close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОПИСАНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА H p (w) r r В ПРОСТРАНСТВ p lA.

код для вставкиСкачать
УДК 517.5
r r
ОПИСАНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА H p (ω )
r
В ПРОСТРАНСТВО l Ap 1
О.В. Ярославцева
В работе описываются мультипликаторы вида λk ,..., k =
1
n
r
p
n
∏ λk
j =1
j
из пространства
r r
H p (ω ) в
пространство l A .
Ключевые слова: голоморфные функции, единичный полидиск, правильно меняющиеся функции на
(0,1] , пространство
r r
r
H p (ω ) , пространство l Ap , мультипликаторы.
U n = {z = ( z1 ,..., z n ) : z j < 1, j = 1, n} - единичный полидиск в n -мерном
r
r
комплексном пространстве C n , p = ( p1 ,..., p n ) , ω (t ) = (ω1 (t ),...,ω n (t )) , где 0 < p j < +∞ ,
Пусть
, ], j = 1, n . Обозначим
ω j (t ) - положительные правильно меняющиеся функции на ( 01
r r
через Lp (ω ) пространство измеримых в U n функций f , для которых
f
r
p
r
L (ω )

=  ∫ ωn (1 − ζ n
U



U
U
)  ∫ ωn−1 (1 − ζ n−1 )...  ∫ f (ζ 1,..., ζ n )
p2
pn
p1
×
1
 p1
 p n −1
 pn



dm 2 (ζ n )  < +∞,
× ω1 (1 − ζ 1 )dm 2 (ζ 1 )  ...dm 2 (ζ n −1 ) 





 r
где dm2 - 2-мерная мера Лебега на U . Подпространство
r r
голоморфных в U n функций, обозначим через H p (ω ) .
r
Lp (ω ) , состоящее из
Напомним, что классом функций, правильно изменяющихся на промежутке (01
, ],
называется множество измеримых функций ω , удовлетворяющих следующим свойствам:
а) ω (t ) > 0, t ∈ (0,1];
б) существуют положительные числа qω , mω ∈ (0,1), M ω > 0 такие, что
ω ( λr )
≤ M ω , r ∈ (0,1], λ ∈ [ qω ,1] .
ω (r )
Множество таких функций обозначим через S . Можно установить, что ω ∈ S тогда и
только тогда, когда существуют ограниченные измеримые функции η, ε на ( 01
, ] такие,
что
1

ε (u ) 
ω (x ) = exp η (x ) + ∫
du  , x ∈ (0,1],
u
x


при этом
mω ≤
________________________
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ln mω
ln M ω
≤ ε (u ) ≤
, u ∈ (0,1].
1
1
ln
ln
qω
qω
ln mω
ln M ω
Будем предполагать, что η (x ) ≡ 0, αω =
, βω =
, αω > −1, 0 < βω < 1.
1
1
ln
ln
qω
qω
r
Через l Ap обозначим пространство голоморфных в U n функций g , для которых
 +∞  +∞ +∞


g l pr =  ∑ ...  ∑  ∑ bk1 ,...,kn

A

 kn =0  k2 =0  k1 =0

где g ( z1 ,..., zn ) =
+∞
∑
k1 ,..., kn =0
p1




p2 p1




p3 p2
1 pn


... 


< +∞,
bk1 ,...,kn z1k1 ... znkn .
{
}
Последовательность
называется мультипликатором из
λk1 ,...,kn
r
r r
r
пространства H (ω ) в пространство l Ap , если для любой функции g ∈ H p (ω ) такой, что
Определение.
r
p
g ( z1 ,..., zn ) =
+∞
∑
k1 ,...,kn = 0
bk1 ,...,kn z1k1 ...znkn ,
сходится ряд
1 p
 +∞  +∞ +∞
p2 p1  p3 p2
 n


p


1


... 
< +∞ .
 ∑ ...  ∑  ∑ λk1 ,...,kn bk1 ,...,kn 


 kn =0  k2 =0  k1 =0




Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма А. (см. [1]). Пусть ω j ∈ S , j = 1, n. Тогда справедлива следующая оценка:
∫
U
n
ω (1 − ζ
1− ζ z
) dm
2 n ( ζ ) ≤ C (α )
α +2
ω (1 − z )
(1 − z )
α
,
r
z ∈ U n , α = (α1 ,..., α n ) , α j > αω j , j = 1, n,
r r
r
r
Лемма 1. Пусть f ∈ H p ( ω ) , p = ( p1 ,..., pn ) , ω = (ω1 ,...,ω n ) , 0 < p j ≤ 1 , ω j ∈ S , j = 1, n .
Тогда если
+∞
f ( z1 ,..., zn ) = ∑ ak1 ,...,kn z1k1 ...z nkn , то
k =0
ak1 ,...,kn ≤ c
(k ∗ )2
p −1
1 p
  1 
ω  k ∗  
  
f
r r ,
H p (ω )
где
(k ∗ )2
p −1
1 p
  1 
ω  k ∗  
  
k j , k j ≠ 0;
∗
k
=
j = 1, n .
,

j
1 pj
j =1 
1, k j = 0;
 1 
ω j  ∗  
  k j  
n
=∏
(k ∗j )
2 p j −1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
r
r
Лемма 2. Пусть p = ( p1 ,..., pn ) , α = (α1 ,...,α n ) , 0 < p j ≤ 1 , α j < p j , α j > −1,
j = 1, n ,
n
λk1 ,..., kn = ∏ λk j . Тогда из условий
j =1
+∞
1)
∑ λk
k j =1
pj
j
= 1, j = 1, n ,
(1)

p1
(k1∗ )2 


≤ C1 ( m1∗ ) (
p −α
p2 −α 2 ) pn p2
...( mn∗ )( n n )
(
p1 −α1 ) pn p1
( m2∗ )(
p2 p1

∗ 2
( k2 ) 


p3 p2
 m2  m1
2) ∑ ...  ∑  ∑ λk1 ,...,kn

kn =0  k2 =0  k1 = 0

mn
...(kn∗ )2 ≤
)
следует, что
+∞
∑
k j =m j
pj
λk j
≤ C2 (m∗j )
p j −α j − 2
, j = 1, n .
k j , k j ≠ 0;
m j , m j ≠ 0;
j = 1, n .
Здесь k ∗j = 
m∗j = 
1, k j = 0;
1, m j = 0;
r
r
Лемма 3. Пусть p = ( p1 ,..., pn ) , ω = (ω1 ,...,ωn ) , 0 < p j ≤ 1 , ω j ∈ S , 0 < βω j < 1, j = 1, n ,
n
λk1 ,..., kn = ∏ λk j . Тогда при условии (1) из того,что
j =1
 m2  m1
∑ ...  ∑  ∑ λk1,...,kn
kn =0  k2 = 0  k1 =0

mn

p1
(k1∗ )2 


pn





1
p
p
p
≤ C1  (m1∗ ) n ( m2∗ ) n ...(mn∗ ) n ω1  ∗  

  m1  

следует, что
p1
p2 p1

∗ 2
(k 2 ) 


p3 p2
  1 
ω2  ∗  
  m2  
...(kn∗ ) 2 ≤
pn p2
 1 
...ωn  ∗  
 mn  
 1 
ω j  ∗  , j = 1, n .
 mj 
k j =m j


p
Лемма 4. Пусть f ∈ H (α ) , 0 < p ≤ 1 , γ = α + 2 − p , α > −1. Тогда
+∞
∑
1
γ −1 
∫ (1 − r )
0
Лемма 5. Пусть
π
λk j
pj
≤ C2 (m∗j )
( )
iϕ
 ∫ f re
 −π
r r
f ∈ H p (ω ) ,
p j −2
p
1 π
p

α
dϕ  rdr < c ∫ ∫ (1 − r ) f reiϕ rdrdϕ .

0 −π

r
r
p = ( p1 ,..., pn ) , ω = (ω1 ,...,ωn ) , 0 < p j ≤ 1 ,
( )
αω j > −1 , γ j = 2 − p j , j = 1, n . Тогда
1
γ n −1
∫ ωn (1 − rn )(1 − rn )
0
1
1
γ −1 
γ −1
...  ∫ ω2 (1 − r2 )(1 − r2 ) 2  ∫ ω1 (1 − r1 )(1 − r1 ) 1 ×


0
0
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ωj ∈S,
×M1p1
где M 1 (r1 , r2 ,..., rn , f ) =
π


( r1, r2 ,..., rn , f ) rdr
1 1


π π
∫ ... ∫ ∫
p2 p1

r2dr2 


p3 p2
pn
r r
H p (ω )
...rn drn ≤ c f
(
,
)
f r1e iϕ1 , r2 e iϕ 2 ,..., rn e iϕ n dϕ1dϕ 2 ...dϕ n .
−π −π −π
Основной результат статьи содержится в теоремах 1-3. Напомним, что
+∞


l ∞ =  ak1 ,...,kn
; sup ak1 ,...,kn ≤ M  .
0
k1 ,...,kn


r
r
Теорема 1. Пусть p = ( p1 ,..., pn ) , ω = (ω1 ,..., ω n ) , 0 < p j ≤ 1 , ω j ∈ S ,
r r
λ k1 ,...,kn - мультипликатор из H p (ω ) в l ∞ тогда и только тогда, когда
(
{
)
}
λk1 ,...,kn
2
2

1−
1−
1 p1
1 pn 
p
∗
p
∗
.
= O  ( k1 ) 1 ...( kn ) n ω1 1 k1∗  ... ωn 1 k n∗ 








(
Доказательство.
Пусть справедлива оценка (2). Докажем, что λk1,...,kn
{
Пусть f ( z ) = f ( z1 ,..., z n ) =
+∞
∑
k1 ,..., kn =0
где
(k ∗ ) 2
(k ∗ )2
p −1
  1 
ω  k ∗  
  
1 p
n
=∏
j =1
Следовательно,
n
)
} - мультипликатор из
(2)
r r
H p (ω ) в l ∞ .
f
(k j ∗ )
r r ,
H p (ω )
2 p j −1
1 pj
  1 
ω j  ∗  
  k j  
.
λk1 ,...,kn ak1 ,...,kn ≤ c%.
{λ
}
r r
- мультипликатор из H p (ω ) в l ∞ . Пусть
r r
- мультипликатор из H p (ω ) в l ∞ . Тогда по теореме о замкнутом
k1 ,...,kn k1 ,...,kn
1
}∈l
(
p −1
  1 
ω  k ∗  
  
1 p
{λ a
теперь {λk ,...,k }
)
ak1 ,...,kn z1k1 ...znkn . Тогда по лемме 1 имеем:
ak1 ,...,kn ≤ c
Тогда
j = 1, n .
∞
, то есть
k1 ,...,kn
графике
sup λk1 ,...,kn ak1,...,kn ≤ const f
k1,..., kn
Положим
f ( z1 ,..., zn ) = g ( r1 z1 ,..., rn zn ) ,
rj < 1,
r r
H p (ω )
n
g ( z1 ,..., z n ) = ∏
j =1
1
(1 − z j )
βj
,
j = 1, n . Тогда
g ( z1 ,..., zn ) =
+∞
∑
k1 ,...,kn = 0
bk1 ,...,kn z1k1 ...znkn , bk1 ,...,kn ∼ B(k1∗ ) β1 −1...(kn∗ ) βn −1.
Последнее утверждение означает, что ∃ с1 , с2 > 0 такие, что
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
βj >
αω j + 2
pj
,
c1 (k1∗ ) β1 −1...(kn∗ ) βn −1 ≤ bk1 ,...,kn ≤ c2 (k1∗ ) β1 −1...(kn∗ ) βn −1.
Используя оценку леммы А, получим:



r
f H p (ωr ) =  ∫ ωn (1 − zn ) ... ∫ ω2 (1 − z2
U
U


p2
 p1
×ω1 (1 − z1 ) dm2 ( z1 ) 


p3
p
 2
dm2 ( z 2 ) 


1
p
 n
 ωn (1 − zn )
=∫
dm2 ( zn ) 
β
p
n
n

U 1− r z
n n


1
p
 1
 ω1 (1 − z1 )
dm2 ( z1 ) 
× ∫
β
p
1
1

U 1− r z
1 1


 n
)  ∫ ∏ 1
 U j =1 1 − r j z j

1
p
 n
...dm2 ( zn ) 


β j p1
×
=
1
p
 2
 ω2 (1 − z2 )
...  ∫
dm2 ( z2 ) 

 U 1 − r z β2 p2
2 2


×
ωn (1 − rn ) n
ω2 (1 − r2 )  2
...
×
≤ const 
( β n pn − 2) / pn
( β 2 p2 − 2) / p2
1
−
r
1
−
r
( n)
( 2)
1 p
1 p
ω1 (1 − r1 )  1
.
×
(1 − r1 )( β1 p1 −2) / p1
Следовательно,
1 p
ωn (1 − rn )  n
≤ const
×
( β n pn − 2) / pn
−
r
1
( n)
1 p
λk1 ,..., kn (k1∗ ) β1 −1...(kn∗ ) βn −1 r1k1 ...rnkn
ω2 (1 − r2 )  2
× ... 
(1 − r2 )( β2 p2 −2) / p2
1
Положим rj = 1 − ∗ , если
kj
1 p
ω1 (1 − r1 )  1
.
( β1 p1 − 2) / p1
1
−
r
( 1)
1 p
k ∗j ≥ 2, и rj = 1 −
1
, если k ∗j = 1, j = 1, n . Тогда
∗
2k j
1 pn
λk1 ,...,kn (k1∗ ) β1 −1...(kn∗ ) βn −1 ≤ const
  1 
ωn  ∗  
  kn  
 1 
 ∗
 kn 
( β n pn − 2) / pn
1 p2
...
  1 
ω2  ∗  
  k 2  
 1 
 ∗
 k2 
( β 2 p2 − 2) / p2
1 p1
×
  1 
ω1  ∗  
  k1  
( β p1 − 2) / p1
 1  1
 ∗
 k1 
Таким образом,
λk1 ,..., kn ≤
.
2
2
1−
1−
pn
∗
p1
∗
const (k1 ) ...(kn )
Теорема доказана.
(
)
1 p1
ω1 1 k1∗ 


(
)
1 pn
... ωn 1 kn∗ 


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
.
×
r
r
p = ( p1 ,..., pn ) , α = (α1 ,..., α n ) ,
ТЕОРЕМА 3.2. Пусть
n
j = 1, n , λk1 ,..., kn = ∏ λk j .
j =1
{λ
k1 ,...,kn
}
0 < p j ≤ 1 , α j < p j , α j > −1 ,
r r
r
- мультипликатор из H p (α ) в l Ap
тогда и только
тогда, когда
 m2  m1
∑ ...  ∑  ∑ λk1,...,kn
kn =0  k2 = 0  k1 =0


p1
(k1∗ )2 


mn
(
= O ( m1∗ ) ( p1 −α1 ) pn
p1
( m2∗ )(
p2 p1

∗ 2
(k 2 ) 


p2 −α 2 ) pn p2
p3 p2
...(kn∗ ) 2 =
...( mn∗ )(
pn −α n )
).
(3)
Доказательство.
r r
r
Пусть λk1 ,...,kn - мультипликатор из H p (α ) в l Ap . Тогда
{
}


 +∞  +∞  +∞
 ∑ ...  ∑  ∑ λk1,...,kn ak1,...,kn
 kn =0  k2 =0  k1 =0


+∞
∑
f ( z ) = f ( z1 ,..., zn ) =
k1 ,...,kn = 0
p1




p2 p1





p3 p2
1
p
 n

... 


≤ const f
r r ,
H p (α )
ak1 ,...,kn z1k1 ...znkn .
n
Пусть f ( z1 ,..., zn ) = g ( r1 z1 ,..., rn zn ) , r j < 1, g ( z1 ,..., z n ) = ∏
j =1
1
(1 − z j )
βj
, βj >
αj +2
pj
Тогда
+∞
∑
g ( z1 ,..., zn ) =
k1 ,...,kn = 0
Для оценки f
bk1 ,...,kn z1k1 ... znkn , bk1 ,...,kn ∼ B(k1∗ ) β1 −1...(kn∗ )β n −1.
используем оценку леммы А:
r r
H p (α )


f H pr (αr ) =  ∫ (1 − zn
U

)
αn

...  ∫ (1 − z2

U

p2
)
α2
 n
1

∏
∫
 j =1 1 − r z
j j
U
p3
β j p1
×
1
 p1
 p2
 pn
α1


dm2 ( z2 )
...dm2 ( zn )  =
× (1 − z1 ) dm2 ( z1 )






 (1 − z
n
=∫
 U 1 − rn zn

1
)
αn
β n pn
1
 pn  1 − z α 2
 p2
(
)
2


dm2 ( zn )
...  ∫
dm2 ( z2 )
×


 U 1 − r2 z2 β2 p2



1
 (1 − z )
1
× ∫
 U 1 − r1 z1 β1 p1

α1
α /p
 p1
α /p
1 − rn ) n n
1 − r2 ) 2 2
(
(

≤ const
dm2 ( z1 )
...
×
( β p − 2) / pn
( β p − 2) / p2

1 − r2 ) 2 2
1 − rn ) n n
(
(

α /p
1 − r1 ) 1 1
(
×
(1 − r1 )( β1 p1 −2) / p1
α1 / p1 + 2 / p1 − β1
= const (1 − r1 )
α 2 / p2 + 2 / p2 − β 2
(1 − r2 )
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
... ×
, j = 1, n .
× (1 − rn )
α n / pn + 2 / pn − β n
Следовательно,
 N 
Nn 
 ...  2 
∑  ∑
 k =0 
kn =0 
  2 
×rnkn pn




p2 p1




.
N1
∑ λk ,...,k
1
k1 = 0
p3 p2
α n − β n pn + 2
n
pn pn −1


... 


× (1 − rn )
(k1∗ )( β1 −1) p1 (k2∗ )( β2 −1) p2 ...(kn∗ )(
p1
β n −1) pn k1 p1 k2 p2
r1 r2 ... ×
pn
pn
(1 − r1 )(α1 − β1 p1 +2 ) p1 (1 − r2 )(α 2 −β 2 p2 +2 ) p2 ×
≤ const
,
то есть
Nn
β −1 p
rnkn pn (kn∗ )( n ) n
kn = 0
∑
×r1k1 p1




p2 p1




p3 p2
× (1 − rn )
α n − β n pn + 2
Пусть β j = 1 +
 
 
 ... 
 
 

... 


N2
∑
1
r2k2 p2 (k2∗ )( β2 − ) p2
k2 = 0
pn pn −1
≤ const (1 − r1 )




N1
∑ λk ,...,k
k1 =0
(α1 − β1 p1 + 2 )
pn
p1
1
p1
n
(k1∗ )( β1 −1) p1 ×
pn
(1 − r2 )(α 2 − β2 p2 + 2 ) p2 ×
.
2 αj +2
>
, j = 1, n . Тогда
pj
pj
r1N1 pn r2N2 pn ...rnN n pn
 
∗ 2
∑ (kn )  ... 
 
kn =0
 
(α1 − p1 )
≤ const (1 − r1 )
Положим rj = 1 −

∗ 2
∑ ( k2 ) 

k2 = 0

Nn
pn
p1
N2
N1
∑ λk ,...,k
k1 = 0
1
p1
n
(k1∗ )2




p2 p1




p3 p2

... 


pn pn −1
≤
pn
(1 − r2 )(α 2 − p2 ) p2 ... (1 − rn )α n − pn .
1
1
, если k ∗j ≥ 2, и rj = 1 − ∗ , если k ∗j = 1, j = 1, n . Тогда
∗
kj
2k j
 N2  N1
∑ ...  ∑  ∑ λk1 ,...,kn
kn =0  k2 = 0  k1 =0

Nn
( p1 −α1 )
pn
p1

p1
∗ 2
(k1 )


( p2 −α 2 )
p2 p1

∗ 2
( k2 ) 


p3 p2
...(k n∗ )2 ≤
pn
p2
≤
...( N n∗ ) pn −α n .
Первая часть теоремы доказана. Пусть теперь имеет место оценка (3). Докажем, что
r r
r r
r
λk1 ,...,kn - мультипликатор из H p (α ) в l Ap . Пусть f ∈ H p (α ) . Сначала установим
const ( N1∗ )
{
( N 2∗ )
}
сходимость ряда:
 
+∞ 
+∞  +∞

...
∑   ∑  ∑ λk1 ,...,kn ak1 ,...,kn
kn = 0 
  k2 =0  k1 =0

По лемме 2 из (3) имеем:
p1




p2 p1





p3 p2
pn
 pn −1

... 
< +∞.


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
+∞
∑
pj
λk j
k j =m j
≤ c(m∗j )
p j −α j − 2
, j = 1, n .
Так как 0 < p j ≤ 1 , α j < p j , α j > −1 , то
j = 1, n . Положим s0 = 0 ,
p j −α j − 2 < 0,
1
 +∞
sk j = 1 −  ∑ λt j
t j =k j
γ
pj 
 j
 ,

+∞
∑
k j = 1, 2,3,... , λk j ≥ 0 и
k j =0
pj
λk j
= 1, γ j = α j − p j + 2 , j = 1, n .
Тогда sk j → 1 при k j → +∞ , j = 1, n . По лемме 4

γ n −1 
∫ (1 − rn ) ... 
0

1

γ 2 −1 
γ 1 −1
p1
1
−
r
1
−
r
M
r
,
r
,...,
r
,
f
r
dr
(
)

(
)
(
)

1
1 2
n
1 1
∫ 2 ∫ 1
0
0

1
1
×...rn drn < +∞.
(
p2 p1


r2 dr2


p3 p2
×
)
Так как M1 r1 , r2 ,..., rn , f ≥ r1k1 r2k2 ...rnkn ak1 ,...,kn , то
skn +1
+∞
∑ ∫ (1 − rn )
k =0
+∞ >
γ n −1
skn
n

... 



×M1p1 ( r1, r2 ,..., rn , f ) dr1 


p2 p1

×




×



p2 p1

dr2 


∑
k1 = 0
ak1,..., kn
sk1 +1
∑
× skk11 p1
∫(
∫ (1 − r1 )
sk1
γ 1 −1

dr1 


n
skn
p1
r1k1 p1 r2k2 p1 ...rnkn p1 ak1 ,..., kn
(1 − rn )
skn

dr1 


)
γ n −1
−1
sk1
1
γ −1
∑ ∫ (1 − rn ) ...×
k =0
γ n −1
γ −1
1 − r1 1 r1k1 p1
∫ (1 − rn )
sk1 +1
∑ ∫
k =0
rnkn pn
sk1
skn +1
kn pn
skn
kn = 0
skn
+∞
1
1
skn +1
n
sk1 +1
n
p1

+∞
...drn ≥
+∞ skn +1
...drn =
+∞
p3 p2
sk1 +1
γ −1
1 − r1 )
×
(
∑
∫
 k =0
sk2
2
+∞
×
sk1
1
p3 p2

γ 2 −1 
γ
1 − r1 )
(
∑
∫
 k =0
sk2
2
sk2 +1
∑ ∫ (1 − r2 )
k =0

dr2 


+∞
γ 2 −1 
∑ ∫ (1 − r2 )
k =0

×dr1 


≥
sk2 +1
+∞
+∞
 
drn  ... 
 

 
p2 p1




p3 p2
p2 p1




 
drn  ... 
 

 
p3 p2

... 


sk2 +1
k2 p2
sk2
k 2 =0
sk2
+∞
∑

... 


pn pn −1
=
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
∑ ∫
k =0
γ 2 −1
r2k2 p2 (1 − r2 )
sk2
2
pn pn −1
γ 2 −1
∫ (1 − r2 )
+∞ sk2 +1
≥

dr2 


+∞
∑
k1 = 0
ak1 ,...,kn
p1
×
dr2 ×
 
 ... 
 

 
+∞
= const ∑
kn = 0
{(
× 1 − sk
1




+∞
∑
k2 =0
) − (1 − s )
γ1
γ1
k1 +1
{(
× ... × 1 − skn
+∞
∑
ak1 ,...,kn
k1 = 0
} {(
) − (1 − s )
γn
kn +1
}
skk11 p1 skk22 p1 ...skknn p1 ×
) − (1 − s )
γ2
1 − sk2
γn
p1
γ2
k2 +1




p1
pn
p2 p1




p3 p2

... 


}
p1
p2
×
pn pn −1
.
Так как
(1 − s ) − (1 − s )
γ1
γ1
= λkp11 ,
k1 +1
k1
(
) − (1 − s )
{(
) − (1 − s )
γj

 1 − sk j

p1
γj
p
p ⋅ 1
pj
j
 pj
λ
=

kj

k j +1
= λkpj1 , j = 2, n,
то
1 − sk
1
γ1
} {(
γ1
1 − sk2
k1 +1
(

× ... ×  1 − s k
n

) − (1 − s )
γn
γn
kn +1
Следовательно,
 
 ... 
 

 
+∞
+∞ > const ∑
kn =0
× λk1 ,...,kn
Кроме того,

 ∑ λt j
t j =k j
Но тогда
+∞
p1




p2 p1
1
γ
pj 
 j






+∞
∑
k2 =0
p3 p2

... 


≤ const

  +∞
skk11 p1 =  1 −  ∑ λt1
 t1 =k1

Аналогично,

c 
≥ 1 − ∗ 
 k2 
……………
skk22 p1
) − (1 − s )
k2 p1




γ2
γ2
k2 +1
p1
 pn


k1 = 0
p
×
p
a k1 ,...,kn
1
p1
2
n
1
2 ,..., k n
skk11 p1 skk22 p1 ...skknn p1 ×
pn pn−1
.
1
∗ ( p j −α j − 2)⋅α + 2− p
j
j
kj
( )
= const ⋅
k p
1
, j = 1, n .
k ∗j
11
k1 p1


c 
≥ 1 − ∗ 
→ e −cp1 > 0.
 
 
 k1 

1
γ

p1  1
p
= λk 1 λk 1 ...λk 1 = λk 1,k
+∞
∑
p
}
p1
p2
→ e− cp1 > 0,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
.

c 
≥  1 − ∗ 
 kn 
Следовательно,
kn p1
skknn p1
→ e −cp1 > 0.
pn
 
p2 p1  p3 p2
 pn −1

+∞ 
+∞  +∞

p
1
∑  ...  ∑  ∑ λk1,...,kn ak1,...,kn   ...  < +∞,


kn =0 

  k2 =0  k1 =0



r
r
p r
p
то есть λk1 ,...,kn - мультипликатор из H (α ) в l A . Теорема доказана.
r
r
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть p = ( p1 ,..., pn ) , ω = (ω1 ,..., ωn ) , 0 < p j ≤ 1 , ω j ∈ S , αω j < p j ,
{
}
n
j = 1, n , λk1 ,..., kn = ∏ λk j .
j =1
{λk ,...,k }
1
r r
r
- мультипликатор из H p (ω ) в l Ap
n
тогда и только
тогда, когда
p
p
p2 p1
 m2  m1
 3 2

p1
∑ ...  ∑  ∑ λk1,...,kn (k1∗ )2  (k2∗ )2  ...(kn∗ )2 =

kn =0  k2 = 0  k1 =0



p
pn
n


p
p2



1 






 ∗ pn ∗ pn

1
1
1
= O  (m1 ) (m2 ) ...(mn∗ ) pn ω1  ∗   ω2  ∗   ...ωn  ∗   .
(4)
m
m
m




 n 
  1    2 



Доказательство.
r r
r
Пусть λk1 ,...,kn - мультипликатор из H p (ω ) в l Ap . Тогда по теореме о замкнутом графике
mn
{
}


 +∞  +∞  +∞
 ∑ ...  ∑  ∑ λk1 ,...,kn ak1 ,...,kn
 kn =0  k2 =0  k1 =0


+∞
∑
f ( z ) = f ( z1 ,..., zn ) =
k1 ,...,kn = 0
Пусть
1
p1




p2 p1





p3 p2
 pn

...  ≤ const f


r r ,
H p (ω )
ak1 ,...,kn z1k1 ...znkn .
f ( z1 ,..., zn ) = g ( r1 z1 ,..., rn zn ) ,
r j < 1,
n
g ( z1 ,..., z n ) = ∏
j =1
1
(1 − z j )
j = 1, n . Тогда
g ( z1 ,..., zn ) =
+∞
∑
k1 ,...,kn = 0
bk1 ,...,kn z1k1 ... znkn , bk1 ,...,kn ∼ B(k1∗ ) β1 −1...(kn∗ )β n −1.
Используя оценку леммы А, получим:


 ω 1 − z ... ω 1 − z
r
f H p (ωr ) =  ∫ n (
n ) ∫ 2(
2
U
U


p2
p3
 n
)  ∫ ∏ 1
 U j =1 1 − r j z j

1
 p1
 p2
 pn


×ω1 (1 − z1 ) dm2 ( z1 )
dm2 ( z2 )
...dm2 ( zn )  =






PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
β j p1
×
βj
,
βj >
αω j + 2
pj
,
1
1
 ωn (1 − zn )
=∫
 U 1 − r z βn pn
n n

 pn  ω 1 − z
 p2
2(
2 )

dm2 ( zn )
...  ∫
dm2 ( z2 )  ×


 U 1 − r z β2 p2
2 2



1
1 pn
1 p2
 p1
 ω1 (1 − z1 )

ω
−
r

1
1

ω
−
r

(
)
(
)
n
n
2
2




× ∫
dm2 ( z1 )  ≤ const
×
...
( β 2 p2 − 2) / p2
( β n pn − 2) / pn

 U 1 − r z β1 p1
−
1
r
−
r
1
(
)
(
)
2
n
1 1


ω1 (1 − r1 )  1
×
.
(1 − r1 )( β1 p1 −2) / p1
1 p
Возьмем β j = 1 +
2 αω j + 2
>
, j = 1, n . Тогда
pj
pj
ωn (1 − rn ) 
f H pr (ωr ) ≤ const 
1 − rn
1 pn
Следовательно,

Nn 
 
∑  ... 

kn =0 
 
×rnkn p1





∑ 
k2 = 0 

N2
p2 p1




N1
∑ λk ,...,k
1
k1 =0
p3 p2
ωn (1 − rn ) 
×
1 − rn
Тем более

... 


p1
n
pn pn −1
ω2 (1 − r2 )
... 
1 − r2
1 p2
ω1 (1 − r1 ) 
1 − r1
1 p1
.
2
2
2
p1
p1
p1
∗ p1
∗ p2
∗ pn
(k1 )
(k 2 )
...(kn )
r1k1 p1 r2k2 p1 ... ×
ω1 (1 − r1 ) 
≤ const
1 − r1
ω2 (1 − r2 ) 
1 − r2
1 p2
1 p1
... ×
1 pn
r1N1 pn r2N2 pn ...rnN n pn
.
 
∗ 2
∑ (kn )  ... 
 
kn =0
 
Nn

∗ 2
∑ ( k2 ) 

k2 = 0

N2
N1
∑ λk ,...,k
k1 = 0
1
p1
n
(k1∗ )2




p2 p1




p3 p2

... 


pn pn −1
≤
ω1 (1 − r1 )  n 1 ω2 (1 − r2 )  n 2 ωn (1 − rn )
≤ const
...
.
(1 − r1 ) pn
(1 − r2 ) pn
(1 − rn ) pn
1
1
Положим rj = 1 − ∗ , если k ∗j ≥ 2, и rj = 1 − ∗ , если k ∗j = 1, j = 1, n . Тогда
kj
2k j
p
p
 N2  N1
∑ ...  ∑  ∑ λk1 ,...,kn
kn =0  k2 = 0  k1 =0

Nn
p
p1

(k1∗ )2 


p2 p1
p

∗ 2
( k2 ) 


p3 p2
pn
  1   p1
≤ const ( N1∗ ) pn ( N 2∗ ) pn ...( N n∗ ) pn ω1  ∗  
  N1  
Первая часть теоремы доказана. Докажем
r r
f ∈ H p (ω ) . Докажем, что
...(k n∗ )2 ≤
pn
  1   p2
 1 
ω2  ∗   ...ωn  ∗  .
 Nn 
  N 2  
теперь обратное утверждение. Пусть
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
pn
 
p2 p1  p3 p2
 pn −1

+∞ 
+∞  +∞

p
1
∑  ...  ∑  ∑ λk1,...,kn ak1 ,...,kn   ...  < +∞.


kn =0 

  k2 =0  k1 =0



По лемме 3 из (4) имеем:
+∞
 1 
pj
p −2
∑ λk j ≤ c(m∗j ) j ω j  m∗  , j = 1, n .
k j =m j
 j
+∞
s0 = 0 ,
Положим
1
p
 ∑ λt j
 t =k j
sk j = 1 −  j j
 ω j 1 − sk j

γ j

 ,


(
(
(
)
γ j = 2 − p j , j = 1, n . Так как 1 − sk j
)
γj
k j = 1, 2,3,... ,
)
+∞
∑
ω j 1 − sk j =
t j =k j
λt j
pj
λk j ≥ 0
+∞
∑
и
k j =0
pj
λk j
= 1,
и ω j ( t ) не обращается в
нуль на ( 0,1) , то при k j → +∞ sk j → 1, j = 1, n . По лемме 5 имеем:
1
γ n −1
∫ ωn (1 − rn )(1 − rn )
0


×M1p1 ( r1, r2,..., rn, f ) rdr
1 1


(
1
1
γ 2 −1 
γ −1

... ∫ ω2 (1 − r2 )(1 − r2 )
ω1 (1 − r1 )(1 − r1 ) 1 ×
∫


0
0
p2 p1
)

r2dr2 


p3 p2
...rn drn < +∞.
Так как M1 r1 , r2 ,..., rn , f ≥ r1k1 r2k2 ...rnkn ak1 ,...,kn , то
+∞ >
skn +1
+∞
∑ ∫
k =0
γ n −1
ωn (1 − rn )(1 − rn )
skn
n

×ω1 (1− r1 ) M1p1 ( r1, r2 ,..., rn , f ) dr1 



×


+∞ sk2 +1
∑ ∫
k =0
2
 
×  ... 
 

 

dr1 


+∞ sk2 +1
∑ ∫
k =0
2
sk2
p2 p1

dr2 


r2k2 p2 ω2

dr2 


+∞

γ 2 −1 

p3 p2
+∞ skn +1
...drn ≥
∑ ∫
k =0
+∞
sk1 +1
γ −1
1 − r1 )
×
(
∑
∫
 k =0
ω2 (1 − r2 )(1 − r2 )
sk2
2
1
1
sk1
ωn (1 − rn )(1 − rn )
γ n −1
... ×
skn
n
+∞ sk1 +1
γ 1 −1
ω1 (1 − r1 )(1 − r1 )
r1k1 p1 r2k2 p1 ...rnkn p1 ×
sk1
1
p3 p2
...drn =
sk2 +1
∑ ∫
k =0
∫
 k∑
=0

sk2
× ak1 ,...,kn

γ 2 −1 
ω2 (1 − r2 )(1 − r2 )
p1
p2 p1

...


+∞ skn +1
∑ ∫
k =0
n
γ 2 −1
(1 − r2 )(1 − r2 )
γ n −1
rnkn pn ωn (1 − rn )(1 − rn )
drn ×
skn

dr2 


+∞
∑
k1 =0
ak1 ,...,kn
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
p1
sk1 +1
γ −1 k p
∫ (1 − r1 ) r1 ×
1
sk1
1 1

×ω1 (1− r1 ) dr1 


 
×  ... 
 

 
p2 p1




p3 p2
sk2 +1
k2 p2
sk2
ω2
k2 = 0
sk2
+∞
∑
p2 p1




pn pn −1
skn +1
k n pn
skn
ωn
kn = 0
skn
+∞
≥
∑
∫
γ 2 −1
(1 − r2 )(1 − r2 )
∫

×ω1 (1− r1 ) dr1 



... 


p3 p2

... 



dr2 


(1 − rn )(1 − rn )γ n −1 drn ×
+∞
∑
ak1 ,...,kn
k1 =0
sk1 +1
p1
skk11 p1
γ −1
∫ (1 − r1 ) ×
1
sk1
pn pn−1
.
Оценим интеграл
sk j +1
∫
(
)(
ω j 1 − rj 1 − rj
)
γ j −1
dr j , j = 1, n .
sk j
sk +1
γ −1
∫ ω (1 − r )(1 − r )
dr =
∫
+
1− sk +1
∫
ω (u ) u
γ −1
du =
ω (u ) uγ
γ
1− sk +1
sk
1− sk
1− sk
1− sk
+
1− sk +1
ε (u )
uγ
ω (u )
du.
γ
u
Следовательно,
γ
1− sk
∫
1− sk
ω ( u ) uγ −1du −
uγ −1ω ( u ) ε ( u ) du = ω ( u ) u γ
∫
1− sk +1
1− sk +1
1− sk
1− sk +1
.
Так как γ = 2 − p > 1, то γ − αω > 0 (αω < 1) . Таким образом,
sk +1
γ
γ
γ −1
∫ ω (1 − r )(1 − r ) dr ≥ const ω (1 − sk )(1 − sk ) − ω (1 − sk +1 )(1 − sk +1 )  ,
sk
то есть
sk j +1
∫
(
)(
ω j 1 − r j 1 − rj
)
γ j −1
sk j
(
)(
− ω j 1 − sk j +1 1 − sk j +1
)
γj
Итак,
+∞
+∞ > const ∑
kn =0
× λk1 ,...,kn
p1




 
 ... 
 

 
p2 p1




+∞
∑
k2 =0
p3 p2
(
)(

drj ≥ const ω j 1 − sk j 1 − sk j


... 


)
γj
−
pj

 = const λk j , j = 1, n .




+∞
∑
k1 = 0
ak1 ,..., kn
p1
skk11 p1 skk22 p1 ...skknn p1 ×
pn pn−1
.
Оценим skk11 p1 , skk22 p1 ,…, skknn p1 . Для skk11 p1 имеем:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1
+∞
p1

λt1
∑
 t =k
1 − sk1 =  1 1
 ω1 1 − sk1

(
)
1
γ1
∗ p1 − 2
∗ γ1


ω1 1 k1 
 (k1 )
 ≤ const 
 .

 ω1 1 − sk1


(
(
)
)
Тогда
2− p
 1 1  1 
ω1 1 − sk1 1 − sk1
≤ const  ∗ 
ω1  ∗  .
k
 1
 k1 
Пусть Ψ ( t ) = ω1 ( t ) t 2− p1 . Тогда последнее неравенство равносильно неравенству
(
)(
)
2− p1
 с 
Ψ 1 − sk1 ≤ Ψ  ∗  .
 k1 
Вычислим Ψ′ ( t ) .
(
)
(5)
Ψ′ ( t ) = ( 2 − p1 ) ω1 ( t ) t1− p1 − ω1 ( t ) t 2− p1
Но ε ( t ) ≤ βω , поэтому
ε (t )
t
= ω1 ( t ) t1− p1 ( 2 − p1 − ε ( t ) ) .
Ψ′ ( t ) ≥ ω1 ( t ) t1− p1 ( 2 − p1 − βω ) > ω1 ( t ) t1− p1 (1 − p1 ) > 0, если t > 0.
Так как функция Ψ монотонно растет, то из оценки (5) следует, что
c
1 − sk1 ≤ ∗ .
k1
Аналогично,
c
c
1 − sk2 ≤ ∗ ,…, 1 − skn ≤ ∗ .
k2
kn
Таким образом,

+∞
p
  ∑ λt 1
1
  t =k
skk11 p1 = 1 −  1 1
  ω1 1 − sk1
 

Аналогично,
(

c 
≥ 1 − ∗ 
 k2 
……………
k2 p1

c 
≥  1 − ∗ 
 kn 
Следовательно,
kn p1
skk22 p1
skknn p1
1
γ1
)




k p1
1






→ e− cp1 > 0,
→ e −cp1 > 0.
 
+∞ 
+∞  +∞

...

∑  ∑  ∑ λk1 ,...,kn ak1 ,...,kn
kn =0 
  k2 =0  k1 =0

{
то есть λk1 ,...,kn
}
k p
1 1

c 
≥ 1 − ∗ 
→ e − cp1 > 0.
 k1 
p3 p2
pn
 pn −1

... 
< +∞,







r r
r
- мультипликатор из H p (ω ) в l Ap . Теорема доказана.
p1




p2 p1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Сформулируем несколько следствий основных теорем. Пусть p1 = p2 = ... = pn = p, тогда
r 
H p (ω ) =  f ∈ H U n : ∫ ω1 (1 − z1 ) ...ωn (1 − zn

Un
( )
)

p
f ( z1 ,..., zn ) dm2 n ( z1 ,..., zn ) < +∞  ,


+∞
l =  w = wk1 ,...,kn : ∑ wk1 ,...,kn

k1 ,...,kn = 0
(
p
)
p

< +∞  .

n
r
Следствие 1. Пусть ω = (ω1,..., ωn ) , 0 < p ≤ 1 , ω j ∈ S , αω j < p, j = 1, n , λk1 ,...,kn = ∏ λk j .
{λ
k1 ,...,kn
}
r
- мультипликатор из H p (ω ) в l p тогда и только тогда, когда
mn
m2
m1
∑ ... ∑ ∑ λk ,...,k
kn = 0
k2 = 0 k1 =0
1
p
n
j =1
(k1∗ )2 (k2∗ )2 ...(kn∗ ) 2 =

 1 
 1   1 
= O  (m1∗ ) p (m2∗ ) p ...(mn∗ ) p ω1  ∗  ω2  ∗  ...ωn  ∗   .
 m 

 m1   m2 
 n 

Положим для простоты n = 1.
Следствие 2. Пусть 0 < p ≤ 1 , ω ∈ S , αω < p . {λk } - мультипликатор из H p (ω ) в l p
тогда и только тогда, когда
m

 1 
p
∑ λk (k ∗ ) 2 = O  (m∗ ) p ω  m∗   .
k =0



α
В частном случае, если ω ( t ) = t , получаем следующее утверждение.
Следствие 3. Пусть 0 < p ≤ 1 , α < p, α > −1. {λk } - мультипликатор из H p (α ) в l p
тогда и только тогда, когда
m
∑ λk
p
(
)
(k ∗ ) 2 = O (m∗ ) p −α .
k =0
Как следствие теоремы 1 можно получить результат, установленный С.В.Шведенко (см.
[2]). Пусть


α
p
α
Aαp =  f ∈ H U n : ∫ (1 − z1 ) 1 ... (1 − zn ) n f ( z1 ,..., zn ) dm2 n ( z1 ,..., zn ) < +∞  .
Un


( )
Следствие 4. Пусть 0 < p ≤ 1 , α j < p , α j > −1 , j = 1, n . Если
f ( z1 ,..., zn ) =
принадлежит классу
Aαp ,
+∞
∑
k1 ,..., kn = 0
ak1 ,...,kn z1k1 ...znkn
то
+∞
∑
k1 ,..., kn =0
ak1 ,...,kn
p
α n + 3− p
( k1 + 1)α1 +3− p ... ( kn + 1)
≤c f
Aαp
.
Доказательство.
Докажем, что
λk1 ,...,kn =
1
( k1 + 1)
(α1 + 3− p ) p
... ( kn + 1)
(α n +3− p ) p
является мультипликатором из Aαp в l p . По следствию 1 это будет верно, если
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
mn
m1
kn =0
k1 = 0
∑ ... ∑
mn
=
( k ) ...( k )
∗ 2
1
α n +3− p
( k1 + 1)α1 +3− p ... ( kn + 1)
m1
∑ ... ∑
kn =0
∗ 2
n
k1 =0
≤
1
( k1 + 1)
α1 +1− p
... ( kn + 1)
α n +1− p
2
k1 + 1) ... ( kn + 1)
(
∑ ... ∑
α +3− p
α1 +3− p
... ( kn + 1) n
kn =0 k1 = 0 ( k1 + 1)
mn
2
m1
=
≤ cm1 p −α1 ...mn p −α n .
Так как p + 1 − α j > p − α j > 0, j = 1, n , то условие
mn
m1
∑ ... ∑
kn =0
k1 =0
1
( k1 + 1)
2
( k1 + 1) p +1−α1 ... ( kn + 1) p + −αn ≤ cm1 p −α1 ...mn p −α n
1
... ( kn + 1)
2
эквивалентно условию
+∞
∑
kn = mn
+∞
...
∑
k1 = m 1
1
( k1 + 1)2 ... ( kn + 1)
2
% 1 p −α1 −( p +1−α1 ) ...mn p −α n −( p +1−α n ) =
≤ cm
c%
,
m1...mn
которое, очевидно, выполняется. Утверждение доказано.
Из теоремы 3 следует, что если вместо α j + 3 − p брать β j < α j + 3 − p,
утверждение будет не верно.
The paper describes the multipliers of the form λk ,..., k =
n
1
n
∏ λk
j =1
r
p
j
r
of the space H (ω ) in space
The key words: holomorphic function, the unit polydisc, regularly varying functions in
r
r
H (ω ) , space l Ap , multipliers.
r
p
j = 1, n , то
r
l Ap .
(0,1] ,
space
Список литературы
1.Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в
анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций//Сиб. мат. журн. 1990.
Т. 31. № 2. С.197-215.
1.Шведенко С.В. О коэффициентах Тейлора функций из пространств Бергмана в
поликруге//Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 2. С.325-328.
2.Duren P.L., Theory of H p spaces, New York and London, Acad. press, 1970.
3.Duren P.L., Shields A.L., Coefficient multipliers of H p and B p spaces//Pacif. Yourn.
Math. 1970. V. 32. P.69-78.
4.Duren P.L., Shields A.L., Properties of H p ( 0 < p < 1 ) and its containing Banach
spaces//Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 141. P.255-262.
5.Oberlin D.M., Two multiplier theorems for H 1 (U 2 ) //Proc. Edin. Math. Soc. 1977. V.
22. № 1. P.43-47.
Об авторе
О. В. Ярославцева – канд. доц. Брянского государственного университета им.
академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
222 Кб
Теги
описание, пространство, мультипликатора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа