close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Отсутствие глобальных решений начально-краевых задач для систем полулинейных параболических уравнений с нелинейными нелокальными граничными условиями.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
2014. № 4(32). С. 23–26
УДК 517.95
ОТСУТСТВИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ
ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
А.И. Никитин
аспирант, e-mail: ip.alexnikitin@gmail.com
Витебский государственный университет им. П.М. Машерова
Аннотация. Рассмотрим начально-краевую задачу для системы реакциидиффузии с нелинейными нелокальными граничными условиями и неотрицательными начальными данными. Приведём достаточные условия отсутствия глобальных решений для случая min(m, n) > 1.
Ключевые слова: параболические уравнения, нелинейность, нелокальность, реакции-диффузии.
В этой работе рассматривается задача для системы полулинейных уравнений с нелокальными граничными условиями:


ut = 4u + c1 (x, t)v p , vt = 4v + c2 (x, t)uq ,



 u(x, t) = R k (x, y, t)um (y, t)dy,
1
RΩ

v(x, t) = Ω k2 (x, y, t)v n (y, t)dy,




u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x),
x ∈ Ω, t > 0,
x ∈ ∂Ω, t > 0,
x ∈ ∂Ω, t > 0,
(1)
x ∈ Ω,
где p, q, m, n — положительные константы, min(pq, m, n) > 1, Ω — ограниченная
область в RN , N ≥ 1, с достаточно гладкой границей ∂Ω, c1 (x, t), c2 (x, t) —
неотрицательные локально непрерывные по Гельдеру функции, определенные
при x ∈ Ω, t ≥ 0, k1 (x, y, t), k2 (x, y, t) — неотрицательные непрерывные функции, определенные при x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω, t ≥ 0, u0 (x), v0 (x) — неотрицательные
непрерывные функции, удовлетворяющие граничным условиям при t = 0.
Система (1) сформулирована из физических моделей, возникающих в различных областях прикладной науки. Например, она может быть интерпретирована как задача о теплопроводности с нелинейными нелокальными источниками на границе материального тела. В этом случае u(x, t), v(x, t) представляют
температуру взаимодействующих компонентов в процессе их изменения.
Локальное существование, вопросы единственности решения, а также принцип сравнения решений начально-краевой задачи (1) были рассмотрены в [1].
24
А.И. Никитин.
Отсутствие глобальных решений. . .
Будем говорить, что решение (u(x, t), v(x, t)) задачи (1) разрушается за конечное время, если существует такая положительная константа T < ∞, что
lim |u(·, t)|L∞ (Ω) + |v(·, t)|L∞ (Ω) = +∞.
t→T −
В этом случае T называют временем разрушения решения.
Пусть ϕ — собственная функция задачи 4ϕ + λϕ = 0, x ∈ Ω, ϕ = 0 для
x ∈ ∂Ω, соответствующая
первому собственному значению λ, которая выбрана
R
из условия Ω ϕ(x)dx = 1, ϕ(x) > 0 для x ∈ Ω. Обозначим
(2)
ϕs = max ϕ(x),
Ω
(3)
c1 (t) = min c1 (x, t), c2 (t) = min c2 (x, t),
Ω
k 1 (t) =
Ω
λ
λ
min k1 (x, y, t), k 2 (t) =
min k2 (x, y, t).
ϕs ∂Ω×Ω
ϕs ∂Ω×Ω
(4)
Пусть
Z
Z
v(x, t)ϕ(x)dx.
u(x, t)ϕ(x)dx, W2 (t) =
W1 (t) =
(5)
Ω
Ω
Продифференцировав W1 (t) по t и воспользовавшись формулой Грина, получим
Z
Z
0
W1 (t) =
ut (x, t)ϕ(x)dx =
(4u + c1 (x, t)v p )ϕdx =
Ω
Z
Z
ZΩ
Z
∂ϕ
∂u
ϕds −
uds + c1 (x, t)v p ϕdx.
=
4ϕudx +
∂Ω ∂n
Ω
Ω
∂Ω ∂n
R ∂ϕ
Учитывая, что ϕ(x) = 0 для x ∈ ∂Ω, равенство ∂Ω ∂n ds = −λ и граничные
условия в (1), имеем
Z
Z
Z
Z
∂ϕ
m
0
k1 (x, y, t)u (y, t)dy ds + c1 (x, t)v p ϕdx ≥
W1 (t) = − λuϕdx −
∂n
Ω
Ω
∂Ω
Z Ω
≥
(−λu + k 1 (t)um + c1 (t)v p )ϕdx.
(6)
Ω
Проведя аналогичные преобразования, можно получить, что
Z
0
W2 (t) ≥
(−λv + k 2 (t)v n + c2 (t)uq )ϕdx.
(7)
Ω
Для max(p, q, m, n) ≥ 1 рассмотрим следующую систему дифференциальных
уравнений:

∗
0
m
∗
p

t > 0,

 f (t) = −λf (t) + k 1 (t)f (t) + c1 (t)g (t),
g 0 (t) = −λg(t) + k ∗2 (t)g n (t) + c∗2 (t)f q (t),


 f (0) = R u (x)ϕ(x)dx, g(0) = R v (x)ϕ(x)dx,
Ω 0
Ω 0
t > 0,
(8)
где k ∗1 (t) = k 1 (t) при m ≥ 1 и k ∗1 (t) = 0 при m < 1, k ∗2 (t) = k 2 (t) при n ≥ 1 и
k ∗2 (t) = 0 при n < 1, c∗1 (t) = c1 (t) при p ≥ 1 и c∗1 (t) = 0 при p < 1, c∗2 (t) = c2 (t)
при q ≥ 1 и c∗2 (t) = 0 при q < 1.
Математические структуры и моделирование. 2014. № 4(32)
25
Теорема 1. Пусть p ≥ 1, q ≥ 1, pq > 1 или max(m, n) > 1 и задача Коши (8)
не имеет глобального решения. Тогда задача (1) не имеет нетривиального
глобального решения.
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай p, q, m > 1, n < 1.
Доказательство для остальных случаев аналогично. Применив неравенство
Йенсена к (6), (7), получим
Z
0
W1 (t) ≥
(−λu + k 1 (t)um + c1 (t)v p )ϕdx ≥ −λW1 (t) + k 1 (t)W1m (t) + k 2 (t)W2p (t),
Ω
W20 (t)
Z
≥
(−λv + k 2 (t)v n + c2 (t)uq )ϕdx ≥ −λW1 (t) + c2 (t)W1q (t).
Ω
Тогда из принципа сравнения решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и условий теоремы следует, что задача (1) не имеет нетривиального неотрицательного глобального решения.
Замечание 1. Из Теоремы 1 мы можем получить условия отсутствия глобального решения задачи (1) для достаточно больших начальных данных. Например, легко увидеть, что при m > 1 и выполненном условии
Z
(m − 1)exp(−λ(1 − m)τ )
W1 (τ ) >
∞
1
− m−1
,
k1 (t)exp[(1 − m)λt]dt
(9)
τ
или n > 1 и
W2 (τ ) >
Z
(n − 1)exp(−λ(1 − n)τ )
∞
1
− n−1
k2 (t)exp[(1 − n)λt]dt
,
(10)
τ
где τ — некоторая неотрицательная константа, задача (1) не имеет нетривиального глобального решения.
Из (9) и (10) следует, что при m > 1 и
Z ∞
k 1 (t)exp(λ(1 − m)t)dt = ∞,
(11)
0
или при n > 1 и
Z
∞
k 2 (t)exp(λ(1 − n)t)dt = ∞,
(12)
0
задача (1) не имеет нетривиального глобального решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gladkov A.A Reaction-Diffusion System with Nonlinear Nonlocal Boundary Conditions
// International Journal of Partial Differential Equations. 2014. V. 2014. Article
ID 523656. 10 p.
26
А.И. Никитин.
Отсутствие глобальных решений. . .
THE NONEXISTENCE OF GLOBAL SOLUTIONS OF INITIAL BOUNDARY
VALUE PROBLEMS FOR SYSTEMS OF SEMILINEAR PARABOLIC
EQUATIONS WITH NONLINEAR NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS
A.I. Nikitin
graduate student, e-mail: ip.alexnikitin@gmail.com
Vitebsk State University n.a. P.M. Masherov
Abstract. We consider initial boundary value problem for a reaction-diffusion system
with nonlinear and nonlocal boundary conditions and nonnegative initial data. We give
sufficient conditions of nonexistence of global solutions for the case min(m, n) > 1.
Keywords: parabolic equations, nonlinearity, nonlocality, reaction-diffusion.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа