close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Полное преобразование Фурье-Бесселя некоторых основных функциональных классов.

код для вставкиСкачать
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 85
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
MSC 42A38
ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ НЕКОТОРЫХ
ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Л.Н. Ляхов, С.А. Рощупкин
Воронежский государственный университет
Университетская пл. 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: levnlya@mail.ru,
Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина,
ул. Коммунаров, 28, г. Елец, 399770, Россия, e-mail: roshupkinsa@mail.ru
Аннотация. Рассматривается полное преобразование Фурье-Бесселя FB , введенное
И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым, которое применяется к исследованию сингулярноα , равного степени α оператора Бесселя для четных α и
го дифференциального оператора ∂B
2
α−1
производной от степени 2 оператора Бесселя для нечетных α. Строятся классы основных
α , в частности, – класс S , который
функций, приспособленных для работы с оператором ∂B
ev
состоит из быстро убывающих функций, четных по каждой из переменных, на которые дейα -оператор Бесселя. Строится счетная система норм, порождаемая оператором ∂ α .
ствует ∂B
B
Другой класс основных функций Φγ строится из функций пространства Sev по типу пространств основных функций Лизоркина, исчезающих на соответствующих координатных гиперплоскостях. Исследуется полное преобразование Фурье-Бесселя FB этих классов функций
и доказывается теорема об ортогональности функций из Φγ многочленам относительно скалярного произведения с весом.
Ключевые слова: полное преобразование Фурье-Бесселя, оператор Бесселя, ∂B -оператор
Бесселя, пространство основных функций Лизоркина.
Введение. Для исследования сингулярных дифференциальных уравнений, в которых в подинтегральном выражении по одному из направлений действует сингулярный
дифференциальный оператор Бесселя
Bγi =
∂2
γi ∂
1 d
d
+
= γ tγ ,
2
∂xi
xi ∂xi
t dt dt
γi > 0 .
применяется классическое преобразование Фурье-Бесселя ядром которого является jфункция Бесселя
2ν Γ(ν + 1)
jν (t) =
Jν (t) ,
tν
где Jν — функция Бесселя первого рода; jν (t) — одно из решений сингулярного уравнения Бесселя [1]
1 d γd
t
u = −u ,
tγ dt dt
отвечающее индексу γ = 2ν + 1 и удовлетворяющее условиям
u(0) = 1,
u′ (0) = 0 .
+
Действие оператора Бесселя будем называть B-производной. Пусть RN
= Rn ×RN −n , x =
86 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
(x′ , x′′ ), x′ ∈ Rn , x′′ ∈ RN −n . Ядра прямого и обратного полного преобразований
Фурье-Бесселя имеют вид (введены в работе [2], см. также [3],[4]):
′ ′
Λ±
γ (x , ξ )
=
n Y
i=1
xi ξi
jνi (xi ξi ) ∓ i
jν +1 (xi ξi ) ,
γi + 1 i
γ = (γ1 , . . . , γn ),
γi > 0,
γi = 2νi + 1.
Прямое и обратное полные смешанные преобразования Фурье-Бесселя (далее, для
краткости, будем писать FB -преобразования) функции u задается выражениями:
Z
′ ′
−i(x′′ ,ξ ′′ )
FB [u](ξ)= Λ+
u(x) (x′ )γ dx ,
γ (x , ξ ) e
−1
FB
[u](x) = Cγ,n,N
Rn
Z
′ ′
−i(x
Λ−
γ (x , ξ ) e
′′ ,ξ ′′ )
u(x) (x′ )γ dx = Cγ,n,N FB [u](−x).
Rn
Здесь
Cγ,n,N =
n
Y
i=1
(2π)n−N
,
2γi +1 Γ2 γi2+1
n
Y
(x ) =
(x2i )γi /2 .
′ γ
i=1
Как видим ядро полного преобразования Фурье-Бесселя состоит из четных и нечетных
функций по каждой из переменных x1 , . . . xn . Поэтому FB -преобразование разбивается
на четное и нечетное FB -преобразования:
FB = FB,ev + FB,od .
Введем следующие обозначения. Пусть α = (α′ , α′′), α′ и α′′ целочисленные мультииндексы, размерности n, N − n соответственно. Для этих мультииндексов поло∂
′
′′
′
′′
α
n+1
жим DB
= ∂Bα x′ ∂xα′′ ,
∂Bα x′ =∂Bα1γ . . . ∂Bαnγn , ∂xα′′ = ∂xαn+1
. . . ∂xαNN , ∂xi =
, i =
1
∂xi
1, 2, . . . , N,
( α /2
Bγii ,
αi = 2ki ,
∂Bαiγ =
, ki = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . , n,
(α
−1)/2
i
∂xi Bγi i
, αi = 2ki + 1
α
В классе четных, достаточно гладких интегрируемых функций оператор DB
имеет
α
символ (iξ) :
α
−1
DB
ϕ=FB
[(iξ)α FB ϕ] .
Далее мы будем использовать следующие формулы (доказательства приведены в [3],
[4])
h ′
i
′′
FB ∂Bαx′ ∂xα′′ ϕ (ξ) = (iξ)α FB [ϕ](ξ) ,
(1)
′
′′
α
DB
∂ξα′′ FB [ϕ] (ξ) = FB [(ix)α ϕ(x)](ξ) .
ξ′
(2)
2. Пространства функций Sev (RN ). Мы используем пространство Л. Шварца
основных функций S(RN ), заданных в RN достаточно быстро убывающих. Обычно
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 87
в этом пространстве вводится система норм вида |hϕi|k =
sup
|α|+|β|≤k, x∈Rn
α β
x Dj ϕ(x),
k = 0, 1, 2, . . . . Такая система норм позволяет доказать изоморфизм основного пространства при его преобразовании Фурье. Нашей задачей в этом пункте является введение подобных норм и соответствующих пространств для FB -преобразования.
Доказательства классической теоремы о непрерывности действия преобразования
Фурье в пространстве Шварца обычно используют формулу Лейбница для производных от произведения. Нетрудно видеть, что четные В-производные от произведения
не могут быть представлены в виде суммы В-производных сомножителей. Например,
легко проверить, что
B(f1 f2 ) = f2 Bf1 + 2f1′ f2′ + f1 Bf1 .
Отсюда ясно, что соответствующая формула Лейбница для целых степеней оператора
Бесселя включает в себя и четные и нечетные порядки производных. Четное преобразование Фурье-Бесселя приспособлено исключительно для работы с операторами B m
четного порядка 2m. Теперь отметим, что формулу Лейбница для B m (f1 f2 ) можно записать используя только операторы B m и ∂Bm (см. [2], [3]) в виде:
X s,i ,j
i2 j 2
j1
i1
(3)
Bγs (f1 f2 ) =
Cγ,j11 ,j12 x−l
1 Dx1 Bx1 f1 · Dx1 Bx1 f2 ,
s,i1 ,j1
где Cν,i
− определённые постоянные, причём
2 ,j2
1, j2 = s,
s,0,0
Cγ,i2 ,j2 =
0, j2 < s
и суммирование в (3) ведется по индексам l + 2j1 + 2j2 + i1 + i2 = s, i1 ≤ 1, i2 ≤ 1, l ≤
s,i1 ,j1
2s − 1. При γ = 0 постоянные C0,i
есть обычные биномиальные коэффициенты.
2 ,j2
Формула (3) показывает, что переход в формуле Лейбница к операторам типа ∂Bα
приводит к операторам, имеющим особенность на гиперплоскостях xi = 0, а это вызывает существенные трудности при определении принадлежности произведений функций
к соответствующим основным классам.
Пример. Пусть в Sev (R1 ) задана система норм вида
2p m
x (B )x ϕ(x) , k = 0, 1, 2, . . . .
|hϕi|′k =
sup
γ
|2p+m≤k, x∈R1
Рассмотрим четное преобразование Фурье-Бесселя FB = FB,ev и покажем что в этой
системе норм оно непрерывно действует из Sev в Sev . Имеем
2p m
ξ B ϕ(x)
=
FB,ev [ B m (x2p ϕ(x)) ] .
|hϕi|
b ′k =
sup
b
sup
γ
γ
2p+m≤k, ξ∈R1
2p+m≤k, ξ∈R1
Теперь, чтобы оценить это выражение |hϕi|′k -нормами, необходимо воспользоваться формулой (3), затем выделить окрестность нуля и внешность этой окрестности. Наибольшую трудность имеет оценивание через |hϕi|
b ′k -норму функции в окрестности нуля, поэтому проще не пользоваться формулой (3), а записать другую формулу в которой производные и В-производные не подвергнуты коммутации, что тоже приводит большим
техническим сложностям.
88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
Можно упростить эту задачу, введя следующую систему норм в основном пространстве Sev = Sev (RN )
(
)
α β
β
|hϕi|k = max
sup
sup
(4)
x DBγ ϕ(x) ,
DBγ (xα ϕ(x)) ,
|α|+|β|≤k,, x∈Rn
|α|+|β|≤k,, x∈Rn
k = 0, 1, 2, . . . .
Кроме того, необходимо потребовать, чтобы в (4) всегда выполнялось условие
αi + βi = 2ki ,
ki = 0, 1, 2, . . . , i = 1, . . . , n ,
(5)
т.е. числа αi и βi , отвечающие одному и тому же индексу i, должны быть одинаковой
четности.
Нормы (4) определяют топологию в Sev . В частности, последовательность функций
um сходится к u в Sev , если она сходится по каждой из этих норм, когда индекс k
пробегает все неотрицательные числа. Пространство Sev (RN ) снабженное системой норм
(4), является пространством Фреше (т.е. полным метризуемым пространством).
Теорема 1. При выполнении условия (5) FB -преобразование осуществляет непрерывный (в обе стороны) изоморфизм пространства Sev , т.е. для любого неотрицательного целого числа k выполняется неравенство
|hFB [ ϕ] i|k ≤ |hϕi|k1 .
Пусть ϕ ∈ Sev и мультииндексы α и β состоят из произвольных целых неотрицательных чисел одинаковой четности по каждому номеру i. По формулам (1), (2),
имеем
α
|ξ α ∂Bβ FB [ϕ](ξ)| = |ξ α FB [(ix)β ϕ](ξ)| = |FB DB
(ix)β ϕ(x) (ξ)| .
Далее рассматриваем наиболее принципиальный для нас случай, когда n = N = 1.
Будем различать два случая.
Случай 1. Предположим, что число β четное равное 2m. Тогда (при этом α тоже
четное)
(ix)β ϕ = ψ(x) ∈ Sev
и
|ξ α ∂Bβ FB [ϕ](ξ)| = |ξ α FB [ψ](ξ)| = 2|FB [B k ψ]| < ∞ .
α
При выполнении условия (5) функция DB
(ix)β ϕ(x) = B α/2 ((ix)2m ϕ(x)) четная, поэтому
FB ∂ α (ix)β ϕ(x) (ξ) = 2FB B α/2 (ix)2m ϕ(x) (ξ) =
Z
′′ ′′
= 2 Λ+ (x′ , ξ ′ ) e−ix ξ B α/2 (ix)2m ϕ(x) (x′ )γ dx .
RN
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 89
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Ясно, что для любого натурального числа p функция ψ определяется формулой
ψ(x) = (1 + |x|2p )B α/2 (ix)2m ϕ(x) ∈ Sev (RN ) ,
и поэтому в рассматриваемом случае
|ξ α ∂Bβ FB [ϕ](ξ)| =
Z + ′ ′ −ix′′ ξ′′
′ γ Λ (x , ξ ) e
2p
α
β
=2
(1 + |x| )DB (ix) ϕ(x) (x ) dx 6 C|hϕi|k1 .
2p
1
+
|x|
RN
Случай 2. Предположим теперь, что число β нечетное равное 2m1 +1 (при этом α
тоже нечетное, положим α = 2m2 +1). Из определения пространства Sev следует, что
ψ(x) = x2m ϕ — четная функция. Тогда xβ ϕ = x x2m ϕ = x ψ(x) ∈ S, ψ ∈ Sev . В этом
случае
Z∞ xξ
α β
α β
α
γ
j γ+1 (xξ) xψ(x) x dx =
ξ ∂B FB [ϕ](ξ) = 2 ξ ∂B FB [ϕ](ξ) = ξ
γ+1 2
0
Z
Z
2
xξ
α−1
2k
γ
γ
j γ+1 (xξ) xψ(x) x dx = ξ
∂x j γ−1 (xξ) xψ(x) x dx =
= ξ
2
γ+1 2
Rn
R+
1
Z
1
2k
γ+1
γ
= ξ
j γ−1 (xξ) γ ∂x x ψ(x) x dx .
2
x
R+
1
Функция
1
1
∂x xγ+1 ψ(x) = ψ(x) + ψ ′ (x)
γ
x
x
γ
2 γ/2
четная (x рассматривается здесь как четная = (x ) , следовательно xγ+1 ψ(x) — нечетная, а производная нечетной функции — четная функция) гладкая и легко проверить,
что ψ1 = O(x2m+γ ), x → 0. Поэтому
Z
α β
k
γ
ξ ∂B FB [ϕ](ξ) = j γ−1 (xξ) B ψ1 x dx < ∞ .
2
ψ1 =
Rn
Воспользовавшись формулой Лейбница, так же как и в первом случае, получим
α β
ξ ∂B FB [ϕ](ξ) ≤ C kϕkSev . Результат применения оператора Бесселя Bγi к функции четной по i-ой переменной
снова функция четная по i-ой переменной для всех i = 1, . . . , i. Далее функции четные
по каждой из переменных x1 , . . . , xn будем называть просто четными.
90 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
Применение ∂Bα -производной нечетного порядка дает нечетную функцию в виде производной первого порядка от четной функции. Это приводит к классу основных функций, представленных в виде суммы четной и производной от четной функции
ϕ(x) = ϕev (x) + ϕod (x) ,
ϕod (x) =
n
X
∂ψ(x)
i=1
∂xi
,
(6)
где ϕev , ψ(x) ∈ Sev — четные функции. Для функций (6) имеет место формула
n
X
1
FB [ϕ](ξ) = 2 ϕ(ξ)
b + 2i
Bγi Fodi ψb i (ξ) ,
ξ
i=1 i
n
(7)
где знак b· означает применение четного преобразования Фурье-Бесселя, b· i — одномерное четное преобразование Фурье-Бесселя по переменной xi и, наконец, Fodi — нечетное
преобразование Фурье-Бесселя по всем переменным, кроме xi . Действительно,
" n
#
X
FB [ϕ] = Fev ϕev (ξ) − iFod
∂i ϕ (ξ) =
i=1
= 2ϕc
ev (ξ) +
Z X
n
R+
N
hγ (xi , ξ i )
i=1
1
∂xi j γi −1 (xi ξi ) ∂xi ψ(x) xγ dx ,
2
ξi
где hγ (xi , ξ i ) произведение нечетных j-функций Бесселя, в которое не входит i-я функция. Отсюда
FB [ϕ] = 2ϕc
ev (ξ) +
Z
R+
N−1
n
X
i=1
i
i
hγ (x , ξ )
Z∞
0
1
i
∂xi j γi −1 (xi ξi ) ∂xi ψ(x) xγi i dxi (xi )γ dxi ,
2
ξi
Теперь формула (7) получается интегрированием по частям во внутреннем интеграле.
3. Пространства основных функций, построенные по типу пространств
Лизоркина. Формула (7) показывает, что применение FB -преобразования к ∂B -производным приведет в функциям с особенностью в начале координат и на весовых координатных гиперплоскостях. Естественно ввести класс функций, FB -преобразование
которых равно нулю в начале координат и на весовых координатных гиперплоскостях
вместе со всеми производными и ∂B -производными. Такие классы, следуя [4], вводятся
следующим образом.
Положим x = (xi , xi ), xi = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xN ) и пусть
+
Ψγ (RN
) = {ψ : ψ ∈ Sev , ∂Bβ i ψ(0, xi ) = 0, i = 1, 2, . . . , n , ∀β ∈ Z + } .
Тогда
+
+
Φγ (RN
) = {φ : φ = FB [ψ] , ψ ∈ Ψγ (RN
)} .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 91
Введем весовую линейную форму
(F, jγ ) =
Z
f (x) g(x) (x′ )γ dx ,
(8)
RN
где (x′ )γ =
n
Q
(x2i )γi /2 .
1
+
+
Теорема 2. Класс Φγ (RN
) состоит из тех и только тех функций ϕ(x)∈Sev (RN
),
которые ортогональны (8) всем многочленам:
Z
+
+
ϕ(x)∈Sev (RN ) ,
(x′ )m ϕ(x) xγ dx=0 , ⇐⇒
ϕ∈Φγ (RN
).
R+
N
Для четного преобразования Фурье-Бесселя [4] функции ϕ ∈ Φ ортогональны (8)
всем многочленам, четным по каждой из переменных x1 , . . . , xn :
Z
+
+
).
(x′ )2m ϕ(x) xγ dx=0, ⇐⇒
ϕ∈Φγ (RN
ϕ(x)∈Sev (RN ) ,
R+
N
+
) и ψ = FB [φ]. Тогда
Пусть ϕ∈Φγ (RN
Z
Z
C(γ)
α
γ
α
γ
x φ(x) x dx =
Λ−
γ (x, 0)x φ(x) x dx =
C(γ)
R+
N
=C
−1
R+
N
1 −1 α
1
−1
α
(γ) α FB [x φ(x)](ξ) = C (γ) α ∂B ψ(ξ) = 0 .
i
i
ξ=0
ξ=0
Ясно, что эти рассуждения, проведенные в обратном порядке, доказывают обратное
утверждение. Доказательство (7) приведено в [4]. Интегралы вида
Z
(x′ )α φ(x) (x′ )γ dx
R+
N
называются весовыми моментами функции ϕ(x) порядка α. Таким образом, простран+
+
ство Φγ (RN
) состоит из тех и только тех функций ϕ(x)∈Sev (RN
) , для которых все
весовые моменты равны нулю.
Литература
1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / М.: Наука, 1997.
2. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов / Математ. сборн. – 1977. – 104,№1.
3. Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Диффер. урав. – 2011. – 47,№5. – С.681-695.
92 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
4. Lyakhov L.N., Raykhelgauz L.B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some
singular differential equations // Cambridge Scientific Publishers, 2012. /Analytic Methods
of Analysis and Differential Equations. AMADE-2009. C.107-112.
5. Ляхов Л.Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами /
Липецк: ЛГПУ, 2007. – 232 c.
FOURIER-BESSEL’S FULL TRANSFORMATION
OF SOME MAIN FUNCTIONAL CLASSES
L.N. Lyakhov, S.A. Roschupkin
Voronezh State University
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: levnlya@mail.ru
Yelets State University of I.A. Bunin,
Kommunarov St., 28, Yelets, 399770, Russia, e-mail: roshupkinsa@mail.ru
Abstract. The full Fourier-Bessel FB transformation proposed by I.A. Kipriyanov and V.V. Katα equal to the operator Bessel at the
rakhov is applied to study the singular differential operator ∂B
degree α2 when α is even and it is the derivative of the Bessel operator at the degree α−1
2 when α is
α are built. In particular, the class S
odd. Classes of main functions adapted to the operator ∂B
ev is
introduced which consists of quickly decreasing functions being even on each of variables on which
α -Bessel’s operator acts. The system of norms are constructed which is generated by the operator
∂B
α . Other class Φ of main functions is built on the basis of the space as well as Lozorkin’s spaces
∂B
γ
of main functions disappearing on corresponding coordinate hyperplanes. The full Fourier-Bessel
transformation is investigated FB of introduced classes of functions and the orthogonality theorem
of Φγ functions to polynomials relative to scalar composition with the weight is proved.
Key words: Fourier-Bessel’s full transformation, Bessel’s operator, ∂B -Bessel’s operator.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
248 Кб
Теги
классов, функциональная, основные, полное, фурье, бессель, некоторые, преобразование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа