close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поиск оптимального температурного режима многостадийной последовательной реакции в условиях неопределенности кинетических данных.

код для вставкиСкачать
УДК 519.711
О. А. Антонова (асп.)1 , С. А. Мустафина (д.ф.$м.н., проф., зав. каф.)1,
C. И. Спивак (д.ф. $м.н., проф., зав. каф.)2
Поиск оптимального температурного режима многостадийной
последовательной реакции в условиях неопределенности
кинетических данных
1
Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. З. Биишевой,
кафедра математического моделирования
453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49; тел. (347) 3431039,
e!mail: Antonova_olga22@mail.ru, e!mail: Mustafina_SA@mail.ru
2
Башкирский государственный университет, кафедра математического моделирования
450074, г. Уфа, ул. З. Валиди, 32; тел. (347) 2299635, e!mail: S.Spivak@bashnet.ru
O. A. Antonova1, S. A. Mustafina 1, S. I. Spivak2
Searching of optimal temperature of consecutive reversible
reaction in the conditions of kinetic parameters uncertainty
1
Sterlitamak State Pedagogical Academy named by Z.Biisheva
49, Lenin Pr., 453103, Sterlitamak, Russia; ph. (347) 3431039,
e!mail: Antonova_olga22@mail.ru, e!mail: Mustafina_SA@mail.ru
2
Bashkir State University
32, Zaki Validi Str., 450074, Ufa, Russia; ph. (347) 2299635, e!mail: S.Spivak@bashnet.ru
Для многостадийной последовательной обрати
мой реакции в условиях неточности начальных
данных рассмотрена задача нахождения опти
мальной температуры, при которой достигается
максимум выхода целевого продукта. Изучено
влияние неопределенности в кинетических па
раметрах на расчет оптимального температурно
го режима. Основными методами исследования
в данной задаче являются методы интервально
го анализа.
Ключевые слова: качественная неизменность;
неопределенность в кинетических параметрах;
оптимальное управление.
Определение оптимального температурно
го режима (ОТР) является одной из основных
задач, решаемых при оптимизации химических
процессов. Обзор литературы показывает 1,2,
что существуют различные методы исследова
ния вида оптимальных температурных профи
лей ряда модельных схем. Так как решение
задачи оптимизации проводится на основе ки
нетической модели, то решающее значение для
ее результата имеют вид системы кинетичес
ких уравнений и численные значения входя
щих в нее кинетических констант. В то же вре
мя неоднократно отмечалось 3,4, что кинети
ческие константы могут определяться со
For multiphase consecutive reversible reaction in
the conditions of discrepancy of the initial data
the problem of a finding of optimum temperature,
at which the maximum of an exit of a target
product is reached is considered. Influence of
uncertainty in kinetic parameters on calculation
of an optimum temperature mode is studied. The
basic methods of research in the given problem are
methods of the interval analysis.
Key words: optimal control; qualitative
invariance; uncertainty of kinetic parameters.
значительной степенью неопределенности,
особенно в случаях, когда основой для их по
лучения были измерения, проведенные в ста
ционарных условиях. Поэтому актуальным ос
тается вопрос о чувствительности ОТР к вари
ациям кинетических констант внутри некото
рых интервалов, вызванных, например,
погрешностью кинетических измерений. В на
стоящее время в вычислительной математике
имеется аппарат интервального анализа, кото
рый может быть применен при решении задач
математического моделирования химических
процессов.
Дата поступления 31.05.10
36
Башкирский химический журнал. 2010. Том 17. № 3
В конкретных задачах константы скорос
0
ти k i и энергии активации Ei заданы с некото
рой неопределенностью, вызванной погрешностью
при их определении на основании кинетичес
кого эксперимента, т.е. являются интерваль
ными числами. Примем, что константы арре
ниусовской зависимости находятся в условиях
неопределенности 5:
( ki0 )ср − ∆ ki0 ≤ ki ≤ (ki0 )ср + ∆ ki0 ,
(1)
Разделение друг от друга последователь
ных стадий этой реакции определяется путем
подбора такой температуры, при которой вы
полняется требование максимального выхода
продукта iой стадии. По технологическим ус
ловиям на температуру накладывается ограни
чение Tmin ≤ T ≤ Tmax .
Построим математическую модель для
равновесного процесса (1). Из курса термоди
намики известно, что:
где
k iр – константа равновесия,
xi – равновесная концентрация
1
...
− k2р
...
...
0
...
...
Решая систему (2), получим
x 2 = P1 x1 , x 3 = P2 x 2 , ..., x n+1 = Pn x n ,
n
где
Pi = ∏ ksp .
s =1
Запишем выражение для равновес
ной концентрации, зависящее только от температуры
в виде:
xs =
Ps
n
∑P
i
i =1
.
xs (s
Тогда производная для
примет вид:
n
⎛ n
P
Pi /
∑
∑
i
⎜
Ps Ps/ ⎜ i =1 − i =1 /
Ps
⎜ Ps
⎜
⎝
x s/ =
2
⎛ n ⎞
⎜ ∑ Pi ⎟
⎝ i =1 ⎠
Знак производной
знака выражения
x s/
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= 1,…, n)
(5)
будет зависеть от
n
⎛ n
/
⎜ ∑ Pi ∑ Pi
⎜ i =1 − i =1 /
Ps
⎜ Ps
⎜
⎝
(2)
⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠
(6)
⎛ s
⎞
⎜ ∑Q i ⎟
i =1
⎟ , введя обозна
Для Ps = ∏ ki exp ⎜ −
RT
⎜
⎟
i =1
чения,
⎜
⎟
⎝
⎠
s
iго продукта
(i = 1,…, n).
~
Согласно закону материального баланса
s
~
s
E s = ∑Q i , ks0 = ∏ ki0 ,
i =1
x1 + x 2 + ... + x n = 1
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
=
... ⎟⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ (4)
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
1 ⎠⎟ ⎝⎜ x n ⎠⎟ ⎝ 1 ⎠
Qi = E i+ − E i− > 0.
Рассмотрим влияние неопределенности в
кинетических параметрах на расчет оптималь
ной температуры. При решении задачи может
возникнуть ситуация, когда оптимальная тем
пература находится внутри заданного ограни
чения (качество 1), либо только на его грани
цах (качество 2). Если при этом в условиях
неопределенности кинетических данных каче
ство не меняется, то температура называется
качественно неизменной. Местоположение оп
тимальной температуры определяет разные ап
паратные условия ведения процесса: изотерми
ческие или неизотермические 6.
Рассмотрим многостадийную мономолеку
лярную реакцию вида:
x
x
x
k1р = 2 , k2р = 3 , ... , knр = n+1 ,
x1
x2
xn
⎛ − k1р
⎜
⎜ 0
⎜ ...
⎜
⎜
⎝ 1
Для энергий активации E i+ , E i− примем
во внимание дополнительное ограничение
E iср − ∆ E i ≤ E i ≤ E iср + ∆ E i .
X1 ↔ X2 ↔ X3 ↔ ... ↔ Xn .
В матричном виде модель (2)(3) примет
вид:
i =1
получим:
(3)
Башкирский химический журнал. 2010. Том 17. № 3
37
⎛ ~
~
⎜ E
Ps = k s0 exp ⎜ − s
⎜ RT
⎝
Es
s = 1 Ps ( z) =
Отметим важное свойство коэффициентов
~
~
– монотонность: i ≤ j ⇔ E i ≤ E j .
Тогда выражение (6) примет вид:
⎛ ~ ~
E − Es
exp ⎜ − i
∑
~
⎜
RT
i =1
ks
⎝
n
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎠
⎞ n ~ 0
⎛ ~ ~
E
k
i
i
⎟−
⎜ − Ei − Es
exp
∑
~
⎟ i =1 ~ 0
⎜
RT
E s ks
⎠
⎝
~
~
ki
⎞ n
⎟= k
⎟ ∑
i =1
k
⎠
~
0
i
~
0
s
⎛
⎜ 1 − Ei
~
⎜
⎝ Es
~
⎞
⎛
⎟ exp ⎜ − E i − E s
⎟
⎜
RT
⎠
⎝
~
⎞
⎟=
⎟
⎠
ai =
~
⎛
k ⎜
E
1 − ~i
⎜
k ⎝ Es
~
⎞
⎟,
⎟
⎠
~
ri = E s − E i , i = 1, l ,
⎛ 1
z = exp ⎜ −
⎝ RT
в
∑a z
− ri
>0
( z ≥ 0).
i
Утверждение. Для
s ∈ {2,..., n − 1}
Ps ( z) на
силу
непрерывности
s = 1, Ps ( z) < 0,
~
а)
⎞
⎟,
⎠
для
z > 0.
любого
n
∑az
i = s +1
s ∈ {2,..., n − 1}
для
любого
из
того,
z ≤ z* и
что
Ps ( z) < 0,
для любого z ≥ z * , получим точку максимума z * .
~
ri = E i − E s , i = l + 1, n.
− ri
для
Ps ( z ) > 0,
i
ri
.
(7)
ций z i (n > 0) , Ps ( z) – есть монотонно убы
вающая функция.
2. Исследуем поведение функции в гра
ничных точках: z = 0, z = +∞, s ∈ {2,..., n − 1},
т.е. существуют коэффициенты разных знаков.
б)
а) lim Ps ( z) = +∞, т.к. ai , соответствую
z →+0
для
любого
в) для s = n, Ps ( z) > 0, для любого z > 0,
имеем x s (T ) – возрастающая функция, т.е.
максимальный выход продукта получим при
максимальной температуре.
Таким образом показано, что существует
как промежуточная точка оптимума, так и гра
ничная точка как точка максимума.
Литература
1.
2.
3.
4.
z →+∞
щие мономам с положительными степенями,
отрицательны.
s = 1, Ps ( z) < 0,
максимальный выход продукта получим при
минимальной температуре.
щие мономам с отрицательными степенями,
положительны.
lim Ps ( z ) = −∞, т.к. ai , соответствую
для
z > 0, имеем x s (T ) – убывающая функция, т.е.
r
5.
6.
38
n −1
функция, тогда
Проанализируем выражение (7).
1. Для i≠s следует ai > 0 , иначе as = 0.
В силу монотонности одинакового типа функ
б)
( z ≥ 0),
Так как Ps ( z) – монотонно убывающая
Ps ( z) = ∑ ai z +
i =1
<0
При s = n, Ps ( z) > 0, для любого z > 0.
Тогда выражение (6) преобразуется к
функционалу, являющемуся суммой полинома
(если Ei – целые числа, то с целочисленными
степенями) и некоторой функцией обратных
степеней:
s −1
s =2
s =1
ri
i
Выкладки пунктов 1 и 2 позволяют сде
лать выводы.
При
Введем обозначения
~
0
i
~
0
s
∑a z
D(Ps ) = [−∞; +∞] существует z * : Ps ( z * ) = 0.
⎞
⎟
⎟
⎠
~
s = n Ps ( z) =
n
Бояринов А. И., Кафаров В. В. Методы опти
мизации в химической технологии.– М: Химия,
1975.– 575 с.
Царева З. М., Орлова Е. И. Теоретические ос
новы химической технологии.– Киев: Высш.
школа, 1986.– 272 с.
Спивак С. И. Информативность эксперимента и
проблема неединственности решения обратных
задач химической кинетики. Дис. … докт. физ.
мат. наук.– Черноголовка, 1984.– 343 с.
Круглов А. В., Спивак С. И. // В сб. «Матема
тические методы в химической кинетике».– Но
восибирск, 1990.– С. 152.
Антонова О. А., Мустафина С. А. // Вестн. БГУ.–
2008.– Т.13, №3(I).– C. 847.
Мустафина С. А. // Труды Средневолжского
матем. общества.– 2006.– Т.8, №1.– C. 282.
Башкирский химический журнал. 2010. Том 17. № 3
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа