close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальные квадратурные формулы для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2012, том 55, №10
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев
ОПТИМАЛЬНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО
ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 28.09.2012 г.)
В работе рассматривается задача о приближѐнном вычислении криволинейного интеграла
первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности.
Ключевые слова: криволинейный интеграл первого рода – погрешность – верхняя грань – квадратурная формула – модуль непрерывности.
Пусть функция f ( M )  f ( x1  x2 … xm ) определена и интегрируема вдоль кривой   Rm и
J ( f )   f ( M )dt   f ( x1 x2 … xm )dt 

(1)

Предположим, что на кривой  установлено положительное направление, так что положение

точки M  M ( x1  x2 … xm ) на кривой может быть определено длиной дуги t  AM  отсчитываемой
от начальной точки A Тогда кривая  параметрически выразится уравнениями
x1  1 (t ) x2  2 (t )… xm  m (t ) (0  t  L)
а
функция
f ( x1  x2 … xm )
заданная
в
точках
кривой,
сведѐтся
(2)
к
сложной
функции
f 1 (t )2 (t )…m (t )  от переменной t В этом случае интеграл (1) запишется в виде следующего
определѐнного интеграла
L
J ( f )   f 1 (t ) 2 (t )… m (t ) dt 
(3)
0
Всякая кубатурная формула
N
J ( f )  N ( f  P T )   pk f (1 (tk ) 2 (tk )… m (tk ))
(4)
k 0
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр. 20, Худжандский государственный университет. E-mail: kamaridin.t54@mail.ru
775
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №10
для приближѐнного вычисления интеграла (3) задаѐтся векторами коэффициентов P  { pk }kN0 и узлов T  {tk  0  t0  t1  … t N  L} где p0  p1 … pN – произвольные действительные числа. При
фиксированном N  1 через  будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов
( P T ) либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требование точности формулы (4) на многочлены заданной
степени, положительность коэффициентов p k и др.).
Погрешность кубатурной формулы (4) обозначим
 RN ( f  P T )  J ( f )  N ( f  P T )  
Если M — некоторый класс функций { f (1 (t )  2 (t )…  m (t ))} определѐнных в точках
кривой  и интегрируемых как сложная функция параметра t на отрезке [0 L] то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем величину
RN (M P T )  sup   RN ( f  P T )  f  M
Пусть N( L) — класс кривых  заданных параметрическими уравнениями (2), длина которых не превосходит L Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций
M на классе кривых N( L) обозначим
RN (M N ( L) P T )  sup{RN (M P T )    N( L)}
Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций M и
кривых
N( L)
потребуем,
чтобы
формула
(4)
была
f (1 (t ) 2 (t )… m (t ))  const  то есть чтобы выполнялось равенство
точна
L
N
0
k 0
для
функции
 dt   pk  L Нижнюю
грань
N (M N ( L))  inf{RN (M N ( L) P T )  ( P T )  }
(5)
по аналогии с определением из монографии [1], будем называть оптимальной оценкой погрешности
квадратурной формулы (4) на классах функций M и кривых N( L) Если существует вектор
( P 0  T 0 )   для которого
N (M N( L))  RN (M N( L) P0  T 0 )
то этот вектор определяет наилучшую квадратурную формулу вида (4) в смысле С.М.Никольского [1]
на классах функций M и кривых N( L)
776
Математика
К.Тухлиев
В данной работе исследуются квадратурные формулы (4) с произвольными векторами коэффициентов P  { pk }kN0 и векторами узлов T  {tk  0  t0  t1  … t N  L} принадлежащими множеству  
Обозначим через H   H  [0 L] — множество функций  (t )  C[0 L] удовлетворяющих


условию   (t  )   (t  )    t   t    t   t   [0 L] где  ( ) – заданный модуль непрерывности, то
есть неубывающая полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через  1 …m обозначим класс
гладких кривых   R m  заданных параметрическими уравнениями (2), у которых координатные
функции i (t )  H i [0 L] i  1 2… m то есть i (t ) — непрерывные на отрезке [0 L] функции,
имеющие мажорантой модуля непрерывности  (i   ) заданный модуль непрерывности i ( ) . В
случае, когда 1 (t )  2 (t )    m (t )   (t ) , то класс кривых обозначим  m .
Решение экстремальной задачи (5) существенно зависит от выбора метрики в R m  Если
M   M ( x1  x2 … xm )  Rm  M   M ( x1  x2 … xm )  Rm  то введѐм в рассмотрение следующие метрики:
m
 x  x
a) хэммингово расстояние 1 ( M   M  ) 
b) евклидово расстояние  2 ( M  M ) 



i
i 1

i
1 2
  2 
i  

 m

 

 i


 i 1


x x

c) расстояние Минковского 3 (M   M  )  max  xi  xi  
1i m
Через M обозначим класс функций f ( M )  f ( x1  x2 … xm ) определѐнных на кривых


   1 …m и для любых двух точек M  M   удовлетворяющих условию
 f ( M  )  f ( M  )   ( M   M  )
где  ( M  M ) есть одно из перечисленных выше расстояний a) – c).


Таким
образом,
будем
писать
f (M )  M 1 
если
для
M   M      1 …m выполняется неравенство
m
 f ( M  )  f ( M  )    xi  xi 
i 1
   i (t  )  i (t  )   i  t   t    t   t   [0 L]
m
m
i 1
i 1
а если f (M )  M 2  то имеем
777
любых
двух
точек
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №10
1 2
m

 f ( M )  f ( M )   i2  t   t     t   t   [0 L]
 i 1



Сформулируем основной результат работы.
Теорема Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов ( P T ) , P  { pk }kN0  T  {tk  0  t0  t1  t2  … tN  L} наилучшей для классов функций Mi  (i  1 2 3) и кривых  1 …m является формула трапеций, у которой наилучшие векторы
коэффициентов
и
узлов
имеют
P0  { pk0  L  N  k  1 N  1 p0  pN  L  (2 N )} ,
вид
T 0  {tk0  kL  N}kN0 . При этом для погрешности наилучшей формулы на классах функций
Mi  (i  1 2 3) и кривых  1 …m справедливы точные оценки
m L  (2 N )
N  M 1   1 …m   (2 N )



i 1




N M  2  
1 …m
L  (2 N )




 (2 N )

0




 N M 3  
1 …m
1 2
m 2 
 i (t )  dt 
 i 1

L  (2 N )




 (2 N )
i (t )dt
0

max  (t) dt
1i  m
0
i
Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства
N  M 1    m   2mN
L  (2 N )

 (t )dt
0
N  M 2    m   2 mN
L  (2 N )

 (t )dt 
0


N 
M 3  
 m 


L  (2 N )
 2N

 (t )dt
0
Поступило 28.09.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.: Наука, 1979.
2. Корнейчук Н.П. Матем. заметки, 1968, т.3, №5, с.565-576.
3. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952.
778
Математика
К.Тухлиев
К.Тухлиев
ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ ОПТИМАЛЇ БАРОИ ЊИСОБИ
ТАЌРИБИИ ИНТЕГРАЛЊОИ КАЉХАТТАИ ЉИНСИ ЯКУМ
Донишгоњи давлатии Хуљанд ба номи Б.Ѓафуров
Дар маќола масъалаи њисобкунии таќрибии интегралњои каљхаттаи љинси якум барои
баъзе синфи функсияњо ва хатњои каљи фазої, ки ба воситаи модулњои бефосилаги дода шудаанд, омўхта шудааст.
Калимањои калидї: интеграли каљхаттаи навъи якум – хатогї – сарњади њаниќи болоии – формулаи квадратурї – модули бефосилагї.
K.Tukhliev
OPTIMAL QUADRATURE FORMULAS FOR APPROXIMATE CALCULATION
OF CURVILINEAR INTEGRALS OF FIRST KIND
B.Gafurov State University of Khujand
In this paper for curvilinear integral of first kind for some classes of functions and classes of space
curvilinear given by modulus of continuity is considered an approximate calculation problem.
Key words: curvilinear integral of first kind – error – upper boundary – quadrature formula – modulus of
continuity.
779
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
312 Кб
Теги
первого, интеграл, рода, оптимальное, вычисления, формула, приближённого, квадратурные, криволинейных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа