close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка компонентов решения задачи описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).
185
УДК 517.95
ОЦЕНКА КОМПОНЕНТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ,
ОПИСЫВАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ В ВЯЗКОЙ
СЖИМАЕМОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
ЖИДКОСТИ1
© 2008
А.С. Рябенко2
Рассматривается начально-краевая задача, описывающая в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой стратифицированной жидкости. На основе принципа локализации
получена оценка скорости стабилизации решения задачи при t → ∞.
Ключевые слова: начально-краевая задача, линейное приближение, вязкость, сжимаемость, стратифицированная жидкость.
1. Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с
частными производными
ν ∂2 V(t, x)
g
1 ∂P(t, x)
∂V(t, x)
−
+
q(t, x) = F(t, x),
+
2
∂t
ρ0 (x) ∂x
ρ0 (x) ∂x
ρ0 (x)
+ 2
,
N (x)
∂V(t, x)
∂q(t, x)
−2
−
+ gc ρ0 (x)V(t, x) + ρ0 (x)
= 0,
∂t
g
∂x
∂P(t, x) N 2 (x)
∂q(t, x)
− c−2
−
ρ0 (x)V(t, x) = 0, x > 0, t > 0,
∂t
∂t
g
с начальными и граничными условиями
V(t, x)|t=0 = P(t, x)|t=0 = q(t, x)|t=0 = 0, V(t, x)|x=0 = V(t, x)|x=∞ = 0.
(1)
(2)
Система дифференциальных уравнений (1) описывает в линейном приближении малые одномерные (в направлении однородного поля тяготения)
акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости (см. [1]).
Использованы следующие обозначения: V(t, x) — скорость движения частицы, находящейся в момент t > 0 в точке x > 0; q(t, x), P(t, x) — отклонения
1
Представлена доктором физико-математических наук, профессором И.А. Блатовым.
Рябенко Александр Сергеевич (alexr-83@yandex.ru), кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета,
394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.
2
186
А.С. Рябенко
от стационарной плотности и давления; ρ0 (x) — стационарная плотность; ν —
коэффициент вязкости; c — скорость распространения звука; g — ускорение
−2
свободного падения; N 2 (x) = −(ρ
0 (x)ρ−1
0 (x) + gc )g — частота Вейсяля—Брента.
Модель (1) отличается от рассмотренной в работах [2–4] наличием переменных коэффициентов, обусловленным отказом от предположения Буссинеска относительно стационарной плотности ρ0 (x).
2. Основной целью работы является получение оценки скорости стабилизации решения при t → ∞ на основе принципа локализации, развитого в
работах [4–6] для систем уравнений гидродинамического типа с постоянными коэффициентами и в работах [7, 8] для начально-краевой задачи уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности.
Результаты получены на основе установления связи между скоростью убывания решения задачи и геометрией области аналитичности образа Лапласа
(Lt→γ ) решения. Аналитичность образа решения устанавливается на основе
априорных оценок образа решения. На этой же основе доказана однозначная разрешимость как исходной задачи (1)–(2), так и задачи в образах. В
работе приводятся оценки скорости стабилизации при t → ∞ компоненты
решения V(t, x).
Сформулируем условия, используемые в работе.
Условие 1: Будем говорить, что функция ρ0 (x) удовлетворяет условию
1, если ρ0 (x) ∈ C 2 [0, ∞) и существуют ε1 , ε2 , c1 > 0 такие, что при x ∈ [0, ∞)
выполнены неравенства ε1 ρ0 (x) ε2 , ρ
0 (x) c1 .
Условие 2: Будем говорить, что функция F(t, x) удовлетворяет условию
2, если F(t, x) непрерывна по совокупности переменных x ∈ [0, ∞), t > 0 и
F(t, x)eδt ∈ L1 (R2++ ) при некотором δ > 0.
Условие 3: Будем говорить, что функция F(t, x) удовлетворяет усло∂k F(t, x)
, где k = 0, 1, 2, выполнено условие 2,
вию 3, если для функций
∂tk
∞ k
∂ F(t, x) δt
∂F(t, x)
|t=0 = 0 и (1 + x) e dt ∈ L2 [0, ∞), где k =
F(t, x)|t=0 = 0,
∂tk ∂t
0
= 0, 1, 2.
Определение: Будем говорить, что функции V1 (t, x), q1 (t, x), P1 (t, x) принадлежат классу T a , если справедливы следующие оценки:
k
∂ V1 (t, x) at
(k = 0, 1),
c2 e
∂tk k
∂ V1 (t, x) at
(k = 1, 2),
c2 e
∂xk k
∂ q1 (t, x) at
(k = 0, 1),
c2 e
∂tk k
∂ P1 (t, x) at
(k = 0, 1),
c2 e
∂tk Оценка решения задачи о колебаниях в стратифицированной жидкости
187
∂P1 (t, x) c eat (k = 0, 1).
2
∂x Ниже преобразования Лапласа (Lt→γ ) функций V(t, x), q(t, x), P(t, x), F(t, x)
будем обозначать v(γ, x), ρ( γ, x), p(γ, x), f (γ, x) соответственно.
После применения преобразования Лапласа (Lt→γ ) к задаче (1)–(2) и
некоторых вычислений мы получаем, что
+
,
ρ0 (x) ∂v(γ, x)
1 N 2 (x)
−2
+ gc ρ0 (x)v(γ, x) −
,
ρ(γ, x) =
γ
g
γ
∂x
(3)
c2 N 2 (x)ρ0 (x)
2
v(γ, x),
p(γ, x) = c ρ(γ, x) −
gγ
а функция v(γ, x) является решением следующей задачи:
+
,
∂ νγ + ρ0 (x)c2 ∂v(γ, x)
− γρ0 (x)v(γ, x) = − f∗ (γ, x),
∂x
γ
∂x
v(γ, x)|x=0 = v(γ, x)|x=∞ = 0,
(4)
где f∗ (γ, x) = ρ0 (x) f (γ, x).
3. Справедливы следующие леммы и теоремы.
∂v(γ, x) ∂2 v(γ, x)
,
принадлеТеорема 1: Пусть функции f∗ (γ, x), v(γ, x),
∂x
∂x2
жат пространству L2 [0, ∞) по переменной x при каждом фиксированном
γ ∈ D, где D — это некоторая область в комплексной плоскости, функция v(γ, x) является решением задачи (4), для функции ρ0 (x) выполнено
условие 1. Тогда для
ε > 0 существует
ψ1 > 0, 5π такое, что при
любого
γ ∈ D ∩ (((γ ε) ∩ (arg γ ψ1 )) ∪ (arg γ ψ2 )), где ψ2 < 0, 5π, справедлива
следующая оценка:
C2
CC 2
C
C
CC2
CC2
CC
CC ∂ v(γ, x) CCC CC ∂v(γ, x) CC2 2 CC
C
C
C ,
C
C
C
+
γ
+
γ
c
(γ,
x)
v(γ,
x)
f
C
CC
3
∗
C ∂x C
∂x2 C
где c3 = c3 (ψ1 , ψ2 ) : 0 < ε3 < c3 (ψ1 , ψ2 ) < ε4 .
Доказательство теоремы 1 проводится с помощью умножения уравнения (4) на v(γ, x) и интегрирования по x от 0 до ∞ с последующими
оценками.
∂v(γ, x) ∂2 v(γ, x)
,
принадлежат
Лемма 1: Пусть функции f∗ (γ, x), v(γ, x),
∂x
∂x2
пространству L2 [0, ∞) по переменной x при каждом фиксированном γ ∈ D,
где D — это некоторая область в комплексной плоскости, функция v(γ, x)
является решением задачи (4), для функции ρ0 (x) выполнено условие 1.
Тогда для достаточно малых γ, лежащих между кривой l(ψ) = −ψ2 ν−1 ρ1 c2 +
+ i6ν−1 ρ1 c2 ψ (здесь ψ ∈ [−δ, 0) ∪ (0, δ]) и мнимой осью (включая точки, лежащие на l и мнимой оси) и принадлежащих D, выполнена оценка
C2
CC 2
C2
CC
CC ∂ v(γ, x) CCC CC ∂v(γ, x) CCC + γ2 (sin 0, 5ψ)2 CCCv(γ, x)CCC2 +
γ
sin
0,
5ψ
C
CC
C ∂x C
∂x2 C
C2
C
c4 CC f∗ (γ, x)CC .
А.С. Рябенко
188
Доказательство леммы 1 проводится на основе теоремы 1.
∂v(γ, x) ∂2 v(γ, x)
,
принадЛемма 2: Пусть функции (1 + x) f∗ (γ, x), v(γ, x),
∂x
∂x2
лежат пространству L2 [0, ∞) по переменной x при каждом фиксированном
γ ∈ D, где D — некоторая область в комплексной плоскости, функция v(γ, x)
является решением задачи (4), для функции ρ0 (x) выполнено условие 1. Тогда для достаточно малых γ, лежащих между контуром l(ψ) и мнимой осью
(включая точки, лежащие на контуре l(ψ) и мнимой оси), верна оценка
C2 C
CC 2
C
CC2
CC2
CC
CC ∂ v(γ, x) CCC CC ∂v(γ, x) CC2 2 CC
C
C ,
C
C
C
C
+
+
γ
c
(γ,
x)(1
+
x)
v(γ,
x)
f
C
CC
5
∗
∂x2 C C ∂x C
а при достаточно малых γ ∈ D и таких, что ϕ < 0, 5π, где ϕ = arg γ, верны
оценки
CC 2
C2
C
CC
CC ∂ v(γ, x) CCC ∂v(γ, x) CC2 2
C
C + γ (cos ϕ)2 ×
CC
C + γ cos ϕ CC
∂x C
∂x2 C
C
C2
C
C2
× CCv(γ, x)CC c6 ((γ cos ϕ)−1 + (cos ϕ)−2 + 1) CC f∗ (γ, x)CC ,
C2
CC
CC ∂v(γ, x) CCC + γ cos ϕ CCCv(γ, x)CCC2 c CCC f (γ, x)(1 + x)CCC2 .
7 ∗
C ∂x C
α,β
Пусть δ > 0, α > 0, β > 0. В дальнейшем через lδ
будем обозначать контур
α,β
lδ
= l0 ∪ l ∪ l1 , где l = −ξ2 α + iξβ при ξ ∈ [−δ, δ], l0 = −
следующего вида:
2
−δ α − i(δ + ξ)β при ξ ∈ [0, ∞) , l1 = −δ2 α + i(δ + ξ)β при ξ ∈ [0, ∞).
Теорема 2: Пусть функция f∗ (γ, x) принадлежит пространству L2 [0, ∞)
по переменной x при Reγ −ε, для функции ρ0 (x) выполнено условие 1.
α ,β
Тогда найдется контур lδ33 3 такой, что при каждом фиксированном γ, леα ,β
жащем правее контура lδ33 3 , у задачи (4) существует единственное решение
из H 2 [0, ∞).
Доказательство: Обозначим ρε (x) = ρ0 (εx). Рассмотрим задачу
+
,
∂ νγ + ρε (x)c2 ∂v(γ, x)
− γρε (x)v(γ, x) = − f∗ (γ, x),
∂x
γ
∂x
(5)
v(γ, x)|x=0 = v(γ, x)|x=∞ = 0.
При ε = 1 задача (5) переходит в задачу (4). При ε = 0 существует
α ,β
контур lδ11 1 такой, что при каждом фиксированном γ, лежащем правее
α ,β
контура lδ11 1 , у задачи (5) существует единственное решение из H 2 [0, ∞)
α ,β
(см. [4]). Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур lδ22 2
такой, что равномерно по ε ∈ [0, 1] при каждом фиксированном γ, лежащем
α ,β
правее контура lδ22 2 , для решения задачи (5) выполнена оценка
C C
CC 2
C
C
C
C
CC ∂ vε (γ, x) CCC CC ∂vε (γ, x) CC CC
CC + Cvε (γ, x)CC c8 CC f∗ (γ, x)CC .
C
+
CC C
CC
2
∂x
∂x
Оценка решения задачи о колебаниях в стратифицированной жидкости
189
При помощи метода продолжения по параметру из последней оценки
получаем, что при каждом фиксированном γ, лежащем правее некоторого
α ,β
контура lδ33 3 , задача (4) разрешима в H 2 [0, ∞).
∂ f (γ, x)
∂v(γ, x) ∂2 v(γ, x)
Теорема 3: Пусть функции f (γ, x),
, v(γ, x),
,
при∂γ
∂x
∂x2
надлежат пространству L2 [0, ∞) по переменной x при каждом фиксированα,β
ном γ, лежащем правее некоторого контура lδ , функция v(γ, x) является
решением задачи (4), для функции ρ0 (x) выполнено условие 1. Тогда суα ,β
ществует контур lδ44 4 такой, что при каждом фиксированном γ, лежащем
∂v(γ, x) ∂2 v(γ, x)
α ,β
,
аналитичны по γ
правее контура lδ44 4 , функции v(γ, x),
∂x
∂x2
при каждом x ∈ [0, ∞).
Доказательство: Рассмотрим задачу
∂ 2 w(γ, x)
∂ w(γ, x)
+ c2 ρ
0 (x)
− γ2 ρ0 (x)w(γ, x) =
∂x
∂ x2
∂ 2 v(γ, x)
∂ f (γ, x)
= −ρ0 (x) f (γ, x) − γρ0 (x)
−ν
+ 2γρ0 (x)v(γ, x),
∂γ
∂ x2
w(γ, x) x=0 = w(γ, x) x=∞ = 0.
(νγ + ρ0 (x)c2 )
α ,β4
Из теоремы 1, лемм 1 и 2 следует, что существует контур lδ44
(6)
такой,
α ,β
lδ44 4 ,
справедчто при каждом фиксированном γ, лежащем правее контура
ливо неравенство
C2 C
CC 2
+
C
CC2
CC ∂ 6
v(γ, x) CC2 CC
v(γ, x) CCC CC ∂6
C
C
C
C
∆γ ×
+
+
6
v(γ,
x)
c
C
CC
9
C
C
∂x
∂ x2 C
C2
C
C2 C
(7)
× CC f (γ + ∆γ, x)CC + CC f (γ + ∆γ, x) − f (γ, x)CC +
CC2 ,
CC
C
∂ f (γ, x) CC
+ CC '
f (γ, x) −
C ,
C
∂γ C
f (γ + ∆γ, x) − f (γ, x)
v(γ + ∆γ, x) − v(γ, x)
− w(γ, x), '
f (γ, x) =
. Из (7)
где 6
v(γ, x) =
∆γ
∆γ
следует утверждение теоремы.
Лемма 3: Пусть для функции v(γ, x) выполнена оценка
C2
CC 2
C2
CC
CC ∂ v(γ, x) CCC
CC ∂v(γ, x) CCC + A2 CCCv(γ, x)CCC2 c CCC f (γ, x)CCC2
+
A
nC
10
C ∂x C
C ∂x2 CC
при A > 0, n = 0; 1 и некоторых γ, тогда при тех же γ, равномерно по
x ∈ [0, ∞), будут справедливы оценки (n = 1)
C
C
v(γ, x) c A−3/4 CC f (γ, x)CC ,
11
и (n = 0)
∂v(γ, x) c A−1/4 CCC f (γ, x)CCC
12
∂x C
C
v(γ, x) c13 A−1/2 CC f (γ, x)CC .
А.С. Рябенко
190
Доказательство: Пусть n = 1. Воспользуемся неравенством, полученным в [9]:
r
<
CC s
C
C
CC2
∂ v(γ, x) 2
∂ v(γ, x) CC2
C
2s−2r−1
−2r−1 C
C
C ,
C
C
v(γ,
x)
ε
+
c
ε
sup 14
C ∂xs C
∂xr x∈[0,∞)
где 0 r < s − 0, 5, ε > 0, норма берется в L2 [0, ∞) по переменной x. С
помощью последнего неравенства получаем следующие оценки:
CC 2−k
C2
C
CC2
2
CC ∂ v(γ, x) CCC
3/2
k
2C
C
C , k = 0, 1.
v(γ,
x)
A
sup (v(γ, x)) A C
+
c
A
(8)
C
15
C ∂x2−k C
x∈[0,∞)
Из (8) следует первая из оценок леммы. Остальные оценки доказываются
аналогично.
Лемма 4: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3. Тогда функпо γ при Reγ −ε, где ε < δ, причем
ция f (γ, x) = Lt→γ
CC [F(t,CC x)] аналитична
−2
верна оценка C f (γ, x)C c16 (1 + γ) .
Теорема 4: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3, для функции ρ0 (x) выполнено условие 1. Тогда функции V(t, x), q(t, x), P(t, x) такие,
−1 −1 что V(t, x) = L−1
γ→t v(γ, x) , q(t, x) = Lγ→t ρ(γ, x) , P(t, x) = Lγ→t p(γ, x) , являются классическим решением задачи (1)–(2) и принадлежат классу T a при
любом a > 0.
Доказательство: Из теорем 1, 2 и леммы 4 следует, что при Reγ a
у задачи (4) существует единственное решение v(γ, x) из H 2 [0, ∞). Из теоремы вложения C 1 [0; ∞) ⊂ H 2 [0; ∞) следует, что v(γ, x) один раз непрерывно
дифференцируема по x. Из (4) и условия на функцию F(t, x) следует, что
v(γ, x) дважды непрерывно дифференцируема по x. Из теорем 1, 3 и леммы
4 следует, что v(γ, x) аналитична по γ при Reγ a. Из теоремы 1, лемм 3
и 4 получаем, что при Reγ a справедливы следующие оценки:
∂v(γ, x) c17 (1 + γ)−9/4 .
v(γ, x) c17 (1 + γ)−11/4 , (9)
∂x
Из (3), (4) и (9) следуют неравенства
−13/4 ∂2 v(γ, x) c19 (1 + γ)−7/4 .
p(γ, x) + |ρ(γ, x)| c18 (1 + γ)
, (10)
∂x2 Из оценок (9), (10) следует, что функции V(t, x), q(t, x), P(t, x) (где a > 0)
принадлежат классу T a .
Из (9) и предельной
теоремы о преобразовании Лапласа следует, что
lim V(t, x) = lim γv(γ, x) = 0.
t→+0
|γ|→∞
Равенства lim ρ(t, x) = lim P(t, x) = 0 доказываются аналогично. Также
t→+0
t→+0
из оценки (9) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что V(t, x)|x=0 = V(t, x)|x=∞ = 0.
Теорема 5: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3, для функции ρ0 (x) выполнено условие 1. Тогда решение V(t, x), q(t, x), P(t, x) задачи
(1)–(2) единственно в классе функций T a при произвольном a > 0.
Оценка решения задачи о колебаниях в стратифицированной жидкости
191
Доказательство проводится при помощи априорной оценки из теоремы 1.
Теорема 6: Пусть функция F(t, x) удовлетворяет условию 3, для функции ρ0 (x) выполнено условие 1. Тогда для компоненты V(t, x) решения задачи (1)–(2) справедлива при t → ∞ оценка |V(t, x)| c21 t−1/4 с постоянной
c21 > 0, равномерной по x ∈ [0; ∞).
Доказательство: Из интегральной теоремы Коши, теорем 1–3 и лемм
1–4 следует, что справедливо представление
1
eγt v(γ, x)dγ.
(11)
V(t, x) =
2πi
α ,β4
4
lδ 4
α ,β
После параметризации контура lδ44 4 с учетом представления (11) и оценок,
полученных в теореме 1 и леммах 1–4, имеем, что
⎞
⎛ δ
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
−aξ2 t −1/2
−ε5 t ⎟
|V(t, x)| c20 ⎜⎜⎜ e
ξ
dξ + O(e )⎟⎟⎟⎟⎟ c21 t−1/4 ,
⎠
⎝
0
где a > 0, ε5 > 0.
Литература
[1] Бреховских, Л.М. Введение в механику сплошной среды / Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров. – М.: Наука, 1982. – 335 с.
[2] Глушко, А.В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А.В. Глушко // Доклады РАН. –
1999. – Т. 365. – №1. – С. 26–30.
[3] Глушко, А.В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А.В. Глушко,
А.С. Рябенко // Вестн. ВГУ Сер.: Физика, Математика. – 2008. –
№1. – С. 226–231.
[4] Глушко, А.В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики /
А.В. Глушко — Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2003. – 300 с.
[5] Глушко, А.В. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. – 1992. – Т. 33. – №1. – С. 32–43.
[6] Глушко, А.В. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнения динамики вращающейся вязкой
сжимаемой жидкости / А.В. Глушко, С.О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. – 1992. – Т. 33. – №4. – С. 43–58.
[7] Рябенко, А.С. Оценка при t → ∞ решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности / А.С. Рябенко // Вестн. ВГУ. Сер.: Физика, Математика. – 2007. –
№1. – С. 95–99.
А.С. Рябенко
192
[8] Рябенко, А.С. Оценка при t → ∞ решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности / А.С. Рябенко // Труды математического факультета. – Воронеж,
2007. – Вып. 11. – С. 175–185.
[9] Глушко, В.П. Неравенства для норм в пространствах L p с весом /
В.П. Глушко, С.Г. Крейн // Сиб. мат. журн. – 1960. – Т. 1. – №3. –
С. 343–382.
Поступила в редакцию 29/VIII/2008;
в окончательном варианте — 29/VIII/2008.
COMPONENTS ESTIMATION FOR THE SOLUTION OF
COMPRESSIBLE STRATIFIED VISCOUS FLUID
OSCILLATIONS PROBLEM3
© 2008
A.S. Ryabenko4
Initial boundary-value problem for small acoustical-gravitational oscillations of stratify fluid in linear approximation is discussed. Due to
localization principle the estimation of stabilization rate of the solution
while t → ∞ is obtained.
Keywords and phrases: initial boundary-value problem, linear approximation,
viscosity, compressibility, stratify fluid.
Paper received 29/VIII/2008.
Paper accepted 29/VIII/2008.
3
Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) I.A. Blatov.
Ryabenko Alexandr Sergeevich, Dept. of Partial Differential Equations and Probability
Theory, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.
4
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
282 Кб
Теги
компонентов, решение, описывающих, оценки, стратифицированных, колебания, вязкой, задачи, жидкости, сжимаемой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа