close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Якоби.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №6/1(46).
33
УДК 517.98
ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА ДИСКРЕТНЫХ СУММ
ФУРЬЕ–ЯКОБИ
© 2006
Ф.М. Коркмасов1
Рассмотрена система классических многочленов Якоби степени не
выше N, образующих ортогональную систему на дискретном множестве, состоящем из нулей многочлена Якоби степени N. Для произвольной непрерывной на отрезке [−1, 1] функции f (t) построены дисα,β
кретные суммы Фурье–Якоби S n,N ( f, t) по введенной выше ортонормиα,β
рованной системе. Доказано, что функция Лебега Ln,N (t) дискретных
сумм Фурье–Якоби при −1/2 < α, β < 1/2, n N − 1, n 1 имеет на
отрезке [−1 + ε, 1 − ε] (ε > 0) порядок O(ln
n), а на отрезках
[−1, −1 + ε]
и [1 − ε, 1], соответственно, порядок O nβ+1/2 и O nα+1/2 .
Введение
Пусть H n — пространство алгебраических многочленов pn = pn (x) степени
не выше n, C[−1, 1] — пространство непрерывных на [−1, 1] функций. Ω =
= {x0 , x1 , . . . , xn , . . .} — сетка — дискретное множество, состоящее из конечного
или бесконечного числа различных точек действительной оси R. Обознаα,β
чим через PN (x) (α, β > −1) классические многочлены Якоби степени N,
ортогональные на отрезке [−1, 1] по весу ρ(x) = (1 − x)α (1 + x)β . Покажем,
α,β
α,β
α,β
что многочлены Якоби P0 (x), P1 (x),. . . , PN−1 (x) (N = 1, 2, . . .) могут быть
рассмотрены как многочлены, образующие ортогональную систему на сетке
α,β
Ω = {x1 , x2 , . . . , xN }, состоящей из нулей многочлена Якоби PN (x). В этом
смысле многочлены Якоби являются ортогональными многочленами дискретной переменной.
Хорошо известна следующая квадратурная формула Гаусса [1]
1
ρ(x)σ2N−1 (x)dx =
N
µ j σ2N−1 (x j ),
(1.1)
j=1
−1
α,β
справедливая для любого многочлена σ2N−1 (x) ∈ H 2N−1 . В (1.1) x j = x j —
α,β
α,β
нули многочлена Якоби PN (x), µ j = µ j — числа Кристоффеля (или веса
1
Коркмасов Фуад Муэддинович (kfuad@mail.ru), Дагестанский научный центр Российской Академи наук, 367030, Россия, Республика Дагестан, г. Махачкала, проспект
имама Шамиля, 39.
Ф.М. Коркмасов
34
квадратурной формулы),
µ j = 2α+β+1
Γ(N + α + 1)Γ(N + β + 1)
·
Γ(N + 1)Γ(N + α + β + 1)
(1 −
x2j )
α,β
1
α,β
PN
2 .
(x j )
(1.2)
α,β
Если, в частности, положить σ2N−1 (x) = Pn (x)Pm (x), m + n 2N − 1, то
из (1.1)
1
α,β
α,β
ρ(x)Pn (x)Pm (x)dx =
где
=
α,β
α,β
α,β
µ j Pn (x j )Pm (x j ) = hn δmn ,
(1.3)
j=1
−1
α,β
hn
N
2α+β+1
2n+α+β+1
·
Γ(n+α+1)Γ(n+β+1)
Γ(n+1)Γ(n+α+β+1) ,
δmn — символ Кронекера.
α,β
N−1 являетИз (1.3) видно, что система многочленов Якоби {Pi (x)}i=0
ся ортогональной на сетке ΩN = {x1 , x2 , . . . , xN }, состоящей из нулей мноα,β
гочлена Якоби PN (x), относительно скалярного произведения ( f, g) =
µ(x) f (x)g(x) (µ(x j ) = µ j ).
=
x∈ΩN
Полагая
α,β −1/2 α,β
α,β
Pn (t),
P
n (t) = {hn }
(1.4)
определим для произвольной функции f (t) ∈ C[−1, 1] дискретную частную
сумму Фурье–Якоби порядка n N − 1 по ортонормированной системе
α,β
N−1
{
Pn (t)}n=0
n
α,β
α,β
α,β α,β
S n,N ( f ) = S n,N ( f, t) =
(1.5)
Pk (t),
fk,N k=0
α,β
где fk,N =
N
j=1
α,β
µ j f (x j )
Pk (x j ) — дискретные коэффициенты Фурье–Якоби.
Пусть En ( f ) — наилучшее равномерное приближение функции f (t) алгебраическими многочленами степени не вышe n и p∗n (t) ∈ H n — многочлен наилучшего приближения функции f (t) в пространстве C[−1, 1], т.е.
En ( f ) = max | f (t) − p∗n (t)|.
(1.6)
t∈[−1,1]
α,β
Очевидно, что S n,N (p∗n , t) = p∗n (t), поэтому, учитывая (1.5), получим
α,β
α,β
| f (t) − S n,N ( f, t)| | f (t) − p∗n (t)| + |p∗n (t) − S n,N ( f, t)| =
α,β
α,β
α,β
= | f (t) − p∗n (t)| + |S n,N (p∗n (t) − f, t)| En ( f ) + En ( f )Ln,N (t) = (1 + Ln,N (t))En ( f ), (1.7)
где
α,β
Ln,N (t)
n
α,β
α,β
(t)
=
µ j Pk (x j )
P
k
k=0
j=1
N
(1.8)
— функция Лебега порядка n дискретных сумм Фурье–Якоби.
Функции Лебега линейных процессов аппроксимации многочленами играют важную роль в теории приближений. Оценки функций Лебега позволяют устанавливать достаточные условия равномерной сходимости рядов
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
35
Фурье по ортогональным многочленам на всем промежутке ортогональности. В разное время вопросы, связанные с оценкой функции Лебега классических сумм Фурье, рассматривались в работах [1–10] и др. В частности,
α,β
в работе [6] для функции Лебега Ln (t) классических сумм Фурье–Якоби
при t ∈ [−1, 1], α, β > −1/2 было получено соотношение
√ α,β
α,β
α,β
(1.9)
Ln (t) ln n(1 − x)ε(α) (1 + x)ε(β) + 1 + n |Pn (t)| + |Pn+1 (x)| ,
в том смысле, что отношение этих выражений заключено между двумя
положительными постоянными, зависящими от α и β, где
⎧
⎪
⎪
⎨1/2 при γ 1/2,
ε(γ) = ⎪
⎪
⎩0
при γ = 1/2.
α,β
Из результата
(1.9) видно, что порядок роста Ln (t) на отрезке [−1, 1]
q+1/2
, где q = max{α, β}, а на любом отрезке [−1 + ε, 1 − ε], ε > 0
есть O n
порядок равен O(ln n).
В работе [7] функции Лебега классических сумм Фурье–Якоби оцениваются при t ∈ [−1, 1] в случае, когда по крайней мере одно из чисел α и
β принадлежит интервалу (−1, −1/2), в частности,
α,β
(α, β ∈ (−1, −1/2)),
Ln (t) = O(1) 1 + ln 1 + n2 1 − x2
⎡
−β−1/2 ⎤
√
⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥
1
α,β
2
⎢
⎥⎥⎦ (α ∈ (−1, −1/2), β −1/2),
Ln−1 (t) = O(1) ⎢⎣ln 1 + n (1 − x) + 1 + x +
n
где O(1) зависит от α и β.
Отметим также, что при t ∈ [−1, 1], α = β = −1/2 (см., например, [3],
[11])
− 1 ,− 21
Ln 2
(t) = O(ln n).
В настоящей работе мы оцениваем сверху функцию Лебега (1.8) дискретных сумм Фурье–Якоби при t ∈ [−1, 1], −1/2 < α, β < 1/2, n N − 1,
α,β
n 1. Нами доказано (теорема 1), что Ln,N (t) на отрезке [−1 + ε, 1 − ε],
ε > 0 имеет порядок O(ln n), а на отрезках
[−1,
−1 + ε] и [1 − ε, 1], соответственно, имеет порядок O nβ+1/2 и O nα+1/2 . Тем самым показано, что
α,β
результат работы [6], касающийся верхней оценки функции Лебега Ln (t)
классических сумм Фурье–Якоби, имеет место и в случае дискретных сумм
Фурье–Якоби.
1. Вспомогательные утверждения
Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение.
Лемма 1. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на промежутке [a1 , b1 ] и {t j }mj=0 — сетка, такая что a1 < t0 < t1 < . . . < tm < b1 . Пусть
∆t j = t j+1 − t j и [a2 , b2 ] ⊂ [a1 , b1 ]. Тогда, если
1) f (x) монотонно возрастает на [a2 , b2 ], то
Ф.М. Коркмасов
36
b2
f (t j )∆t j a2 t j b2
f (x) dx + f (b2 )∆∗ ,
(2.1)
a2
2) f (x) монотонно убывает на [a2 , b2 ], то
b2
f (t j )∆t j a2 t j b2
где
∆∗
f (x) dx + f (a2 )∆∗ ,
(2.2)
a2
= max ∆t j .
j
Лемма 2 [1, п.15.3]. Если x j = cos θ j (0 < θ j < π) — нули многочлена
α,β
Якоби PN (x), −1/2 < α, β < 1/2, то для чисел Кристоффеля µ j , определенных равенствами (1.2), справедливы следующие оценки
λ
(sin θ j )2α+1 (0 < θ j π − δ),
(2.3)
N
λ
(2.4)
µ j (sin θ j )2β+1 (δ θ j < π),
N
где δ и λ = λ(δ) — фиксированные положительные числа, j = 1, 2, . . . , N.
Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [1]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.
Справедливы следующие равенства:
µj α,β
β,α
Pn (x) = (−1)n Pn (−x),
α+1,β
Pn
(x) =
(n + α +
2
·
2n + α + β + 2
(2.5)
α,β
1)Pn (x)
α,β
1)Pn+1 (x)
α,β
α,β
− (n +
1−x
,
(2.6)
(n + β + 1)Pn (x) + (n + 1)Pn+1 (x)
2
·
,
(2.7)
=
2n + α + β + 2
1+x
Для −1 t 1, n 1 справедлива следующая оценка (см. [1],[7]):
−α−1/2 −β−1/2
√
c(α, β) √
1
1
α,β
1−t+
1+t+ .
(2.8)
|Pn (t)| 1/2
n
n
n
α,β+1
(x)
Pn
Здесь и далее через ck , c(α, β, . . . , ω) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.
α,β
Если x j = cosθ j — нули многочлена Якоби PN (x), −1/2 α, β 1/2,
занумерованные в убывающем порядке:
1 > x1 > x2 > . . . > xN > −1,
0 < θ1 < θ2 < . . . < θN < π,
то [1]
2j
2j − 1
π θj π ( j = 1, 2, ..., N).
2N + 1
2N + 1
(2.9)
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
Отсюда
∆θ j = θ j+1 − θ j 37
π
,
2N + 1
(2.10)
3π
.
2N + 1
При −1 x, t 1, x t имеют место следующие равенства [1]:
∆θ j α,β
Kn (t, x) =
n
k=0
=
α,β
α,β
Pk (x) =
Pk (t)
2α+β (2n
n
k=0
α,β
α,β
(2.11)
α,β
{hk }−1 Pk (t)Pk (x) =
Γ(n + 2)Γ(n + α + β + 2)
1
·
×
+ α + β + 2) Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)
α,β
×
α,β
α,β
(2.12)
α,β
Pn+1 (t)Pn (x) − Pn (t)Pn+1 (x)
.
t−x
2. Оценка функции Лебега
дискретных сумм Фурье–Якоби
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть −1/2 < α, β < 1/2, n N − 1, n 1, тогда для всех
t ∈ [−1, 1]
α,β
α,β
α,β
(2.13)
Ln,N (t) = O(1) ln n + n1/2 |Pn (t)| + Pn+1 (t)| + 1 ,
где O(1) зависит от α и β.
α,β
Доказательство. Оценим величину Ln,N (t) при t ∈ [−1, 1]. Рассмотрим
случаи: 1) t ∈ [0, 1], 2) t ∈ [−1, 0].
α,β
1) Запишем нули многочлена Якоби PN (x) в убывающем порядке
−1 < xN < xN−1 < . . . < x1 < 1 и сделаем замену t = cos ϕ, x j = cos θ j . С учетом
оценки (2.10) из (1.8) следует, что
N
n
2N
+
1
α,β
α,β
α,β (cos ϕ)
µ j Pk (cos θ j ) ∆θ j .
(2.14)
P
Ln,N (cos ϕ) k
π
k=0
j=1
Положим ∆1 =
3π
5 , π , ∆2 =
α,β
Ln,N (cos ϕ)
1
1
1
ϕ + 1n , 3π
=
ϕ
−
,
ϕ
+
=
0,
ϕ
−
,
∆
,
∆
3
4
5
n
n
n .
оценится по следующей схеме:
⎛
⎞
⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
2N
+
1
α,β
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟ = U + U + U + U .
+
+
+
Ln,N (cos ϕ) 1
2
3
4
π ⎜⎝θ ∈∆ θ ∈∆ θ ∈∆ θ ∈∆ ⎟⎠
Тогда величина
j
1
j
2
j
3
j
(2.15)
4
1
Если окажется, что ϕ n , то сумма U3 берется по промежутку
0, ϕ + 1n , а сумму U4 рассматривать не надо.
Преобразуем выражение (2.12). Для этого приведем без доказательства
следующее
Ф.М. Коркмасов
38
Утверждение 1. [11] При фиксированном p имеет место равенство
#
$
1
Γ(m + p)
p
=m 1+O
,
m → ∞,
(2.16)
Γ(m)
m
основанное на хорошо известной формуле Стирлинга.
В силу этого утверждения (−1/2 < α, β < 1/2)
α,β
|Kn (t, x)| =
(n + 1)(n + α + β + 1) Γ(n + 1)Γ(n + α + β + 1)
·
×
2α+β (2n + α + β + 2) Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)
α,β
α,β
α,β
Pn+1 (t)Pα,β
n (x) − Pn (t)Pn+1 (x) (2.17)
× t−x
α,β
α,β
α,β
Pn+1 (t)Pα,β
3
n (x) − Pn (t)Pn+1 (x) .
c1 (n + 1) 5
t−x
Учитывая (2.17), каждую из сумм Ui (i = 1, 2, 4) оценим так:
Ui 3
c1 (n + 1)(2N + 1)×
5π
α,β
α,β
Pα,β (cos ϕ)Pα,β
(cos
θ
)
−
P
(cos
ϕ)P
(cos
θ
)
j
j
n
n
n+1
∆θ j .
µ j n+1
×
cos ϕ − cos θ j
θ ∈∆
j
(2.18)
i
Преобразуем числитель в правой части формулы (2.18) с помощью равенства (2.6):
α+β
α,β
α,β
α,β
α,β
×
Pn+1 (cos ϕ)Pn (cos θ j ) − Pn (cos ϕ)Pn+1 (cos θ j ) = 1 +
2n + 2
α+1,β
α,β
α+1,β
α,β
(cos θ j )Pn (cos ϕ) − (1 − cos ϕ)Pn
(cos ϕ)Pn (cos θ j ) .
× (1 − cos θ j )Pn
Тогда
3
α+β
c1 (n + 1) 1 +
(2N + 1)×
Ui 5π
2n + 2
⎡
α+1,β
⎢⎢⎢
P
(cos
θ
)
j n
α,β
∆θ j +
µ j (1 − cos θ j ) × ⎢⎢⎢⎢⎣|Pn (cos ϕ)|
cos ϕ − cos θ j θ j ∈∆i
+(1 −
α+1,β
(cos ϕ)|
cos ϕ)|Pn
θ j ∈∆i
(2.19)
⎤
α,β
⎥⎥⎥
Pn (cos θ j ) ∆θ j ⎥⎥⎥⎥ .
µ j ⎦
cos ϕ − cos θ j 2π
. Поэтому на ин5
тервале ∆1 будем пользоваться оценкой (2.3), а на интервалах ∆2 , ∆3 , ∆4 —
оценкой (2.4).
При оценивании величины U1 будем учитывать, что (sin θ j )2β+1 = (1 −
− cos θ j )β+1/2 (1 + cos θ j )β+1/2 и для θ j ∈ ∆1 будет (1 − cos θ j )−α/2+β+1/4 2,
Для определенности в лемме 2 будем считать δ =
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
39
3
3π
, (1 + cos θ j )β/2+1/4 1. Принимая во внимание
5
10
(2.4), (2.8), имеем из (2.18)
cos ϕ − cos θ j − cos
U1 2N + 1
8
c(α, β)c1 λn1/2
×
π
N
α,β
α,β
× |Pn (cos ϕ)| + |Pn+1 (cos ϕ)|
(1 + cos θ j )β/2+1/4 ∆θ j (2.20)
θ j ∈∆1
α,β
48
α,β
c(α, β)c1 λn1/2 |Pn (cos ϕ)| + |Pn+1 (cos ϕ)| .
5
Оценим величину U2 . Предварительно докажем следующее
Утверждение 2. Если −1/2 < α < 1/2, n N − 1, то
θα−1/2
3π
3π
j
α−1/2
∆θ j ϕ
,
(2.21)
ln n +
θj − ϕ
5
2
θ ∈∆
j
2
4
3π
3π
3π
α+1/2
∆θ j +1 +ϕ
.
ln n +
θj − ϕ
2 5(2α + 1)
5
2
θα+1/2
j
θ j ∈∆2
(2.22)
1
и g2 (θ) = (θ − ϕ)α−1/2
Доказательство. Поскольку функции g1 (θ) = θ−ϕ
монотонно убывают на промежутке (ϕ, π], то с учетом оценок (2.2), (2.11)
имеем
⎤
⎡
3π/5
⎥⎥
⎢⎢⎢ ⎢
3π ⎥⎥⎥⎥⎥
1
dθ
α−1/2
α−1/2 ⎢⎢⎢
∆θ j ϕ
∆θ j ϕ
+ n ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢
θ −ϕ
θ −ϕ
θ−ϕ
2N ⎥⎦
⎢⎣
θ j ∈∆2 j
θ j ∈∆2 j
1
θα−1/2
j
ϕ+ n
α−1/2
ϕ
3π
3π
,
ln n +
5
2
θα+1/2
j
θ j ∈∆2
(θ j − ϕ)α+1/2 + ϕα+1/2
∆θ j ∆θ j =
θj − ϕ
θj − ϕ
θ ∈∆
j
2
1
∆θ j θ −ϕ
θ j ∈∆2
θ j ∈∆2 j
⎤
⎡
3π/5
3π/5
⎥⎥
⎢⎢⎢ ⎢
3π ⎥⎥⎥⎥⎥
3π −α−1/2
dθ
α−1/2
α+1/2 ⎢⎢⎢
n
+
(θ − ϕ)
dθ +
+ϕ
⎥
⎢⎢⎢
2
θ−ϕ
2 ⎥⎥⎥⎦
⎢⎣
1
1
=
ϕ+ n
1
α+
1
2
(θ j − ϕ)α−1/2 ∆θ j + ϕα+1/2
ϕ+ n
3π
3π 3π
3π
α+1/2
+
+ϕ
·
ln n +
5
2
5
2
4
3π
3π
3π
α+1/2
+1 +ϕ
.
ln n +
2 5(2α + 1)
5
2
Ф.М. Коркмасов
40
Утверждение 2 доказано.
При оценке Ui (i = 2, 3, 4) используем равенство (sin θ j )2α+1 = (1 −
− cos θ j )α+1/2 (1 + cos θ j )α+1/2 , а при оценке U2 учтем, что 1 − cos ϕ ϕ2 и
, (1 −
для θ j ∈ ∆2 будет (1 + cos θ j )α−β/2+1/4 2, (1 − cos θ j )α/2+3/4 2θα+3/2
j
√ α+1/2
α/2+1/4
2θ j
. Заметим также, что для ϕ ∈ (0, π/2], θ j ∈ (ϕ, 3π/5]
−cos θ j )
справедливо неравенство
cos ϕ − cos θ j = 2 sin
θj + ϕ
θj − ϕ
2 θj − ϕ 2 θj + ϕ
sin
2 ·
· ·
=
2
2
π
2
π
2
2 2
= 2 θ2j − ϕ2 = 2 (θ j − ϕ)(θ j + ϕ).
π
π
Учитывая (2.3), (2.6), (2.21), (2.22), (2.23), имеем из (2.19)
⎡
⎢⎢⎢
(1 − cos θ j )α/2+3/4
36
α,β
U2 c(α, β)c1 λn1/2 ⎢⎢⎢⎢⎣|Pn (cos ϕ)|
∆θ j +
5π
cos ϕ − cos θ j
θ j ∈∆2
⎤
⎥⎥⎥
(1 − cos θ j )α/2+1/4
α+1,β
(cos ϕ)|
∆θ j ⎥⎥⎥⎥⎦ + (1 − cos ϕ)|Pn
cos ϕ − cos θ j
θ j ∈∆2
36π
c(α, β)c1 λn1/2 ×
5
⎤
⎡
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
2
θα+1/2
θα−1/2
ϕ
j
j
α,β
α+1,β
⎢
⎢
∆θ j + √ |Pn
∆θ j ⎥⎥⎥⎥⎦ (cos ϕ)|
× ⎢⎢⎣|Pn (cos ϕ)|
θ
−
ϕ
θ
−
ϕ
j
2
θ j ∈∆2 j
θ j ∈∆2
# 4
3π
36π
α,β
c(α, β)c1 λn1/2
+ 1 |Pn (cos ϕ)|+
5
2 5(2α + 1)
$
3π
ϕα+3/2 α+1,β
3π
α+1/2 α,β
.
|Pn (cos ϕ)| + √ |Pn
(cos ϕ)|) ln n +
+ (ϕ
5
2
2
Из (2.6) при 0 <
α,β
|Pn (cos ϕ)| (2.23)
(2.24)
1
< ϕ π/2
n
c(α, β)
(1 − cos ϕ)−α/2−1/4 n1/2
√
πc(α, β) −α−1/2
2c(α, β)
(sin ϕ)−α−1/2 √
ϕ
.
1/2
n
2n1/2
Аналогично
π2 c(α, β) −α−3/2
ϕ
.
√
2 2n1/2
Поэтому из (2.24) получаем оценку
4
54π2
α,β
+ 1 c(α, β)c1 λn1/2 |Pn (cos ϕ)|+
U2 5
5(2α + 1)
3π
3π
9π2 √
2
(2 2 + π)c (α, β)c1 λ ln n +
.
+
5
5
2
α+1,β
|Pn
(cos ϕ)| (2.25)
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
41
Оценим величину U3 при ϕ > 1n . Из (2.14), используя (2.3) и (2.12),
имеем
n
2N + 1 α,β
α,β
α,β
(sin θ j )2α+1
{hk }−1 |Pk (cos ϕ)| · |Pk (cos θ j )|∆θ j =
U3 λ
Nπ θ ∈∆
k=0
j
3
=
3λ α,β −1
{h } (sin θ j )2α+1 ∆θ j +
π θ ∈∆ 0
j
(2.26)
3
n
3λ α,β
α,β
α,β
(sin θ j )2α+1
{hk }−1 |Pk (cos ϕ)| · |Pk (cos θ j )|∆θ j = U3(1) + U3(2) .
+
π θ ∈∆
k=1
j
3
Оценим сумму U3(1) . Учитывая, что для −1/2 < α, β < 1/2 (см. (1.3))
α,β
{h0 }−1 =
получаем
U3(1) α+β+1
Γ(α + β + 1)
=
·
Γ(α + 1)Γ(β + 1)
2α+β+1
Γ(α + β + 2)
Γ(3)
= α+β+1
2.56,
2
Γ(α + 1)Γ(β + 1)
[Γ(1, 462)]2
7.68λ 7.68λ 15.36λ
.
(sin θ j )2α+1 ∆θ j ∆θ j π θ ∈∆
π θ ∈∆
π
j
3
j
(2.27)
3
U3(2)
заметим, что в силу утверждения 1 величина
Для оценки величины
α,β
имеет порядок O(k), так что {hk }−1 c2 k. Так как для θ j ∈ ∆3 будет
(1 + cos θ j )α−β/2+1/4 2, то из (2.26) с учетом (2.8) получаем
α,β
{hk }−1
U3(2)
n
6λc2 c2 (α, β) (1 − cos ϕ)−α/2−1/4
(1 − cos θ j )α/2+1/4 ∆θ j π
k=1
θ ∈∆
j
3
6λc2 c2 (α, β) (1 − cos ϕ)−α/2−1/4 ×
π
k=1
⎡
α/2+1/4 α/2+1/4 ⎤
⎥⎥⎥ 2
⎢⎢⎢
1
1
1
⎥⎥⎦ ⎢
− cos ϕ +
+ cos ϕ −
× ⎢⎣ 1 − cos ϕ −
n
n
n
n
n
12λc2 c2 (α, β) (1 − cos ϕ)−α/2−1/4 ×
(2.28)
πn
k=1
⎡
α/2+1/4 α/2+1/4 ⎤
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
1
1
⎥⎥⎦ ⎢
+ 2 sin ϕ sin
× ⎢⎣ 1 − cos ϕ −
n
n
⎡⎛
⎤
⎞
1 α/2+1/4
⎥⎥⎥
n ⎢
12λc2 c2 (α, β) ⎢⎢⎢⎢⎜⎜⎜⎜ 1 − cos ϕ − n ⎟⎟⎟⎟
⎥⎥⎥
−α/2−1/4
−α/2−1/4
⎟⎟⎠
⎢⎢⎢⎜⎜⎝
+ 2(sin ϕ)
n
⎥⎥⎦ ⎣
πn
1 − cos ϕ
k=1
√
√
n
12(1 + 2π)
12(1 + 2π)λc2 c2 (α, β) λc2 c2 (α, β).
1
πn
π
k=1
n
Ф.М. Коркмасов
42
Объединяя (2.27), (2.28), получим
√
λ
12(1 + 2π)c2 c2 (α, β) + 15.36 .
U3 π
(2.29)
Если же ϕ 1n , то величина U3 берется по промежутку ∆5 = 0, ϕ + 1n .
В этом случае U3(1) оценится аналогично как при ϕ > 1n , а U3(2) с учетом
α,β
оценки Pk (cos ϕ) c(α, β)nα оценится так:
⎛ n
⎞
2 (α, β) ⎜
⎟ ⎜
6λc
c
⎜
2
⎜⎜⎜ kα+1/2 ⎟⎟⎟⎟⎟
U3(2) (1 − cos θ j )α/2+1/4 ∆θ j ⎝
⎠
π
k=1
θ ∈∆
j
5
α/2+1/4 1
6λc2 c2 (α, β) α+3/2
1 − cos ϕ +
n
∆θ j π
n
θ ∈∆
j
(2.30)
5
α+1/2
24λ 2
2
1
6λc2 c2 (α, β) α+3/2
n
c2 c (α, β).
ϕ+
π
n
n
π
В итоге получаем
√
λ
12(1 + 2π)c2 c2 (α, β) + 15.36 .
π
U3 (2.31)
Оценим величину U4 . Проводя те же рассуждения, что при оценке величины U2 , получим
U4 36π
c(α, β)c1 λn1/2 ×
5
⎤
⎡
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
2
θα+3/2
θα+1/2
ϕ
j
j
α,β
α+1,β
⎢
∆θ j + √ |Pn
∆θ j ⎥⎥⎥⎥⎦ (cos ϕ)|
× ⎢⎢⎢⎣|Pn (cos ϕ)|
ϕ(ϕ − θ j )
ϕ(ϕ − θ j )
2
θ j ∈∆4
θ j ∈∆4
$ #
ϕα+3/2 α+1,β
1
36π
1/2
α+1/2 α,β
c(α, β)c1 λn
|Pn (cos ϕ)| + √ |Pn
(cos ϕ)|
∆θ j .
ϕ
5
ϕ
−
θ
j
2
θ j ∈∆4
(2.32)
1
монотонно убывает на промежутке
Поскольку функция g(θ) =
ϕ−θ
(0, ϕ), то, используя оценки (2.2) и (2.11), можно записать
θ j ∈∆4
1
1
∆θ j ϕ − θj
ϕ− n
0
3π
3π
π
3π
dθ
+
ln ϕn +
ln n +
.
ϕ−θ
2
2
2
2
(2.33)
С учетом оценки (2.33) из (2.32) получим
$
#
3π
36π
ϕα+3/2 α+1,β
π
1/2
α+1/2 α,β
c(α, β)c1 λn
.
|Pn (cos ϕ)| + √ |Pn
(cos ϕ)| ln n +
ϕ
U4 5
2
2
2
(2.34)
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
43
πc(α, β) −α−1/2
1
α,β
, то из (2.6) имеем |Pn (cos ϕ)| √
ϕ
и
n
2n1/2
π2 c(α, β) −α−3/2
α+1,β
(cos ϕ)| √
ϕ
.
|Pn
2 2n1/2
Поэтому из (2.34) получаем
3π
9π2 √
π
2
(2 2 + π)c (α, β)c1 λ ln n +
.
(2.35)
U4 5
2
2
Так как ϕ Собирая оценки (2.20), (2.25), (2.31), (2.35) и сопоставляя их с (2.13),
при t ∈ [0, 1], −1/2 < α, β < 1/2, n N − 1 приходим к оценке
3π2
α,β
n + 3π +
Ln,N (t) H1 (α, β) ln
10
(2.36)
α,β
α,β
1/2
+ H2 (α, β)|Pn (t)| + H3 (α, β)|Pn+1 (t)| n + H4 (α, β),
где
9π2 √
(2 2 + π)c2 (α, β)c1 λ,
5
6
4
2
8 + 9π
+ 1 c(α, β)c1 λ,
H2 (α, β) =
5
5(2α + 1)
48
H3 (α, β) = c(α, β)c1 λ,
5
√
λ
12(1 + 2π)c2 c2 (α, β) + 15.36 .
H4 (α, β) =
π
2) Перейдем теперь к случаю −1 t 0. Покажем, что его можно
свести к уже рассмотренному случаю 0 t 1. Используя свойства (2.5)
и (2.12), из (1.8) для произвольного t ∈ [0, 1] имеем
H1 (α, β) =
α,β
Ln,N (−t)
n
α,β −1 α,β
α,β
=
µ j {hk } Pk (−t)Pk (x j ) =
k=0
j=1
N
n
β,α −1 β,α
β,α
µ j {hk } Pk (t)Pk (−x j ) .
=
k=0
j=1
N
(2.37)
Сделав замену переменных t = cos ϕ, x j = cos θ j , из (2.37) получим
N
n
α,β
β,α
β,α
β,α
µ j {hk }−1 Pk (cos ϕ)Pk (cos(π − θ j )) =
Ln,N (− cos ϕ) =
k=0
j=1
n
β,α
β,α
β,α
β,α
µ j {hk }−1 Pk (cos ϕ)Pk (cos ξ j ) = L̃n,N (cos ϕ).
=
j=1
k=0
N
Так как ξ j = π − θ j имеют одинаковые свойства с θ j , то, проводя те же
α,β
рассуждения, что при оценке величниы Ln,N (cos ϕ) и используя равенство
Ф.М. Коркмасов
44
(2.5), выводим, что
3π2
β,α
n + 3π +
L̃n,N (cos ϕ) H1 (α, β) ln
10
β,α
β,α
+ H2 (α, β)|Pn (cos ϕ)| + H3 (α, β)|Pn+1 (cos ϕ)| n1/2 + H4 (α, β) =
3π2
n + 3π +
= H1 (α, β) ln
10
α,β
α,β
+ H2 (α, β)|(−1)n Pn (− cos ϕ)| + H3 (α, β)|(−1)n+1 Pn+1 (− cos ϕ)| n1/2 + H4 (α, β) =
3π2
n + 3π +
= H1 (α, β) ln
10
α,β
α,β
+ H2 (α, β)|Pn (− cos ϕ)| + H3 (α, β)|Pn+1 (− cos ϕ)| n1/2 + H4 (α, β).
(2.38)
Возвращаясь к переменной t, из (2.37) и (2.38) получаем
3π2
α,β
n + 3π +
Ln,N (t) H1 (α, β) ln
10
(2.39)
α,β
α,β
1/2
+ H2 (α, β)|Pn (t)| + H3 (α, β)|Pn+1 (t)| n + H4 (α, β)
при t ∈ [−1, 0].
В конечном итоге, из оценок (2.36) и (2.39) при −1/2 < α, β < 1/2, n N−
− 1, n 1 для t ∈ [−1, 1]
3π2
α,β
n + 3π +
Ln,N (t) H1 (α, β) ln
10
(2.40)
α,β
α,β
1/2
+ H2 (α, β)|Pn (t)| + H3 (α, β)|Pn+1 (t)| n + H4 (α, β)
или
α,β
α,β
α,β
Ln,N (t) = O(1) ln n + n1/2 |Pn (t)| + Pn+1 (t)| + 1 .
Теорема 1 доказана.
Литература
[1] Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. М.: Физматгиз, 1962.
500 c.
[2] Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы / Д. Джексон.
М.: ИЛ, 1948. 260 c.
[3] Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. М.:
Гостехиздат, 1949.
[4] Яхнин, Б.М. О функциях Лебега разложений в ряды по полиномам
Якоби для случаев α = β = 1/2; α = −1/2, β = 1/2; α = 1/2, β = −1/2 /
Б.М. Яхнин // Успехи матем. наук. 1958. Т. 13. № 6. С. 207–211.
Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье–Якоби
45
[5] Тиман, А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Тиман. М.: Физматгиз, 1960. 624 c.
[6] Агаханов, С.А. Функция Лебега сумм Фурье–Якоби / С.А. Агаханов,
Г.И. Натансон // Вестник Ленингр. ун-та, сер. матем. 1968. Вып. 1.
С. 11–23.
[7] Бадков, В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье–Якоби /
В.М. Бадков // Сиб. матем. журнал. 1968. Т. 9. № 6. С. 1263–1283.
[8] Шарапудинов, И.И. Многочлены, ортогональные на сетках /
И.И. Шарапудинов Махачкала, 1997. 254 c.
[9] Gronwall, T. Über die Laplacesche Reiche / T. Gronwall // Math. Ann.
1913. V. 74. P. 213–270.
[10] Rau, H. Über die Lebesgueschen Konstanten der Reihenentwicklugen nach
Jacobischen Polynomen / H. Rau // J. für Math. 1929. V. 161. P. 237–254.
[11] Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин.
М.: Наука, 1976. 328 c.
Поступила в редакцию 18/VII/2006;
в окончательном варианте — 18/VII/2006.
Ф.М. Коркмасов
46
ON ESTIMATION OF THE LEBESQUE FUNCTION OF
THE DISCRETE FOURIER–JACOBI SUMS
© 2006
F.M. Korkmasov2
We consider the system of the classical Jacobi polynomials of degree
at most N which generate an orthogonal system on the discrete set of the
zeros of the Jacobi polynomial of degree N. Given an arbitrary continuous
function f (t) on the interval [−1, 1], we construct the discrete Fourier–Jaα,β
cobi sums S n,N ( f, t) over the orthonormal system introduced above. We
α,β
prove that the Lebesgue function Ln,N (t) of the discrete Fourier–Jacobi
sums for −1/2 < α, β < 1/2, n N − 1, n 1 on the interval [−1 + ε, 1 − ε]
(ε > 0) have the O(ln
on the intervals
n) order;
[−1,
−1 + ε] and [1 − ε, 1],
accordingly, the O nβ+1/2 order and the O nα+1/2 order.
Paper received 18/VII/2006.
Paper accepted 18/VII/2006.
2
Korkmasov Fuad Mueddinovich, (kfuad@mail.ru), Institute for Geothermal Research of
the Dagestan Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences, Makhachkala, 367030,
Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
303 Кб
Теги
суммы, оценки, дискретное, фурье, функции, якоба, лебега
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа