close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценивание распределений в зависимости доза эффект при фиксированном плане эксперимента в случае непрямых наблюдений.

код для вставкиСкачать
Математика
Вестник Нижегородского университета
им. Криштопенко
Н.И. Лобачевского, 2007, № 2, с. 158–164
М.С. Тихов, Д.С.
158
УДК 519.2
ОЦЕНИВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ДОЗА – ЭФФЕКТ
ПРИ ФИКСИРОВАННОМ ПЛАНЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В СЛУЧАЕ НЕПРЯМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
 2007 г.
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
tikhovm@mail.ru
Поступила в редакцию 16.02.2007
Целью настоящей работы является установление свойств оценок Надарая – Ватсона функции распределения в зависимости доза – эффект, когда вводимые дозы не являются случайными величинами,
а фиксированы заранее и измеряются с ошибкой, накладываемой аддитивно. Доказана асимптотическая нормальность интегрированных квадратичных ошибок рассматриваемых оценок, построенных по
непрямым наблюдениям. Изучение таких статистик представляет интерес в токсикометрии при определении среднеэффективных доз. Эти результаты могут быть использованы для построения критериев
проверки гипотез согласия и однородности в зависимости доза – эффект.
1. Непараметрические оценки
функции распределения
Пусть X 1 , X 2 ,... X n – независимые и одинаково распределенные случайные величины с
неизвестной непрерывной функцией распределения F (x ) f(x)=F′(x). Мы вводим неслучайные
где
S1n ( x) =
1 n
∑ K h (Yi − x) ,
n i =1
1 n
(1)
∑Wi K h (Yi − x) ,
n i =1
ядро K (⋅) ≥ 0 задано на R , h > 0 – параметр
S 2 n ( x) =
дозы u i , которые имеют ошибку ε i , налагаемую аддитивно, и наблюдаем эффект от введенных доз, т.е. мы получаем выборку
{ (Wi ,Yi ), i = 1,..., n } , где Yi = u i + ε i ; ε1 , ε 2 ,..., ε n
сглаживания (детерминированная числовая последовательность, такая, что h n
→ 0 , но
→∞
– независимые и одинаково распределенные
случайные величины с плотностью распределения q ( x ) > 0 ,
x ∈ R , независимые от
(А0) max | ui − ui −1 |= O ( n ) при n → ∞ .
{ X i ,1 ≤ i ≤ n } ; Wi = I ( X i < u i ) – индикатор
( X i < ui ) . Рассматривается задача
оценивания функции распределения F ( x ) по
выборке { (Wi , Yi ), i = 1,..., n } , а также задача
события
проверки гипотез согласия и однородности. В
токсикометрии (см. [1]) данная модель интерпретируется как зависимость доза-эффект, где
X – минимальная доза, с которой начинается
реакция организма, u i – вводимые в организм
неслучайные дозы, а Yi – измеренные с неизвестной ошибкой дозы.
Для оценки F ( x ) , следуя Надарая и Ватсону
(см., например, [2, 3]), используют статистики
S ( x)
Fn ( x) = 2 n
,
S1n ( x)
nh n
→ ∞ ), K h ( x) = (1 h )K ( x h) .
→∞
Рассмотрим следующие условия (А).
−1
i
(А1) K ( x ) ≥ 0 – ограниченная четная функция.
(А2) K ( x ) = 0 для x ∉ [−1,1] .
(А3)
∫ K ( x)dx = 1.
(А4) Функция f (x ) – непрерывно дифференцируема,
∫ ( f ′( x))
2
dx < ∞ , а вторая произ-
водная f ′′(x ) – ограниченная функция.
IV
(А5) Четвертая производная q ( x) есть ограниченная функция.
При
сделанных
предположениях
|| K ||2 = ∫ K 2 ( z )dz < ∞, ν 2 = ∫ z 2 K ( z )dz < ∞ .
Асимптотическое поведение эмпирического
процесса
nh ( Fn ( x) − F ( x)) , когда вводимые
дозы были случайными величинами, исследовалось в работе [4], где установлена асимптотиче-
159
Оценивание распределений в зависимости доза – эффект при фиксированном плане эксперимента
ская нормальность статистик Fn (x ) . В работе
[5] доказана асимптотическая нормальность
статистик Fn (x ) для фиксированных планов
эксперимента, когда вводимые дозы измеряются без ошибок, и установлена в этих условиях
асимптотическая нормальность интегрированных квадратичных ошибок. Здесь мы рассматриваем случай, когда вводимые дозы измеряются с ошибкой. Результаты данной работы докладывались на 9-й Вильнюской Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (см. [6]).
Исследуем поведение указанных статистик
для данной ситуации. Начнем с суммы S1n ( x ) .
Имеем
E ( S1n ( x)) =
=
1 n
 x − ui − ε i 
EK 
=
∑
nh i =1
h


1 n
 x − ui − y 
q ( y )K 
dy .
∑
∫
nh i =1
h


В силу условия (А0), полученное выражение
является интегральной суммой, причем погрешность аппроксимации не превосходит C n
(см. [5]).
Таким образом,
E ( S1n ( x)) =
Заметим, что
∫ q( x − t )dt = 1 , откуда полу-
∫ q′′( x − t )dt = 0 .
Из условий (А1)–(А3) заключаем, что
E ( S1n ( x)) = ∫ q ( x − t )dt + O(h 4 ) +
1
+ O  = 1 + O( h 4 ) ,
n
если, например, h = O (n −1 / 5 ) .
Рассмотрим D ( S1n ( x)) . Имеем
1
2 2
n h
  x − ui − ε i
h

n
∑ D K 
i =1
~ ∫ dt ∫ q( x − t )K 2 ( z )dz =

  ~

|| K ||2
.
nh
n → ∞ , то
D ( S1n ( x)) → 0 , поэтому S1n ( x) = 1 + O p (h 4 )
при n → ∞ .
Обратимся теперь к сумме S 2 n ( x ) . Ее математическое ожидание при n → ∞ имеет слеnh → ∞
Поскольку
при
дующее представление
1 n
 x − ui − ε i 
F (ui ) EK 
=
∑
nh i =1
h


1
1
 x−t − y 
= ∫ F (t )dt ∫ q ( y ) K 
 dy + O  =
h
h
n


1
= ∫ F (t )dt ∫ q ( x − t + zh) K ( z ) dz + O  =
n
E( S 2 n ( x)) =
= ∫ F ( t )q( x − t )dt +
+
ν 2h2
∫ F (t )q ′′( x − t )dt + O(h
2
Обозначим
4
1
) + O  .
n
Φ ( x ) = ∫ F (t ) q( x − t )dt . Тогда
Φ ′′( x ) = ∫ F (t ) q′′( x − t )dt =
1
 x−t − y
dt ∫ q ( y ) K 
dy +
∫
h
h


1
+ O  = ∫ dt ∫ q ( x − t + zh) K ( z ) dz +
n
1
+ O  = ∫ dt ∫ { q ( x − t ) + q′( x − t ) zh +
n
z 2h2 
1
4
′
′
+ q (x − t)
 K ( z ) dz + O(h ) + O  .
2 
n
чаем
D( S1n ( x)) =
= ∫ F ′′(t )q( x − t )dt .
С учетом последнего замечания
E ( S 2 n ( x)) = Φ( x) +
ν 2h 2
1
Φ′′( x) + O  .
2
n
Дисперсия суммы S 2 n ( x ) равна
 1 n
 x − ui − ε i  
D ( S 2 n ( x)) = D  ∑ Wi K 
  =
h


 nh i =1
=
1 n 
 x − ui − ε i  
D Wi K 
  =
2 2 ∑
n h i =1 
h


=
1 n 
 x − ui − ε i  
E Wi K 2 
  −
2 2 ∑
n h i =1 
h


−
1
2 2
n h
~
n
∑E
i =1
2

 x − ui − ε i
Wi K 
h



  ~

|| K ||2
F ( t )q( x − t )dt −
nh ∫
160
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
−
h
|| K ||2 Φ( x )
2
2
F
(
t
)
q
(
x
−
t
)
dt
~
.
nh
nh ∫
ции распределения Fn (x ) , которая задается
формулой
I n = ∫ ( Fn ( x) − Φ ( x)) 2 ω ( x)dx =
Таким образом,
= ∫ ( Fn ( x) − E ( Fn ( x)))2 ω ( x) dx +
|| K ||2 Φ ( x)
D ( S 2 n ( x)) ~
.
nh
+ ∫ (E ( Fn ( x)) − Φ ( x))2 ω ( x)dx +
Поскольку S1n ( x ) = 1 + O p ( h ) , то в качест4
ве оценки усредненной функции распределения
Φ ( x ) мы будем рассматривать Fn ( x ) = S 2 n ( x ) .
Теорема 1. Пусть выполнены условия (А) и
h = cn -1 5 . Тогда
+ 2∫ ( Fn ( x) − E ( Fn ( x)))(E ( Fn ( x)) −
− Φ ( x ))ω ( x ) dx .
Здесь функция ω (x) играет роль весового
множителя. Не умаляя общности, будем считать
ω ( x) ≡ 1 . Изучим каждое слагаемое этого выражения в отдельности. Заметим при этом, что
d
nh ( Fn ( x) − Φ ( x)) 
→ ζ ∈ N ( a( x), σ ( x)),
n→∞
величина
nh ( F ( x ) − Φ ( x )) → ζ ∈ N ( a ( x ), σ ( x )),
2
где
a ( x) = (1 2)c5 2ν 2Φ′′( x)
и
σ 2 ( x) =
2
являет-
n
ся неслучайной.
Пусть
I n1 = ∫ ( Fn ( x) − F ( x))2 dx .
= || K ||2 Φ( x) .
Доказательство. Асимптотическая нормальность Fn (x ) следует из предыдущих рассуждений
и
ограниченности
слагаемых
∫ (E ( F ( x)) − Φ( x)) ω ( x)dx
I n1 = h 2 n −1 J n1 , J n1 =
(i)
1
12 3
n h
n
∑Z
n1i
,
i =1
где
пользованием центральной предельной теоремы
Линдеберга – Феллера.

 x − ui − ε i 
Z n1i = ∫  Wi K 
−
h




 x − ui − ε i   
− E Wi K 
  { E ( Fn ( x)) − Φ( x)}dx.
h
 


2. Интегрированные квадратичные ошибки
непараметрических
оценок функции распределения
Лемма 1. Пусть выполнены условия (А). Тогда при n → ∞ последовательность J n1
асимптотически нормальна с параметрами
 x − ui − ε i 
Wi K 
 (см. [7], с. 291-292) с исh


Пусть X 1 , X 2 ,..., X n – независимые и одинаково распределенные случайные величины с
неизвестной непрерывной функцией распредеF (x) . Мы наблюдаем выборку
ления
{ ( Wi , Yi ), i = 1,..., n} , Yi = ui + ε i , где u i – вводимые неслучайные дозы, измеряемые с ошибкой ε i , налагаемой аддитивно, с плотностью
распределения q ( y ) , Wi = I ( X i < u i ) – индикатор события ( X i < u i ) . Рассмотрим последовательность оценок функции распределения
вида
1 n
Fn ( x) = ∑ Wi K h ( x − Yi ) .
n i =1
Мы будем исследовать поведение интегрированных квадратичных ошибок оценок функ-
(0, σ 12 ) , где
{∫ Φ( x)(Φ′′( x)) dx −
− ∫ F (t ) dt ( ∫ Φ′′(u )q (u − t )du ) } .
σ 12 = (ν 4 4)
2
2
2
Доказательство.
Нетрудно
видеть,
n
что
E ( Z n1i ) = 0 . Пусть sn2 = ∑ E( Z n21i ) . Рассмотi =1
рим условие Линдеберга [8]:
1 n
E{Z n21i I (| Z n1i |> εsn )} ≤
2 ∑
sn i =1
≤
1
sn4ε 2
n
∑ E{Z
4
n1i
I (| Z n1i |> εsn )} ≤
i =1
≤
n
1
sε
4
n
2
∑ E( Z
i =1
4
n1i
).
Оценивание распределений в зависимости доза – эффект при фиксированном плане эксперимента
Справедливость данной теоремы будет доказана, если показать, что D ( J n1 ) n
→ σ 12 , а
→∞
E ( Z n41i ) = O (h12 ) .
птотически при n → ∞ нормальна с параметрами (0, σ 1 ) .
2
Рассмотрим теперь первое слагаемое в I n .
Имеем:
Определим Z n1i = Yn1i − E (Yn1i ) , где
Yn1i
2
∫ ( Fn ( x ) − E( Fn ( x ))) dx =
2
 x − yi 
= 2 2 ∑ ∫ {Wi K 
−
n h 1≤ i < j ≤ n
 h 
 x − ui − ε i 
= ∫ Wi K 
×
h


×{E ( Fn ( x)) − Φ ( x)}dx .
 x − yi 
− F (ui )EK 
} ×
 h 
Для целого k ≥ 1 обозначим tn = E ( Yn1i ) .
(k )
k

 x − y j 
 x− yj 
 dx +
 − F (u j )EK 
× W j K 

 h 
 h 

Тогда

 x − ui − ε i 
tn( k ) = E  Wi ∫ K 
×
h



k
× [ E ( Fn ( x)) − Φ( x)] dx } =
 x − yi 
−
h 
i =1
 x − yi  2
− F (ui ) EK 
} dx .
 h 
I n 2 = n −1h -1J n 2 ,
+

 x − ui − y 
= F (ui ) ∫ q ( y )dy  ∫ K 
×
h



k
ν 2 h 2
 
×
Φ ( x) + C1h 2 ) dx  ~
 2
 
~
ν 2 k h3k
2
k
(ii)
Jn2 =
F (ui ) ∫ q ( y ) (Φ′′( y + ui ))k dy .
E ( Z n21i ) = tn(2) − (tn(1) ) 2
1
2 2
nh
n
∑ ∫ {W K 
i
1 n 
 x − ui − ε i 
−
 Wi K 
∑
∫
nh i =1 
h


2
 x − ui − ε i  
− F (ui ) EK 
  dx .
h


В силу того, что
и
161
Лемма 2. Пусть выполнены условия (А).
Тогда
p
σ 22 , где δ 22 = || K ||2 ∫ Φ( x)dx .
E ( Z n41i ) = tn(4) − 4tn(3)tn(1) + 6tn(2) (tn(1) ) 2 − 3(tJn(1)n 2) 4
,→
n →∞
(Z n4 i ) = tn(4) − 4tn(3)tn(1) + 6tn(2) (tn(1) )2 − 3(tn(1) )4 ,
(
)
получаем E Z n1i = O ( h ) . Кроме того,
4
D ( J n1 ) =
∼
ν4
4
12
1
nh 6
n
∑ E (Z
2
n1i
)~
i =1
{∫ ∫ F (t )q ( y )(Φ′′( y + t ))2 dtdy −
Доказательство. Имеем:
1 n
 x − ui − ε i 
E( J n 2 ) =
E{Wi K 
−
∑
∫
nh i =1
h


 x − ui − ε i  2
− F (ui ) EK 
} dx =
h


2

 x − ui − ε i  
− F (ui ) EK 
  }dx ~
h



n
1
~ ∑ ∫ {F (ui ) || K || 2 q ( x − u i ) −
n i =1
− hF 2 (u i )q 2 ( x − u i )}dx ~
2
− ∫ F (t )dt{∫ q ( y )Φ ′′( y + t )dy} } =
2
=
ν4
4
2
{∫ ∫ F (t )q (u − t )(Φ′′(u ))2 dtdu −
− ∫ F 2 (t )dt{∫ q ( y − t )Φ ′′( y )dy}2 } =
=
ν4
{∫ Φ (u )(Φ′′(u )) 2 du −
4
− ∫ F (t )dt{∫ q ( y − t )Φ ′′( y )dy}2 } .
2
Отсюда по центральной предельной теореме
(см. [8], с 237), последовательность J n1 асим-
~ || K ||2 ∫ Φ ( x)dx − h ∫ ∫ F 2 (t )q 2 ( x − t )dxdt .
Пусть
 x − ui − ε i 
Z i = ∫ Wi K 
dx .
h


Тогда
162
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
Но (a + b) 4 ≤ 8( a 4 + b 4 ) , поэтому
8
D( J n 2 ) ≤ 2 2
nh
n
∑ (E Z
4
i
i =1
2 3
p
|> δnh 3 2 ) | Fi −1 ) 
→
0, δ ∈ (0,1) .
n→∞
∑
i =2
E(α ni2 ) = ∑ i =1 E(ξ ni2 ) .
Имеем:
n
E(ξ ni2 ) = E( ∫∫ηi ( x)ηi ( y ) ∑η j ( x)η j ( y )dxdy ) ~
~ h 2 ∫ F (ui )q ( x − ui ) ∑ F (u j )q ( x − u j )dx ×
j = i +1
× ∫ dv ( ∫ K (u ) K (u + v)du ) 2 .
× ∫ dv
 x − ui − ε i 
− F (ui )EK 
.
h


∑ F (u ) ×
i
i =1
( ∫ K (u) K (u + v) du ) ∑ F (u ) ×
2
n
j
j = i +1
+∞
σ 32 = ∫ ∫ F2 (x)q 2 (y - x)dxdy ×
( ∫ K (u) K (u + v)du )
n −1
× ∫ q ( x − ui )q ( x − u j ) dx n
→ ∫ F (t ) ×
→∞
Лемма 3. Пусть выполнены условия (А).
Тогда при n → ∞ последовательность J n 3
асимптотически нормальна с параметрами
(0, σ 32 ) , где
× ∫ F ( z ) ∫ q ( x − t )q ( x − z ) dxdzdt ×
t
× ∫ dv
.
n −1
j =i +1
j =1
2
~
( ∫ K (u) K (u + v)du )
2
= σ 32 .
Далее,
2
n
( ∫ K (u) K (u + v)du )
~ ∫ ∫ F 2 ( x)q 2 ( y − x) dxdy ×
× ∫ dv
Доказательство. Определим величины
ξ ni = η i ( x) ∑η j ( x) , α ni = η i ( x)∑η j ( x) .
E(α ni4 ) = E{∫∫∫∫ηi ( x)ηi ( y )ηi (u )ηi (v) ×
i −1
i −1
i −1
j =1
k =1
× ∑ηm ( x)∑η j ( y )∑ηk (u ) ×
m =1
i
× ∑ηl (v)dxdydudv} ~
С учетом последнего
2
ξ ni = 3 2
∑
nh
i =1
n −1
n
1 n
1
E(α ni2 ) = 2
2 3 ∑
n h i =1
n
 x − ui − ε i 
−
h


J n3
1
2
∑ E(α ni I ( ξni >
n h i =1
(б)
Следовательно, при n → ∞ ,
ηi ( x ) = Wi K 
n −1
n →∞
i =1
j = i +1
2
J n 3 = 3 2 ∑ ∫ ηi ( x )η j ( x )dx ,
nh 1≤i< j ≤n
2
= 32
nh
p
| Fi −1 ) 
→
σ 32 ;
2
ni
n
I n3 = n −1h −1 2 J n 3 ,
× ∫ dv
∑ E(α
n −1
+ ( EZ i ) ) ≤
8
K 4 ( z ) dz n
→ 0 ,
→∞
∫
nh
1
2
n −1
1
2 3
n h
(а)
Заметим, что
в силу условия (А1).
Из неравенства Чебышева следует утверждение леммы.
(iii)
порожденная величинами X 1 , X 2 ,..., X k . Для
того, чтобы доказать асимптотическую нормальность величин J n 3 , необходимо показать
(см. [9, 10]) , что
4

8 n
1
 x − ui − y 
~ 2 ∑  F (ui ) ∫ K 4 
q( y )dy  ~
h
h
n h i =1



~
σ -алгебра,
Пусть Fk = σ ( X 1 , X 2 ,..., X k ) –
2
 1 n

D ( J n 2 ) = D  ∑ ( Z i − EZ i )  =
 nh i =1

n
1
= 2 2 ∑ D ( Z i − EZ i ) 2 =
n h i =1
1 n
= 2 2 ∑ E( Z i − EZ i ) 4 −
n h i =1
2
1 n
− 2 2 ∑ ( E( Z i − E Z i ) 2 ) ≤
n h i =1
1 n
≤ 2 2 ∑ E( Z i − EZ i ) 4 .
n h i =1
l =1
n
∑α
i =2
ni
.
i −1
~ Ah5 ∫ F (ui ) q ( x − ui )∑ F (u j )q ( x − u j )dx ,
j =1
163
Оценивание распределений в зависимости доза – эффект при фиксированном плане эксперимента
где
A = ∫∫∫ dydudv{ ∫ K ( t )K ( t + y ) ×
× K ( t + u )K ( t + v )dt } 2 < ∞ .
Тогда,
1 n
E(α ni2 I (| α ni |> δnh3 / 2 )) ≤
2 3 ∑
n h i =2
n
1
≤ 2 4 6 ∑ E(α ni4 ) ∼
δ n h i =2
A n
~ 2 4 ∑ ∫ F (ui ) q( x − ui ) ×
δ n h i=2
i −1
× ∑ F (u j ) q ( x − u j ) dx ~
j =1
u
A
~ 2 2 ∫ du ∫ dv ∫ F (u ) q( x − u ) ×
δ nh
0
× F ( v )q( x − v )dx =
A
= 2 2 ∫ Φ 2 ( x ) dx n
→ 0 ,
→∞
2δ n h
что доказывает (б).
Пусть
nβ n2 = ∑ i=1 E(α ni2 ) , bni2 = E(α ni2 | Fi −1 ) ,
n
Vn2 = ∑ i=1 bni2 .
n
Из леммы 1 следует, что
2
22
22
22
β2n2:∼ n 2 hV
1 ∫ Φ ( x )(1 − Φ ( x )) dx .
Если C1 подходящая константа, то
E(Vn4 ) = 2
∑
V12 = ∫ K 22 ( x) dx = ∫ dv
= 167 / 387 ≈ 0.434 .
Если в качестве плотности q ( x ) взять плот-
N (0, γ 2 )
при γ → 0 , то получим Φ ( x ) → F ( x ) , тогда
ность нормального распределения
∫
как в нашем случае σ 32 = V12 F 2 ( x ) ω 2 ( x ) dx .
Увеличение дисперсии связано с большей неопределенностью данных, а именно, в нашем случае присутствуют ошибки измерений.
(iv) Имеем
I n − ∫ (E( Fn ( x)) − Φ ( x)) 2 dx = 2 I n1 + I n 2 + I n3 .
Пусть
µ (n) = ∫ E( Fn ( x) − Φ ( x))2 dx =
= ∫ (E ( Fn ( x)) − Φ ( x))2 dx + n −1h −1σ 22 .
Заметим, что случайные величины I n1 и I n 2
являются асимптотически некоррелированными
случайными величинами и при n → ∞ распределены по нормальному закону. Из лемм 1–3
получаем представленный ниже результат.
Теорема 2. При указанных условиях на (А) и
в предположении h → 0 и nh → ∞ при
n → ∞ имеем:
Если nh → ∞ , то
5
(i)
d
n1 2h −2 ( I n − µ (n)) 
→
ζ 1 ∈ N (0, σ 12 ) .
n→ ∞
i =1
Если nh → 0 , то
5
(ii)
nh
β n− 4E(Vn2 − β n2 )2 → 0 и β n− 2Vn2 → 1 , (2)
(iii)
по вероятности при n → ∞ , что доказывает
пункт (а). Из (2) и теоремы 1 [9] следует лемма 3.
−1 2
d
( I n − µ (n)) 
→
ζ 2 ∈ N (0,2σ 32 ) .
n→ ∞
Если nh → λ , λ ∈ (0,1) , то
5
d
nh −1 2 ( I n − µ (n)) 
→
n→∞
ζ 3 ∈ N (0, λ σ + 2λ −1 5σ 32 ) .
4 5
Замечание
1.
Для
ядра
Епанечникова
K ( x) = (3 4)(1 − x 2 ) I (| x |≤ 1) свертка равна
( K ∗ K )( x ) =
(3 360)(32 − 40 x 2 + 20 x 3 − x 5 ),

0 ≤ x ≤ 2;
=
.
2
3
5
x
x
x
(
3
360
)(
32
−
40
−
20
+
),

 − 2 ≤ x < 0.

Для нее
=
σ 32 = (1/ 2) ∫ F 2 ( x)(1 − F ( x))2 ω 2 ( x) dx .
bnibnj + ∑ bni2 ≤
≤ n ⋅ C1 A ∫∫ Φ 2 ( x) q ( x − t ) dxdt ,
2
Замечание 2. Для фиксированного плана
2
эксперимента (см. [5]) дисперсия σ 3 равна
n
2≤ i < j ≤ n
( ∫ K (u) K (u + v )du )
2
1
Таким образом, в данной работе установлена
асимптотическая нормальность интегрированных квадратичных ошибок для оценок Надарая –
Ватсона в случае фиксированных планов эксперимента и непрямых наблюдений. Для прямых
наблюдений и фиксированных планов аналогичные результаты получены в [5]. Полученные
результаты обобщают их, что позволяет строить
критерии согласия функции распределения и
однородности двух выборок в зависимости доза-эффект и по непрямым наблюдениям.
164
М.С. Тихов, Д.С. Криштопенко
Список литературы
1. Криштопенко С.В., Тихов М.С. Токсикометрия эффективных доз. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ,
1997. – 156 с.
2. Надарая Е.А. Об оценке регрессии // Теор. вероятн. и ее примен. 1964. Т. 9. В. 1. С. 157–159.
3. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sankhyā. 1964. V. 26. P. 359–372.
4. Tikhov M.S. Statistical Estimation on the Basis
of Interval-Censored Data // J. Math. Sciences. 2004.
V. 119, No 3. P. 321–335.
5. Тихов М.С., Криштопенко Д.С., Ярощук М.В.
Оценивание распределений в зависимости доза-
эффект при фиксированном плане эксперимента //
Стат. методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. – Пермь, 2006. С. 66–77.
6. Tikhov M.S., Krishtopenko D.S. Asymptotic distribution for integrated square error at the fixed plan of
experiment // 9th Intern. Vilnius Conf. on Prob. Theor.
and Math. Stat.: Abstract of Communications. Vilnius:
Inst. Math., 2006. P. 312–314.
7. Лоэв М. Теория вероятности. – М.: ИЛ, 1962.
720 с.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –
М.: Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.
9. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. – М.: Наука, 1986. – 512 с.
ESTIMATION OF DISTRIBUTIONS IN DOSE – RESPONSE DEPENDENCE
AT THE FIXED PLAN OF EXPERIMENT FOR INDIRECT OBSERVATIONS
T .S. Tikhov, D.S. Krishtopenko
This paper is aimed at determining the properties of the Nadaraya – Watson estimators for the distribution functions in the dose – response dependence in the case where the input doses are not random quantities, but fixed a priori and measured with some additive error. We prove the asymptotic normality of the
L2 -deviation of the consid-
ered estimators constructed for indirect observations. Studying such statistics is of interest for determination of mean
effective dose in toxicometry. The results can be applied to construct the criteria for testing goodness-of-fit and homogeneity hypotheses in the dose – response dependence.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа