close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Подполе b бесконечно близких к базе элементов.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009
Математика и механика
№ 2(6)
УДК 512.623
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
ПОДПОЛЕ B БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИХ К БАЗЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В статье доказано, что бесконечно близкие к базе элементы образуют подполе двумерно упорядоченного поля 〈P, Pu〉.
Ключевые слова: двумерно упорядоченное поле, бесконечно близкий к базе
элемент.
Основные определения и результаты теории двумерно упорядоченных полей
изложены в [1].
Бесконечно близкие к базе элементы
Определение 1. Пусть 〈P, Pu〉 – двумерно упорядоченное поле с базой P0. Элемент a ∈ P называется бесконечно близким к базе P0, если:
∀n ∀r ∈ P0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ P u
или
∀n ∀r ∈ P0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ – P u.
Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через B.
Определение 2. Пусть 〈P, Pu〉 – двумерно упорядоченное поле с базой P0. Элемент a ∈ P называется строго бесконечно близким к базе P0, если:
o
∀n ∀r ∈ P0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ Pu P
o
или
∀n ∀r ∈ P0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ – P u .
Множество строго бесконечно близких к базе элементов обозначим через
o
B = B \ P0.
o
o
o
Введём следующие обозначения: Bu = B ∩ Pu; Bu = B ∩ Pu .
Лемма 1. Пусть a ∈ B. Если:
o
o
1. a ∈ Pu , то ∀n ∀r ∈ Р0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ Pu ∩ P r .
o
o
2. a ∈ – Pu , то ∀n ∀r ∈ Р0, r < a ⇒ (a – r)n ∈ – Pu ∩ P r .
Доказательство.
o
1. Пусть a ∈ Pu . Согласно определению бесконечно близкого к базе элемента,
имеем
o
∀n ∀r ∈ Р0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ Pu .
o
Так как r < a, то ∀r (a – r) ∈ Pu ∩ P r .
Предположим, что при каком-нибудь n* имеет место
o
(a – r)n*∈ Pu ∩ − P r .
42
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
Тогда имело бы место следующее соотношение:
o
(a – r)2n* ∈ – P u ,
что противоречит тому, что a – бесконечно близкий к базе элемент.
o
2. Случай a ∈ – Pu рассматривается аналогично первому. В доказательстве
o
o
всюду верхний конус Pu нужно заменить на нижний конус – Pu . Лемма доказана.
Лемма 2. B + Р0 ⊂ B.
Доказательство. Пусть для определённости a ∈ Bu, t ∈ Р0. Имеем
∀n ∀r ∈ P0 r < a ⇒ (a – r)n ∈ P u,
тогда
∀n ∀r, t ∈ P0 r + t < a + t ⇒ ((a + t) – (r + t))n = (a – r)n ∈ P u.
Следовательно, a + t ∈ Bu и Bu + Р0 ⊂ Bu.
Аналогично доказывается, что –Bu + Р0 ⊂ –Bu. Значит, B + Р0 ⊂ B. Лемма доказана.
Отношение предпорядка в P u
o
Пусть x, y ∈ Pu. Если yx–1∈ Pu , то будем говорить, что y x (x ≺ y).
o
o
Лемма 3. Пусть a ∈ Pu , b ∈ Bu . Если
∀k1, k2 ∈ Р0 k1 < a, k2 < b ⇒ (b – k2) (a – k1),
o
∀n (b – k2)n (a – k1)n и a ∈ Bu .
то
o
Доказательство. При n = 1 по условию (b – k2) (a – k1) a – k1 ∈ Pu ∩ P r .
При n = l предположим, что
o
(b – k2)l (a – k1)l, (a – k1)l ∈ Pu ∩ P r .
Пусть n = l + 1.
o
(b – k2)l(a – k1), (a – k1)l + 1 ∈ P u .
Тогда
(b – k2)l + 1 (b – k2)l(a – k1) и (b – k2)l(a – k1) (a – k1)l + 1,
так как
o
(b – k2)l + 1(b – k2)–l(a – k1)–1 = (b – k2)(a – k1)–1∈ Pu (по условию)
o
и
(b – k2)l (a – k1)(a – k1)–(l + 1) = (b – k2)l(a – k1)–l∈ Pu (по предположению)
Следовательно, (b – k2)l + 1 (a – k1)l + 1 и, значит,
∀n (b – k2)n (a – k1)n.
o
o
o
А так как ∀n (b – k2)n ∈ Pu , то и (a – k1)n ∈ Pu , значит, a ∈ Bu , что и требовалось доказать.
Подполе B бесконечно близких к базе элементов
43
Сумма бесконечно близких к базе элементов
o
Лемма 4. Пусть a, b ∈ Bu . Тогда
o
∀m∀n ∀k1, k2 ∈ Р0 (k1 < a, k2 < b) ⇒ (a – k1)m(b – k2)n ∈ Pu .
o
Доказательство. Так как a, b ∈ Bu , то
o
∀m∀n ∀k1, k2 ∈ Р0 (k1 < a, k2 < b) ⇒ ((a – k1)m, (b – k2)n , (a – k1)2m, (b – k2)2n ∈ Pu ).
Тогда по лемме 3.4.3 [1]
o
(a – k1)m(b – k2)n ∈ Pu ,
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Если a, b ∈ B, то a + b ∈ B.
Доказательство. Доказательство достаточно провести для строго бесконечно
близких к базе элементов, так как элементы базы P0 образуют линейно упорядоченное поле. Для доказательства теоремы нужно рассмотреть 4 случая:
o
a) a, b ∈ Bu ;
o
o
c) a ∈ Bu , b ∈ – Bu ;
o
o
o
b) a, b ∈ – Bu ;
d) a ∈ – Bu , b ∈ Bu .
Первый случай аналогичен второму, третий – четвёртому.
o
а) Пусть a, b ∈ Bu .
Тогда
o
∀n ∀k1 ∈ Р0 (k1 < a) ⇒ (a – k1)n ∈ Pu ∩ P r ,
o
∀n ∀k2 ∈ Р0 (k2 < b) ⇒ (b – k2)n ∈ Pu ∩ P r .
Докажем, что
o
∀n ∀k ∈ Р0 k < a + b ⇒ ((a + b) – k)n ∈ Pu .
Так как k < a + b, то найдутся такие k1, k2 ∈ Р0, что
k1 < a, k2 < b; k = k1 + k2.
Тогда
((a + b) – k)n = ((a – k1) + (b – k2))n =
= (a – k1)n + Cn1 (a – k1)n – 1(b – k2) + … + Cnn −1 (a – k1)(b – k2)n – 1 + (b – k2)n.
Заметим, что
o
(a – k1)n, (b – k2)n ∈ Pu ;
по лемме 4 каждое слагаемое вида
Cnm (a – k1)n – m(b – k2)m
o
принадлежит Pu .
В силу замкнутости верхнего конуса относительно сложения, имеем
o
Значит, a + b ∈ B.
((a + b) – k)n ∈ Pu .
44
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
o
Аналогично рассматривается случай, когда a, b ∈ – Bu .
o
o
2. Пусть теперь a ∈ Bu , b ∈ – Bu . Тогда
o
∀n ∀k1 ∈ Р0 (k1 < a) ⇒ (a – k1)n ∈ Pu ∩ P r ,
o
∀n ∀k2 ∈ Р0 (k2 < b) ⇒ (b – k2)n ∈ – Pu ∩ P r .
o
И пусть, для определённости, a + b ∈ Pu . Докажем, что
o
∀n ∀k ∈ Р0 (k < a + b) ⇒ ((a + b) – k)n ∈ Pu , где k = k1 + k2.
Возможен один из следующих случаев:
a) (a – k1) (b – k2)–1;
b) (a – k1) ≺ (b – k2)–1.
Пусть для определённости имеет место случай а). Тогда
(a + b) – k = (a – k1) + (b – k2) = (a – k1)[1 + (b – k2)(a – k1)–1],
[(a – k1) + (b – k2)](a – k1)–1 = [(a + b) – k ](a – k1)–1 = 1 + (b – k2)(a – k1)–1.
o
Так как (b – k2), (a – k1)–1 ∈ – Pu ∩ P r , то по лемме 3.4.4 [1]
o
(b – k2)(a – k1)–1∈ – Pu ,
o
1 + (b – k2)(a – k1)–1∈ – Pu
o
[(a + b) – k](a – k1)–1 ∈ – Pu .
и, следовательно,
o
Так как (a + b) – k, (a – k1) ∈ Pu , то для этих элементов определено отношение
порядка и, согласно этому определению,
(a + b) – k ≺ (a – k1).
Следовательно, по лемме 3
[(a + b) – k]n ≺ (a – k1)n
o
и
что и требовалось доказать.
a + b ∈ Bu ,
Кольцо P0[a]
Рассмотрим кольцо P0[a], где a ∈ B. Для элементов этого кольца имеет место
следующее соотношение [2]:
ψa(F(a)) = F′(ϕ(a)) = ϕ(F′(a)),
где F(a) ∈ P0[a].
o
Другими словами, если F′(a) > 0, то F(a) ∈ Pu .
o
Лемма 6. Пусть a ∈ Bu ; r, ρ ∈ P0, r < a < ρ, a < (r + ρ)/2. Тогда
o
∀n (ρ – a)n ∈– Pu .
Подполе B бесконечно близких к базе элементов
45
Доказательство. Рассмотрим следующее произведение:
(a – r)(ρ – a) = – a2 + a(r + ρ) – rρ ∈ P0[a] .
Тогда
ψa(– a2 + a(r + ρ) – rρ) = ϕ(–2a + r + ρ) > 0 ⇒
o
(a – r)(ρ – a) = (a – r)((ρ – a)–1)–1∈ Pu .
o
o
o
Так как (a – r), (ρ – a)–1∈ Pu [( Pu )–1 = – Pu ], то (a – r) (ρ – a)–1.
Имеем
o
(a – r)n (ρ – a)–n , (a – r)n ∈ Pu ⇒
o
o
(ρ – a)–n ∈ Pu ⇒ (ρ – a)n ∈– Pu ,
что и требовалось доказать.
〈B, +〉 – подгруппа 〈P, +〉
Лемма 7. B = – B.
o
Доказательство. Пусть a ∈ Bu . Обозначим b = –a. Тогда k < b ⇒ k < –a ⇒
–k > a. Так как a – бесконечно близкий к базе элемент, то по лемме 6 имеем
o
o
(–k – a)n ∈ – Pu ⇒ (b – k )n ∈ – Pu .
o
Итак, k ∈ P0, k < b ⇒ (b – k )n ∈ – Pu . Это значит, что b – бесконечно близко к
базе, т.е.
–a ∈ B. Отсюда –B = B.
Ввиду теоремы 5 и леммы 7 получаем, что аддитивная группа 〈B, +〉 есть подгруппа группы 〈P, +〉.
Критерий бесконечной близости к базе
o
o
Теорема 8. Элемент a ∈ Pu (a ∈– Pu ) является бесконечно близким к базе P0
элементом тогда и только тогда, когда
o
o
∀n ∀ρ ∈ P0 (ρ > a) ⇒ (ρ – a)n ∈ – Pu ((ρ – a)n ∈ Pu ).
Доказательство. Необходимость доказана в лемме 6.
o
Достаточность. Пусть ∀n ∀ρ ∈ P0 (ρ > a) ⇒ (ρ – a)n ∈– Pu . Докажем, что
o
a ∈ Bu . Обозначим b = –a, ρ1 = –ρ.
Так как ρ > a, то b > ρ1. Имеем
o
o
o
(b – ρ1)n = (ρ – a)n ∈– Pu ⇒ b ∈– Bu (по определению) ⇒ a ∈ Bu .
o
Аналогично рассматривается случай ∀n ∀ρ ∈ P0 (ρ > a) ⇒ (ρ – a)n ∈ Pu .
Теорема доказана.
46
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
Обратные элементы
o
o
Лемма 9. ( B )–1 = B .
o
Доказательство. Пусть a ∈ Bu , a > 0. Выберем r ∈ P0+, такое, что r–1 > a –1.
o
Если r–1 > a –1, то r < a. Следовательно, (a – r)n∈ Pu ,
(r–1 – a –1)n = (a – r)nr–na–n,
o
(a – r)a –1 = 1 – ra –1∈ Pu ,
o
o
так как ( Pu )–1 = – Pu .
o
o
(a – r), a ∈ Pu ⇒ a – r a ⇒ (a – r)n an (лемма 3) ⇒ (a – r)na –n ∈ Pu ⇒
o
(a – r)nr–na –n ∈ Pu .
–n
Множитель r принадлежит P0+ и, значит, не влияет на принадлежность элемента (a – r)na –n к данному конусу. Имеем
o
(r–1 – a –1)n ∈ Pu .
o
o
По критерию 8 получаем, что a –1∈ – Bu ⇒ a –1∈ B , что и требовалось доказать.
Произведение бесконечно близких элементов
o
o
Лемма 10. Пусть a, b ∈ Bu ∩ P r (– Bu ∩ P r ). Тогда ab ∈ B.
Доказательство. Пусть k < ab, тогда найдутся такие k1, k2 ∈ Р0+, что
k1 < a, k2 < b; k = k1k2.
Имеем
(ab – k)n = (ab – k1k2)n = ((ab – k1b) + (k1b – k1k2))n =
= (b(a – k1) + k1(b – k2))n =
= bn(a – k1)n + Cn1 bn – 1k1(a – k1)n – 1(b – k2) + … + k1n(b – k2)n.
o
(*)
o
Так как b ∈ Pr, то ∀n bn ∈ Pu (– Pu ) (в данном случае k2 = 0).
По лемме 4 слагаемые вида
Cnm bn – mk1n(a – k1)n – m(b – k2)m
o
o
o
o
принадлежат Pu (– Pu ). Ввиду замкнутости Pu (– Pu ) сумма (*) принадлежит
o
o
Pu (– Pu ). Значит, ab ∈ B, что и требовалось доказать.
Лемма 11. Если a ∈ B, то a2 ∈ B.
Доказательство.
o
o
1. Пусть a ∈ Bu ∩ P r (– Bu ∩ P r ). Тогда, по лемме 10, a2 ∈ B.
Подполе B бесконечно близких к базе элементов
o
o
o
47
o
2. Пусть a ∈ Bu ∩ − P r (– Bu ∩ − P r ). Тогда –a ∈ – Bu ∩ P r ( Bu ∩ P r ). Тогда, по
лемме 10,
(–a)2 = a2 ∈ B.
Лемма доказана.
Теорема 12. Если a, b ∈ B, то ab ∈ B.
Доказательство.
ab = ½((a + b)2 – (a2 + b2)).
В силу теоремы 5, лемм 7 и 11, имеем ab ∈ B.
Таким образом, мы доказали, что 〈B, +, ·〉 – подполе двумерно упорядоченного
поля 〈P, +, ·〉.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск, 2003.
2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля // Вестник ТГУ.
2007. № 301. С. 94 – 96.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
ПЕСТОВ Герман Гаврилович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: pppestov@mail.tomsknet.ru
ФОМИНА Елена Анатольевна – аспирантка кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail:
ef@sibmail.com
Статья принята в печать 20.05.2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
208 Кб
Теги
подполе, элементов, бесконечный, близких, базе
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа