close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальные траектории касательного пролетас учетом продолжительности активного участка.

код для вставкиСкачать
УДК 531.1:629.78
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3
В. С. Новоселов
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КАСАТЕЛЬНОГО ПРОЛЕТА
С УЧЕТОМ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА
1. Оптимизация траекторий в гравитационном поле обычно проводится в импульсной постановке, что отвечает неограниченной по величине тяге двигателя [1]. Мало
изученным является учет влияния продолжительности (или конечной протяженности)
участков активного движения [2–5]. Задача учета протяженности участков активного
движения не может решаться в классе импульсных переходов при стягивании активных
участков в точки. Поэтому указанная задача должна решаться на основе вариационного подхода.
Технические и биологические условия требуют ограниченности тяги или реактивного ускорения. Применение режимов промежуточной тяги (особые управления) для
космических траекторий связано с исследованием весьма сложных математических задач, которые в настоящее время не имеют положительного решения [6–8]. Поэтому на
активных участках применяют предельные значения тяги или реактивного ускорения,
удовлетворяющие необходимым условиям экстремума [3–5].
Расширение технологических задач, решаемых с помощью космических аппаратов,
приводит к постановке новых математических задач по оптимизации траекторий в гравитационном поле. Для инспектирования (обслуживания) целесообразно применять маневр касательного пролета или перехвата, который позволяет инспектору некоторое
время перемещаться коллинеарно инспектируемому объекту.
В настоящей работе решается задача аналитической оптимизации траекторий компланарного пролета [9] при одном включении маршевого двигателя с учетом конечной
протяженности активного участка и при ограничении на величину тяги или реактивного ускорения.
2. Запишем уравнения, которым должна удовлетворять оптимальная компланарная траектория эллиптического касательного пролета, если начальная эллиптическая
орбита инспектора соединена с переходным эллипсом одним участком активного движения. Сохраним постановку задачи, предложенную в работе [9], но примем за дополнительную фазовую переменную массу маневрируемого объекта. Введем обозначения для кеплеровых элементов переходной орбиты: e — эксцентриситет, p — фокальный
параметр, ω — долгота перицентра от некоторой точки, принятой за начало отсчета
полярного угла ϕ. Характеристики начальной орбиты инспектора обозначаем буквой
«н», орбиты инспектируемого объекта — буквой «к». В качестве фазовых переменных
принимаем радиальную и трансверсальную скорости, величину полярного радиуса, полярный угол и массу космического корабля
x1 = vr ,
x2 = vϕ ,
x3 = r,
x4 = ϕ,
x5 = m,
которые для переходной эллиптической орбиты представим в виде [1, 3, 5]
vr = æep− 2 sin f,
1
r = p(1 + e cos f )−1 ,
c
vϕ = æp− 2 (1 + e cos f ),
1
ϕ = f + ω,
m = m− = const.
(1)
В. С. Новоселов, 2006
109
Здесь æ — квадратный корень из произведения универсальной гравитационной и массы
планеты, f — истинная аномалия. Переменные в начале переходного эллипса обозначаем индексом «−», а в конце — индексом «+».
В конечной точке следует выполнить условие равенства полярных радиусов rK =
r+ , т. е.
pK (1 + e cos f + ) = p(1 + eK cos fK ),
f + = ϕK − ω,
fK = ϕK − ωK ,
(2)
а также условие касания переходной и эллиптической орбиты инспектируемого объекта
в виде равенства отношений радиальной и трансверсальной скоростей:
vr+ (vϕ+ )−1 = vrK (vϕK )−1 = eK (1 + eK cos fK )−1 sin fK .
(3)
С помощью (1) условию касания (3) можно придать вид
epK sin(ϕK − ω) = eK p sin(ϕK − ωK ).
(4)
Начальные условия имеют вид (1), если кеплеровы элементы снабдить индексом «н».
Для определенности полагаем pK > pH .
Соединяющая начальную и переходную орбиты дуга активного движения определяется решением системы дифференциальных уравнений [3, 5, 10]
dx1
2
2 −1
−1
= x−1
cos ψ,
3 (x2 − æ x3 ) + μur m
dt
dx2
−1
= −x1 x2 x−1
sin ψ,
3 + μur m
dt
dx3
dx4
dx5
= x1 ,
= x2 x−1
= −μ.
(5)
3 ,
dt
dt
dt
Здесь μ 0 — величина расхода массы в единицу времени, ψ — угол наклона тяги к
полярному радиусу. Эти величины являются управляющими функциями (управлениями). Через ur обозначена постоянная эффективная скорость истечения.
Оптимальность понимается в смысле минимума расхода массы
tK
Ψ1 =
μdt = mH − m− ,
tH
что равносильно минимизации характеристической скорости
−
tH
+t
V = Ψ2 =
νdt = ur en
mH
,
m−
ν = μur m−1 .
tH
Управление ν представляет собой величину реактивного ускорения.
Рассматриваем два варианта: 1) при ограничении на управление μ
0 μ α = const > 0
(6)
или 2) при ограничении на управление ν
0 ν β = const > 0.
110
(7)
3. Поскольку формулы (1)–(5) явно не содержат время t, функция Гамильтона совместной системы уравнений движения и уравнений Эйлера—Лагранжа будет постоянной [3, 5]:
(8)
H = μur m−1 (−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ) − μλ5 + H̆ = const,
где
−1
−1
2
2 −1
H̆ = λ1 x−1
3 (x2 − æ x3 ) − λ2 x1 x2 x3 + λ3 x1 + λ4 x2 x3 .
(9)
Во втором варианте множитель перед скобкой в (8) заменяем на ν и полагаем λ5 = 0.
Формула (9) сохраняется без изменения.
Запишем условие стационарности по управлению ψ:
∂H
= 0,
∂ψ
−λ1 sin ψ + λ2 cos ψ = 0.
(10)
Точки переключения управления μ удовлетворяют условию
∂H
= ur m−1 (−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ) − λ5 = 0.
∂μ
(11)
Во втором варианте для точек переключения управления ν, вместо (11), получаем
∂H
= −1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ = 0.
∂ν
(12)
Как и в работе [9], предполагая фазу движения на начальной орбите произвольной,
приходим к условию H = 0, а также к условию трансверсальности в начальной точке
3
−1
H
−1 2
+ λH
pH (1 + eH cos fH )−2 sin fH λH
(13)
æeH pH 2 λH
1 cos fH − λ2 sin fH + æ
3
4 =0
и двум условиям трансверсальности в конечной точке
+
eK (1 + eK cos fK ) sin fK λ+
1 + λ2 = 0,
1
+
eK (1 + eK cos fK )−1 æp 2 p−1
K (eK + cos fK )λ1 +
+
+pK (1 + eK cos fK )−1 sin fK λ+
3 + λ4 = 0.
(14)
(15)
В отличие от работы [9], в связи с увеличением числа фазовых переменных получаем
для варианта 1 дополнительное условие трансверсальности
H
λH
5 Δx5 = 0,
λH
5 = 0.
(16)
4. Для первого варианта пусть величина тяги двигателя в соответствии с формулой
(6) равна своему максимальному значению, а продолжительность активного участка
T1 на порядок меньше времени перелета T , т. е.
μ = α,
T1 T −1 = ε1 ,
где ε1 — безразмерный положительный малый параметр. Введем обозначение α̃ = ε1 α.
Положительная величина α̃ имеет порядок единицы. Выполним замену независимой
переменной t = tH + ε1 τ1 в уравнениях движения (5):
dx1
−1
2
2 −1
= ε1 x−1
3 (x2 − æ x3 ) + α̃ur x5 cos ψ1 ,
dτ1
dx2
−1
= ε1 x1 x2 x−1
3 + α̃ur x5 sin ψ1 ,
dτ2
111
dx3
= ε1 x1 ,
dτ1
dx4
= ε1 x2 x−1
3 ,
dτ1
dx5
= −α̃,
dτ1
(17)
и в уравнениях Эйлера—Лагранжа [3, 5]:
dλ1
= ε1 (λ2 x2 x−1
3 − λ3 ),
dτ1
dλ2
= ε1 x−1
3 (−2λ1 x2 + λ2 x1 − λ4 ),
dτ1
dλ3
−2
−2
2
2 −1
= ε1 λ1 x−2
3 (x2 − 2x x3 ) − ε1 λ2 x1 x2 x3 + ε1 λ4 x2 x3 ,
dτ1
dλ4
= 0,
dτ1
λ4 = const,
dλ5
= α̃ur x−2
5 (−1 + λ1 sin ψ + λ2 cos ψ).
dτ1
(18)
Для второго варианта в соответствии с формулой (7) реактивное ускорение полагаем
равным наибольшему допустимому значению β, заменяем α̃ur x−1
5 на β̃, τ1 и ε1 на τ2 и
ε2 , а также опускаем пятые уравнения в формулах (17) и (18).
На участке баллистического движения α̃ = 0 (β̃ = 0) уравнения (5) и (17) имеют
решение (1), а уравнения Эйлера—Лагранжа (18) следующее решение [3, 5, 9]:
λ1 = A cos f + Be sin f,
λ2 = (1 + e cos f )−1 −A sin f (2 + e cos f ) + B(1 + e cos f )2 + D ,
λ3 = æp− 2 (1 + e cos f ) [−A sin f + B(1 + e cos f ) + D] ,
3
λ4 = −æp− 2 Ae,
1
λ5 = const.
(19)
Величины A, B и D являются постоянными. Во втором варианте опускаем лагранжевый
множитель λ5 .
Экстремальное решение должно удовлетворять полученным выше уравнениям для
соответствующих дуг траекторий и условиям стыковки в точке соединения участка
активного движения с переходным эллипсом. Эти условия заключаются в равенстве
в указанной точке фазовых переменных и лагранжевых множителей. Решение задачи
оптимизации траектории пролета будем отыскивать в виде отрезков рядов по степеням
ε1 или ε2 . Ограничимся учетом членов нулевого, первого и второго порядков, которые
будем отмечать соответственно индексами: нуль, один штрих и два штриха.
5. В нулевом приближении из уравнений (10) и (18) следует λ0j = const, j = 1, 3, ψ 0 =
const. В первом варианте с помощью (17) и (18) получаем
0
0
0
0
λ05 = ur x−1
5 (−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ ) + c,
c = const.
По условию (11) c = 0, и поэтому на основании (16)
−1 + λ01 cos ψ 0 + λ02 sin ψ 0 = 0.
(20)
Для второго варианта соотношение (20) является следствием (12). Для двух вариантов
по формулам (10) и (20)
λ01 = cos ψ 0 , λ02 = sin ψ 0
112
и по формулам (17)
H
0
0
x0−
1 = x1 + V cos ψ ,
H
0
0
x0−
2 = x2 + V sin ψ ,
H
x0−
3 = x3 ,
H
x0−
4 = x4 .
(21)
Как и в работе [9], граничные орбиты предполагаем околокруговыми, но в отличие
от указанной работы полагаем
eH = εi eH + ε2i eH ,
eK = εi eK + ε2i eK .
Если эксцентриситеты граничных орбит первого порядка малости, то eH = eK = 0.
Если, например, эксцентриситет начальной орбиты второго порядка малости, то eH = 0.
Можно представить эксцентриситеты граничных орбит и в виде суммы двух членов
первого и второго порядков. В нулевом приближении дуга баллистического движения
будет полуэллипсом Гомана с характеристиками [9]
e0 = (pK − pH )(pK + pH )−1 ,
1
p0 = 2pK pH (pK + pH ),
1
2
2
V 0 = æp−1
H (p0 − pH ),
B0 =
f 0− = 0,
1 −1
e (1 + e0 ),
4 0
f 0+ = π,
3
1
T0 = √ πæ−1 (pK + pH ) 2 ,
2 2
ψ=
π
,
2
A0 = 0,
1
D0 = − e0 (1 + e0 )(1 − e0 )2 .
4
Из формул (18), (19) и (22) следует λ04 = 0.
Фазовые переменные в нулевом приближении будут
x01 = x0H
1 ,
x02 = x0H
2 + ur ln
x5 = mH − α̃τ1 ,
mH
= x0H
2 + β̃τ2 ,
mH − α̃τ1
x0H
1 = 0,
−1
2
x0H
2 = æpH ,
x3 = x0H
3 ,
x0H
3 = pH ,
x4 = x0H
4 ,
(23)
0
x0H
4 = ϕH .
С помощью (21)–(23) находим начальные приближения длительности активного участка для двух вариантов в масштабах соответствующих переменных τ1 и τ2 :
Λ01 = mH α̃−1 (1 − e−V
0
u−1
r
),
Λ02 = V 0 β̃ −1 .
Угловое удаление точки старта от принятого неподвижного направления ϕ0H в нулевом
приближении не определяется.
6. При исследовании членов первого порядка на основании (8) запишем
ε1 H = α̃ur m−1 (−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ) − α̃λ5 + ε1 H̆ = 0 + 0(ε21 ).
Поскольку по формулам (9), (19) и (22) λ01 = 0, x01 = 0, λ04 = 0, H̆ 0 = 0, отсюда следует,
что и в первом приближении
λ5 = x−1
3 ur (−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ).
По формулам (16) и (18) получаем
dλ5
= α̃λ5 ,
dτ1
α̃τ1
λ5 = λH
= 0.
5 e
113
Приходим в первом приближении для варианта 1 к формуле вида (12) и (20)
−1 + λ1 cos ψ + λ2 sin ψ = 0.
Заметим, что для второго варианта это соотношение выполняется в любом приближении. С помощью формулы (10) находим
λ1 = cos ψ,
λ2 = sin ψ.
(24)
Для определения в первом приближении закона изменения направления тяги подставим представления (24) в первое уравнение Эйлера—Лагранжа (18)
dψi
= εi λ02 x02i (x03 )−1 − λ03 + 0(ε2i ),
dτi
− sin ψi
i = 1, 2.
(25)
Вычислим по формуле (19) с помощью (22) нулевое приближение третьего лагранжевого множителя
λ0−
3 =
1
1 − 32
æpH (1 + e0 ) 2 (3 − e0 ),
4
−3
2
0 < λ0−
3 < æpH .
(26)
Проинтегрируем уравнение (25) для первого и второго вариантов
−3
ψi (τi ) = ψi (0) − æpH 2 N (e0 )τi − Ei (τi ),
−1
E1 = ur p−1
m ln(mH m−1 ) ,
H τ1 − α̃
E2 =
1 −1 2
β̃p τ ,
2 H 2
Ei (0) = 0.
(27)
При τi = 0 будет Ei > 0. Функция
3
1
1
2
λ0−
N (e0 ) = 1 − (1 + e0 ) 2 (3 − e0 ) = 1 − æ−1 pH
3
4
на отрезке e0 ∈ [0, 1] положительна, поэтому ψ1 и ψ2 монотонно убывают.
Используя (27), проинтегрируем первое уравнение системы (17) для двух вариантов
−1
0
− ur ψ1 (0) ln(mH m−1 ) + F1 (τ1 ),
x11 = æeH pH 2 sin fH
−1
0
− β̃ψ2 (0)τ2 + F2 (τ2 ).
x12 = æeH pH 2 sin fH
(28)
Функции F1 и F2 обладают свойством
Fi (0) = 0,
F2 (τ2 ) =
1 −1 2 − 12
pH β̃τ2 æpH (2 + N (e0 )) + β̃τ2 > 0.
2
(29)
Выражение F1 (τ ) ввиду его громоздкости не приводится. Отметим, что в конце участка
активного движения соотношения (28) принимают вид
−1
0
0
0
2
x−
1i = æeH pH sin fH − Vi ψi (0) + Fi (Λi ).
(30)
Согласно (18), λ4 = const. Исключаем λ4 из уравнений трансверсальности (13) и
(15) и приходим, как и в работе [9], к определению нулевого приближения углового
положения точки старта при анализе членов первого порядка
tg ϕ0H = (QH eH sin ωH − QK eK sin ωK )(QH eH cos ωH − QK e cos ωK )−1 ,
114
1 − 12
p (1 − e0 )1/2 (1 + e0 ).
(31)
4 K
Входящее в формулу (28) нулевое приближение истинной аномалии начальной орбиты
0
= ϕ0H − ωH . Если eH = 0, eK = 0, то
в точке старта определяется по формуле fH
0
0
0
ϕH = ωK . В этом случае принимаем fH = ϕH .
По формуле (17) для первого варианта
−1
QH = pH 2 N (e0 ),
QK =
−1
−1
0
x02 + ε1 x2 = æpH 2 + ε1 æeH pH 2 cos fH
+ ur ln
mH
.
mH − α̃τ1
В конце участка активного движения
V1 = ur ln
m0−
1
mH
= V0 + ε1 V1 ,
+ ε1 m−
1
0− −1
V1 = −ur m−
,
1 (m1 )
m−
1 = −αΛ1 ,
−1
0
−1
x2 (Λ1 ) = æeH pH 2 cos fH
+ αur Λ1 (m0−
.
1 )
Для второго варианта
−1
−1
0
x02 + ε2 x2 = æpH 2 + ε2 æeH pH 2 cos fH
+ β̃τ2 ,
и в конце активного участка
V2 = V0 + ε2 V2 ,
V2 = β̃Λ2 ,
−1
0
x2 (Λ2 ) = æeH pH 2 cos fH
+ β̃Λ2 .
(32)
С точностью до членов первого порядка малости для двух вариантов по формуле
(17) находим
0
x3 = −eH pH cos fH
.
(33)
Для первого варианта по формулам (17) и (23)
−1
−
−1
æpH 2 + ur τ1 − α̃−1 ur m ln(mH m−1 ) .
x−
4 = ϕ1 = ϕH1 + pH
В конце активного участка
−1
0
−1 −1
0
0
2
x−
pH mH V 0 + p−1
4 (Λ1 ) = ϕH1 − α̃
H (æpH + ur + V )Λ1 .
(34)
Для второго варианта
1 2 −1
− 32
−
x−
4 = ϕ2 = ϕH2 + æpH τ2 + β̃τ2 pH .
2
В конце участка активного движения
1 0 0
− 12
−1
0
x−
4 (Λ2 ) = ϕH2 + pH (æpH + V )Λ2 .
2
(35)
Из условия касания (4) в конечной точке имеем
−1
0
f + = −eK e−1
0 p0 pK sin fK .
(36)
115
Удовлетворим необходимым условиям экстремума в первом приближении. Из непрерывности величин полярных радиусов в начальной и конечной точках переходного эллипса, как и в работе [9], получаем
0
0
− eH cos fH
),
e = −p0 (pK + pH )−1 (eK cos fK
0
0
+ pK eH cos fH
).
p = −p0 (pK + pH )−1 (pH eK cos fK
(37)
Из условия трансверсальности (13) при учете формул (19) и (22) находим
−1
0
A = −p0 2 e−1
0 eH QH sin(ϕH − ωH ).
Условие трансверсальности (14), как и в работе [9], приводит к равенствам
1
e ,
B = − e−2
4 0
D =
1 −2
e (1 − e0 )e .
4 0
Запишем первое соотношение формулы (24) и условие непрерывности радиальной
скорости в точке стыковки активного участка и переходного эллипса
A + B0 e0 fi− = −ψi (Λ0i ),
−1
æe0 p0 2 fi− = x−
1i .
(38)
На основании (27), (30) и (38) имеем
− 12
fi− = e−1
0 (æp0
− V 0 B 0 )−1
1
−1
0
0
2
æpH 2 − e−1
eH sin fH
+
0 p0 Q H V
−3
+Fi (Λ0i ) − V0 æpH 2 N (e0 )Λ0i + Ei (Λ0i ) ,
1
−1
− 32
0
0
0
ψi (0) = − (1 + e0 )fi− + æ−1 p0 2 e−1
0 eH QH sin fH + æpH N (e0 )Λi + Ei (Λi ).
4
Заметим, что по формуле (22)
3
3
1
−1
− 12
(1 + e0 ) 2 − (1 − e0 ) 2 > 0.
æp0 2 − V 0 B 0 = æe−1
0 p0
4
(39)
(40)
С помощью формул (1), (31), (32) и (37) условие непрерывности трансверсальной
скорости в точке стыковки участка активного движения и переходного эллипса принимает вид
0
0
Vi = −æ eH QH cos fH
.
+ eK QK cos fK
−
−
+
= fK
. Все характеристики траНаконец, запишем ϕ− = x−
4 , ω = x4 − f , ϕK = ϕ
ектории первого порядка, за исключением входящей в формулы (34) и (35) поправки
ϕH = fH
углового положения точки старта, определены. Указанная величина определяется при рассмотрении членов второго порядка.
7. Найдем величины второго приближения для второго варианта. На основе (17)
составляем уравнение
1
dx2
= −ε22 x12 x02 (x03 )−1 + β̃(1 − ψ22 (τ2 )) + 0(ε32 ).
dτ2
2
Отсюда с помощью формул (27)-(29) получаем
1
−1
−1
0
0
sin fH
+ æpH 2 eH cos fH
− V 0 ψ 2 (0) − G(Λ02 ),
x2 (Λ02 ) = V − æpH 2 eH fH
2
116
(41)
где
1
1 0 1 0 0
0 −1 2
=
− V )eH sin fH − V ψ2 (0)(1 + N + V æ pH ) +
2
2
1
1 − 12 0
1 02
02 1 2 −1
2
+ V 0 p−1
æ
æp
V
Λ
p
(2
+
N
+
N
)
+
V
(3
+
2N
)
+
.
2
H
H
2
3
4 H
4
G(Λ02 )
−3
æpH 2 Λ02
−1
(æpH 2
Поправку второго порядка трансверсальной скорости в точке соединения активного и
баллистического участков можно определить на основе формулы (1):
1 −1 1 −1 1
3 2 −1 −1
− 12
−1 − 2
e
.
(42)
=
æp
−
p
−
p
p
−
p
(f
)
+
p
p
p
e
p
p
x−
0 H
2
0
0
0
H
H
2
2
2
8
Расход характеристической скорости второго порядка ε22 V найдем приравниванием
правых частей формул (41) и (42).
Входящие в формулу (42) поправки второго порядка эксцентриситета и параметра
переходного эллипса вычисляются на основании условий непрерывности величины полярного радиуса x3 в начале и в конце переходного эллипса. По формулам (17), (28),
(30) и (33) находим
0
2 0
0
0
sin fH
+ e2
x3 (Λ02 ) = pH eH fH
H cos fH − eH cos fH + R(Λ2 ),
1
1 − 32 0 02 1
1
1
−1
0
2
æpH V Λ2
(2 + N ) + æ−1 pH
− V 0 ψ2 (0)
V0 .
R(Λ02 ) = Λ02 æpH 2 eH sin fH
2
2
3
4
(43)
По формуле (1) с учетом (22)
1
−
−1
−1
1− 2
2 2 −1
x3 = pH p0
p − pH e + pH e0 (f ) − e p pH p0 + e pH p0
,
2
1
+
−1
−1
1+ 2
2 2 −1
x3 = pK p0
p + pK e − pK e0 (f ) + e p pK p0 + e pK p0
,
2
0
2 0
0
sin fK
+ e2
x3K = pK eK fK
K cos fK − eK cos fK .
+
Приравниваем x3 (Λ02 ) и x−
и x3K , получаем два уравнения для опреде3 , а также x3
ления p и e . После преобразований с помощью формул (37) будем иметь
1 1
0
−1
0
p = p0 e0 (f + )2 − (f 1− )2 − p (eK p−1
K cos fK + eH pH cos fH )+
2
2
0
−1 0
+p0 (eK p−1
K fK sin fK + eH pH fH sin fH )−
−2
0
−1
0
0
−p0 (eK p−1
K cos fK + eH pH cos fH ) + p0 pH R(Λ2 ) ,
1
−1 −1 1
0
0
e0 (pK (f 1+ )2 + pH (f 1− )2 ) − p (eK cos fK
− eH cos fH
)+
e = p0 pK pH
2
2
(44)
0
0
sin fK
− eH fH
sin fH
)−
+p0 (eK fK
0
0
0
− eH cos fH
) − p0 p−1
−p0 (eK cos fK
H R(Λ2 ) .
(45)
117
В формулы (44) и (45) входит величина fH
, которую ввиду вырожденности задачи
не удалось определить в первом приближении. Указанная величина вычисляется при
анализе членов второго порядка после исключения λ4 в условиях трансверсальности
(13) и (15). Получается соотношение
0
0
0
0
fH
(eH QH cos fH
+ eK QK cos fK
) = −eH QH sin fH
− eK QK sin fK
+
1
−
−
0
0
+eH æpH 2 (A + B0 e0 f − ) − pH sin fH
(2λ0−
3 eH cos fH − λ3 ) +
1
0+ +
+
0
0
+eK æp02 p−1
K (A + B0 e0 f ) + pK sin fK (2λ3 eK cos fK − λ3 )−
+
0
.
− f − ) cos fK
−pK λ0+
3 (f
(46)
−
+
Явные представления величин λ0+
3 , λ3 , λ3 приведены в работе [9].
Выражение для V с помощью формул (37), (41), (44) и (45) можно преобразовать
к принятому в работах [3, 9] виду
1 −1
1 − 12 2
0
p
V = æp0 2 p−1
−
p
+
e
p
cos
f
p
H
H +
H
2
4 0
1
1 2
0
0
0
0
æp02 p−2
sin fH
+ eH cos fH
(47)
+V 0
ψ (0) − eH fH
H R(Λ2 ) + G(Λ2 ).
2
Если в формуле (47) положить eH = 0 и опустить два последних члена, то получим
выражение для поправки второго порядка характеристической скорости импульсного
перехвата [9]. Но это совпадение только по форме. Чтобы выделить дополнительную
величину расхода характеристической скорости по сравнению с перехватом, в котором
расход массы в единицу времени или реактивное ускорение сколь угодно большие, надо
учесть формулы (39), (44) и (46).
8. Пусть eH = eK = 0. Нулевое приближение углового положения точки старта ϕ0H
определяется только во втором приближении на основании формулы (46) в виде
eH QH sin(ϕ0H − ωH ) − eK QK sin(ϕ0H − ωK ) = 0,
tg ϕ0H = (eH QH sin ωH − eK QK sin ωK )(eH QH cos ωH − eK QK cos ωK )−1 .
В этом случае A = 0, по формулам (36) и (37) f + = 0, e = 0, p = 0, B = D = 0. На
основании формул (26), (27), (29), (38)–(40) находим
−1
1
− 32
− 12
0−
0 0
0 0
æp
æp
f2− = e−1
V
Λ
−
λ
−
V
B
> 0,
(48)
2
3
0
H
2 0
1
1 −1 0
− 32
−
0−
p
ψ2 (0) = − p0 p−1
f
+
æp
−
λ
+
V
(49)
Λ02 .
3
H 2
H
4
2 H
По формулам (38) и (48)
ψ2 (Λ02 ) = −B0 e0 f2− < 0.
Поправка характеристической скорости второго порядка с использованием формул (44)
и (47) примет вид
1
1
− 2
0
0
+ eK QK cos fK
) − æe0 p02 p−1
V = −æ(eH QH cos fH
H (f2 ) +
8
1
1
1
−1
+ V 0 ψ22 (0) − æp02 p−2
H (1 − p0 pH )R + G.
2
4
118
Четыре последних слагаемых этого выражения, как показывают формулы (41), (43),
(48) и (49), вызваны учетом конечной длительности участка активного движения. Они
имеют разные знаки, и может показаться, что предельный случай импульсного перехвата окажется неоптимальным. Однако вычисления показывают, что для указанных
слагаемых суммы первых двух и последних двух будут положительными.
9. Поправки второго порядка для минимизируемого функционала, как показывают
формулы (47) и (49), не зависят от поправки второго порядка управления ψ. Тем самым
подтверждается справедливость теоремы об упрощенном аналитическом представлении управляемого процесса [3, 5]. В соответствии с указанной теоремой для построения
оптимальной траектории с точностью до членов второго порядка достаточно в уравнениях Эйлера—Лагранжа, условиях трансверсальности и функции H при получении
условий ее максимальности ограничиваться членами первого порядка. Однако ввиду
вырожденности начального приближения рассматриваемой задачи пришлось привлечь
условия трансверсальности первого порядка для определения нулевого приближения
углового положения точки старта и второго порядка при нахождении поправки первого
порядка указанной величины. При более глубоком вырождении, при котором эксцентриситеты граничных орбит на порядок меньше отношения длительности активного
участка ко всему времени движения, нулевое приближение углового положения точки
старта определяется с помощью условий трансверсальности второго порядка.
Предложенный в работе метод позволил в явном аналитическом виде определить
оптимальную по энергетическому расходу траекторию касательного перехвата второго порядка в двух вариантах: 1) при ограничении (6) на секундный расход массы и
2) при ограничении (7) на величину реактивного ускорения. Если для оптимальных
импульсных траекторий эти подходы приводят к одинаковому решению, то при учете конечной длительности активного участка соответствующие оптимальные решения
будут отличаться. При этом замена первого ограничения на второе существенно упрощает процедуру построения решения. В результате удалось получить отмеченные выше
общие выводы о поправках, вносимых учетом конечной продолжительности активного
движения.
Summary
V. S. Novoselov. Optimal traectories of the tangential spacing taking into accout of duration the
active section.
The variation method of the optinization complanar trajectories of the tangetial spacing taking
into account of duration the active section is proposed. An analitical construction of three degree of
approximation in problem of transters between complanar orbits with small eccentricities is given.
Литература
1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990.
448 с.
2. Кузмак Г. Е. Об учете протяженности активных участков при исследовании оптимальных перелетов между близкими околокруговыми некомпланврными орбитами // ДАН СССР.
1968. Т. 181. N 1. С. 42–45.
3. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972.
317 с.
4. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями
большой тяги. М., 1976. 744 с.
119
5. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая динамика управляемой системы. СПб.,
2002. 246 с.
6. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле // Космические исследования. Т. 4. Вып. 4. 1966. С. 499–509.
7. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий
траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Математические заметки. Т. 47. Вып. 1. 1990. С. 62–73.
8. Азимов Д. М. Аналитические решения для участков промежуточной тяги траекторий ракеты в ньютоновском поле // Прикладная математика и механика. Т. 60. Вып. 3. 1996. С. 426–
432.
9. Новоселов В. С. Оптимальные одноимпульсные траектории касательного пролета //
Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 108–115.
10. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л., 1969.
240 с.
Статья поступила в редакцию 17 ноября 2005 г.
120
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
245 Кб
Теги
оптимальное, активного, продолжительность, пролетах, касательного, траектория, участка, учетом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа