close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОБЛЕМЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ Nn НА МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА.

код для вставкиСкачать
168
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №7(57)
УДК 512.7
ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОБЛЕМЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ nα
НА МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА1
© 2007
А.В. Шутов2
В работе получены точные по порядку оценки остаточного члена
проблемы распределения дробных долей nα на интервалах ограниченного остатка.
Введение
Пусть α — иррационально. Г. Вейль доказал [1], что дробные доли последовательности {nα} равномерно распределены по модулю 1. Пусть I =
= [a; b) ⊂ [0; 1),
N(α, a, n, I) = {i : 0 < i n, α ∈ I},
r(α, a, n, I) = N(α, a, n, I) − n|I|,
и · — дробная доля числа. Тогда теорема Вейля означает, что
r(α, a, n, I) = o(n).
Величина r(α, a, n, I) называется остаточным членом проблемы распределения дробных долей.
Гекке в работе [11] рассмотрел интервалы ограниченнного остатка, для
которых supa,n |r(α, a, n, I)| < ∞. Полное описание таких интервалов было найдено Кестеном [12]. Оказалось, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |I| ∈ α + . При этом справедливо неравенство
|r(α, a, n, I)| |h(I)|,
(1)
где h(I) — единственное целое число, удовлетворяющее условию |I| −
− h(I)α ∈ . Доказательство оценки (1) можно найти в работах [11], [15].
Введем величину
r(α, h) =
1
sup
sup |r(α, a, n, I)|.
I:|I|∈α+,|h(I)|=h a,n
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 05-01-00435.
Шутов Антон Владимирович (shutov@vgpu.vladimir.ru), кафедра информатики
Владимирского государственного педагогического университета, 600024, Россия, г. Владимир, пр-т Строителей, 11.
2
Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей nα. . .
169
Тогда оценка (1) запишется в виде
r(α, h) h.
(2)
Кестен высказал предположение о возможности существенного улучшения оценки (2). Многочисленные примеры таких улучшений для различных
α и h можно найти в работах [3, 4, 7, 10, 16]. Цель данной работы — доказательство точных по порядку оценок r(α, h) для всех α, h.
Содержание работы. §2 содержит оценку сверху для r(α, h) в терминах разложения α в цепную дробь. §3 содержит доказательство того, что
оценка из §2 в некотором смысле не может быть улучшена. В §4 доказан
аналог теоремы Хинчина, устанавливающий точный порядок роста r(α, h)
для почти всех α. В §5 для функции r(α, h) доказываются некоторые аналоги теоремы Ярника, то есть оценивается размерность по Хаусдорфу множеств, для которых функция r(α, h) имеет заданный рост.
1. Верхние оценки
Лемма 1. Пусть I = [a; b) ⊂ [0; 1) и χI (x) — характеристическая функция I.
Тогда
(3)
χI (x) = x − b − x − a + |I|.
Доказательство можно найти в работе [13].
Лемма 2. Пусть I = [0; γ), Cn (α, γ) = ni=1 (iα + γ − 12 ). Тогда
r(α, a, n, I) = Cn (α, a − γ) − Cn (α, a).
(4)
Доказательство получается непосредственным вычислением с использованием (3).
Теорема 1. Справедливо неравенство
r(α, h) 2 sup |Cn (α, γ)|.
γ
(5)
Доказательство. Вначале заметим, что без ограничения общности
можно положить I = [0; ±hα). Действительно, пусть I1 = [a0 ; a0 + ±hα).
Тогда x ∈ I1 тогда и только тогда, когда x − a0 ∈ I и, следовательно,
r(α, a, n, I1 ) = r(α, a − a0 , n, I).
Пусть I = [0; −hα). Тогда из (4) находим r(α, a, n, I) = Cn (α, a + hα) −
− Cn (α, a) = ni=1 (i + h)α + a − ni=1 iα + a = ni=n−h+1 (i + h)α + a − hi=1 iα + a =
n
h
= i=1 iα + nα + a − i=1 iα + a = Ch (α, nα + a) − Ch (α, a). Отсюда,
|r(α, a, n, I)| Ch (α, nα + a) + Ch (α, a)
и
sup |r(α, a, n, I)| 2 sup |Cn (α, γ)|.
a,n
γ
Случай I = [0; hα) рассматривается полностью аналогично.
170
А.В. Шутов
Пусть разложение α в цепную дробь имеет вид α = [0; q1 , q2 , . . .] и {
последовательность подходящих дробей к α. Пусть
Pn
}—
Qn
k
k
zi Qi−1 = n}.
l(α, n) = min{ |zi | : zi ∈ ,
i=1
i=1
В [6] было доказано, что
3
|Cn (α, γ)| l(α, n).
2
(6)
Теорема 2. Справедливо неравенство
r(α, h) 3l(α, h).
(7)
Доказательство немедленно следует из (5) и (6).
Теорема 3. Справедливо неравенство
max r(α, h) 3
1hQt
t
qi .
(8)
i=1
Доказательство. Заметим, что любое h < Qt может быть представлено
в виде h = ti=1 zi Qi−1 , где
1) 0 z1 q1 − 1;
2) 0 zi qi при 2 i t;
3) если zi = qi , то zi−1 = 0.
Такое разложение называется разложением Цеккендорфа. Из его существования сразу следует, что для h Qt выполняется неравенство l(α, h) ti=1 qi . Далее остается использовать оценку (7).
В работе [14] было доказано, что
r
1
|Cn (α, γ)| < 4n 1+r f 1+r (n) ln 3n
(9)
для любых r > 0 и неубывающей функции f (x) таких, что
q1+r f (q)||qα|| > 1
(10)
для всех q. Из (5) и (9) немедленно вытекает следующий результат.
Теорема 4. Пусть r > 0 и неубывающая функция f (x) таковы, что выполняется условие (10). Тогда
r
1
r(α, h) < 8h 1+r f 1+r (h) ln 3h.
(11)
Далее, Используя теорему Туэ–Зигеля–Рота, получаем
Следствие 1. Пусть α — алгебраическое число. Тогда для любого ε > 0
справедливо неравенство
r(α, h) = O(hε ).
Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей nα. . .
171
2. Нижние оценки
Лемма 3. Пусть I = [0; −hα), Jn = [0; 1 − nα). Тогда
r(α, a, n, I) = r(α, a, h, Jn ).
(12)
Доказательство получается непосредственным вычислением остатков
по формуле (4).
Лемма 4. Пусть I = [0; γ), 1 − γ = ∞
i=1 ci ||Qi α||, ci ∈ , причем
1) 0 ci qi ;
2) если ci = qi , то ci+1 = 0;
3) ci qi для бесконечно многих i.
Тогда
t
ci
ci
(1 − )qi + E1 (t),
(13)
max r(α, 0, n, I) =
1nQt
qi
qi
i=1,i — нечетно
t
ci
ci
min r(α, 0, n, I) = −
(1 − )qi − E2 (t),
(14)
1nQt
qi
qi
i=1,i — четно
причем
1
(15)
−(t + 1) Ei (t) (5t + 1).
2
Доказательство можно найти в [14].
Пусть
sup
sup r(α, a, n, I),
r+ (α, h) =
I:|I|∈α+,|h(I)|=h a,n
r− (α, h) =
inf
inf r(α, a, n, I),
I:|I|∈α+,|h(I)|=h a,n
Теорема 5. Справедливы неравенства
max r+ (α, h) 1hQt
1
4
min r+ (α, h) −
1hQt
t
i=1,i
1
4
— нечетно
t
i=1,i
— четно
Доказательство. Из леммы 3 следует, что
3
qi − t − 1,
2
(16)
3
qi + t + 1.
2
(17)
r+ (α, h) r(α, a, h, Jn ),
и
r− (α, h) r(α, a, h, Jn )
для всех n. Далее, из равномерной распределенности последовательности
{nα} по модулю 1 вытекает, что для произвольных c1 , . . . , ct , удовлетворяющих условиям леммы 4 можно выбрать n, для которого данные числа c1 , . . . , ct будут первыми t коэффициентами разложения 1 − nα =
qi
= ∞
i=1 ci ||Qi α||. Выбирая ci = [ ] для всех i t, и подставляя соответствую2
щие значения ci в формулы (13), (14), получим, с учетом (15), требуемый
результат.
172
А.В. Шутов
Из доказанной теоремы немедленно вытекает два следствия.
Теорема 6. Справедливо неравенство
max r(α, h) 1hQt
1
max{
4
t
i=1,i
t
qi ,
— нечетно
i=1,i
— четно
3
qi } − t − 1.
2
(18)
Теорема 7. Справедливо неравенство
1
3
qi − t − 1.
max r(α, h) 1hQt
8 i=1
2
t
(19)
3. Теорема типа Хинчина
Предложение 1. Пусть ψ(x) — положительная возрастающая функция.
Тогда
n
qi = O(ψ(n))
i=1
∞
1
сходится.
nψ(n)
n=1
Предложение 2. Для почти всех α выполняется равенство
тогда и только тогда, когда ряд
π2
ln Qn
=
.
n→∞ n
12 ln 2
Доказательство предложений 1, 2 можно найти в [5].
Из предложений 1, 2 и теорем 3, 7 немедленно вытекает следующий
результат.
Теорема 8. Пусть ψ(x) — положительная возрастающая функция и
lim
A(ψ) = {α ∈ [0; 1) : r(α, h) = O(ln hψ(ln h)).
Тогда
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
|A(ψ)| = ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0,
⎪
⎪
⎩
ряд
∞
n=1
ряд
∞
n=1
1
сходится,
nψ(n)
1
расходится.
nψ(n)
(20)
Следствие 2. Для почти всех α и любого ε > 0 справедливо неравенство
r(α, h) = O(ln h(ln ln h)1+ε ).
(21)
Доказательство следует из (20) с ψ(x) = (ln x)1+ε .
4. Теорема типа Ярника
Предложение 3. Пусть ψ(x) — положительная возрастающая функция,
W(ψ) = {α ∈ [0; 1) : ||qα|| < ψ(q) для бесконечно многих q},
173
Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей nα. . .
λ = lim inf
n→∞
Тогда
dimH W(ψ) =
− ln ψ(n)
.
ln n
2
λ+1 ,
1,
λ > 1,
λ 1.
(22)
Доказательство можно найти в [2].
Теорема 9. Пусть f (x) — полжительная возрастающая функция,
f (x)
= 0 для любого ε > 0. Пусть c ∈ [0; 1] и
lim x→+∞ f (x) = +∞, lim
x→+∞ xε
r(α, h)
> 8}.
(23)
B1c = {α ∈ [0; 1) : lim sup c
h
f
(h) ln 3h
h→∞
Тогда справедливо неравенство
dimH B1c 2(1 − c)
.
2−c
Доказательство. Выбирая f1 (x) = f 1−c (x) и r =
r
(24)
c
, находим, что
1−c
1
B1c = {α ∈ [0; 1) : r(α, h) > 8h 1+r f11+r (h) ln 3h для бесконечно многих h}.
Рассмотрим множество
S r1 = {α ∈ [0; 1) : q1+r f1 (q)||qα|| < 1 для бесконечно многих q}.
Тогда из теоремы 4 следует, что B1c ⊆ S r1 . Следовательно, dimH B1c dimH S r1 . Вычисляя dimH S r1 по формуле (21), получаем требуемый результат.
Теорема 10. Пусть c ∈ [0; 1] и
1
r(α, h)
(25)
}.
B2c = {α ∈ [0; 1) : lim sup
c
h
32
h→∞
Тогда справедливо неравенство
dimH B2c Доказательство. Пусть r =
c
1−c
2(1 − c)
.
2−c
(26)
и
S r2 = {α ∈ [0; 1) : q1+r ||qα|| < 1 для бесконечно многих q}.
Выберем α ∈ S r2 . Тогда, согласно [14], существует бесконечная последоваr
. Из (19) находим max r(α, h) тельность {tk } для которой Qtk −1 < 2Qt1+r
k
tk
1hQtk
1
1 Qt
(qi − 12) − 1 (qtk − 12) − 1 ( k − 13) − 1. Отсюда находим, что для
8
8
Qtk −1
i=1
r
1 r+1
Qtk =
достаточно больших k выполняется неравенство max r(α, h) 1hQtk
32
1 c
1 c
Q . Следовательно, неравенство r(α, h) h выполняется для беско=
32 tk
32
нечно многих h. Таким образом, S r2 ⊆ B2c и dimH B2c dimH S r2 . Вычисляя
dimH S r2 по формуле (21), получаем требуемый результат.
1
8
174
А.В. Шутов
Теоремы 9 и 10 позволяют высказать следующую гипотезу.
Гипотеза. Пусть c ∈ [0; 1] и
B3c = {α ∈ [0; 1) : lim sup
r(α, h)
> 0},
hc
B4c = {α ∈ [0; 1) : lim sup
r(α, h)
= ∞}.
hc
h→∞
h→∞
Тогда справедливо равенство
dimH B3c = dimH B4c =
2(1 − c)
.
2−c
Литература
[1] Вейль, Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Г. Вейль
Избранные труды. – М.: Наука. – 1984. – С. 58–93.
[2] Додсон, М.М. Геометрические и вероятностные идеи в метрической теории диофантовых приближений / М.М. Додсон // Успехи математических наук. – 1993. – Т. 48. – Вып. 5(293). – С. 77–106.
[3] Журавлев, В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи / В.Г. Журавлев //
Изв. РАН. Сер. матем. – 2007. – Т. 71. – Вып. 2. -С. 287–321.
[4] Мануйлов, Н.Н. Число попаданий точек последовательности {nτg } в полуинтервал / Н.Н. Мануйлов // Чебышевский сборник. – Тула: Изд-во
ТГПУ. – 2004. – Т. 5. – Вып. 3. – С. 72–81.
[5] Хинчин, А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин. – М.:Физматлит. – 1961. –
112 с.
[6] Шутов, А.В. О минимальных системах счисления / А.В. Шутов //
Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и
смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. – Саратов: Из-во Саратовского университета. – 2007. – Вып 4. – С. 125–138.
[7] Шутов, А.В. О распределении дробных долей / А.В. Шутов // Чебышевский сборник. – Тула: Изд-во ТГПУ. – 2004. – Т. 5. – Вып. 3. –
С. 112–121.
[8] Шутов, А.В. О распределении дробных долей II / А.В. Шутов //
Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и
смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. – Саратов: Из-во Саратовского Университета. – 2005. – Вып 3. – С. 146–158.
[9] Шутов, А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка /
А.В. Шутов // Сборник трудов конференции ”Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел” (в печати).
[10] Bonanno, C. Diffusion and discrepancy of the sequence (nα) / C. Bonanno,
S. Isola. (В печати).
Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей nα. . .
175
[11] Hecke, E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod
Eins / E. Hecke // Math.Sem.Hamburg Univ. – 1921. – V. 5. – P. 54–76.
[12] Kesten, H. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 / H. Kesten // Acta Arithmetica. – 1966. – V. 12. –
P. 193–212.
[13] Liardet, P. Regularities of distribution / P. Liardet // Compositio Math. –
1987. – V. 61. – P. 267–293.
[14] Pinner, C.G. On Sums of Fractional Parts {nα + γ} / C.G. Pinner //
J.Number Theory. – 1997. – V. 65. – P. 48–73.
[15] Ostrowski A. Math. Miszellen XVI//Notiz zur Theorie der Diophantischen
Approximationen und zur Theorie der linearen Diophantischen Approximationen / A. Ostrowski // Jahresber. d. Deutschen Math. Ver. – 1939. –
V. 39. – P. 34–46.
[16] Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem / A.V. Shutov //
Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E. Manstavičisus et al.
Vilnius: TEV. – 2007.
Поступила в редакцию 17/IX/2007;
в окончательном варианте — 17/IX/2007.
OPTIMUM ESTIMATES IN THE PROBLEM
OF THE DISTRIBUTION OF FRACTIONAL PARTS
OF THE SEQUENCE nα
© 2007
A.V. Shutov3
In the paper a remainder term in the problem of the distribution of
fractional parts of the sequence nα with irrational α is considered. In
the case of bounded remainder interval we prove new estimates of this
remainder term. The estimates are exact with respect to the order.
Paper received 17/IX/2007.
Paper accepted 17/IX/2007.
3
Shutov Anton Vladomirovich (shutov@vgpu.vladimir.ru), Dept. of Informatics, Vladimir State Pedagogical University, Vladimir, 600024, Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
241 Кб
Теги
остатки, дробных, оптимальное, оценки, долей, множества, проблемы, распределение, ограниченной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа