close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных неунимодулярных групп Ли.

код для вставкиСкачать
Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик .
Е.Д. Родионов, В. В. Славский 1
УДК 514.765
Оценки кривизн левоинвариантных
римановых метрик трехмерных
неунимодулярных групп Ли
Предварительные сведения
Приводятся
сведения
по
трехмерным
неунимодулярным алгебрам и группам Ли, необходимые для доказательства основных теорем. Большая часть из них соответствует результатам работ Дж. Милнора [1].
Определение. Алгебра JIu h называется унимодулярной, если для любого элемента х е h
При этом алгебре типа а) соответствует
случай £ = 0, у = 0, а алгебре типа Ь) с определителем D — 1 соответствует случай £ = V 2/2,
Г) = 1.
В
этом
базисе
квадратичная
форма
примет диагональный вид, а ее главные
ния и след соответственно будут равны:
Риччи
значе-
trace ad(x) = О,
где ad(x) - внутренний автоморфизм алгебры h.
Справедлива теорема [1]:
Теорема. Пусть g - неунимодулярная трехмерная алгебра Ли, тогда определен базис е*, ег, ез,
для которого либо
a)
либо
b)
Причем в последнем случае число D определяет
алгебру g с точностью до изоморфизма.
Замечание. Отметим, что в случае а) и
при D > 1 в случае b) неунимодулярная трехмерная алгебра Ли вкладывается в алгебру о(3,1) и,
следовательно,
соответствующую
группу
можно рассматривать как подгруппу движений трехмерного пространства Лобачевского.
Пусть
G
—
неунимодулярная
трехмерная
группа Ли, g — ее алгебра Ли. Обозначим через
(•, •) произвольное скалярное произведение на д.
Тогда в алгебре д существует [1] ортонормированный
положительно
ориентированный
базис ei, ег, е 3 , такой, что
Для
трехмерных
римановых
многообразий
корректно
определена
одномерная
секционная
кривизна
как
значение
на
единичном векторе £ квадратичной формы
A ij= R ij компоненты тензора гиччи; - метрический
тензор. При этом риманова секционная кривизна
двумерной площадки £1 д£ 2 вычисляется по формуле
Заметим, что квадратичная форма А имеет диагональный вид в данном базисе, а ее главные значения будут равны
Следуя
[1],
ограничимся
случаем,
когда
а +
5 = 2. Этого всегда можно добиться путем умножения (•, •) на подходящее число. Тогда определитель D — аб —
определяет алгебру Ли с
точностью до изоморфизма. Введем числа
'Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 96-01-00436, 96-1596291), грантового центра при Санкт-Петербургском государственном университете (код проекта 97-0-1.3-63).
7
МАТЕМАТИКА
Оценки кривизн
Справедлива следующая лемма:
Лемма. Среди чисел
(5)
находятся максимальное и минимальное значения двумерной секционной кривизны.
Доказательство.
Данный
факт
можно
вывести или как одно из следствий теоремы «о минимаксен Куранта-Фишера [3], или просто заметить,
что
и максимум дроби достигается при у = 0.
Замечание. В (И) секционная кривизна осциллирует,
т.е. принимает значения разных знаков.
где единичные векторы {£ь£ 2,£з} взаимно перпендикулярны, tr(j4) - след квадратичной формы А. Из данной леммы следует теорема:
Теорема. Пусть
секционная кривизна риманового многообразия (д, (•,•))•
Тогда имеют место следующие оценки:
Перейдем теперь к оценке одномерной кривизны и
кривизны Риччи. Имеет место Теорема. Пусть
-
одномер
ная кривизна риманового многоооразия (д,
{•,•)).
Тогда имеют место следующие оценки:
Следствие. В обоих случаях теоремы выполняется
неравенство
Доказательство.
Рассмо
трим разности
Так как £ > 0, у > 0, то из этого следует
(Т 12 < <т 2 з и <т31 > сг 12 . Отсюда и из леммы получаем утверждение теоремы.
Следствие.
Множество
Теорема. Пусть (я-) : Gi R - кривизна Риччи риманового
многобразия (G, (-, •)). Тогда имеют место следующий
оценки:
левоинвариантных
пересекаются с работой [2].
Литература
of locally homogeneous Riemann 3-manifolds. Geom. Dedicata
62. 1996. N 1.
3. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989.
1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups.
Advances in mathematics. 1976. N 21.
2.
Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues
8
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
257 Кб
Теги
оценки, кривизна, трехмерная, группы, метрика, неунимодулярных, римановы, левоинвариантными
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа