close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка дефекта стабильности деформации множества позиционного поглощения в дифференциальной игре сближения-уклонения.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
УДК 517.977
ОЦЕНКА ДЕФЕКТА СТАБИЛЬНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ МНОЖЕСТВА
ПОЗИЦИОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ
СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ
c В.Н. Ушаков, А.А. Успенский, А.А Зимовец
Ключевые слова
: дифференциальная игра; уравнение типа ГамильтонаЯкоби; свойство
стабильности; дискриминант.
Изучаются деформации множества позиционного поглощения в дифференциальной игре сближения-уклонения с замкнутой целью на конечном промежутке времени. Приводится оценка сверху дефекта стабильности деформации, полученной в результате
дискриминантных преобразований границы множества позиционного поглощения.
Рассматривается дифференциальная игра сближения-уклонения с замкнутой целью на
конечном промежутке времени. Основным элементом конструкции, доставляющей решение
игры, выступает множество позиционного поглощения [1]. Известно, что в общем случае оно
имеет негладкую границу. С целью улучшения дифференциальных свойств границы указанное множество деформируется (и тем самым регуляризуется) с помощью дискриминантных
преобразований с коэффициентом ? > 0. Изучается вопрос о дефекте стабильности вновь
построенного множества, мотивированный намерением использовать эту деформацию для
решения игры в ѕмягкойї постановке. Под ѕмягкойї постановкой понимается такая постановка задачи о сближении (в рамках игры), которая предполагает не точное попадание
движения конфликтно-управляемой системы на целевое множество, а приведение движения
в некоторую его окрестность.
Изучаемая проблема тесно связана со свойствами сопутствующего дифференциальной
игре минимаксного решения для уравнения типа ГамильтонаЯкоби
??
+ H(t, x, ??) = 0.
?t
t ? [t0 , ?] ? R, фазовый вектор x ? R2 , функция ? : [t0 , ?] Ч R2 ? R,
?? = ?? , ?? градиент, H(t, x, ??) : [t0 , ?] Ч R2 Ч R2 ? R гамильтониан динами?x1 ?x2
Здесь
ческой системы. На гамильтониан накладываются условия, обеспечивающие существование
минимаксного решения задачи Коши при заданной краевой функции на правом конце отрезка [t0 , ?] [2].
Пусть (t, y) ? [t0 , ?] Ч R2 точка, в которой локально определенное решение уравнения
?(0) (t, y) = 0 с кусочно-гладкой правой частью дифференцируемо. Величину
k(t, y) = ??(0) (t, y)
??(0)
(t, y) + H t, x, ??(0) (t, y)
?t
будем называть [3, 4] индексом стабильности решения уравнения в указанной точке. Содержательно индекс стабильности это числовая величина, характеризующая в зависимости
от своего знака и модуля локальную меру стабильности или же нестабильности решения ?
уравнения ?(0) (t, y) = 0 в точке рассмотрения.
В дальнейшем полагаем, что решение ? уравнения ?(0) (t, y) = 0 допускает кусочногладкую параметризацию вида (t, x) = ?, a(?, t), b(?, t) , ? ? [?1 , ?2 ] ? R, t ? [t0 , ?] ? R.
1203
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
С точки зрения геометрии ? является кусочно-гладкой поверхностью,
склеенной
непре
рывно по времени t ? [t0 , ?] из замкнутых кривых ?t = x = a(?, t), b(?, t) : ? ? [?1 , ?2 ] ,
параметризованных посредством ? ? [?1 , ?2 ].
В работе показывается, что если множество ? интегральная поверхность для уравнения ГамильтонаЯкоби, параметр ? гладкой регуляризации этой поверхности подчинен
неравенству
inf {1 + ??(?, t) : (?, t) ? [?1 , ?2 ] Ч [t0 , ?]} > 0,
кривизна кривой ?t в точке x = a(?, t), b(?, t)
где ? = ?(?, t) , то индекс стабильности
множество
в точке
k(t, y) деформации
позиционного поглощения, вычисленный
?1 (0)
(0)
(t, y) = t, x + ? ?? (t, y)
? (t, y) , где (t, x) = t, a(?, t), b(?, t) точка гладкости
?, удовлетворяет оценке [5]:
k(t, y) (1 + ??)??H .
Здесь ?H константа Липшица гамильтониана по фазовой переменной.
Полученная оценка означает, что дискриминантные преобразования при малом параметре ? позволяют получить т. н. ѕокаймляющие путиї, пригодные для решения задачи
сближения в ѕмягкойї постановке.
Результаты исследования иллюстрируются на примере известной дифференциальной
игры.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспек-
тивы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. 336 с.
3.
Ушаков В.Н., Малјв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности в игровой задаче о сближении // Труды
Института математики и механики. 2010. Т. 16. ќ 1. С. 199222.
4.
Ушаков В.Н., Успенский А.А. Об одном дополнении к свойству стабильности в дифференциальных
играх // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2010. T. 271. С. 299318.
5.
Ушаков В.Н., Успенский А.А., Малјв А.Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного
поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды ИММ УрО РАН. 2011 (принята
к печати).
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований ќ 11-01-00427-а, гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ ќ НШ-64508.2010.1 и регионального гранта РФФИ/ПСО
ќ 10-01-96006-р_урал_а.
Ushakov V.N., Uspenskiy A.A., Zimovets A.A. Estimate of the stability defect for a set
subjected to discriminant transformations in dierential game of approaching and deviation.
Deformation of positional absorption set in dierential game of approaching and deviation with
closed target set on the nite interval is studied. Upper approximation of the stability defect for
the positional absorption set subjected to discriminant transformations.
Key words: dierential game; HamiltonJacobi type equation; stability property; Hamiltonian.
Ушаков Владимир Николаевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических
наук, профессор, заведующий отделом, e-mail: ushak@imm.uran.ru.
Успенский Александр Александрович, Институт математики и механики УрО РАН,
г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший
научный сотрудник, e-mail: uspen@imm.uran.ru.
1204
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Зимовец Артем Анатольевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург,
Российская Федерация, аспирант, e-mail: aazimovets@gmail.com.
УДК 517.911.5
ПРИНЦИП КВАЗИИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
c И. А. Финогенко
Ключевые слова
: функционально дифференциальное включение, функционал Ляпуно-
ва, квазиинвариантное множество, принцип инвариантности.
Для
неавтономных
функционально-дифференциальных
свойство квазиинвариантности
включений
устанавливается
? -предельных множеств и аналог принципа инвариант-
ности Ла-Салля с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.
Пусть Rn n -мерное векторное пространство с нормой · , ? > 0 произвольное
вещественное число, C? пространство всех непрерывных функций ?(·) , определенных
на отрезке [??, 0] и со значениями в Rn , с обычной sup-нормой ?(·)C . Для непрерывной
функции x : [? ? ?, ?) ? Rn функция xt (·) ? C? определяется равенством xt (?) = x(t + ?) ,
?? ? 0 . Рассматривается функционально-дифференциальное включение:
x? ? F (t, xt (·)),
(1)
где F : R1 Ч C? ? Rn многозначное отображение, относительно которого сделаем следующие предположения.
A1. Для каждых (t, ?(·)) множество F (t, ?(·)) непусто, выпукло и компактно.
A2. Многозначное отображение F (t, ?(·)) полунепрерывно сверху по переменной ?(·)
равномерно относительно t .
A3. Для любой функции ?(·) многозначное отображение F (·, ?(·)) имеет измеримый
селектор.
A4. Для всех (t, ?(·)) , f ? F (t, ?(·)) выполняется неравенство: f L(1 + ?(·)C ) с
некоторой константой L > 0 .
Через F a (t, ?(·)) обозначается сдвиг многозначного отображения F (t, ?(·)) на величину
a > 0 , определенный равенством F a (t, ?(·)) = F (t + a, ?(·)) . Предельное многозначное
отображение относительно последовательности tn ? +? определяется равенством
F (t, ?(·)) = ?n>1 co ?k>n F (t + tk , ?(·)).
(Здесь co знак выпуклой замкнутой оболочки множества). В дальнейшем рассматриваются также функционально-дифференциальные включения
x? ? F (t, ?(·)).
(2)
Будем говорить, что множество G ? C? квазиинвариантно относительно включения (1),
если для любой функции ?(·) ? G существует решение y(t) включения (2) с некоторорым
1205
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа