close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценки в классах аналитических в круге функций с ограничениями на характеристику Р. Неванлинны

код для вставкиСкачать
УДК-517.53
Lp -ОЦЕНКИ В КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКУ Р. НЕВАНЛИННЫ
Ф.А. Шамоян, Е.Г. Родикова
В работе получено полное описание тех неотрицательных борелевских мер  в единичном круге, при которых
класс Sp вложен в пространство Лебега Lp    .
Ключевые слова: теорема вложения, пространство Лебега, борелевская мера.
Пусть
плоскости,
C
– комплексная плоскость,
H D
суммируемых
D   z  C : z  1
– множество всех аналитических в
положительных
функций
на
 0,1 ,
D
– единичный круг на комплексной
функций,
для
которых

– множество всех
существуют
числа
m , q   0,1 , M  , такие что
  r 
(1)
 M  , r   0,1 ,    q ,1 .
 r 
Для всех 0  p   и   введем в рассмотрение следующие весовые классы функций
m 
(см. [1], [2]):
p
1






i
A      f  H  D  :   1  r    f re d  dr    ,




 

0
1


p
S   f  H  D  :   1  r  T p  r , f  dr    ,


0

1
где T  r , f  
ln  f ei d – характеристика Р. Неванлинны

2 
 
p
 
ln  a  max  ln a,0  , a  R  .
Отметим, что функция
T  r, f 
(2)
(3)
функции
f
,
играет существенную роль в
общей теории функций комплексного переменного (см. [3], [4], [5]).
Во многих задачах комплексного анализа часто возникает вопрос вложения одного класса
аналитических функций в другой (см. [6], [7]). Например, при решении интерполяционных задач в
классах
Sp
естественным образом возникает задача следующего типа:
Пусть

– неотрицательная борелевская мера в
удовлетворять мера
  ln

D , 0  p    . Каким условиям должна
p
 , чтобы для всех f  S
f  

p
d       ?
(4)
D
В работе получена полная характеризация мер  , для которых справедлива указанная
оценка. Для формулировки основного результата введем также следующие обозначения. Пусть
l   0,1 ,     ,  , положим
l

 l     z  D :1  l  z  1, arg z     .
2

Справедлива
Теорема 1. Пусть

(5)
– конечная неотрицательная борелевская мера, заданная на
подмножествах единичного круга
  ln
а)


f  
p
D , 1  p    . Тогда следующие утверждения равносильны:
1
d      C    1  r  T p  r , f  dr   , f  Sp ,
D
0
(6)
б)
  l     C1    l   l p 1 ,
при всех  
  ,  , 0  l  1,
(7)
где
C , C1 – некоторые положительные числа, не зависящие от f и l .
При 0  p  1 характеризация мер имеет другой вид.
Зададим диадическое разбиение  k , единичного круга D . Пусть k  Z  ,   Z , причем
2 k    2 k  1 ,
    1 

1
1 
 k ,l   z  D :1  k  z  1  k 1 , k  arg z 
.
k
2
2
2
2


(8)
Ясно, что система диадических прямоугольников покрывает единичный круг однократно,
причем  k ,l и  n ,m могут пересекаться только по границам, если k ,   n, m .


Теорема 2. Пусть
– конечная неотрицательная
D , 0  p  1, rk  1 
подмножествах единичного круга
 

борелевская мера, заданная на
1
, k  0,1,2...
2k
Тогда следующие
утверждения равносильны:
  ln
а)

f  

p
1
d      C    1  r  T p  r , f  dr   ;
D
0
k
2 1
б)
(9)
    k , 
l 2
1
1 p
1 p
1  rk 1 p
 c
 
1
1 p
1  rk  .
(10)
k
Замечание. Характеризация соответствующих мер в классах Харди и Бергмана не зависит от
p
параметра p (см. [9], [10], [11]), а в классах S , как видно из (7), (10), зависимость существенная.
Отметим также, что при доказательстве теорем 1, 2 мы применяем метод, разработанный ранее в
работах [10], [11].
Доказательство теоремы 1.
Докажем импликацию (6)  (7).
Пусть функция
g  A p   , g  z   u  z   iv  z  ,
exp g  z   Sp .
u   z   max  0, u  z   , u   z   max  0, u  z   .
также стандартные обозначения:
очевидно, что
тогда
Введем
Тогда
u  z   u  z   u  z  .
Из неравенства (6) получаем:
p


i
u

d




1

r
u
re
d








 dr .



D
0
 

Действительно, положив f  z   exp  g  z  , получим:


D


1
p
ln  f  
 

p

d        Re g   
D
 p
(11)
p
 d       u    d    

D
p
   i

p
   1  r  T  r , f  dr    1  r    u re d  dr 


0
0
 

1
1
 
p
p
1




i
   1  r    u re d  dr    1  r    g rei d  dr  .




 

 

0
0
Из тех же соображений, положив f  z   exp  g  z  , имеем:
1
 

  u   
p
D
 
p


d       1  r    u rei d  dr .


 

0
1
 
(12)
Складывая неравенства (11) и (12), получаем:
 
D
Но
a  b
p
p


u     u   d       1  r    u rei d  dr .


 

0
поскольку для любого 0  p   и любых a, bC справедлива
p
 


p
 2p  a  b
1

p

p
 
p


i
u

d



c
p


1

r
u
re
d










 dr .



D
0
 

p
Далее, так как g  A   , g  z   u  z   iv  z  , то
1
 
Рассуждая, как выше, с учетом равенства
 v  
D
оценка
 , то из (13) заключаем:
p
p
(13)
(14)
и
expig  z   Sp .
v  z    Reig  z  получим:
p


d        1  r    v rei d  dr .


0
 

1
 
(15)
Объединяя (14) и (15), заключаем:

p

g    d      u    v   
D

p
d    
D


p
p
 c1    u   d      v    d     


D

D
p
p
1




i
 c2   1  r    u re d  dr  c2   1  r    v rei d  dr 




 

 

0
0
1
 
 
p


 c3   1  r    g rei d  dr.


 

0
1
 
Таким образом, в условиях теоремы для любой функции
g  A p   справедлива оценка:
p


i
g

d



c

1

r
g
re
d







 
 dr.
3

D
0
 

Не ограничивая общности, предположим, что   0 , т.е.  l  0    l .
p
1
 
(16)
Тогда подбирая в
1  a 
2
g  z
качестве
функцию
1  az 

2
,
0  a  1, 
- достаточно большое число, после
подстановки в неравенство (16), получим:
p
  1  a2 

p
d  dr 
 g   d     c3   1  r   

i 2 
D
0
 1  are


1
 1  a 
 l 
 1  r 
p
,
c

c
 c3 1  a  
dr

4
4
2


1
p
p


1

1
p


 
  1 1
l
1

a
1

ar

 
0
где l  1  a, 0  l  1.

1

При получении этой оценки мы воспользовались неравенством (см. [1])
1
 1  r 
dr  c
 1  ar  
0
 1  a 
1  a 
при достаточно больших
Но
 1
.
2
2
1  az   1  a   a 1  r    4ar sin 2
2 p

p
g    d     
1  a 
D 1  a
D
2 p

2
2
 1  a  , z  rei  l , поэтому
2 p
1 a 

d    
 d     c5
1  a 2 p 
  l 
l p
,
l
l  1  a, 0  l  1.
Таким образом,
c5
  l 
l p
 l 
p
  g    d      c4
D
l
p   11
,
откуда непосредственно следует условие (7) теоремы.
Докажем обратную импликацию (7)  (6), т.е. если
единичном круге
D
и
  ln
f  
- конечная неотрицательная мера в
   l   const    l   l p1 , то справедлива оценка (6).
 k ,
С учетом разбиения


единичного круга
 2k 1
p
D
(см. (8)) имеем:
p
 d        ln f      

k ,l
kl
.
k 0  2k
D
Применим теперь оценку (7) теоремы, в результате получим:
 2k 1
p
   ln f      

k ,l
k 0  2k
где
 k ,l
- некоторая точка из
 2k 1
p

p1
,
kl   c    ln f  k ,      k    k
k 0  2k
 k ,l ,  k  rk 1  rk , k    .
Продолжим оценку:
 2k 1
   ln f   

p
k ,l
  rk 1  rk    rk 1  rk 
p 1

k 0  2k

 c  1  rk 1  rk 
k 0
2k 1

 2k
ln  f   k ,l 

p
p
 1  rk  .
Учитывая теперь, что
1
 1 будем иметь:
p
0
p
k
 2 1
c  1  rk 1  rk    ln  f  k ,l 
 k
k 0
 l 2



p
p
p
 1  rk   


p
k
 2 1 

 c  1  rk 1  rk    ln f  k ,l   1  rk   .
 k

k 0
 l 2


Рассмотрим


K   k ,l    :    k ,l   1   k ,l
круг
1

, и субгармоническую функцию ln f  
2
1

ln  f    dm2   ,
2

 2 1   k ,l K   k ,l 
2 k  l  2 k  1 , 0   
ln  f  k ,l 

 ,
где
 k ,l   kl ,
в нем. Имеем:

откуда
2k 1
 1  rk  ln
f  k ,l  

l 2k
2k 1
1
ln  f   dm2    .


l 2 1  rk 
k
K   k , l 
k
2 1
1

 K   k ,l    k   :1  2k 1  
Очевидно, что
1
l 2 k
2k 1
1


l 2 1  rk 
k
ln  f   dm2   
K   k , l 

1
2
последнем

 ln



f rk 2e
f rei d
i
 d  c  ln f  r

k  2e
i
 d .

неравенстве
 
1
ln  f    dm2    

1  rk  
k
1  rk 2   


ln
1  rk  
В
1 
 , поэтому:
2 
k 2
мы
воспользовались
тем,
что
функция
монотонно возрастает (см. [5], с. 21).

Значит,
  ln
D

f  

p
k
p
 2 1 

d     c   1  rk 1  rk    ln f   k ,l   1  rk   .
 k

k 0
 l 2


Используя оценку (1), заключаем:
p
p
1
 

 

i
 1  rk 1  rk    ln f rk 2e d   c   1  r    ln f rei d  dr.
k 0
 

 

0



 
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2.
Докажем сначала достаточность, то есть импликацию (10)  (9). С учетом разбиения (8)
единичного круга получим:
  ln

f  

p
 2k 1
d     
  
k  0  2k
D

k ,
p
    k ,  .
(17)
 k ,l   k , , такая что
Пусть точка


max ln  f    ln  f   k ,l 
  k , 

max ln  f  
Будем предполагать, что
.
ln  f  k ,l   0
тривиальны). Учитывая субгармоничность функции
(в противном случае, соответствующие оценки
ln  f  
и теорему Харди-Литтлвуда (см. [6],
с. 195), получаем:
 ln f   

p
k ,l
c

 k ,
rk 1  k ,l 1
 
 ln f   e  
i

p
d  d  .
(18)
rk  k ,l
Применив к внутреннему интегралу неравенство Гёльдера с показателями
q 
q
1
,
p
1
, приходим к оценке:
1 p
 ln f   

k ,l
p
c

 k ,
rk 1   k ,l 1
  
rk
p

ln  f  ei
 k ,l

k
 2 1


1 p
d   k ,l 1   k ,l   d  .


p
   ln f        

k ,
k ,l
k 0 2k

 c
k 0
r  k
1  k 1  2 1

 k ,  r   2k
 k 
p

  k , l 1

1 p
  ln  f  ei d     k ,  k ,l 1   k ,l   d 




 k ,l





.



(19)
Снова применим к внутренней сумме неравенство Гёльдера с показателями
q 
1
, получим оценку (20):
1 p
p
rk 1   2k 1  k ,l 1
  2k 1

i

   2k  ln f  e d    2k    k , 
rk 
 k ,l
 


p
rk 1 


rk



  2 1
  ln  f  ei d    
 
  
  2k


k

Из (19), (20) окончательно получим:
 2k 1
p
ln  f        k ,  

  max

k 0  2k
k ,
1
1 p
    
k ,
1
1 p

1 p

 k ,l 1   k ,l  

1 p

 k ,l 1   k ,l  

q
1
,
p

d 



 d .


rk 1 



k 0
rk

  ln  f    d 
  




p
 2k 1 1
   k , 
 
 2k  k ,


1
1 p

1 p

 k ,l 1   k ,l  


 d .


Следовательно, если
1 p
1  rk 1 p  2 1   11p 
 k ,  
 
k
 k ,
 2k
 c   1  rk  ,

то есть
2k 1

 2k
   k , 
1
1 p
1 p
1  rk 1 p
 c 
 
1
1 p
1  rk  ,
то
 2k 1
 ln
  max

k 0  2k

f 
k ,

p
p
 

   k ,     1  r    ln f    d  d  ,
0
 

1
откуда учитывая (17), получим
p
 


i

1

r
ln
f

e
d

ln
f

d










 d  .



D
0
 

Импликация (10)  (9) установлена. Докажем теперь обратную импликацию.


1
p

2k 1

     ,k 
Мы получим оценку (10) для суммы
1
1 p
. Остальная часть оценивается
l 0
аналогичным образом.
Положим
2k 1
f  z, t   
l 0
cl ,kl  t 
1  zk ,l z 
n
,
t   0,1 , z  D,
(21)
где cl , k - произвольная последовательность комплексных чисел,
прямоугольника
порядка
 k ,l , n
- достаточно большое натуральное число,
zk ,l
- центр криволинейного
l  t 
- функция Радемахера
l . Положим также
F  z, t   exp f  z, t  .
Очевидно, что для произвольного
t   0,1
функция
F  Sp . Поэтому если выполняется (9)
, то
p


i
f
z
,
t
d

z

c

1

r
f
re
,
t
d








 dr .



 

D
0
Проинтегрируем это неравенство по t   0,1 . Меняя порядок интегрирования, получаем:
1
p
1

D0

p
1
1
f  z, t  dt d   z   c   1  r 
0
0

p


i
  f re , t d  dt dr .
 



Используя известное свойство системы Радемахера (см. [12], с. 341), получаем:
2
p
2

p
1
 2 1 c
  2k 1 c

l ,k
l ,k

 d   z   c  1  r   
  l 0 1  z z 2 n 

 l 0 1  z z n d  dr ,

D
0
k ,l
k ,l


 

k
то есть
2k 1
 cl ,k
p
 0
p
 2k 1

cl ,k
pn
 dr 
   k ,   1  rk    1  r    
n1 

1

r
r


0


0
k


1
 c 1  rk 
pn
1
k
 1  r 
 2 1
cl ,k
 1  r r  pn1 dr   


0

0
k



p
.
Снова учитывая оценку (см. [1])
1
 1  r 
 1  r r 
0
dr 
p n1
k
c 1  rk 
1  rk 
p n11
,
в итоге получаем:
2k 1
k
p
 2 1

 cl ,k   k ,   c 1  rk 1  rk     cl ,k  ,
 0
  0

откуда нетрудно вывести оценку (10). Импликация (9)  (10) установлена.
p
1 p
Теорема 2 доказана полностью.
In this paper we get a complete description of those non-negative Borel measures  in the unit circle, for which the
class Sp is embedded in the Lebesgue space.
The key words: embedding theorem, the Lebesgue space, Borel measure.
Список литературы
1. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых
классов голоморфных в круге функций \\ Сиб. матем. журн., Т. 40, №6, 1999. – С. 1422–1440.
p
2. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых L  классов мероморфных
функций.- Брянск: БГУ, 2009. – 152 с.
3. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1941. – 388 с.
4. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций – М.:
Наука.– 1970. – 457 с.
5. Хейман У.К. Мероморфные функции – М.: Мир. – 1966. – 447 с.
6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции – М.: Мир, 1984. – 469 с.
H p : Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 368 с.

Свободная интерполяция в H
и в некоторых других
7. Кусис П. Введение в теорию пространств
8. Виноградов С.А., Хавин В.П.
классах функций // Зап. научн. семин. ЛОМИ, Т. 47, 1974 – с. 15-54.
9. Олейник В.Л. Теоремы вложения для весовых классов гармонических и аналитических
функций // Исследования по линейным операторам и теории функций. V, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 47,
Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974. – С. 120-137.
10. Шамоян Ф.А. Теорема вложения в пространствах n -гармонических функций и некоторые
приложения // ДАН АрмССР, Т. 62, №1, 1976.
11. Шамоян Ф.А. Теоремы вложения и характеристика следов в пространствах
0  p  
// Матем. сб., Т. 107(149), №3(11), 1978. – С. 446–462.
12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды – М.: Мир, 1965. – 615 с.
 
H p Un ,
Lp -ESTIMATES
IN THE CLASS OF ANALYTIC FUNCTIONS IN THE DISC WITH
RESTRICTIONS ON THE NEVANLINNA CHARACTERISTIC
F.A. Shamoyan, E.G. Rodikova
Об авторах:
Шамоян Ф. А.- доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой
математического анализа БГУ, shamoyanfa@yandex.ru;
Родикова Е. Г.- аспирантка 2 года обучения кафедры математического анализа БГУ,
evheny@yandex.ru.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
221 Кб
Теги
аналитическая, оценки, круг, функции, характеристика, неванлинны, ограничениями, класса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа