close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценки для некоторых операторов свертки с особенностями ядер на сфере и их приложения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 1, c. 3–16
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
С ОСОБЕННОСТЯМИ ЯДЕР НА СФЕРЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Аннотация. Рассматриваются операторы свертки с ядрами, имеющими особенности на единичной сфере. Получены H p -H q оценки, где p меньше или равно q, для рассматриваемого
оператора и доказана точность этих оценок. Для этой цели развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символа этого оператора в виде суммы
некоторых осцилляторных интегралов с последующим применением метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для модельных осциллирующих мультипликаторов. Получены
также оценки из Lp в BM O и из BM O в BM O.
Ключевые слова: оценки, свертка, осциллирующий символ, мультипликатор.
УДК: 517.983
1. Введение
В рамках пространств Харди H p , 0 < p < ∞, исследуются операторы
1
β
β
θ(t )(1 − |t|2 + i0)β−1 ϕ(x − t) dt,
(Aθ ϕ)(x) = (aθ ∗ ϕ)(x) =
Γ(β)
(1)
1−δ|t|1+δ
где
1
χδ (t)θ(t )(1 − |t|2 + i0)β−1 ,
(2)
Γ(β)
функция множества {t ∈ Rn : 1 − δ |t| 1 + δ}, 0 < β < 1,
χδ (t) — характеристическая
t
0 < δ < 1, θ(t ) t = |t| — бесконечно дифференцируемая функция в Rn \ {0}, называемая
aβθ (x) =
характеристикой оператора Aβθ .
В настоящее время имеется ряд работ по оценкам для потенциалов вида (1) с радиальными характеристиками θ(t) = θ(|t|) (см. [1]–[5]). При этом в указанных работах существенно
использовалась радиальность ядра исследуемого оператора.
Рассматриваемый здесь случай потенциалов с однородными характеристиками ранее не
исследовался и намного труднее. Возникающие трудности в первую очередь связаны с исследованием символа оператора (1).
В теореме 1 получены необходимые и достаточные условия ограниченности оператора (1)
из H p в H q , 0 < p ≤ q < ∞. Это основной результат статьи. Для его доказательства развивается новый метод, основанный на получении асимптотических разложений для некоторых
интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту и средние характеристики θ(t ) на
Поступила 17.08.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской
Федерации, соглашение 14.A18.21.0356.
3
4
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
плоских сечениях единичной сферы в Rn (см. п. 3.2), и развитии на основе этих разложений техники осциллирующих (p − q)-мультипликаторов, используя результаты A. Miyachi.
2. Основной результат
f (x)eiξx dx — преобразование Фурье функции f ,
2.1. Обозначения. (F f )(ξ) = f(ξ) =
Rn
(F −1 f )(ξ) = (2π)−n (F f )(−ξ) — обратное преобразование Фурье, S — класс Шварца быстро
убывающих гладких функций, S — пространство обобщенных функций медленного роста.
2.2. Некоторые пространства функций и распределений. Через H p = H p (Rn ), 0 <
p < ∞, обозначим множество всех S -распределений таких, что
f + (x) = sup |(f ∗ ϕε )(x)| ∈ Lp ,
где ϕ ∈ S и
Rn
0<ε<∞
ϕ(x)dx = 0, ϕε (x) = ε−n ϕ( xε ) и (f ∗ ϕε )(x) = f, ϕε (x − ·). Положим f H p =
f + Lp ([6], гл. 3, 4). Заметим, что при 1 < p < ∞ пространство H p изоморфно Lp .
Так как класс S не содержится в H p , то в качестве плотного множества в H p берем S ∩H p
([7], с. 275).
Через BM O = BM O(Rn ) обозначим множество всех локально интегрируемых функций,
для которых
1
|f (x) − fB |dx < ∞,
f BM O = sup
|B| B
B
1
f (x)dx и супремум берется по всем шарам B из Rn . Заметим, что пространгде fB = |B|
B
ство BM O является сопряженным к H 1 ([6], с. 142). Кроме того, S ⊂ BM O.
Следуя [7], через K(H p , H q ) обозначим пространство всех k ∈ S таких, что
kK(H p ,H q ) = sup {k ∗ f H q /f H p : f ∈ S ∩ H p , f H p = 0} < ∞.
Через M(H p , H q ) обозначим множество обобщенных функций m ∈ S , причем
mM(H p ,H q ) = sup F −1 (mf)H q /f H p : f ∈ S ∩ H p , f H p = 0 < ∞.
Таким образом, mM(H p ,H q ) = F −1 mK(H p ,H q ) .
2.3. Формулировка основного результата. На
L(β) =
1 1
,
p q
,0 < p ≤ q < ∞ :
1
p
n
p
−
−
n
q
1
q
1
≤ β,
1
p, q
-плоскости рассмотрим множество
если
≤ β + n − 1, если
1
p
1
p
+
+
1
q
1
q
≤1
≥1
(рис. 1),
β
β 1−β , 1 + n−1
, M = n+β
L(β) = [O , P, M, C ] \ [O , C ], где O = (0, 0), P = 1 + n−1
n+1 , n+1 ,
C = (β, 0).
Через H(Aβθ ) обозначим множество всех пар (1/p, 1/q), для которых aβθ K(H p ,H q ) < ∞.
Теорема 1. Справедливо равенство H(Aβθ ) = L(β).
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
5
3. Вспомогательные сведения и утверждения
3.1. О некоторых H p − H q мультипликаторах.
Рассмотрим мультипликатор
2
−b ±i|ξ|
,
m±
b (|ξ|) = v(|ξ| )|ξ| e
b > 0,
где v(r 2 ) ∈ C ∞ (0, ∞), 0 ≤ v(r 2 ) ≤ 1; v(r 2 ) = 0, если r ≤ 1 и v(r 2 ) = 1, если r ≥ 2.
p
q
Теорема 2 ([7], теорема 4.2). Соотношение m±
b (|ξ|) ∈ M(H , H ), 0 < p ≤ q < ∞, имеет
место тогда и только тогда, когда a) 1/p + 1/q ≤ 1, 1/p − n/q ≤ b − (n − 1)/2 или
b) 1/p + 1/q ≥ 1, n/p − 1/q ≤ b + (n − 1)/2.
Теорема 3 ([6], с. 115, теорема 4). Пусть 0 < p < ∞ и γ = 1 + max {[n(1/p − 1/2)] , [n/2]}.
Если m — ограниченная функция класса C k (Rn \ {0}) и |(∂/∂ξ)α m(ξ)| ≤ B · |ξ|−|α| при
|α| ≤ γ, то m ∈ M (H p , H p ).
Лемма 1. Пусть k(y) ∈ S, тогда k(y) ∈ K(H p , H q ), 0 < p ≤ q ≤ ∞. Если, кроме того,
k(y)dy = 0, то k(y) ∈ K(BM O, L∞ ).
k(y) ∈ S и
Rn
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что k(y) ∈ K(H p , H p ), 0 < p < ∞. Кроме того,
k(y) ∈ K(H p , L∞ ) ([6], гл. 3, п. 1.8). Применяя интерполяционную теорему ([8], теорема 3.4),
получаем, что k(y) ∈ K(H p , H q ), 0 < p ≤ q ≤ ∞. Так как k(y) ∈ H 1 ([6], гл. 3, п. 1.2.4) и норма в пространстве BM O инвариантна относительно сдвига, то из неравенства Феффермана
([7], с. 273)
n f (x)g(x)dx ≤ Cf H 1 gBM O ,
R
где f ∈ H 1 , g ∈ BM O и f g ∈ L1 , следует k(y) ∈ K(BM O, L∞ ).
3.2. О средних функций, заданных на единичной сфере. Следуя ([9], § 19, п. 2),
рассмотрим средние функций θ(σ), σ ∈ S n−1 , на (n − 2)-мерных сечениях S n−1 гиперплоскостями. В случае n = 2 — это среднее арифметическое по двум точкам:
Mθ (x , y) = (θ(σ+ ) + θ(σ− )) /2,
6
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
x1
x2
x2
где σ+ = |x|
y ± |x|
1 − y 2 , |x|
y∓
средние задаются равенством
Mθ (x , y) =
x1
|x|
1 − y 2 . В пространственном случае, когда n > 2,
1
|S n−2 |
θ(yx + τ
1 − y 2 ) dSτ .
(3)
S n−2 (0,1)
Если θ(σ) ∈ C ∞ (S n−1 ), то Mθ (x , y) ∈ C ∞ (S n−1 × [−1, 1]).
Ниже будет использовано равенство
1
n−3
n−2
θ(σ)f (x · σ) dσ = |S
|
Mθ (x , y)(1 − y 2 ) 2 f (y) dy
(4)
−1
S n−1
(см. [9], формула (19.18)).
3.3. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту.
Лемма 2 ([10]). Пусть λ ∈ C. Для ε > 0 положим
∞
1
v(s)sλ eist−εs ds,
Iλ,ε (t) =
(2π)n 0
где функция v(r) определена в п. 3.1.
Тогда Iλ,ε (t) равномерно сходится при ε → 0, если |t| > δ для любого δ > 0, и для
предельной функции справедливо равенство
Λλ (t + i0)−λ−1 + Iλ (t),
λ = −1, −2, . . . ;
Iλ (t) = lim Iλ,ε (t) = −λ−1 ε→0
(Λλ + Λλ ln(t + i0)) + Iλ (t), λ = −1, −2, . . . ,
t
iπ
1
(λ+1)
Γ(λ + 1),
где Iλ (t) ∈ C ∞ (R), Λλ = (2π)
ne 2
π − iπ (λ+1)
e 2
/(−λ − 1)!,
Λλ = (2π)−n ψ(−λ) + i
2
Λλ = −(2π)−n e− 2 (λ+1) /(−λ − 1)!,
iπ
ψ(z) = Γ (z)/Γ(z) и Iλ (t) = O(|t|−M ) при t → ∞ для любого M > 0.
Замечание 1. Как видно из приведенного в [10] доказательства, Iλ (t) ∈ C ∞ (Rn \ {0}) и
j
(d/dt) Iλ (t) C|t|−M при t → ∞, j = 0, 1, 2, . . . , M = 1, 2, 3, . . . .
Положим
Φβ± (λ)
=
a
xβ−1 f (x)e±iλx dx,
β > 0.
0
Анализ доказательства леммы Эрдейи ([11], с. 97) показывает, что справедлива
Лемма 3. Пусть f (x) ∈ C ∞ ([0, a]) и обращается в нуль вместе со всеми своими производными в точке x = a. Тогда справедливо представление
Φβ± (λ) =
N
−1
−(β+k)
c±
+ WN±,β (λ, f ),
β,k λ
λ 1, где N = 1, 2, 3, . . . ,
k=0
(k)
(0)/k!)Γ(β + k)e± 2 (β+k) ,
c±
β,k = (f
iπ
±,β (λ, f ),
WN±,β (λ, f ) = λ−N −β W
N
(5)
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
7
±,β (λ, f ) — бесконечно дифференцируемая функция от λ. При этом справедлива оценгде W
N
ка
±,j
±,β
W (λ, f ) (j) ≤ C
, λ > 1, j = 0, 1, 2, . . . ,
(6)
N
λN +β+j
постоянные C ±,j не зависят от λ.
Рассмотрим интеграл
(Uλ θ)(ξ) =
1
−1
(1 − y 2 )
Mθ (ξ , y)eiλ|ξ|y dy,
n−3
2
λ > 0.
В дальнейшем используется
Теорема 4. Пусть M , N — натуральные числа, |ξ| > 1/λ. Справедливо представление
(Uλ θ)(ξ) =
N
−1 χ+
k (ξ )
k=0
−, n−1
2
+ eiλ|ξ| WN
e−iλ|ξ|
(λ|ξ|)
+
n−1
+k
2
χ−
k (ξ )
n−1
+k
2
(λ|ξ|)
3/4
(λ|ξ|, f− ) + (−iλ|ξ|)−M
eiλ|ξ|
−3/4
+, n−1
2
+ e−iλ|ξ| WN
(λ|ξ|, f+ )+
(M )
n−3
eiλ|ξ|y (1 − y 2 ) 2 Mθ (ξ , y)η(y) y dy,
n−3
n−1
dk 2 M (ξ , ±(τ − 1)) +k
,
(2
−
τ
)
θ
2
dτ k
τ =0
n−3
f± (τ, ξ ) = 1 − η ± (τ − 1) (2 − τ ) 2 Mθ (ξ , ±(τ − 1)),
χ±
k (ξ ) =
n−1
+k
2
(±i)
k!
Γ
(7)
η(r) ∈ C ∞ (0, ∞), 0 η(r) 1, η(r) = 1 при |r| 1/2, η(r) = 0 при |r| 3/4. Функции
±, n−1
2
WN
(λ|ξ|, f± ) определены в (5).
Доказательство. Представим
−1/2
(1 − η(y))(1 − y 2 )
(Uλ θ)(ξ) =
−1
1
+
n−3
2
Mθ (ξ , y)eiλ|ξ|y dy+
(1 − η(y))(1 − y 2 )
n−3
2
Mθ (ξ , y)eiλ|ξ|y dy+
1/2
3/4
+
−3/4
η(y)(1 − y 2 )
n−3
2
Mθ (ξ , y)eiλ|ξ|y dy ≡ U1 (λ, ξ) + U2 (λ, ξ) + U3 (λ, ξ). (8)
Интегрируя U3 (λ, ξ) по частям M раз, получаем
3/4
(M )
n−3
−M
eiλ|ξ|y (1 − y 2 ) 2 Mθ (ξ , y)η(y) y dy.
U3 (λ, ξ) = (−iλ|ξ|)
−3/4
Далее имеем
1/2
n−3
n−3
τ 2 (2 − τ ) 2 eiλ|ξ|(τ −1) (1 − η(τ − 1))Mθ (ξ , τ − 1) dτ =
U1 (λ, ξ) =
0
−iλ|ξ|
1/2
τ
=e
0
n−3
2
eiλ|ξ|τ f+ (τ, ξ ) dτ.
8
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
Применяя к полученному интегралу лемму 3, получим
N
−1 e−iλ|ξ|
+, n−1
+ χk (ξ )
+ e−iλ|ξ| WN 2 (λ|ξ|, f+ ).
U1 (λ, ξ) =
n−1
(λ|ξ|) 2 +k
k=0
Аналогично,
U2 (λ, ξ) =
N
−1 χ−
k (ξ )
k=0
eiλ|ξ|
(λ|ξ|)
−, n−1
2
+ eiλ|ξ| WN
n−1
+k
2
(λ|ξ|, f− ).
Из (8), (9) вытекает утверждение теоремы.
Замечание 2. Отметим, что
χ±
0 (ξ ) = (±i)
n−1
2
Γ
(9)
n−1
2
2
n−3
2
θ(∓ξ ).
Это равенство следует из (7) и (3).
4. Представление для символа оператора Aβθ
Потенциал (1) запишем в виде (Aβθ ϕ)(x) = (Bθβ ϕ)(x) + (Dθβ ϕ)(x). Здесь
β
β
β
bθ (t)ϕ(x − t) dt,
(Dθ ϕ)(x) =
dβθ (t)ϕ(x − t) dt,
(Bθ ϕ)(x) =
1−δ|t|1+δ
1−δ|t|1+δ
где
bβθ (t) = (1 − ω(|t|2 ))
θ(t )
(1 − |t|2 + i0)β−1 ,
Γ(β)
dβθ (t) = ω(|t|2 )
θ(t )
(1 − |t|2 + i0)β−1 .
Γ(β)
Функция ω(r 2 ) ∈ C ∞ (0, ∞) такова, что 0 ω(r 2 ) 1, ω(r 2 ) = 1, если r ∈ [1 − δ/2, 1 + δ/2]
и ω(r 2 ) = 0 вне интервала (1 − δ, 1 + δ).
Имеем (Bθβ ϕ)(x) = (Bθβ,1 ϕ)(x) + (Bθβ,2 ϕ)(x), где
eiπ(β−1)
β,1
β,1
(1 − ω(|t|2 ))θ(t )(|t|2 − 1)β−1 ,
bβ,1
(t)ϕ(x
−
t)
dt,
b
(t)
=
(Bθ ϕ)(x) =
θ
θ
Γ(β)
1|t|1+δ
(Bθβ,2 ϕ)(x)
1
=
Γ(β)
(1 − ω(|t|2 ))θ(t )(1 − |t|2 )β−1 ϕ(x − t) dt.
(10)
1−δ|t|1
β,1
Рассмотрим символ bβ,1
θ (ξ) оператора Bθ . Переходя к полярным координатам, получим
eiπ(β−1) 1+δ n−1 2
β−1
2
(ξ)
=
ρ
(ρ
−
1)
(1
−
ω(ρ
))
dρ
θ(σ)ei(ρξ·σ) dσ.
(11)
bβ,1
θ
Γ(β) 1+δ/2
n−1
S
Перепишем (11) в виде
β,1
β,1
β,1
β,1
2 2 bβ,1
θ (ξ) = (1 − v(|ξ| ))bθ (ξ) + v(|ξ| )bθ (ξ) ≡ bθ,0 (ξ) + bθ,∞ (ξ),
∞
где функция v(|ξ|) определена в п. 2.3. Заметим, что bβ,1
θ,0 (ξ) ∈ C0 .
(12)
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
9
Рассмотрим далее bβ,1
θ,∞ (ξ). Применив к интегралу
θ(σ)ei(ρξ·σ) dσ
(13)
S n−1
формулу (4), а затем теорему 4, получим
N
β,k,+
(ξ)
=
(ξ) + hβ,k,−
(ξ) + hβ1 (ξ).
h1
bβ,1
1
θ,∞
(14)
k=0
Здесь
(ξ) =
hβ,k,±
1
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
k (ξ )
eiπ(1−β) Γ(β)|ξ|
(ξ)
hβ,N,±
1
n−1
+k
2
1+δ
ρ
(ρ2 − 1)β−1 (1 − ω(ρ2 ))e±iρ|ξ| dρ, 0 k N − 1,
1+δ/2
1+δ
v(|ξ|2 )|S n−2 |
= iπ(1−β)
e
Γ(β)
n−1
−k
2
∓, n−1
2
ρn−1 (ρ2 − 1)β−1 (1 − ω(ρ2 ))e±iρ|ξ| WN
(ρ|ξ|, f∓ )dρ,
1+δ/2
hβ1 (ξ)
1+δ
v(|ξ|2 )|S n−2 |
= iπ(1−β)
e
Γ(β)(−i|ξ|)M
(1 − ω(ρ2 ))dρ
ρ1−n+M (ρ2 − 1)1−β
1+δ/2
3/4
(M )
n−3
eiρ|ξ|t (1−t2 ) 2 Mθ (ξ , t)η(t) t dt,
−3/4
(15)
χ∓
k (ξ )
определены в (7).
где функции
Сначала рассмотрим мультипликатор hβ1 (ξ). Пусть функция v(|ξ|2 ) такова, что v(r 2 ) ∈
v (r 2 ) ≤ 1, тогда v(r 2 )
v (r 2 ) = v(r 2 ).
C ∞ (0, ∞), v(r 2 ) = 0 при r ≤ 1, v(r 2 ) = 1 при r ≥ 2 и 0 ≤ Имеем
hβ1 (ξ) =
v(|ξ|2 )|S n−2 |ei|ξ|
×
v(|ξ|2 )e−i|ξ|
n+1 ×
eiπ(1−β) Γ(β)(−i)M |ξ|
|ξ|M − 2
3/4
1+δ n−M −1
(M )
ρ
(1 − ω(ρ2 ))
iρ|ξ|t
2 n−3
2 M (ξ , t)η(t)
dρ
e
)
dt. (16)
(1
−
t
×
θ
t
(ρ2 − 1)1−β
1+δ/2
−3/4
n+1
2
(ξ). После замены ρ − 1 = τ в интеграле (15) получим
Теперь рассмотрим hβ,N,±
1
(ξ)
hβ,N,±
1
v(|ξ|2 )|S n−2 |e±i|ξ|
=
eiπ(1−β) Γ(β)
δ
β−1 ±iτ |ξ|
u∓
e
dτ,
N (τ, |ξ|)τ
δ/2
∓, n−1
2
n−1
(2 + τ )β−1 (1 − ω((1 + τ )2 ))WN
u∓
N (τ, |ξ|) = (1 + τ )
В силу (5)
(ξ)
hβ,N,±
1
v(|ξ|2 )|S n−2 |e±i|ξ| v(|ξ|2 )
=
n+1
N −1
eiπ(1−β) Γ(β)|ξ| 2 |ξ|
δ
δ/2
((1 + τ )|ξ|, f∓ ).
∓
kN
(τ, |ξ|)τ β−1 e±iτ |ξ| dτ,
∓
∓, 2 ((1 + τ )|ξ|, f∓ ).
(τ, |ξ|) = (1 + τ )n−1 (2 + τ )β−1 (1 − ω((1 + τ )2 ))W
kN
N
Рассмотрим
1+δ
n−1
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
β,k,±
k (ξ )
(ξ) =
uk (ρ)e±iρ|ξ| dρ, uk (ρ) = ρ 2 −k (ρ2 − 1)β−1 (1 − ω(ρ2 )).
h1
n−1
eiπ(1−β) Γ(β)|ξ| 2 +k 1+δ/2
(17)
n−1
10
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
Интегрируя (17) по частям l + 1 раз, где l = 1, 2, 3, . . . , получим
±i(1+δ)|ξ|
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
β,k,±
2
k (ξ )e
(ξ) =
v(|ξ| ) (∓i)uk (1 + δ) + · · ·
h1
n−1
eiπ(1−β) Γ(β)|ξ| 2 +k+1
(l)
(∓i)l+1 (−1)l uk (1 + δ) (±i)l+1 e∓i(1+δ)|ξ| 1+δ (l+1)
±iρ|ξ|
+
uk (ρ)e
dρ . (18)
+
|ξ|l
|ξ|l
1+δ/2
Рассмотрим символ оператора Dθβ
dβθ (ξ) =
1
Γ(β)
1
ρn−1 (1 − ρ2 )β−1 ω(ρ2 ) dρ
1−δ
+
eiπ(β−1)
Γ(β)
1+δ
θ(σ)ei(ρξ·σ) dσ+
S n−1
ρn−1 (ρ2 − 1)β−1 ω(ρ2 ) dρ
1
θ(σ)ei(ρξ·σ) dσ. (19)
S n−1
Перепишем (17) в виде
dβθ (ξ) = (1 − v(|ξ|2 ))dβθ (ξ) + v(|ξ|2 )dβθ (ξ) ≡ dβθ,0 (ξ) + dβθ,∞ (ξ).
(20)
Заметим, что dβθ,0 (ξ) ∈ C0∞ . Рассмотрим dβθ,∞ (ξ). Применив к (13) формулу (4), а затем
β,2
теорему 4, получим dβθ,∞ (ξ) = dβ,1
θ,∞ (ξ) + dθ,∞ (ξ),
N
β,k,+
β
(ξ)
=
hj+1 (ξ) + hβ,k,−
dβ,j
j+1 (ξ) + hj+1 (ξ),
θ,∞
(21)
j = 1, 2.
k=0
Здесь
(ξ)
hβ,k,±
2
=
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
k (ξ )
Γ(β)|ξ|
(ξ)
hβ,N,±
2
1
ρ
n−1
+k
2
n−1
−k
2
(1 − ρ2 )β−1 ω(ρ2 )e±iρ|ξ| dρ, 0 k N − 1,
(22)
1−δ
v(|ξ|2 )|S n−2 |
=
Γ(β)
1
1−δ
ρn−1
∓, n−1
ω(ρ2 )e±iρ|ξ| WN 2 (ρ|ξ|, f∓ )dρ,
2
1−β
(1 − ρ )
(23)
3/4
(M )
ρn−M −1
2
iρ|ξ|t
2 n−3
2 M (ξ , t)η(t)
ω(ρ
)dρ
e
)
dt,
(1
−
t
θ
2 1−β
t
1−δ (1 − ρ )
−3/4
1+δ n−1
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
k (ξ )
(ξ)
=
ρ 2 −k (ρ2 − 1)β−1 ω(ρ2 )e±iρ|ξ| dρ, 0 k N − 1, (24)
hβ,k,±
n−1
3
+k
iπ(1−β)
1
Γ(β)e
|ξ| 2
v(|ξ|2 )|S n−2 |eiπ(β−1) 1+δ n−1 2
∓, n−1
β,N,±
(ξ) =
ρ
(ρ − 1)β−1 ω(ρ2 )e±iρ|ξ| WN 2 (ρ|ξ|, f∓ )dρ,
h3
Γ(β)
1
hβ2 (ξ)
v(|ξ|2 )|S n−2 |
=
Γ(β)(−i|ξ|)M
1
v(|ξ|2 )|S n−2 |
hβ3 (ξ) =
Γ(β)eiπ(1−β) (−i|ξ|)M
1+δ
1
ρn−M −1
ω(ρ2 )dρ
(ρ2 − 1)1−β
где функции χ∓
k (ξ ) определены в (7).
3/4
−3/4
(M )
n−3
eiρ|ξ|t (1 − t2 ) 2 Mθ (ξ , t)η(t)
dt,
t
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
11
Сначала рассмотрим мультипликатор hβ,k,±
(ξ). После замены 1 − ρ = τ в интеграле (22),
2
получим
±i|ξ| δ
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
β,k,±
k (ξ )e
h2
(ξ) =
gk− (τ )τ β−1 e∓iτ |ξ| dτ,
n−1
+k
0
Γ(β)|ξ| 2
gk− (τ ) = (1 − τ )
Применяя лемму 3, имеем
(ξ) =
hβ,k,±
2
±i|ξ|
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
k (ξ )e
Γ(β)|ξ|
n−1
+k+β
2
n−1
−k
2
(2 − τ )β−1 ω((1 − τ )2 ).
×
× v(|ξ|2 ) c∓
β,0 +
c∓
β,1
|ξ|
+ ··· +
c∓
β,N −1
+
|ξ|N −1
|ξ|β WN∓,β (|ξ|, gk− )
, (25)
β−1 e∓iπβ/2 Γ(β), c∓ = 2β−2 (n − 2k + β − 2)e∓iπ(β+1)/2 Γ(β + 1) и для W ∓,β (|ξ|, g − )
где c∓
N
β,0 = 2
β,1
k
справедлива оценка (6).
Сделав замену τ = ρ − 1 в интеграле (24) и применяя лемму 3, получим
(ξ) =
hβ,k,±
3
±i|ξ|
v(|ξ|2 )|S n−2 |χ∓
k (ξ )e
Γ(β)eiπ(1−β) |ξ|
n−1
+k+β
2
×
× v(|ξ|2 ) c±
β,0 +
gk+ (τ ) = (1 + τ )
n−1
−k
2
c±
β,1
|ξ|
+ ··· +
c±
β,N −1
+ |ξ|β WN±,β (|ξ|, gk+ ) , (26)
|ξ|N −1
(2 + τ )β−1 ω((1 + τ )2 ).
(ξ). После замены τ = 1 − ρ в интеграле (23), имеем
Теперь рассмотрим hβ,N,±
2
v(|ξ|2 )|S n−2 |e±i|ξ| δ ∓
β,N,±
(ξ) =
gN,− (τ, |ξ|)τ β−1 e∓iτ |ξ| dτ,
h2
Γ(β)
0
∓, n−1
2
∓
(τ, |ξ|) = (1 − τ )n−1 (2 − τ )β−1 ω((1 − τ )2 )WN
gN,−
В силу (5)
(ξ)
hβ,N,±
2
v(|ξ|2 )|S n−2 |e±i|ξ| v(|ξ|2 )
=
n+1
|ξ|N −1
Γ(β)|ξ| 2
δ
0
β−1 ∓iτ |ξ|
s∓
e
dτ,
N,− (τ, |ξ|)τ
n−1
∓,
(2 − τ )β−1 (1 − ω((1 − τ )2 ))W
s∓
N
N,− (τ, |ξ|) = (1 − τ )
Аналогично,
(ξ) =
hβ,N,±
3
v(|ξ|2 )|S n−2 |e±i|ξ| v(|ξ|2 )
n+1
N −1
Γ(β)eiπ(1−β) |ξ| 2 |ξ|
δ
0
Наконец, рассмотрим
=
v(|ξ|2 )|S n−2 |ei|ξ| v(|ξ|2 )e−i|ξ|
Γ(β)(−i)M |ξ|
1
n+1
+M − n+1
2
2
1−δ
n−1
2
((1 − τ )|ξ|, f∓ ).
β−1 ±iτ |ξ|
s∓
e
dτ,
N,+ (τ, |ξ|)τ
n−1
∓,
(2 + τ )β−1 (1 − ω((1 + τ )2 ))W
s∓
N
N,+ (τ, |ξ|) = (1 + τ )
hβ2 (ξ)
((1 − τ )|ξ|, f∓ ).
ρn−M −1
ω(ρ2 )dρ×
(1 − ρ2 )1−β
n−1
2
((1 + τ )|ξ|, f∓ ).
12
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
×
3/4
−3/4
(M )
n−3
eiρ|ξ|t (1 − t2 ) 2 Mθ (ξ , t)η(t)
dt. (27)
t
Аналогично,
hβ3 (ξ)
=
1+δ
v(|ξ|2 )|S n−2 |eiπ(β−1) ei|ξ| v(|ξ|2 )e−i|ξ|
Γ(β)(−i)M |ξ|
n+1
+M − n+1
2
2
1
3/4
×
−3/4
ρn−M −1
ω(ρ2 )dρ×
(ρ2 − 1)1−β
(M )
n−3
eiρ|ξ|t (1 − t2 ) 2 Mθ (ξ , t)η(t)
dt. (28)
t
Из (12), (14)–(18), (20)–(28) вытекает следующее представление для символа aβθ (ξ) оператора (1):
v(|ξ|2 )|S n−2 | − i|ξ| −
iπ(β−1) +
(ξ
)e
+
e
c
χ
c
aβθ (ξ) =
n−1
0
β,0
β,0 +
Γ(β)|ξ| 2 +β
−i|ξ|
iπ(β−1) −
+
e
c
c+
+ Rβ,θ (ξ),
+ χ+
0 (ξ )e
β,0
β,0
где
Rβ,θ (ξ) = bβθ (ξ) + dβθ,0 (ξ) +
N
3
+
v(|ξ|2 )|S n−2 |
Γ(β)|ξ|
j=2
n+1
+β
2
iπ(β−1)
+e
k=1
β,k,−
(ξ)
+
h
(ξ)
+ hβj (ξ) +
hβ,k,+
j
j
i|ξ|
χ−
0 (ξ )e
c−
β,1
c+
β,N −1
+ ··· +
c+
β,1
|ξ|N −2
+
−i|ξ|
χ+
0 (ξ )e
+ ··· +
+e
+ |ξ|
|ξ|N −2
c−
β,1
|ξ|N −2
c+
β,N −1
c+
β,1 + · · · +
iπ(β−1)
c−
β,N −1
+ ··· +
β+1
+ |ξ|β+1 WN−,β (|ξ|, gk− )+
WN+,β (|ξ|, gk+ )
+
+ |ξ|β+1 WN+,β (|ξ|, gk− )+
c−
β,N −1
|ξ|N −2
+ |ξ|
β+1
WN−,β (|ξ|, gk+ )
. (29)
iπ(β−1) c− = 0, то указанный символ представим в виде
Так как c+
β,0 + e
β,0
µ+
β (ξ) = Cβ
θ(ξ )v(|ξ|2 )ei|ξ|
|ξ|
n−1
+β
2
,
(30)
aβθ (ξ) = µ+
β (ξ) + Rβ,θ (ξ),
iπβ
3iπβ
n−5
n−1 n−1
2 2 +β (−i) 2 S n−2 e− 2 − e 2 .
Cβ = Γ
2
5. Доказательство основного результата
Изложим схему доказательства вложения
L(β) ⊂ H(Aβθ ).
(31)
Допустим мы доказали, что aβθ (y) ∈ K(H p , H q ), (1/p, 1/q) ∈ L(β), где aβθ (y) имеет вид
(2). Заметим, что функция aβθ (ξ) является мультипликатором в S. Это видно из равенств
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
13
(11), (19) (с учетом того, что символ оператора (10) принадлежит C0∞ ). Тогда оператор (1)
определен на всем пространстве S (поскольку aβθ (y) является свертывателем в S) и, следовательно, на всем H p . Как показано в [7] (см. замечание 2.3), при выполнении указанных
условий неравенство
Aβθ ϕH q ≤ aβθ K(H p ,H q ) ϕH p ,
справедливо для всех ϕ ∈
aβθ K(H p ,H q )
Так как
соотношения
(1/p, 1/q) ∈ L(β),
(32)
H p.
Из (32) вытекает (31).
β
= aθ M(H p ,H q ) , то (32) (а вместе с ним и (31)) будет следовать из
(33)
aβθ (ξ) ∈ M(H p , H q ), (1/p, 1/q) ∈ L(β).
Докажем (33). Как показано в разделе 4, символ aβθ (ξ) оператора (1) представим в виде
(30), где функция Rβ,θ (ξ) имеет вид (29). Заметим, что в силу теоремы 2
p
q
µ+
β (ξ) ∈ M(H , H ) ⇐⇒ (1/p, 1/q) ∈ L(β).
(34)
Выберем N = 1 + γ, M = [(n + 1)/2] + 1 + γ в (14), (16), (21), (25)–(28) и l = 1 + γ в (18),
где γ — постоянная из теоремы 3. С учетом леммы 1, теорем 2 и 3 заключаем, что
Rβ,θ (ξ) ∈ M(H p , H q ), если (1/p, 1/q) ∈ L(β + τ ),
(35)
β+τ
где 0 < τ < 1 − β, L(β + τ ) = [O , P , M , D ] \ [O , D ], P = 1 + β+τ
n−1 , 1 + n−1 , M =
n+β+τ 1−β−τ n+1 , n+1 , D = (β + τ, 0) (см. рис. 1).
Из (34) и (35) получаем (33).
Покажем, что
/ M(H p , H q ), если (1/p, 1/q) ∈
/ L(β)
(36)
aβθ (ξ) ∈
(т. е. если (1/p, 1/q) ∈
/ [O , P, M, C ] \ [O , C ], см. рис. 1).
Для доказательства (36) зафиксируем произвольную точку (1/p, 1/q), где p и q удовлетворяют неравенствам
1
n
1 1
1
1
n
− n − β − τ + 1 < − n − β + 1,
+ 1,
1+
,
p
q
p
p q
p
n−1
которые означают, что выбранная точка принадлежит множеству
1 1
1
1
1 1
,
: + 1,
1+
= [M , M, P, Q] \ [M, P ], (37)
L(β + τ ) \ L(β) ∩
p q
p q
p
n−1
β
β
, 1 + n−1
− τ (см. рис. 1).
где Q = 1 + n−1
Далее выберем ε > 0 так, чтобы n/p − 1/q − β − n + 1 > ε > 0. Рассмотрим функцию
fλ (x) = F −1 (v(|ξ|2 )|ξ|−λ )(x), где λ = 1 − β − 1/q − ε. Обратное преобразование Фурье
понимается в смысле S .
Заметим, что fλ ∈ H p при указанном выборе параметров в силу леммы 5.1 из [7].
Отметим, что потенциал (1) на функциях ϕ ∈ S ∩ H p представим в виде (Aβθ ϕ)(x) =
F −1 (aβθ (ξ)ϕ(ξ))(x).
Имеем Aβθ = Aβθ,1 + Aβθ,2 , где Aβθ,1 , Aβθ,2 — мультипликаторные операторы с символами
β
q
µ+
β (ξ), Rβ,θ (ξ) (см. (30)). Из (35) получаем Aθ,2 fλ ∈ H .
Покажем, что
/ Hq,
Aβθ,1 fλ ∈
откуда следует (36).
(38)
14
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
β
p
p
Так как µ+
β (ξ) ∈ M(H , H ) в силу п. a) теоремы 2, то оператор Aθ,1 , определенный
1
−i(x·ξ) dξ,
изначально на функциях ϕ ∈ S ∩ H p равенством (Aβθ,1 ϕ)(x) = (2π)
µ+
n
β (ξ)ϕ(ξ)e
Rn
продолжается по ограниченности на все H p до линейного ограниченного оператора в H p .
(H p )
Это продолжение задается формулой (Aβθ,1 ϕ)(x) = lim (Aβθ,1 ϕδ )(x), где ϕδ ∈ S ∩ H p — произδ→0
вольная последовательность, аппроксимирующая функцию ϕ ∈ H p по норме H p . Выберем
последовательность, аппроксимирующую функцию fλ специальным образом. Именно, положим fλ,δ (ξ) = v(|ξ|2 )|ξ|−λ e−δ|ξ| . Тогда fλ,δ (x) ∈ S ∩ H p и fλ,δ (x) = (Pδ fλ )(x) для почти
всех x ∈ Rn . Последнее равенство проверяется переходом к образам Фурье с учетом того,
что fλ ∈ H p в силу леммы 5.1 из [7]. Далее имеем
i|ξ|−δ|ξ|−i(x·ξ)
Cβ
2
2 θ(ξ )e
v
(|ξ|
)
dξ.
(39)
(Aβθ,1 fλ,δ )(x) =
n−1
(2π)n Rn
|ξ| 2 +β+λ
Покажем, что предел при δ → 0 правой части (39) существует для всех x ∈ S n−1 . Переходя в (39) к полярным координатам, получим
∞
Cβ
eiρ−δρ
β
2 2
v (ρ ) n−1
dρ
θ(σ)e−i(ρxσ) dσ.
(Aθ,1 fλ,δ )(x) =
− 2 +β+λ
(2π)n 0
n−1
S
ρ
+ 1,
Применяя к внутреннему интегралу формулу (4) и теорему 4 с N = 1, M = n+1
2
получаем
∞
iπ(n−1)/2 iρ(1−|x|)−δρ
Cβ n−2 χ−
β
2 2 e
0 (x )e
v
(ρ
)
dρ+
S
(Aθ,1 fλ,δ )(x) =
n−1
(2π)n
ρβ+λ
|x| 2
0
+
−iπ(n−1)/2
χ+
0 (x )e
|x|
∞
×
2
n−1
2
1
eiρ(1+|x|)−δρ
ρβ+λ
−iπ(n−1)/2
χ+
(v 2 (ρ2 ) − 1)eiρ(1+|x|)−δρ
0 (x )e
dρ
+
×
n−1
ρβ+λ
|x| 2
∞
dρ +
0
v 2 (ρ2 )eiρ(1−|x|)−δρ
− n−1
+β+λ
2
ρ
0
∞
+
v 2 (ρ2 )eiρ(1+|x|)−δρ
−, n−1
2
W1
− n−1
+β+λ
2
ρ
0
∞
×
v 2 (ρ2 )eiρ−δρ
− n−1
+β+λ+M
2
0
ρ
3/4
dρ
+, n−1
2
W1
(ρ|x|, f+ ) dρ +
(ρ|x|, f− ) dρ+
1
×
(−i|x|)M
(M )
n−3
e−iρ|x|t (1 − t2 ) 2 η(t)Mθ (−x , t) t dt . (40)
−3/4
Используя лемму 2, в (40) перейдем к пределу при δ → 0:
n−3
n−1
(Aβθ,1 fλ )(x) = lim Aβθ,1 fλ,δ (x) = Cβ,λ S n−2 eiπ(n−1)/4 2 2 Γ ((n − 1)/2) |x|− 2 ×
δ→0
− 1q −ε
× (1 − |x| + i0)
θ(x ) + Qβ (x) (41)
при λ = −1, −2, . . . и
n−3
n−1
(Aβθ,1 fλ )(x) = lim Aβθ,1 fλ,δ (x) = S n−2 eiπ(n−1)/4 2 2 Γ ((n − 1)/2) |x|− 2 ×
δ→0
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ
− 1q −ε × (1 − |x|)
15
+ Cβ,λ
log(1 − |x| + i0) θ(x ) + Qβ (x) (42)
Cβ,λ
при λ = −1, −2, . . . , где функция Qβ (x) ограничена в некоторой окрестности S n−1 . Из (41)
и (42) получаем (38).
Тем самым доказали, что точки множества (37) не принадлежат H(Aβθ ). Отсюда в силу
соображений выпуклости и двойственности вытекает (36).
Замечание 3. Применяя утверждения (I-i), (II-i) теоремы 4.2 ([7], с. 284), заключаем, что
оператор (1) ограничен из Lp в BM O тогда и только тогда, когда β1 ≤ p < ∞. Кроме того,
этот оператор ограничен из BM O в BM O.
Литература
[1] Nogin V.A., Karasev D.N. On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having
singularities on a sphere, Fractional Calculus & Appl. Anal. 4 (3), 343–366 (2001).
[2] Karasev D.N., Nogin V.A. On boundedness of some potential-type operators with oscillating kernels, Math.
Nachr. 278 (5), 554–574 (2005).
[3] Karapetyants A.N., Nogin V.A. Estimates for twisted convolution operators with singularities of kernels on
a sphere and at the origin, Diff. Equat. 42 (5), 720–731 (2006).
[4] Гиль А.В., Ногин В.А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими символами, Владикавказск. матем. журн. 12 (3), 21–29 (2010).
[5] Гиль А.В., Ногин В.А. L1 -H 1 оценки для обобщенного потенциала Стрихарца, Изв. вузов. Матем.,
№ 9, 10–18 (2011).
[6] Stein E.M. Harmonic analysis: real-variable method, orthogonality, and oscillatory integrals (Princeton Univ.
Press, Princeton, NJ, 1993).
[7] Miyachi A. On some singular Fourier multipliers, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA 28, 267–315 (1981).
[8] Calderon A.P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution. II, Adv. in Math.
24 (2), 101–171 (1977).
[9] Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications, Internat. Series “Analytical Methods and Special
Functions” (Taylor & Frances, London, 2002), Vol. 5.
[10] Miyachi A. On some estimates for the wave equation in Lp and H p , J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 27,
331–354 (1980).
[11] Федорюк М.В. Метод перевала (Hаука, М., 1977).
А.В Гиль
доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений,
Южный федеральный университет,
ул. Мильчакова д. 8а, Ростов-на-Дону, 344090, Россия,
e-mail: gil-alexey@yandex.ru
В.А. Ногин
доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений,
Южный федеральный университет,
ул. Мильчакова д. 8а, Ростов-на-Дону, 344090, Россия,
Южный Математический институт ВНЦ РАН,
ул. Маркуса д. 22, г. Владикавказ, 362027, Россия,
e-mail: vnogin@math.rsu.ru
16
А.В. ГИЛЬ, В.А. НОГИН
A.V. Gil and V.A. Nogin
Estimates for some convolution operators with singularities in their kernels on a sphere
and their applications
Abstract. We study convolution operators, whose kernels have singularities on the unit sphere.
For these operators we obtain H p -H q estimates, where p is less than or equals q, and prove their
sharpness. To this end, we develop a new method that uses special representations for the symbol of
such an operator as the sum of some oscillatory integrals and applies the stationary phase method
and A. Miyachi results for model oscillating multipliers. Moreover, we also obtain estimates from
Lp to BM O and those from BM O to BM O.
Keywords: estimates, convolution, oscillating symbol, multiplier.
A.V. Gil
Associate Professor, Chair of Differential and Integral Equations,
Southern Federal University,
8a Mil’chakov str., Rostov-on-Don, 344090 Russia,
e-mail: gil-alexey@yandex.ru
V.A. Nogin
Associate Professor, Chair of Differential and Integral Equations,
Southern Federal University,
8a Mil’chakov str., Rostov-on-Don, 344090 Russia,
Southern Mathematical Institute of VSC RAS,
Vladikavkaz, 22 Markus str., Vladikavkaz, 362027 Russia,
e-mail: vnogin@math.rsu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
268 Кб
Теги
сферы, оценки, свертка, ядер, оператора, некоторые, особенностями, приложение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа