close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальные по порядку скорости сходимости кусочно-равномерные сетки для сингулярно возмущенных уравнений конвекции--диффузии.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (478)
УДК 519.632/633
Г.И. ШИШКИН
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПОРЯДКУ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
КУСОЧНО-РАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОНВЕКЦИИ{ДИФФУЗИИ
1. Введение
В настоящее время для сингулярно возмущенных краевых задач достаточно хорошо разработаны специальные численные методы, которые в отличие от методов, развитых для регулярных
краевых задач [1], [2], позволяют находить сеточные решения, сходящиеся равномерно относительно возмущающего параметра " (или "-равномерно). При построении "-равномерно сходящихся разностных схем традиционно используются методы подгонки и методы сгущающихся
сеток (см., напр., [3]{[10] и библиографию к ним).
Достоинство методов подгонки [4], [5] заключается в возможности использовать простейшие равномерные сетки. Однако такие схемы имеют ограниченную область применимости. Как
показано в [6], для сингулярно возмущенных задач с параболическим пограничным слоем не
существует схем подгонки, сходящихся на равномерных сетках "-равномерно; следовательно,
применение сеток, сгущающихся в погранслое, является необходимым условием для достижения "-равномерной сходимости.
В методе сгущающихся сеток на сетках Н.С. Бахвалова [3] шаг сетки изменяется постепенно.
Такого типа сетки в случае задач конвекции-диффузии позволяют получить первый порядок
"-равномерной скорости сходимости [11] | такой же, как и в регулярных краевых задачах (при
использовании монотонных разностных аппроксимаций с первыми направленными разностными
производными [2]). Кусочно-равномерные (наиболее простые) сетки, сгущающиеся в погранслое,
использовались в [6], [7], [10], [12] (см. также библиографию в [6]{[10]). Разностные схемы на
этих сетках в случае задач конвекции{диффузии сходятся "-равномерно с первым порядком (с
точностью до логарифмического сомножителя, растущего с ростом числа узлов сетки). Таким
образом, "-равномерная скорость сходимости оказывается ниже, чем скорость сходимости в
случае регулярных краевых задач.
В связи с этим обстоятельством возникает интерес улучшить кусочно-равномерные сетки
из [6], [7], [10], [12] с тем, чтобы повысить "-равномерный порядок сходимости. Особый интерес появляется к построению улучшенных сеток на классе кусочно-равномерных сеток. К настоящему моменту предложены различные варианты улучшенных сеток, однако с постепенно
изменяющимся шагом в слое (см., напр., [13]{[15], а также обзор в [16]); результаты получены,
в основном, для обыкновенных дифференциальных уравнений в "-взвешенных энергетических
нормах (в таких нормах пограничный слой, конечный в l1 -норме, в случае уравнений в частных
производных стремится к нулю при стремлении параметра " к нулю). Улучшение же сеток из [6],
[7], [10], [12] на классах кусочно-равномерных сеток практически не рассматривалось; отметим
лишь работу [17], где исследовалось семейство оптимальных (по порядку скорости сходимости)
кусочно-равномерных сеток для задач с преобладающей конвекцией.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта Є 98-01-00362).
60
В данной работе рассматривается задача Дирихле на прямоугольнике для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения типа конвекции{диффузии. Для краевой задачи строится
"-равномерно сходящаяся разностная схема; при построении схемы используется классическая
(монотонная) разностная аппроксимация краевой задачи на кусочно-равномерных сетках. В
отличие от аналогичных сеток из [6], [7], [10], [12] и [17], имеющих одну точку смены шага в
окрестности пограничного слоя (или одну точку перехода), в этой работе применяются сетки
с k 1 точками перехода, причем число узлов на каждом участке сетки с постоянным шагом
(по каждой переменной) одинаково. Построена сетка, на которой схема сходится "-равномерно
со скоростью O(N ;1 ln
: : ln} N ), что лучше скорости сходимости схем на сетках с одной точкой
| :{z
k
перехода; здесь N = min[N1 ; N2 ], Ns + 1 | число узлов сетки по пространственной переменной
xs. На классе таких сеток с k точками перехода указанный "-равномерный порядок скорости
сходимости неулучшаем.
Таким образом, оказывается, что с точностью до сомножителя | повторного логарифма
кратности k от величины N | скорость "-равномерной сходимости на кусочно-равномерных
сетках с k точками перехода такая же, как и для регулярной задачи на равномерных сетках.
Подобный результат получен и для параболического уравнения типа конвекции{диффузии на
прямоугольнике. Заметим, что в случае специальных схем на кусочно-равномерных сетках увеличение числа точек перехода позволяет улучшить "-равномерную скорость сходимости схем и
для сингулярно возмущенных задач реакции{диффузии.
2. Постановка задачи
На прямоугольнике D, где
D = fx : 0 < xs < ds ; s = 1; 2g;
рассмотрим краевую задачу для уравнения эллиптического типа 1
L(2:2) u(x) = f (x); x 2 D; u(x) = '(x); x 2 ;:
Здесь ; = D n D, L(2:2) u(x) fL2 + L1 gu(x),
L "
2
X
s=1;2
@ ; L as (x) @x
2
1
2
s
X
s=1;2
(2.1)
(2.2)
bs (x) @x@ ; c(x);
s
функции as (x), bs (x), c(x), f (x), s = 1; 2, а также '(x) достаточно гладкие на множествах D и
;j соответственно, j = 1; : : : ; 4, ' 2 C (; ). Здесь ;j | стороны множества D. Коэффициенты
уравнения удовлетворяют условию
a0 as(x) a0 ; b0 bs(x) b0 ; 0 c(x) c0; x 2 D; s = 1; 2;
(2.3)
a0 , b0 > 0; параметр " принимает произвольные значения из полуинтервала (0; 1].T
При " ! 0 в окрестности гладких частей ;1 и ;2 границы ; и множества ;1 ;2 появляются соответственно одномерные (регулярные) и двумерные (эллиптические) пограничные слои.
4
S
Здесь ; = ;j , стороны ;s , ;s+2 ортогональны оси xs , s = 1; 2, стороны ;1 , ;2 содержат точку
j =1
(0; 0), ;j замкнуты.
Для простоты предполагаем, что на множестве ; | множестве угловых точек | выполнены
условия согласования, обеспечивающие достаточную гладкость решений краевой задачи при
фиксированных значениях параметра ".
При исследовании решений краевых задач и разностных схем применяется техника мажорантных функций (см., напр., [2], [18]).
1
Запись
L(j:k) (или M(j:k) ) означает, что этот оператор (постоянная) введен в формуле (j:k).
61
3. Разностная схема на сетке с одной точкой перехода
Рассмотрим разностную схему на кусочно-равномерной сетке в том случае, когда сетка по
каждой переменной в окрестности пограничного слоя имеет одну точку смены шага сетки |
одну точку перехода.
1. Предварительно приведем некоторые результаты в случае равномерных сеток и сеток с
произвольным распределением узлов.
На множестве D введем сетку
Dh = !1 ! 2 ;
(3.1)
здесь !s | вообще говоря, неравномерная сетка на отрезке [0; ds ]. Пусть Ns + 1 | число ее
his , h = max
hs , s = 1; 2. Считаем
узлов, s = 1; 2. Полагаем his = xis+1 ; xis , xis ; xis+1 2 !s , hs = max
s
i
выполненным условие 1 h MN ;1 , где N = min[N1 ; N2 ]. На сетке Dh краевой задаче (2.2), (2.1)
сопоставим разностную схему [2]
X
z (x) "
s=1;2
as (x)xs xsb +
X
s=1;2
bs (x)xs ; c(x) z (x) = f (x); x 2 Dh;
(3.2)
z (x) = '(x); x 2 ;h:
Здесь Dh = D Dh , ;h = ; Dh , xs z (x) и xs xsb z (x) | первая (направленная) и вторая разностные производные на неравномерной сетке; например, x xb z (x) = 2(hi + hi; ); [x z (x) ; x z (x)],
x 2 Dh , x = (xi ; x ).
Разностная схема (3.2), (3.1) является монотонной [2] "-равномерно на сетке с произвольным
T
T
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2
распределением узлов.
Для решений разностной схемы (3.2), (3.1) справедлива оценка
ju(x) ; z(x)j MN ;1(" + N ;1);2 ; x 2 Dh:
В случае сетки
Dhp ;
(3.3)
(3.4)
равномерной по обеим переменным, имеем оценку
ju(x) ; z(x)j MN ;1(" + N ;1);1; x 2 Dhp:
(3.5)
Определение 3.1. Пусть для функции z (x), x 2 D h , | решения некоторой разностной
схемы | выполняется оценка
ju(x) ; z(x)j 11; x 2 Dh;
(3.6)
где 1 = 1 (N ;1 ), 1 = 1 (N ;1 ; "), причем 1 (N ;1 ) ! 0 при N ! 1, а 1 (N ;1 ; ") ! 1 при
N ! 1 и " ! 0; 11 M . Будем говорить, что оценка (3.6) неулучшаема по вхождению
величин N и ", если оценка
ju(x) ; z(x)j 22; x 2 Dh;
вообще говоря, неверна при условии 2 2 = o(1 1 ).
Оценка (3.5) неулучшаема по вхождению величин N и ".
2. Рассмотрим разностную схему на кусочно-равномерных сетках. На множестве D введем
сетку
Dh = !1 !2 :
(3.7a)
1
Здесь и ниже через
M (m) обозначаем достаточно большие (малые) положительные постоянные, не
" и от параметров шаблонов используемых схем.
зависящие от величины параметра
62
Здесь !s | сетка с кусочно-постоянным шагом; сетка !s имеет одну точку смены шага на интервале (0; ds ), s = 1; 2. Построим сетку !s , s = 1; 2. Отрезок [0; ds ] разобьем на две части [0; s ],
[s ; ds ], s | параметр из интервала (0; ds ). На каждом интервале разбиения шаг сетки постоя;1
(2)
;1
нен и равен h(1)
s = 2s Ns и hs = 2(ds ; s )Ns на интервалах [0; s ] и [s ; ds ] соответственно.
Сетки !s = !s (s ), а тем самым и Dh = Dh (1 ; 2 ) построены. Параметр s определяет точку
смены шага сетки !s = !s (s ) | точку перехода.
Сетки Dh (1 ; 2 ), где параметры s принимают произвольные значения из интервалов (0; ds ),
s = 1; 2, образуют класс сеток с одной точкой перехода (на порождающих сетках !s , s = 1; 2)
| класс
fDhg(3:7):
(3.7б)
Введем сетку [6]
Dh = ! ! ;
(3.8a)
(s ) при условии, что параметр s , определяющий точку перехода (в окрестности
0
0
1
0
2
здесь !s0 = !(3 :7)
пограничного слоя), задается соотношением
s = s ("; Ns ; ds ) = min[2;1 ds ; m;1 " ln Ns ]; s = 1; 2;
(3.8б)
где m = m(5:6) ; Dh0 = Dh0 (m); сетка Dh0 из класса fDh g(3:7) .
Для решений разностной схемы (3.2), (3.8) справедлива оценка (напр., [6])
ju(x) ; z(x)j MN ; ln; N; x 2 Dh :
1
0
1
(3.9)
Эта "-равномерная оценка неулучшаема по вхождению N .
Пусть на сетке D1h из некоторого класса сеток fDh g для решений разностной схемы выполняется оценка ju(x) ; z (x)j 1 , x 2 D1h , где 1 = 1 (N ;1 ) ! 0
равномерно по " при N ! 1. Скажем, что сетка D1h является оптимальной по порядку "равномерной сходимости, если не существует сеток из класса fDh g, на которых выполняется
оценка ju(x) ; z (x)j 2 , x 2 Dh , при 2 = o(1 ).
С использованием техники работы [6] (примененной при анализе необходимых условий "равномерной сходимости схем) показывается, что для разностной схемы (3.2) на сетках из
класса (3.7) не существует сеток, для которых скорость "-равномерной сходимости выше, чем
O(N ;1 ln N ). Таким образом, сетка (3.8) является оптимальной.
Теорема 3.1. Пусть для решения краевой задачи (2:2), (2:1) выполняются априорные оценки (5:6), (5:8), (5:9) (из x 5 ниже). Тогда решение разностной схемы (3:2), (3:8) при N ! 1
сходится к решению краевой задачи со скоростью O(N ;1 ln N ) "-равномерно. На классе сеток
(3:7) сетка (3:8) является оптимальной по порядку "-равномерной сходимости. Для сеточных
решений справедливы оценки (3:3), (3:5), (3:9); оценки (3:5) и (3:9) неулучшаемы по вхождению
величин N , " и N соответственно.
Определение 3.2.
4. Разностная схема на сетках с несколькими точками перехода
Рассмотрим разностную схему (3.2) на кусочно-равномерных сетках в том случае, когда
порождающие сетки !s имеют несколько точек смены шага | несколько точек перехода.
1. Сначала рассмотрим сетки с двумя точками перехода.
1.1. На множестве D введем сетку
Dh = ! ! ;
(2)
1
(2)
63
2
(2)
(4.1a)
где !s(2) | сетка с точками перехода xs = s(i) , i = 1; 2, s(1) , s(2) | параметры, принимающие значения из интервала (0; ds ), s(1) < s(2) . Построим сетку !s(2) , s = 1; 2. Отрезок [0; ds ]
разобьем на три части [0; s(1) ], [s(1) ; s(2) ], [s(2) ; ds ]. На каждом интервале разбиения шаг сетки
(1)
;1 (2)
(2)
(1)
;1 (3)
(2)
;1
постоянен и равен h(1)
s = 3s Ns , hs = 3(s ; s )Ns , hs = 3(ds ; s )Ns на интер
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
(1)
(2)
(2)
валах [0; s ], [s ; s ], [s ; ds ] соответственно. Сетки !s = !s (s ; s ), и тем самым
Dh(2) = Dh(2) (s(i) ; s; i = 1; 2) построены.
Сетки Dh(2) (s(i) ; s; i = 1; 2), где параметры s(i) принимают произвольные значения из интервалов (0; ds ) и подчинены условию s(1) < s(2) , s; i = 1; 2, образуют класс сеток с двумя точками
перехода (на порождающих сетках !s(2) , s = 1; 2)
fDh g
(2)
:
(4 1)
:
(4.1б)
Введем сетку, сгущающуюся в окрестности погранслоя
Dh = !
0(2)
0(2)
1
! ;
(4.2a)
0(2)
2
здесь !s0(2) = !s(4(2):1) (s(1) ; s(2) ), причем параметры s(1) , s(2) определяются соотношениями
si = si ("; Ns ; ds ); i = 1; 2;
s = min[2=3ds ; m; " ln Ns ]; s = min[1=3ds ; m; " ln ln Ns ]; s = 1; 2;
( )
( )
(2)
1
(1)
1
(4.2б)
где m = m(5:6) ; Dh0(2) 2 fDh(2) g(4:1) .
Разностная схема (3.2), (4.2) | специальная схема на сетке с двумя точками перехода.
1.2. Приведем некоторые рассмотрения на модельном примере для одномерной задачи. Пусть
u(x), x 2 D, | решение краевой задачи
:
(4 3)
Здесь
d + b(x) d ; c(x)u(x) = f (x); x 2 D;
u(x) " dx
dx
u(x) = '(x); x 2 ;:
2
L
(4.3)
2
D = (0; d);
функции b(x), c(x), f (x) достаточно гладкие на D; b(x) b > 0, c(x) 0, x 2 D.
(4.4)
0
Для краевой задачи (4.3), (4.4) строим разностную схему
Здесь
(4:5) z (x) "xx^ + b(x)x ; c(x) z (x) = f (x); x 2 Dh ;
z (x) = '(x); x 2 ;h :
(4.5)
Dh = !
(4.6)
| сетка на D с числом узлов N + 1.
Строим сетку с двумя точками перехода в окрестности пограничного слоя
Dh = ! ;
(4.7)
где ! = ! ( ; ), = min[1=3d; m; " ln ln N ], = min[2=3d; m; " ln N ], m | произвольное число из интервала (0; m ), m = min b(x). Шаги сетки ! на интервалах [0; ],
D
[ ; ], [ ; d] суть h = 3 N ; , h = 3( ; )N и h = 3(d ; )N ; соответственно, причем h M min[" ln ln N; 1]N ; , h M min[" ln N; 1]N ; , h MN ; .
0(2)
0(2)
0(2)
(1)
(2)
(1)
1
0
(1)
(2)
(2)
(1)
(1)
0(2)
(1)
(2)
1
0(2)
0
1
(2)
1
(2)
(2)
(1)
(3)
1
64
(1)
(2)
(3)
1
1
Оценим решение разностной схемы (4.5), (4.7). Пусть
u(x) = U (x) + V (x); x 2 D;
(4.8)
где U (x) и V (x) | регулярная и сингулярная части решения. Для достаточно гладкой функции
v(x), x 2 D, через zv (x), x 2 Dh, где Dh = Dh(4:6) , обозначим решение задачи
(4:5) z (x) = L(4:3) v(x); x 2 Dh ; z (x) = v(x); x 2 ;h :
Оценим функцию !V (x) = V (x) ; zV (x), x 2 Dh(4:7) .
С учетом априорных оценок для компонент из представления (4.8) находим
(
j
:
j
:
(4 5)
(4 5)
j
:
(4 5)
; ;
;
!V (x)j M " ;N ln ln; N;exp(;m" x) при x < ; x 6= ; ;
N (" + N )
при x > ;
!V (x)j M"; N ; ln N; x = ;
(
;
!V (x)j M 1 ; при " M ln; N ; x = ; x 2 Dh :
N при " m ln N;
1
1
1
1
1
1
(2)
1
1
(1)
(2)
(2)
(1)
1
1
1
(2)
1
1
С использованием принципа максимума находим
j!V (x)j = jV (x) ; zV (x)j MN ;1 ln ln N; x 2 Dh(4:7):
Справедлива также оценка
jU (x) ; zU (x)j MN ;1; x 2 Dh(4:7):
Таким образом, для решений схемы (4.5), (4.7) получается оценка
ju(x) ; z(x)j MN ;1 ln ln N; x 2 Dh(4:7):
(4.9)
1.3. По схеме вывода оценки (4.9) для решений разностной схемы (3.2), (4.2) находим оценку
ju(x) ; z(x)j MN ; ln ln N; x 2 Dh :
(4.10)
Рассмотрениe погрешности решения в окрестности пограничного слоя показываeт, что "равномерная оценка (4.10) неулучшаема по вхождению величины N . Варьирование величин
s(i) не улучшает оценку (4.10). Следовательно, на классе сеток fDh(2)g сетка Dh0(2) является
оптимальной по порядку "-равномерной сходимости.
2. Приведем схему на сетке с k точками перехода. Строим сетку
0(2)
1
Dh k = ! k ! k ;
(4.11a)
где !s k | сетка, определяемая параметрами si , i = 1; : : : ; k. Отрезок [0; ds ] разбиваем на k +1
частей [0; s ], [s ; s ]; : : : ; [ds ; sk ; ds ]; шаг сетки на каждой части постоянен и равен соответственно hs , hs ; : : : ; hsk , где hs = (k +1)s Ns; , hs = (k +1)(s ; s )Ns; ; : : : ; hsk =
(k + 1)(ds ; sk )Ns; . Сетки Dh k = Dh k (si , s = 1; 2, i = 1; : : : ; k), где параметры si принимают произвольные значения из интервалов (0; ds ) и подчинены условию s < s < < sk ,
s = 1; 2, образуют класс сеток с k точками перехода
( )
1
( )
( )
2
( )
( )
(1)
(1)
( )
(1)
(2)
1
(2)
( )
( +1)
(1)
( )
(1)
( )
1
(2)
(2)
(1)
1
( )
( +1)
( )
(1)
(k) Dh
:
(4 11)
:
(2)
( )
(4.11б)
Введем сетку, сгущающуюся в окрестности пограничного слоя
Dh k = !
0( )
k
0( )
1
65
! k ;
0( )
2
(4.12a)
здесь !s0(k) = !s(4(k:)11) (s(i) ; i = 1; : : : ; k), параметры s(i) определяются соотношениями
si = si ("; Ns ; ds ); i = 1; : : : ; k;
sk = min[k(k + 1); ds; m; " ln Ns ];
sk; = min[(k ; 1)(k + 1); ds ; m; " ln ln Ns ]; : : : ;
s = min[(k + 1); ds ; m; " ln
: : ln} Ns ]; s = 1; 2;
| :{z
( )
( )
( )
(
1
1)
1
(1)
k
1
(k)
1
1
(4.12б)
1
k
k
k
где m = m(5:6) ; Dh 2 fD h g(4:11) ; Dh = Dh (m).
Разностная схема (3.2), (4.12) | схема на сетке с k точками перехода. Для ee решений
получается оценка
ju(x) ; z(x)j MN ;1 ln
: : ln} N; x 2 Dh(4:12) ;
(4.13)
| :{z
0( )
0( )
0( )
k
эта "-равномерная оценка неулучшаема по вхождению величины N . На классе сеток fDh(k) g
сетка Dh0(k) является оптимальной по порядку "-равномерной сходимости. Справедлива следующая
Теорема 4.1. Пусть выполняется условие теоремы 3:1. Тогда решение разностной схемы (3:2), (4:12) при N ! 1 сходится к решению краевой задачи (2:2), (2:1) со скоростью
O(N ;1 ln
: : ln} N ) "-равномерно. На классе сеток (4:11) сетка (4:12) является оптимальной по
| :{z
k
порядку "-равномерной сходимости. Для сеточных решений справедлива оценка (4:13); оценка
(4:13) неулучшаема по вхождению величины N .
5. Априорные оценки решений краевой задачи (2.2), (2.1)
Приведем априорные оценки решений и производных для краевой задачи (2.2), (2.1); вывод
оценок подобен выводу аналогичных оценок в [6].
1. С использованием техники мажорантных функций (напр., [18]) устанавливается "-равномерная ограниченность решений
(5.1)
ju(x)j M; x 2 D:
Решение краевой задачи представим в виде суммы функций
u(x) = U (x) + V (x); x 2 D;
(5.2a)
где U (x), V (x) | регулярная и сингулярная части решения. Функция U (x), x 2 D, есть сужение
на D функции U 0 (x), x 2 D 0 , U (x) = U 0 (x), x 2 D; функция U 0 (x) | решение краевой задачи
L0U 0(x) = f 0(x); x 2 D0 ; U 0 (x) = '0 (x); x 2 ; 0 :
(5.3)
Здесь D 0 | прямоугольник, являющийся продолжением D за стороны ;1 , ;2 ; данные задачи
(5.3) являются гладкими продолжениями данных задачи (2.2), (2.1), сохраняющими на D 0 свойства (2.3); L0 = L02 + L01 . Функции f 0(x) и '0 (x) удобно вне m1 -окрестности D считать равными
нулю. Функция V (x) | решение задачи
L(2:2) V (x) = 0; x 2 D; V (x) = '(x) ; U (x); x 2 ;:
(5.4)
Функцию U (x) представим в виде суммы функций
U (x) = U0(x) + "U1(x) + vU (x); x 2 D;
(5.2б)
66
соответствующей представлению
U (x) = U (x) + "U (x) + vU (x); x 2 D ;
0
0
0
0
1
0
0
| решения краевой задачи (5.3), где U00 (x), U10 (x) | решения задач
L
01
(5 3)
L
:
01
(5 3)
:
[
x 2 D n f; ; g;
[
x2; ; ;
[
x 2 D n f; ; g;
[
x2; ; :
U
U
U
U
(x) = f 0(x);
0
0
0 (x) = ' (x);
0
;1 L02 U 0 (x);
1 (x) = ;"
(5:3) 0
0
1 (x) = 0;
0
0
0
0
3
0
3
0
4
0
4
0
0
3
0
3
0
4
0
4
Считаем, что данные задачи (2.2), (2.1) помимо условий на множестве ; , обеспечивающих
гладкость u(x) | решения
задачи (2.2), (2.1), удовлетворяют дополнительным условиям на
T
множестве ; = ;3 ;4 , которые обеспечивают достаточную гладкость функций U00 (x) и U10 (x).
Такие условия нетрудно выписать, например, в том случае, когда граничная функция '(x)
вместе с производными обращается в нуль на множестве ; .
Для простоты будем предполагать выполненными включения
u2C
3+
(D );
U 2C
0
U 2C
(D ) ;
5+
1
(D );
3+
> 0:
(5.5)
В этом случае U 2 C 3+(D ); для U (x) получаются оценки
@ k U (x) M [1 + "2;k ];
@xk1 @xk2
1
2
x 2 D; k K ;
jV (x)j M exp(;m";1r(x; ; ));
x 2 D;
(5.6)
где r(x; ; ) | расстояние от точки x до множества ; , m | произвольное число из интервала
(0; m0 ), m0 = min[a;s 1 (x)bs (x)]; K = 3 при достаточной гладкости данных задачи (2.2), (2.1).
s;D
2. Приведем оценку производных функции V (x). Предварительно введем обозначения. Через
D(j) , j = 1; 2, обозначим полуполосу, стороны которой содержат множества ;j , ;3 , ;4 . Функцию
V (x) представим в виде суммы
V (x) =
X
j =1;2
V j (x) + V
( )
;
(1 2)
(x); x 2 D;
(5.2в)
здесь V(j) (x) и V(1;2) (x) | одномерные и двумерный (угловой) погранслои. Функции V(j) (x) |
сужения функций V(0j) (x), x 2 D(j) , на множество D. Функции V(0j) (x) | решения задач
L
0
(5 7)
:
V j (x) = 0; x 2 D j ;
V j (x) = ' j (x); x 2 ; j ; j = 1; 2:
0
( )
0
( )
( )
0
( )
(5.7)
( )
Здесь оператор L0(5:7) | продолжение оператора L(2:2) на множество D(j) ; функция '0(j) (x) удовлетворяет условию '0(j) (x) = '(x) ; U (x), x 2 ;j , а вне m-окрестностей множества ;j обращаeтся
в нуль.
При условии
u; U 2 C 3+(D); > 0;
67
для компонент из представления (5.2б) получаются оценки
@ k V (x) M [";s + "1;k ] exp(;m";1 r(x; ; ));
j
@xk1 @xk2 (j ) 1
2
@ k V (x) M";k exp(;m";1 r(x; ; [ ; ));
1
2
@xk1 @xk2 (1;2) 1
(5.8)
2
x 2 D; j = 1; 2; k K; K = K : ;
где s = s(k ; k ; j ), s = k при j = 1, s = k при j = 2, m = m : .
Заметим, что для функции u(x) справедлива оценка
@ k u(x) M";k ; x 2 D; k K:
(5.9)
@xk1 @xk2
Теорема 5.1. Пусть для данных краевой задачи (2:2), (2:1) выполняется условие as , bs , c,
f 2 C (D ), ' 2 C (D), s = 1; 2, > 0, а для ее решения и компонент U (x), U (x) из
представления (5.2б) | условие (5:5). Тогда для решения краевой задачи и его компонент из
представления (5:2) справедливы оценки (5:1), (5:6), (5:8), (5:9), где K = 3.
(5 6)
1
2
1
2
1
(5 6)
2
5+
5+
0
1
6. Краевая задача для параболического уравнения
Для сингулярно возмущенного параболического уравнения приведем специальную разностную схему на улучшенных кусочно-равномерных сетках, введенных в x 4.
1. На множестве G, где
G = D (0; T ]; D = D(2:1);
(6.1)
рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения с конвективными членами
L(6:2)u(x; t) = f (x; t); (x; t) 2 G;
(6.2)
u(x; t) = '(x; t); (x; t) 2 S:
Здесь S = G n G,
u(x; t) = fL + L gu(x; t);
(6.3)
X
@ ; L X b (x; t) @ ; c(x; t) ; p(x; t) @ ;
L " as (x; t) @x
s
@xs
@t
s
s ;
s ;
функции as (x; t), bs (x; t), c(x; t), p(x; t), f (x; t), s = 1; 2, а также '(x; t) достаточно гладкие на
множествах G и Sj соответственно, j = 0; 1; : : : ; 4, ' 2 C (S ), Sj | стороны множества G, обраS
зующие границу S ; Sj = ;j (0; T ], j = 1; : : : ; 4, S | нижнее основание, S = S ; S L = Sj |
j
боковая граница; ;j = ;j : . Коэффициенты уравнения удовлетворяют условию
a as(x; t) a ; b bs (x; t) b ; 0 c(x; t) c ; p p(x; t) p ;
(x; t) 2 G; s = 1; 2; a ; b ; p > 0:
ПриTстремлении параметра к нулю в окрестности гладких частей S и S границы S и множества S S появляются соответственно одномерные и двумерные (эллиптические) пограничные
L
2
:
(6 2)
1
2
2
2
=1 2
1
=1 2
4
0
0
0
=1
(2 1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
слои.
Предполагаем, что на множестве S | множестве ребер, образованных пересечениями сторон
Sj , j = 0; 1; : : : ; 4, | выполнены условия согласования, обеспечивающие достаточную гладкость
решений краевой задачи при фиксированных значениях параметра.
68
2. Приведем разностную схему на кусочно-равномерной (по пространственным переменным)
сетке в том случае, когда сетка по каждой переменной xs в окрестности пограничного слоя
имеет одну точку смены шага сетки | одну точку перехода.
На множестве G введем сетку
Gh = Dh !0 ; Dh = Dh(3:1);
(6.4)
где !0 | равномерная сетка на [0; T ], N0 + 1 | число ее узлов. Задаче (6.2), (6.1) на сетке (6.4)
сопоставим разностную схему [2]
z (x; t) = f (x; t); (x; t) 2 Gh;
(6.5)
z (x; t) = '(x; t); (x; t) 2 Sh;
где
o
n X
X
z (x; t) "
as (x; t)xs xsb +
bs (x; t)xs ; c(x; t) ; p(x; t)t z(x; t):
s=1;2
s=1;2
В случае равномерной сетки
Gh = Dhp
:
(3 4)
!
(6.6)
0
получается оценка
ju(x; t) ; z(x; t)j M [N ; (" + N ; ); + N ; ]; (x; t) 2 Gh : :
1
1
1
0
1
(6 6)
Эта оценка неулучшаема по вхождению величин N , N0 и ".
На сетке
G0h = Dh0(3:8) !0 ;
(6.7)
(6.8)
где Dh0 = Dh0(3:8) (m) при m = m(6:17) , получается оценка
ju(x; t) ; z(x; t)j M [N ; ln N + N ; ]; (x; t) 2 Gh;
(6.9)
"-равномерная оценка неулучшаема по вхождению величин N , N0 . Сетка (6.8) является оптимальной на классе сеток
Gh ; Gh = Dh(3:7) !0
(6.10)
по порядку "-равномерной сходимости.
3. Рассмотрим схему (3.2) на кусочно-равномерных сетках в том случае, когда сетки !s ,
s = 1; 2, имеют k точек перехода. Пусть
1
0
Gh k = Dh k : (m) ! ; m = m
0
1
; k 1;
(6.11)
| сетка с k точками перехода, сгущающаяся в погранслое. Подобно оценке (4.13) устанавливается оценка
ju(x; t) ; z(x; t)j M [N ;1 ln
: : ln} N + N0;1 ]; (x; t) 2 Gh(6:11) ;
(6.12)
| :{z
0( )
0( )
0
(4 12)
:
(6 17)
k
эта "-равномерная оценка неулучшаема по вхождению величин N , N0 .
На классе сеток
fGh(k) g; Gh(k) = Dh(4(k:)11) !0;
сетка (6.11) является оптимальной по порядку "-равномерной сходимости.
69
(6.13)
Теорема 6.1. Пусть для решений краевой задачи (6:2), (6:1) выполняются априорные оценки (6:17). Тогда решение разностной схемы (6:2), (6:11) при N , N0 ! 1 сходится к решению
краевой задачи со скоростью O(N ;1 ln
: : ln} N + N0;1 ) "-равномерно. На классе сеток (6:13) сет| :{z
k
ка (6:11) является оптимальной по порядку "-равномерной сходимости. Для сеточных решений
справедливы оценки (6:7), (6:9), (6:12); оценки (6:7) и (6:9), (6:12) неулучшаемы по вхождению
величин N , N0 , " и N , N0 соответственно.
4. Приведем априорные оценки для решений краевой задачи (6.2), (6.1). Решение краевой
задачи представим в виде суммы функций
u(x; t) = U (x; t) + V (x; t); (x; t) 2 G:
(6.14a)
Здесь U (x; t) | регулярная часть решения, определяется соотношением U (x; t) = U 0 (x; t),
(x; t) 2 G; V (x; t) | сингулярная часть решения | решение задачи
V (x; t) = 0;
(x; t) 2 G;
V (x; t) = '(x; t) ; U (x; t); (x; t) 2 S:
Функция U (x; t), (x; t) 2 G , где G = D : (0; T ], | решение задачи
L U (x; t) = f (x; t); (x; t) 2 G ;
(6.15)
U (x; t) = ' (x; t); (x; t) 2 S ;
данные задачи (6.15) на G являются гладкими продолжениями данных задачи (6.2), (6.1),
удовлетворяющими условию (6.3); L = L + L .
Функцию U (x; t) представим в виде суммы
(6.14б)
U (x; t) = U (x; t) + "U (x; t) + vU (x; t); (x; t) 2 G;
соответствующей представлению функции U (x; t)
U (x; t) = U (x; t) + "U (x; t) + vU (x; t); (x; t) 2 G :
Компоненты U (x; t), U (x; t) находятся из решения задач
L
:
(6 2)
0
0
0
0
(5 3)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
02
01
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
[
[
(x; t) = f 0(x; t);
(x; t) 2 G0 n fS00 S30 S40 g;
[ [
0
0
(x; t) 2 S00 S30 S40 ;
0 (x; t) = ' (x; t);
[ [
L01(6:15) 10 (x; t) = ;";1L02(6:15) U00 (x; t); (x; t) 2 G0 n fS00 S30 S40 g;
[ [
0
(x; t) 2 S00 S30 S40 :
1 (x; t) = 0;
Функцию V (x; t) представим в виде суммы
X
V (x; t) =
V(j) (x; t) + V(1;2) (x; t); (x; t) 2 G:
L
01
(6 15)
:
U
U
U
U
0
0
j =1;2
(6.14в)
Здесь V(j) (x; t) = V(0j) (x; t), (x; t) 2 G, функции V(0j) (x; t), (x; t) 2 G(j) , где G(j) = D(j)(5:7) [0; T ]
| решения задач
L0(j) V(0j) (x; t) = 0;
(x; t) 2 G(j) ;
V(0j) (x; t) = '0(j) (x; t); (x; t) 2 S(j) ; j = 1; 2;
оператор L0(j) | продолжение оператора L(6:2) на множество G(j) ; функция '0(j) (x; t) удовлетворяет условию
[
'0(j) (x; t) = '(x; t) ; U (x; t); (x; t) 2 S0 Sj ;
70
а вне m-окрестности множества Sj обращается в нуль.
Предполагаем выполненным условие
u 2 C 4+;2+=2 (G); U0 2 C 6+;3+=2(G); U1 2 C 4+;2+=2 (G); > 0:
(6.16)
Тогда для решения задачи (6.2), (6.1) и его компонент из представления (6.14) получаются
оценки
@ k+k0 u(x; t) M";k ;
@xk1 @xk2 @tk0
1 k+k20
@
2;k
@xk1 @xk2 @tk0 U (x; t) M [1 + " ];
1
2
@ k+k0 V (x; t) M [";s + "1;k ] exp(;m";1 r(x; ; ));
j
@xk1 @xk2 @tk0 (j )
1
2
@ k+k0 V (x; t) M";k exp(;m";1r(x; ; [ ; ));
1
2
@xk1 @xk2 @tk0 (1;2)
1
(6.17)
2
(x; t) 2 G; j = 1; 2; k + 2k0 K;
где s = s(5:8) (k1 ; k2 ; j ), m | произвольное число из интервала (0; m0 ), m0 = min[a;s 1 (x; t)bs (x; t)].
s; G
Теорема 6.2. Пусть для данных краевой задачи (6:2), (6:1) выполняется условие as , bs ,
c, p, f 2 C ; = (G), ' 2 C ; = (G), s = 1; 2, > 0, а для ее решения и компонент
U (x; t), U (x; t) из представления (6.14б) { условие (6:16). Тогда для решения краевой задачи и
его компонент из представления (6:14) справедливы оценки (6:17), где K = 4.
С использованием приведенной техники строятся и исследуются "-равномерно сходящиеся
6+
0
3+
2
6+
3+
2
1
схемы на кусочно-равномерных сетках с несколькими точками перехода в случае сингулярно
возмущенных эллиптических и параболических уравнений на n-мерных параллелепипедах.
Пользуясь случаем, автор выражает признательность участникам Второй Международной
конференции \Численный анализ и приложения" (Болгария, Русе, 11{15 июня 2000 г.) за обсуждения численных методов решения сингулярно возмущенных задач и оптимальных (по порядку "-равномерной сходимости) кусочно-равномерных сеток.
Литература
1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. { М.: Наука, 1989. { 608 c.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. { М.: Наука, 1989. { 616 c.
3. Бахвалов Н.C. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного
слоя // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1969. { T. 9. { Є 4. { C. 841{859.
4. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при
старшей производной // Матем. заметки. { 1969. { T. 6. { Вып. 2. { C. 237{248.
5. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. { M.: Мир, 1983. { 199 c.
6. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. { Екатеринбург: РАН, УрО, 1992. { 233 c.
7. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted numerical methods for singular perturbation
problems. { Singapore: World Scientic, 1996. { 166 p.
8. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Numerical methods for singularly perturbed dierential
equations. Convection-diusion and ow problems. { Berlin: Springer-Verlag, 1996. { 348 p.
9. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Ч. 1.
{ Новосибирск: Наука, 1998. { 199 c.
71
10. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Robust computational
techniques for boundary layers. { Boca Raton, Florida: CRC Press, 2000. { 254 p.
11. Vulanovic R. Mesh construction for discretization of singularly perturbed boundary value problems
// Ph. D. thesis, University of Novi Sad, 1986.
12. Шишкин Г.И. Разностная схема для сингулярно возмущенного параболического уравнения
с разрывным граничным условием // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1988. { Т. 28. {
Є 11. { С. 1679{1692.
13. Lin T. Analysis of a Galerkin nite element method on a Bakhvalov{Shishkin mesh for a linear
convection-diusion problem // IMA J. Numer. Anal. { 2000. { V. 20. { Є 4. { P. 621{632.
14. Roos H.-G., Lin T. Sucient conditions for uniform convergence on layer-adapted grids //
Computing. { 1999. { V. 63. { Є 1. { P. 27{45.
15. Lin T., Roos H.-G., Vulanovic R. Uniform pointwise convergence on Shishkin-type meshes for
quasilinear convection-diusion problems // SIAM J. Numer. Anal. { 2000. { V. 38. { Є 3. {
P. 897{912.
16. Roos H.-G. Layer-adapter grids for singular perturbation problems // Z. Angew. Math. Mech. {
1998. { V. 78. { Є 5. { P. 291{309.
17. Shishkin G.I. Optimal piecewise uniform grids for singularly perturbed equations of a convectiondiusion type // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. { 2001. { V. 16. { Є 2. { P. 157-174.
18. Ладыженская О.А., Cолонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. { M.: Наука, 1967. { 736 c.
Институт математики и механики
Уральского отделения
Российской Академии наук
Поступила
02.11.2000
72
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа