close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Одновременная диагонализация трех вещественных симметричных матриц.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 12, c. 70–82
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
M.A. НOВИКОВ
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ
Аннотация. В статье сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц регулярного пучка. Условия получаются алгебраическими и состоят, в частности, из двух спектральных требований и одного матричного равенства. Для вырожденного пучка матриц предложен
подход, позволяющий свести анализ к регулярному пучку. Полученными теоремами исследованы декомпозиция линейной гироскопической системы на подсистемы не выше второго
порядка и устойчивость тривиального решения системы.
Ключевые слова: пучок матриц, одновременная диагонализация, вещественное конгруэнтное
преобразование.
УДК: 512.647
Введение
Многие задачи интегрирования и качественного анализа дифференциальных уравнений
значительно упрощаются после приведения исследуемых объектов к соответствующим нормальным формам. Необходимость в таком анализе возникает, например, для механических
систем [1]–[3], допускающих более двух первых квадратичных интегралов. Приведенная
к диагональному виду система разлагается на несколько независимых подсистем меньших
размерностей. Примерами тому являются случаи интегрирования механических систем Лиувилля, Штеккеля [4], [5].
Одной из нормальных форм симметричной матрицы является [6] диагональная матрица. Для двух и более матриц [6]–[8] не всегда возможно их одновременное приведение к
диагональным. Известно несколько разновидностей условий, при выполнении которых это
удается осуществить. Одновременное приведение к диагональной форме двух вещественных симметричных матриц A и B всегда выполнимо [6], если одна из них соответствует
знакоопределенной квадратичной форме. Преобразование осуществляется главной матрицей пучка (B − λA), столбцы которой образуют элементы системы {ej } фундаментальных
решений уравнений
(B − λj A)ej = 0,
(0.1)
где λj — корень характеристического уравнения det(B − λA) = 0. Соответствующее приведение к диагональным может быть осуществлено линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием, и матрица B допускает вырождение.
Поступила 15.05.2013
70
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
71
Для знакопеременных форм x Ax, x Bx в [2] установлено приведение к диагональным
матриц A и B в случае знакоопределенной связки формы x (αA + βB)x при некоторых
вещественных α, β. При этом обе матрицы допускают вырождение.
В случае произвольных матриц условие AB = BA получается необходимым и достаточным для одновременной приводимости матриц A и B к диагональным, притом ортогональным преобразованием [7]. И в этом случае обе матрицы допускают вырождение.
В ряде источников при решении этого вопроса для двух матриц используется геометрический подход [9], [10], основанный на доказательстве существования общего базиса главных
осей для форм x Ax, x Bx.
В целях формулирования алгебраических условий диагонализации и линейного вещественного преобразования предпочтителен способ построения главной матрицы [6]. Все вышеуказанные условия одновременной диагонализации двух вещественных симметричных
матриц описывает общая
Теорема 1. Для одновременной приводимости к диагональным двух вещественных симметрических матриц A и B, где det A = 0, одним и тем же линейным вещественным
невырожденным конгруэнтным преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы
1) уравнение f (λ) = det(B − λA) = 0 имело только вещественные корни,
2) матрица (B − λA) имела все только простые элементарные делители.
Основанный на этой теореме подход будет в дальнейшем применяться для одновременной
диагонализации трех вещественных симметричных матриц. Применяемые преобразования
предполагаются вещественными линейными и неособыми конгруэнтными, как наиболее общими [8] из линейных.
Одновременная диагонализация трех вещественных симметричных матриц линейным вещественным конгруэнтным преобразованием применялась в [11] при положительно определенной квадратичной форме, построенной на одной из матриц. Известны необходимые и
достаточные условия одновременной диагонализации линейным конгруэнтным преобразованием трех и более эрмитовых матриц [12].
В данной статье обсуждается вопрос об одновременном приведении к диагональному
виду трех произвольных вещественных симметричных матриц линейным вещественным
конгруэнтным преобразованием.
1. Приведение трех невырожденных матриц к диагональной форме
Пусть даны вещественные симметрические квадратные матрицы A, B, C порядка n, и
будем предполагать матрицу A невырожденной. В этом случае справедлива
Теорема 2. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметричных матриц A, B, C, из которых A не вырождена, одним и тем же линейным
вещественным невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно
выполнения следующих условий:
1) уравнение det(B − αA) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица (B −
αA) имеет все только простые элементарные делители;
2) уравнение det(C−βA) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица (C−βA)
имеет все только простые элементарные делители;
3) BA−1 C = CA−1 B.
Доказательство. Необходимость. Из одновременной приводимости к диагональным матриц A, B, C следует одновременная приводимость к диагональным матриц A и B, также
A и C, что согласно теореме 1 приводит к выполнению первых двух условий теоремы 2.
72
M.A. НOВИКОВ
Пусть некоторая невырожденная матрица T приводит одновременно A, B, C к диагональ = T BT , C
= T CT . Тогда матрица B
A
−1 C
будет диагональной. Можно
= T AT , B
ным: A
видеть, что
A
−1 C(T
−1 ) = (T −1 ) C
A
−1 B(T
−1 ) =
BA−1 C = (T −1 ) B
−1 ))(T A
−1 )) = CA−1 B.
−1 T )((T −1 ) B(T
= ((T −1 ) C(T
Необходимость доказана.
Достаточность докажем прямым построением конгруэнтного диагонализирующего преобразования. Предположим выполненными все три условия теоремы. Из первого спектрального условия согласно теореме 1 следует существование некоторой невырожденной главной
матрицы T , приводящей одновременно A и B к диагональным: A = T AT , B = T BT . При
этом матрица C преобразуется в D = T CT , и может допускаться недиагональной. Пусть
среди корней уравнения
det(B − αA) = 0
имеются кратные, и различных будет m : α(1) , α(2) , . . . , α(m) . Тогда полученная после приведения A и B к диагональным матрица J = B(A)−1 имеет квазидиагональный вид {J1 , . . . , Jm },
при этом Jk — диагональные квадратные клетки (α(k) Enk ) порядка nk . Используя третье
условие теоремы, можно записать последовательность равенств (T −1 ) JDT −1 = BA−1 C =
CA−1 B = (T −1 ) DJT −1 . Ввиду невырожденности T отсюда следует перестановочность матриц JD = DJ. Как известно [6], решением для D должна быть только квазидиагональная матрица D = {D1 , D2 , . . . , Dm }. Каждой клетке (α(k) Enk ) (k = 1, 2, . . . , m) матрицы
J ставится в соответствие не обязательно диагональный симметричный блок Dk того же
порядка. Покажем, что все блоки Dk вместе с соответствующими Ak можно привести одновременно к диагональным одним преобразованием. Пучок матриц (C − βA) эквивалентен
(T CT − βT AT ) = (D − βA) — квазидиагональной матрице
{(D1 − βA1 ), (D2 − βA2 ), . . . , (Dm − βAm )}.
Следовательно, корни уравнений
det(Dk − βAk ) = 0 (k = 1, 2, . . . , m)
(1.1)
являются корнями уравнения det(C − βA) = 0. Из спектрального условия 2) теоремы 2 следует вещественность всех корней уравнения (1.1), элементарные делители (D − βA) также
будут простыми [6]. Это позволяет по теореме 1 линейным вещественным невырожденным
конгруэнтным преобразованием Q(k) одновременно привести матрицы Dk и Ak к диагоk = (Q(k) ) Ak Q(k) . Матрицей соответствующего преобра k = (Q(k) ) Dk Q(k) , A
нальным D
(k)
зования Q является главная матрица (Dk − βAk ), состоящая из вещественных решений
q1 , q2 , . . . , qnk системы
(Dk − βj Ak )qj = 0 (j = 1, 2, . . . , nk ).
k = α(k) A
k .
При этом матрица B k = α(k) Ak тоже приводится к диагональной, так как B
Таким образом, с использованием квазидиагональной невырожденной вещественной матрицы Q = {Q(1) , Q(2) , . . . , Q(m) } можно осуществить соответствующее линейное вщественное ортогональное диагонализирующее преобразование для матриц A, B, D. Окончательно,
неособая вещественная матрица R = T Q может привести одновременно матрицы A, B, C
= R BR, D
= R CR вещественным конгруэнтным преобра = R AR, B
к диагональным A
зованием.
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
73
Ввиду перестановочности матриц A, B, C условие 3) теоремы 2 можно переформулировать в эквивалентной форме AB −1 C = CB −1 A или AC −1 B = BC −1 A, а также использовать условие B −1 AC −1 = C −1 AB −1 и другие виды матричных равенств, получаемых из
последнего круговой перестановкой матриц A, B, C.
В теореме 2 матрицы B и C допускаются вырожденными.
Формулировка теоремы 2 существенно упрощается, если одна из трех квадратичных
форм x Ax, x Bx, x Cx знакоопределена, поскольку условия 1), 2) теоремы 2 заведомо выполнены [6]. Справедлива
Теорема 3. В случаe хотя бы одной знакоопределенной вещественной квадратичной формы (например x Ax 0) для одновременной приводимости к диагональным матриц A, B,
C линейным вещественным невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо
и достаточно выполнения одного условия BA−1 C = CA−1 B.
Точно такое необходимое и достаточное условие одновременной диагонализации приведено в [11] при одной знакоопределенной квадратичной форме.
Часто возникает необходимость одновременной диагонализации трех вещественных симметрических матриц, когда одна из них диагональна.
Теорема 4. Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметрических матриц E, B, C необходимо и достаточно существования ортонормированной матрицы T, диагонализирующей одновременно матрицы B и C.
Доказательство. Условия 1), 2) теоремы 2 выполняются тождественно [6]. Условие 3) теоремы 2 в данном случае выражается матричным равенством BC = CB. По теореме Беллмана
[7] последнее означает существование линейного ортогонального преобразования T , приводящего одновременно матрицы B и C к диагональным A = E, B, C. При этом для матрицы
преобразования T можно нормировать столбцы, так что | det T | = 1. Тогда будет выполнено
T T = E, и все три матрицы получаются диагональными:
A = E, B, C.
Фактически преобразование применялось только к матрицам B и C.
2. О приведении к диагональным вырожденных матриц
Для сингулярного пучка матриц теорема 2 не применима ввиду особенности каждой из
матриц A, B, C. В некоторых редких случаях, когда преобразование ортогонально, условие 3) теоремы 2 можно заменить эквивалентным: BAC = CAB, или аналогичным ему,
полученным круговой перестановкой матриц A, B, C.
В общем случае необходим аналог полуобратных матриц [6]. Алгоритм построения псевдообратной матрицы A(+) [6] существенно отличается от нахождения обратной к A матрицы, основанного на получении присоединенной. Тем более при дефекте матрицы A, большем
единицы, присоединенная матрица обращается в нуль, а псевдообратная всегда может быть
построена, притом отличной от нуля. К тому же условие BA(+) C = CA(+) B не выполняется
даже для одновременно диагонализируемых матриц A, B, C.
В некоторых частных случаях вопрос одновременной диагонализации трех матриц можно
решить косвенно. Если одно из уравнений f1 (α) = det(B −αA) = 0, f2 (β) = det(C −βA) = 0,
f3 (γ) = det(C − γB) = 0 имеет все вещественные значения (как конечные, так и бесконечные), то главная матрица T1 может быть построена по двум соответствующим матрицам
из уравнения вида (0.1). Для третьей матрицы, например C, проверяется диагональность
74
M.A. НOВИКОВ
T1 CT1 как достаточное условие для одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц. Для вырожденной матрицы A с равным единице дефектом присоединенная матрица A(−) имеет равный единице ранг, и ранг матрицы BA(−) C не превышает
единицы. Поэтому условие симметричности BA(−) C в случае вырожденных матриц не отражает основных свойств преобразования матриц A, B, C. Можно показать, что условие
BA(−) C = CA(−) B для одновременной диагонализации является только необходимым.
Иногда главную матрицу преобразования удобнее строить из собственных векторов, относящихся к некратным корням уравнений f1 (α) = 0, f2 (β) = 0, f3 (γ) = 0. В остальных
случаях предпочтителен способ исследования связки матриц K(ϕ, ψ, θ) = ϕA + ψA + θC,
состоящий в выполнении трех последовательных действий:
1. нахождение минимального подпространства Rk (0 < k < n), инвариантного относительно K(ϕ, ψ, θ),
2. формирование из K(ϕ, ψ, θ) неособой матрицы,
3. нахождение полного преобразования, приводящего вырожденные матрицы A, B, C
к диагональным.
1. Могут предоставиться две ситуации:
а) пучок K(ϕ, ψ, θ) вырождается при всех отличных от нуля вещественных ϕ, ψ, θ,
б) при некоторых вещественных ϕ, ψ, θ матрица K(ϕ, ψ, θ) невырождена.
Для ситуации a) характерно существование нетривиальных вещественных решений системы алгебраических уравнений
(2.1)
Ar = 0, Br = 0, Cr = 0.
(1)
(1)
(1)
Пусть таких линейно независимых решений будет m : x(1) = (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , x(m) =
(m) (m)
(m)
(x1 , x2 , . . . , xn ). В общем случае предполагается отличие от нуля вещественных ϕ,
ψ, θ. Легко показать элементарными преобразованиями над строками матриц, что ранг
расширенной матрицы (A, B, C) равен рангу K(ϕ, ψ, θ) при всех вещественных ϕ, ψ, θ.
Таким образом, справедливо
Утверждение 1. Число линейно независимых решений системы (2.1) равно наименьшему
дефекту связки матриц K(ϕ, ψ, θ).
Далее сформируем матрицу T1 = {t(1) , t(2) , . . . , t(n) }, где t(j) = (εj1 , εj2 , . . . , εjn ), εjs —
символ Кронекера (j = 1, 2, . . . , n − m); t(n−m+1) = x(1) , . . . , t(n) = x(m) . Матрицы A, B, C
пучка K(ϕ, ψ, θ) при конгруэнтном преобразовании приводятся к следующим:
A1 0
B1 0
C1 0
, B=
, C=
,
A = T1 AT1 =
0 Om
0 Om
0 Om
где Om — нулевые квадратные матрицы порядка m, A1 , B1 , C1 − квадратные матрицы
порядка (n − m) = k, при этом каждая из них может быть вырожденной.
Ситуация б), когда K(ϕ, ψ, θ) является невырожденной при некоторых ϕ, ψ, θ, соответствует ранее полученным матрицам A1 , B1 , C1 при m = 0, k = n, T1 = En .
2. Ставится задача подбора вещественных, отличных от нуля, значений ϕ, ψ, θ для получения невырожденной матрицы
θ),
K1 (ϕ, ψ, θ) = ϕA1 + ψB1 + θC1 = ϕK2 (ψ,
θ)
= (A1 + ψB
1 + θC
1 ), ψ = ψ/ϕ, θ = θ/ϕ. Формирование неособой связки K2
где K2 (ψ,
будем осуществлять последовательным сложением матриц A1 , B1 , C1 с целью непонижения
ранга. Конечно, выбор вещественных ϕ0 , ψ0 , θ0 может в исключительных случаях, как на
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
75
корнях уравнения det K1 (ϕ, ψ, θ), обеспечить падение ранга K1 (ϕ, ψ, θ). Здесь ставится цель
получения наивысшего ранга матрицы K1 (ϕ0 , ψ0 , θ0 ) при вещественных ϕ0 , ψ0 , θ0 . Для этого
будем исходить из предположения, что A1 , B1 , C1 одновременно диагонализируемы и пучок
θ)
подобен невырожденной матрице
матриц K2 (ψ,
ii + θc
ii = dii = 0 (i = 1, 2, . . . , k).
aii + ψb
Исходя из известных величин α1 , . . . , αk уравнения
det(B1 − αA1 ) = 0,
(2.2)
можно показать, что числа (−bii /aii ) находятся среди корней уравнения (2.2). При исключении из рассмотрения бесконечных величин получается, что недопустимыми являются
значения ψ = −1/αj , где j = 1, 2, . . . , k. Следовательно,
ψ0 = −1/αj (j ∈ {1, 2, . . . , k}).
(2.3)
Для выбора значений θ учтем уравнения
det(C1 − βA1 ) = 0, det(C1 − βB1 ) = 0.
Аналогично проводя выкладки, получим
−ψ0 /γj , θ0 =
−(1/βj + ψ0 /γj ) (j ∈ {1, 2, . . . , k}).
θ0 = −1/βj , θ0 =
(2.3 )
Совместные условия (2.3) и (2.3 ) будут гарантированными достаточными для получения
невырожденной связки K2 (ψ0 , θ0 ). Обозначим для краткости K1 (ψ0 , θ0 ) = D0 .
При этом имеют место два утверждения.
Утверждение 2. Если матрицы A1 , B1 , C1 одновременно диагонализируются одним линейным вещественным конгруэнтным преобразованием, то и D0 этим же преобразованием приводится к диагональному виду.
Утверждение 3. Если две из матриц A1 , B1 , C1 и матрица D0 одновременно диагонализируются одним линейным вещественным конгруэнтным преобразованием, то и третья
матрица этим же преобразованием приводится к диагональной.
Приведенные утверждения легко проверяются для отличных от нуля вещественных α,
β, γ. Выбор параметров ψ0 , θ0 можно осуществить так, чтобы хотя бы одно из уравнений
f11 (κ) = det(A1 − κD0 ) = 0, f12 (ν) = det(B1 − νD0 ) = 0, f13 (ρ) = det(C1 − ρD0 ) = 0 имело
все некратные корни, отличные от нуля.
При одновременной диагонализации матриц A1 , B1 , C1 уравнения f11 (κ) = 0, f12 (ν) = 0,
f13 (ρ) = 0 имеют все вещественные конечные решения, с помощью которых можно легко составить главную матрицу преобразования пучка матриц K1 (ϕ, ψ, θ). Отметим, что
такой способ формирования и использования связки матриц, в том числе не всех вырожденных, может быть эффективным и в случаях, когда среди корней уравнений f1 (α)=0,
f2 (β)=0, f3 (γ) = 0 имеются кратные, с целью получения некратных корней хотя бы одного
из уравнений f11 (κ) = 0, f12 (ν) = 0, f13 (ρ) = 0. Формулирование условий одновременной
диагонализации пучка матриц K1 (ϕ, ψ, θ) опирается на
Следствие (из теоремы 2). Для одновременной приводимости к диагональным трех вещественных симметрических матриц A, B, C одним и тем же линейным вещественным
невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно существования
неособого пучка матриц D0 и выполнения следующих условий:
76
M.A. НOВИКОВ
1) уравнение det(A1 − κD0 ) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица
(A1 − κD0 ) имеет все только простые элементарные делители;
2) уравнение det(B1 − νD0 ) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица (B1 −
νD0 ) имеет все простые элементарные делители;
3) A1 D0−1 B1 = B1 D0−1 A1 .
Матрицы A1 , B1 , C1 имеют одинаковое вхождение в D0 , и по утверждению 3 в равной
мере решают вопрос одновременной диагонализации четырех матриц, и, следовательно,
одинаково участвуют в составлении условий следствия.
3. Пусть матрицы A1 , B1 , C1 одновременно приводятся к диагональным A2 = T2 A1 T2 ,
B2 = T2 B1 T2 , C2 = T2 C1 T2 главной матрицей T2 линейного вещественного конгруэнтного
преобразования. Тогда легко записывается матрица окончательного преобразования T =
T1 × T3 , где
T2 0
,
T3 =
0 Em
которая осуществляет преобразование матриц A, B, C к диагональным:
A2 0
B2 0
C2 0
A=
, B=
, C=
.
0 Em
0 Em
0 Em
Продемонстрируем изложенное на следующем примере. Пусть заданы матрицы
⎛
⎞
⎛
⎞
1
−4
2
−3
4
2
−2
2
−4
2
⎜−4 20 −10 18 −24⎟
⎜−2 −10
4
−14 22 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
5
−9
12 ⎟ , B = ⎜ 2
4
−1
5
−10⎟
A = ⎜ 2 −10
⎟,
⎝−3 18
⎝−4 −14
−9
18 −24⎠
5
−19 32 ⎠
4 −24 12 −24 32
2
22 −10 32 −46
⎞
⎛
13 −7
8
6 −20
⎜ −7 −2 −2 −9 20 ⎟
⎟
⎜
−2
4
6 −16⎟
C=⎜
⎟.
⎜ 8
⎝ 6
−9
6
−3
0 ⎠
−20 20 −16 0
16
Легко убедиться, что они вырождены. Решением системы (2.1) здесь будет вектор x(1) =
(1, 1, 1, 1, 1) . Составим матрицу начального линейного преобразования
⎛
⎞
1 0 0 0 1
⎜0 1 0 0 1⎟
⎜
⎟
⎟
T1 = ⎜
⎜0 0 1 0 1⎟ .
⎝0 0 0 1 1⎠
0 0 0 0 1
В результате конгруэнтного преобразования получим
⎛
⎞
⎛
⎞
1
−4
2
−3
2
−2
2
−4
⎜−4 20 −10 18 ⎟
⎜
⎟
⎟ , B1 = ⎜−2 −10 4 −14⎟ ,
A1 = ⎜
⎝ 2 −10
⎠
⎝
5
−9
2
4
−1
5 ⎠
−3 18
−9 18
−4 −14 5 −19
⎛
⎞
13 −7 8
6
⎜−7 −2 −2 −9⎟
⎟.
C1 = ⎜
⎝ 8 −2 4
6⎠
6 −9 6 −3
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
77
Последние матрицы оказались вырожденными, но по вышеизложенному пучок матриц
K1 (ϕ, ψ, θ) при всех отличных от нуля ϕ, ψ, θ может быть невырожденным. Вычислим
для K1 обратную матрицу и составим выражение
⎛
⎞
−1
4
−2
3
⎜ 4
16
8 −12⎟
⎟.
det(K1 ) × A1 K1−1 C1 = 12 × ψθ(ϕ − 3ψ) ⎜
⎝−2
8
−4
6 ⎠
3 −12 6
−9
Из симметрии последней матрицы следует выполнение условия 3) следствия. Поэтому будем дальше формировать неособую связку матриц D0 и одновременно строить матрицу
преобразования T2 . Уравнение (2.2) ввиду вырожденности A1 , B1 сводится к следующему:
f1 (α) = α(α + 3) = 0. Аналогично получаются f2 (β) = β(β + 1/2) = 0, f3 (γ) = γ 2 = 0. Из
(2.3) предварительно определяем ψ0 = −1/3, ψ0 = 0. Полагая простое ψ0 = 1, составим из
(2.3 ) условия для нахождения θ0 : θ0 = 0, θ0 = −1/(−1/2) = 2. Подбирая θ0 = 4, получим
⎛
⎞
55 −34 36
17
⎜−34
2
−14 −32⎟
⎟.
D0 = K2 (1, 4) = A1 + B1 + 4C1 = ⎜
⎝ 36 −14 20
20 ⎠
17 −32 20 −13
Характеристические уравнения с матрицей D0 будут следующими:
f11 (κ) = κ 2 (κ + 1)(κ + 1/2) = 0, f12 (ν) = ν 2 (ν − 1)(ν − 3/2) = 0,
f13 (ρ) = ρ2 (ρ − 1/2)(ρ − 1/4) = 0.
Игнорируя нулевые кратные корни каждого из уравнений, вычислим соответствующие собственные векторы. Корню κ1 = −1 соответствует собственный вектор e1 = (−5, 4, 11, 1) ,
корню κ2 = −1/2 отвечает e2 = (−5, 3, 10, 1) . Для корня ν1 = −1 собственным вектором будет e3 = (−3, 1, 5, 1) , а для корня ν2 = 3 находится e4 = e2 . Аналогично корню
ρ1 = 1/2 соответствует e5 = e1 , и для корня ρ2 = 1/4 получается e6 = (−3, 2, 7, 1) . Четыре различных собственных вектора получаются линейно независимы. Главную матрицу
конгруэнтного преобразования матриц A1 , B1 , C1 формируем в виде T2 = {e1 , e2 , e3 , e6 }.
Матрица преобразования A, B, C к диагональным получается такой:
⎛
⎞ ⎛
⎞
−5 −5 −3 −3 0
−5 −5 −3 −3 1
⎜4
⎜
3
1
2 0⎟
3
1
2 1⎟
⎜
⎟ ⎜4
⎟
⎜
7 0⎟
7 1⎟
T = T1 × ⎜
⎜ 11 10 5
⎟ = ⎜ 11 10 5
⎟.
⎝1
⎠
⎝
1
1
1 0
1 18 1
1 1⎠
0
0
0
0 1
0
0
0
0 1
В результате преобразования
⎛
4
⎜0
⎜
A = T AT = ⎜
⎜0
⎝0
0
получается
⎞
⎛
⎞
0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎜0 −3 0 0 0⎟
1 0 0 0⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
⎟
0 0 0 0⎟ , B = T BT = ⎜
⎜0 0 2 0 0⎟ ,
⎝0 0 0 0 0⎠
0 0 0 0⎠
0 0 0 0
0 0 0 0 0
78
M.A. НOВИКОВ
⎛
−2
⎜0
⎜
C = T CT = ⎜
⎜0
⎝0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
⎞
0
0⎟
⎟
0⎟
⎟.
0⎠
0
3. Приложение
Изложенная теория, особенно теорема 3, может успешно применяться для исследования
линейных механических диссипативных систем [11]. Хотя матрица гироскопических сил не
симметрична, но и в соответствующих задачах могут применяться изложенные теоремы об
одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц.
Рассмотрим пример такой линейной системы, описываемой функцией Лагранжа
1
1
(3.1)
L(g, ġ) = ġ Aġ + g B ġ + g Cg (g, ġ ∈ Rn ),
2
2
где A = A — матрица кинетической энергии (ġ Aġ 0), C = C — матрица потенциальной
функции, B = −B — матрица гироскопических сил. Характеристическое уравнение системы (3.1) имеет вид f (λ) = det(F (λ)) = a2n λ2n + · · · + a0 = 0, где F (λ) = Aλ2 − 2Bλ − C.
Изучим вопрос о связи аналитических решений системы, описываемой (3.1), устойчивости
ее тривиального решения с приводимостью к диагональным вещественных матриц A, C
и простейшему виду матрицы B. Подробно этот вопрос исследован для гироскопических
систем двух степеней свободы [1]. Некоторые обобщения на случаи систем большей размерности приведены в статьях [13], [14]. В данной статье для исследования устойчивости
линейных автономных гироскопических систем более двух степеней свободы предлагается подход, опирающийся на декомпозицию системы уравнений движения на подсистемы
меньших размерностей.
Как известно [1], [3], тривиальное решение консервативной системы устойчиво при потенциальной энергии, имеющей минимум в начале координат. При неположительной всюду потенциальной энергии имеет место теорема Тэта–Томсона–Четаева о гироскопической
стабилизации [1], [3], и речь можно вести только о четной степени неустойчивости при соответствующих гироскопических силах.
Вначале упростим характеристическое уравнение системы, описываемой функцией (3.1).
Матрицу кинетической энергии ввиду положительной определенности можно представить
в виде произведения матриц [6] A = T1 T1 , где T1 — некоторая вещественная невырожденная
квадратная матрица. Введем обозначения (T1−1 ) B(T1−1 ) = B1 ; (T1−1 ) C(T1−1 ) = C1 . После
умножения матрицы F (λ) слева на (T1−1 ) и справа на (T1−1 ), получим
f (λ) = det(En λ2 − 2B1 λ − C1 ) = 0.
Последнее выражение можно записать в виде
f (λ) = det((En λ − B1 )2 + (B1 B1 − C1 )) = 0.
Решение уравнения f (λ) = 0 находится численными методами или приближенно, если
уравнение выше четвертой степени. Часто ставится цель установить зависимость решения
механической системы от параметров, которыми являются элементы матриц гироскопических и потенциальных сил. Наиболее простым способом анализа может быть декомпозиция
на подсистемы меньшей размерности. Так как кососимметричная матрица имеет наименьший второй порядок, то поставим задачу исследования вопроса декомпозиции на простейшие двумерные подсистемы. Очевидно, если матрица B1 представима в простейшем виде
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
79
кососимметричных матриц, то и B12 тоже имеет достаточно простое выражение — диагональную матрицу.
Проведем изучение только одной ситуации — одновременной диагонализации матриц E,
(B1 B1 − C1 ), B12 . Требование этой ситуации ввиду B1 = −B1 сводится к диагонализации
матриц E, C1 , B12 . Условием одновременной приводимости к диагональным матриц B12 и C1
по теореме 4 является матричное равенство
B12 C1 = C1 B12 .
(3.2)
Как известно [6], все собственные значения кососимметричной вещественной матрицы состоят из чисто мнимых чисел, и остальных (если имеются) нулевых значений. Пусть собственными значениями матрицы B1 будут β1 = iω1 , β2 = −iω1 ,√β3 = iω2 , β4 = −iω2 , . . . , β2k−1 =
iωk , β2k = −iωk , βj = 0 (j = 2k + 1, . . . , n), где i = −1, ωl — вещественные числа
(l = 1, 2, . . . , k), k целое (2k ≤ n). Собственными значениями матрицы B12 будут [6] α1 =
α2 = −ω12 , α3 = α4 = −ω22 , . . . , α2k−1 = α2k = −ωk2 , αj = 0 (j = 2k + 1, . . . , n). В соответствии
с теоремой 4 диагонализирующее вещественное преобразование T2 , приводящее матрицы
B12 и C1 к диагональным, является ортогональным. Следовательно, собственными значениями диагональной матрицы B12 = T2 B12 T2 также будут [6] α1 , . . . , αn . В предположении
n > 2k матрицу T2 построим такой, что
B20 0
,
B12 =
0 0
где
⎛
⎞
B21
0 ...
0
2
⎜ 0 B22 . . .
−ωj
0
0 ⎟
⎜
⎟
(j = 1, . . . , k).
, B2j =
B20 = ⎝
... ... ... ... ⎠
0
−ωj2
0
0 . . . B2k
При n = 2k получается B12 = B20 . При выполнении условия (3.2) матрица C2 = T2 C1 T2
будет диагональной
⎛
⎞
C21 0 . . . 0
⎜ 0 C22 . . . 0 ⎟
⎟
C2 = ⎜
⎝ . . . . . . . . . . . .⎠ .
0
0 . . . Cn
В результате вещественного ортогонального преобразования исходная механическая система разлагается в k независимых подсистем второго порядка, для которых
C2(2l−1)
0
1 0
0
ωl
, C3l =
, B3l =
(l = 1, 2, . . . , k),
E3l =
−ωl 0
0 1
0
C2(2l)
и одной подсистемы (n − 2k)-го порядка, для которой заданы матрицы
⎛
C2(2k+1)
0
...
⎜
.
..
0
C
2(2k+2)
E3(k+1) = En−2k , B3(k+1) = 0, C3(k+1) = ⎜
⎝ ...
...
...
0
0
...
⎞
0
0 ⎟
⎟.
... ⎠
C2(n)
Тогда характеристическое уравнение исходной системы факторизуется соответственно в
произведение k уравнений вида
c2j−1 0
1 0 2
0 −ωj
λ−
λ −2
= 0 (j = 1, 2, . . . , k)
fj (λ) = det
ωj
0
0 1
0
c2j
80
M.A. НOВИКОВ
и одно уравнение вида
fk+1 (λ) = (λ2 − c2k+1 ) · · · (λ2 − cn ) = 0,
где введено обозначение Cs = cs (s = 2k + 1, . . . , n).
Следовательно, при возможности декомпозиции системы независимо исследуются свойства каждой подсистемы
fj (λ) = λ4 + λ2 (4ωj2 − c2j−1 − c2j ) + c2j−1 c2j = 0 (j = 1, . . . , k).
(3.3)
При построении аналитического решения систем вида (3.3) в радикалах находятся корни
биквадратного относительно λ уравнения. Хотя условие (3.2) применяется прежде всего для
целей аналитического интегрирования, всякое упрощение дифференциальных уравнений
позволяет легче провести качественный анализ систем.
Аналогично решается задача устойчивости тривиального решения. По теореме Пуанкаре
[5] для устойчивости консервативных подсистем необходимо и достаточно существования
только чисто мнимых корней λi (i = 1, 2, 3, 4) уравнения (3.3), т. е. v = λ2i < 0. Это приводит
к вещественным отрицательным решениям биквадратного уравнения v 2 + (4ωj2 − c2j−1 −
c2j )v + c2j−1 c2j = 0. Ввиду λ2j < 0 на решении уравнения (3.3), доставляющем системе,
определяемой (3.1), устойчивость тривиального решения, ранг матрицы
2
ωj λj
(λj − 2j−1 )
−ωj
(λ2j − 2j )
равен единице. Так как на кратном решении λ = λj матрица, определяющая характеристическое уравнение, имеет равный единице дефект, то кратный корень является не простым.
Поэтому [1], [6], [15] для кратных корней (3.3) тривиальное решение системы, определяемое
функцией (3.1), неустойчиво. Следовательно, необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения каждой подсистемы запишутся в виде
(4ωj2 − c2j−1 − c2j )2 − 4c2j−1 c2j > 0,
4ωj2 − c2j−1 − c2j > 0,
c2j−1 c2j > 0.
(3.4)
При этом третье неравенство выражает четную степень неустойчивости, т. е. должно выполняться c2j−1 < 0, c2j < 0 либо c2j−1 > 0, c2j > 0. Условие fk+1 (λ) = 0, в частности,
приводит здесь к необходимому: c2k+1 < 0, c2k+2 < 0, . . . , cn < 0.
Для задачи гироскопической стабилизации в дальнейшем рассматривается ситуация
c2j−1 > 0, c2j > 0 (при c2j−1 < 0, c2j < 0 система устойчива и без гироскопических слагаемых). Решением задачи устойчивости системы неравенств (3.4) будет
√
√
c2j−1 + c2j
.
|ωj | >
2
Систему неравенств (3.4) можно удовлетворить такими достаточными условиями ωj2 >
c2j−1 > 0; ωj2 > c2j > 0, что равносильно
(3.5)
|ωj | > max c2j−i+1 .
i=1,2
Последнее можно выразить для всех подсистем в целом матричным условием
q (B1 B1 − C1 )q 0.
(3.5 )
Конечно, множество, определяемое условием (3.5), содержится в множестве, определяемом неравенством (3.2).
ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ТРЕХ МАТРИЦ
81
В случае неприводимости заданных матриц B1 , C1 к наиболее простейшим условие (3.5 )
следует рассматривать как довольно грубое достаточное условие устойчивости.
Достаточные условия вида (3.5 ) приведены в статье [14], где для простейшего случая
интегрирования использовалось условие
B1 C1 = C1 B1 .
(3.6)
Можно показать, что при выполнении условия (3.6) всегда выполняется условие (3.2). Действительно, B12 C1 = B1 (B1 C1 ) = B1 (C1 B1 ) = −B1 C1 B1 = −(B1 C1 B1 ). Обратное свойство
не всегда выполняется, что подтверждается простейшими примерами систем даже второго
порядка. В любом случае при условии (3.6) наложены дополнительные условия на коэффициенты матрицы C1 .
4. Заключение
В статье рассмотрен один способ декомпозиции гироскопических систем, позволяющий
получить наибольшее число независимых подсистем, каждая из которых не выше второго
порядка. Для каждой подсистемы решение выражается через корни биквадратного уравнения, зависящие от параметров системы: потенциальных и гироскопических сил. Это дает
возможность получения решения системы, где можно аналитически проследить вхождение
и зависимость параметров системы, исключить приближенные вычислительные методы.
Литература
[1] Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике (Изд-во АН СССР, М.,
1962).
[2] Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения (Наука, М., 1973).
[3] Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения (Наука, М., 1971).
[4] Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. (ГИФМЛ, М., 1960).
[5] Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика (Издательский дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999).
[6] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1967).
[7] Беллман Р. Введение в теорию матриц (Наука, М., 1976).
[8] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ (Мир, М., 1989).
[9] Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы (Наука, М., 1966).
[10] Klingenberg W. Paare symmetrischen und alternierenden Formen zweiten Grades, Abhandl. Math. Sem.
Univ. Hamburg 19 78–93 (1955).
[11] Gaughey T.K., O’Kelly M.E.J. Classical normal modes in damped linear dynamic systems, American Society
of Mechan. Engineers J. of Appl. Mech., Series E 32, 583–588 (1965).
[12] Kumar Mitra. Simultaneous diagonalization of rectangular matrices, Linear Algebra and Appl. 47, 139–150
(1982).
[13] Булатович Р.М. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда
потенциальная энергия имеет максимум, ПММ 61 (3), 385–389 (1997).
[14] Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс, ПММ 65 (5), 739–745 (2001).
[15] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения (Наука, М., 1966).
M.A. Нoвиков
старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления,
Сибирское отделение Российской Академии наук,
ул. Лермонтова, д. 134, г. Иркутск, 664033, Россия,
e-mail: nma@icc.ru
82
M.A. НOВИКОВ
M.A. Novikov
Simultaneous diagonalization of three real symmetric matrices
Abstract. We formulate and prove necessary and sufficient conditions of simultaneous diagonalization of three real symmetric matrices of regular pencil to diagonal ones. The conditions are
algebraic and consist, in particular, of two spectral requirements and one matrix equality. For
degenerate matrix pencil we suggest an approach that allows to reduce the analysis to a regular
pencil. With the use of obtained theorems we investigate a decomposition of linear gyroscopic
system into subsystems of an order not higher than two and a stability of trivial solution to a
system.
Keywords: matrix pencil, simultaneous diagonalization, real congruent transformation
M.A. Novikov
Senior Researcher, Institute of System Dynamics and Control Theory,
Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences,
134 Lermontov str. Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: nma@icc.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
37
Размер файла
212 Кб
Теги
симметричные, диагонализации, трех, одновременно, матрица, вещественным
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа