e-mail: jct@ict.nsc.ru; Галине
Григорьевне Митиной (зав. РИО).
Рекомендации по оформлению статьи в LATEX
В редакцию следует направлять исходный файл, подготовленный в формате LATEX (версии 2.09, 2ε ) в
стиле (классе) jctart (допускается использование стандартного стиля article).
Соответствующие файлы стиля jctart.sty, jctart-e.sty (для статей на английском языке) и класса
jctart.cls можно скачать с сайта ЖВТ: http://www.ict.nsc.ru/win/mathpub/comp-tech/.
1. Структура файла в формате LATEX 2.09:
\documentstyle[12pt,twoside]{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<И. О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>}
\title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}}
\author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\
\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm]
\sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\
\it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Текст аннотации>
\end{abstract}
<Текст статьи>
\begin{thebibliography}
<Библиография (\item-список)>
\item {\sc Иванов~И.И., Иванова~И.И.} К вопросу о вычислительных технологиях //
Вычисл. технологии. 1999. Т.~11, №~11. С.~1123--1135.
...
\end{thebibliography}
\end{document}
(В конце файла даются:
<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
<аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>)
2. При подготовке исходного файла в системе LATEX 2ε соответственно используются команда выбора
класса документа и дополнительные пакеты макрокоманд, т. е. в структуре файла меняется только заголовок.
\documentclass[12pt,twoside]{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
...
\begin{document}
3. Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:
Книга
Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979. 222 с.
Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.
Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической
физики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.
Finlayson B.A. The Method of Weighted Resuduals and Variational Principles. N.Y.: Acad. Press, 1972.
Книга четырех авторов
Проблемы вычислительной математики / А.Ф. Воеводин, В.В. Остапенко, В.В. Пивоваров, С.М. Шургин.
Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995.
Статья из продолжающегося тематического сборника
Федорова А.А., Черных Г.Г. О численном моделировании струйных течений вязкой несжимаемой
жидкости // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Вычисл. центр. Ин-т теор. и
прикл. механики. 1992. Т. 6 (23). С. 129–140.
Статья из журнала
Игнатьев Н.А. Выбор минимальной конфигурации нейронных сетей // Вычисл. технологии. 2001.
Т. 6, № 1. С. 23–28.
Venkatakrishnan V. Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA J. 1989. Vol. 27, N 7.
P. 285–291.
Труды конференции
Ivanov I.I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988.
P. 225–229.
Препринт
Гуськов А.Е., Федотов А.М., Молородов Ю.И. Информационная система“Конференции”. Новосибирск,
2003 (Препр. РАН. Сиб. отд-ние. ИВТ. № 1–03).
Диссертация
Деменков А.Г. Численное моделирование турбулентных следов в однородной жидкости: Дис. ...
канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1997. 123 с.
4. Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью команд special{em:graph <имя файла рисунка>}
(LATEX 2.09) и includegraphics{<имя файла рисунка>} (LATEX 2ε ), например:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>mm}
\special{em:graph <fig1.bmp>}
\vspace*{<высота рисунка в мм>mm}
\caption{<Подрисуночная подпись.>}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics{fig1.eps}
\caption{<Подрисуночная подпись.>}
\end{figure}
Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы рисунков в векторном
формате PostScript (.eps) или черно-белых растровых в форматах .pcx, .bmp, .tif с разрешением 300 dpi.
Все надписи на рисунках (обозначение осей и т.п.) должны быть выполнены в том же начертании
(гарнитура “Roman"), что и в тексте статьи. Латинские символы — курсивом, из математической моды
(x[k], z × 10−3 , ψ, P, ...), цифровые обозначения на графиках — наклонно (№ кривой — 1, 2,...), единицы
измерения — по-русски (кг, м,...), цифры по осям — прямо (10, 15,...).
Instructions for Authors
<http://www.ict.nsc.ru/mathpub/comp-tech/>
1. Papers may be submitted to the editorial board in one of the following forms:
a) two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + files
of the manuscript in LATEX (2.09, 2ε ) format and files of the figures on a diskette;
b) two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + files
of the manuscript in Microsoft Word (RTF) format and files of the figures on a diskette.
The publishing cycle for manuscripts, submitted in the first form, is the longest one and for manuscripts in
the second form — the shortest one.
2. All files should be submitted on a 3.5"floppy disc (1440 Kbytes) or sent to jct@ict.nsc.ru as a
*.zip - archive.
3. A separate page should contain a title, names of the authors, an abstract (not more than 300 characters)
and keywords.
4. The paper should be accompanied by the publication permission from the organization, where the work
was done. The enclosed letter should contain the postal address, phone numbers and e-mail of the corresponding
author.
5. A separate file should contain the following information on each author:
◦ First name, second name, last name
◦ Affiliation, position
◦ Academic degree and title
◦ Year of birth
◦ Postal address
◦ Office and home phone numbers (including area code), fax number, e-mail address, homepage URL
◦ Scientific interests (brief curriculum vitae)
6. All materials should be sent to the following address: Dr. Igor A. Pestunov (executive secretary), Journal
of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev
Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia. Phone +7(3832)343785, E-mail: jct@ict.nsc.ru; Galina G. Mitina (publishing department manager).
Recommendations on submitting paper in LATEX
The source file should be submitted in LATEX format (2.09, 2ε versions) using jctart style file (class file)
(standard article style (class)can also be used).
The files of appropriate style — jctart.sty, jctart-e.sty (for papers in English) and jctart.cls class file can be
downloaded from JCT web site: http://www.ict.nsc.ru/win/mathpub/comp-tech/.
1. The file structure in LATEX 2.09 format:
\documentstyle[12pt,twoside]{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<Name(s) of author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 CHARACTERS)>}
\title{<TITLE OF PAPER>\footnote{<Reference to supporting organization (optional)>.}}
\author{\sc{<Name of the first author>}\\
\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]
\sc{<Name of the second author>}\\
\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Abstract>
\end{abstract}
<Text of paper>
\begin{thebibliography}
<References (\item-список)>
\item {\sc Ivanov~I.I., Ivanova~I.I.} On computational technologies //
Computational technologies. 1999. Vol.~11, No.~11. P.~1123--1135.
...
\end{thebibliography}
\end{document}
2. When submitting the source file in LATEX 2ε format, the documentclass command and additional packages
are used, therefore only the header is changed.
\documentclass[12pt,twoside]{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
...
\begin{document}
3. A list of the references should be sorted according to the order of citations in the text and it should
be written as in the following example:
Book
Finlayson B.A. The method of weighted residuals and variational principles. N.Y.: Acad. Press, 1972.
Book by four authors
Problems of computational mathematics / A.F. Voevodin, V.V. Ostapenko, V.V. Pivovarov, S.M. Shurgin.
Novosibirsk: SB RAS Publishing House, 1995.
Paper from continued subject transactions
Fedorova A.A., Chernykh G.G. On numerical modelling of viscous incompressible jet fluid flows //
Modelling in mechamics: Scientific transactions / RAS. Siberian branch. Computing Center. Institute of Theoretical and Applied Mechanics. 1992. Vol. 6 (23). P. 129–140.
Paper from journal
Venkatakrishnan V. Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA J. 1989. Vol. 27, N 7.
P. 285–291.
Conference proceedings
Ivanov I.I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988.
P. 225–229.
Dissertation
Demenkov A.G. Numerical modelling of turbulent wakes in homogeneous fluid: Dissertation for degree of
candidate of physical and mathematical sciences. Novosibirsk, 1997. 123 p.
4. Figures should be included into the text using commands \special{em:graph <figure file name>} (LATEX
2.09) and \includegraphics{<figure file name>} (LATEX 2ε ), for example:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<horizontal shift of figure in mm>mm}
\special{em:graph <fig1.bmp>}
\vspace*{<height of figure in mm>mm}
\caption{<Figure caption.>}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics{fig1.eps}
\caption{<Figure caption.>}
\end{figure}
The preferred presentation form for illustrations is a figure file in vector format PostScript (.eps) or black
and white bitmap formats .pcx, .bmp, .tif with 300 dpi resolution.
All figure inscriptions (axes definitions, etc.) should be done by the same font as in the text of paper
(“Roman"type family). Latin characters should be done in italics in mathematical mode (x[k], z×10−3 , ψ, P, ...),
figures on axes — by straight font.
In papers, which are written in Russian, the units of measurement should be written in Russian.
В ближайших номерах / Forthcoming papers
Petrovskaya N.B. The Analysis of The Grid Refinement Procedure for Vector
Functions
Петровская Н.Б. Анализ процедуры разбиения сетки для многокомпонентного решения
Воропаева О.Ф. Численные модели динамики безымпульсного турбулентного
следа в устойчиво стратифицированной среде
Voropayeva O.F. The numerical models of momentumless turbulent wake dynamics in a
stably stratified medium
Денисенко В.В. Применение энергетических методов при построении векторных полей
Denisenko V.V. Energy methods application for vector fields calculation
Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование струйных течений
методом конечного объема на основе TVD-схемы 2-го порядка точности
Martyushov S.N., Martyushova Y.G. Numerical simulation of jet flows on the basis of
2-nd order accuracy Harten’s scheme
Михеев С.Е. Выпуклая квадратичная аппроксимация
Miheev S.E. Convex Quadratic Approximation
Немировский Ю.В., Янковский А.П. Интегрирование задачи динамического
упругопластического изгиба армированных стержней переменного поперечного
сечения обобщенными методами Рунге — Кутты
Nemirovsky J.V., Yankovsky A.P. Integration of a problem dynamic elastic-plastic bending of reinforced cores of variable cross-section section with help generalized Runge — Kutta
methods
Татосов А.В. Схема расчета нестационарных течений газа в пневматической
системе
Tatosov A.V. The calculation scheme nonstationari gas motion in pneumatic system
Объединенный семинар “Информационно-вычислительные технологии”. Аннотации докладов за весенний семестр 2004 года
Joint seminar “Computational technologies”. Abstracts of presented talks. Lent term 2004.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
255 Кб
Теги
решение, линейной, допускахs, множества, ограничений, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа