close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Представление Лакса систем кирального типа в специальных координатах.

код для вставкиСкачать
Вестник
Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
2012, №
6 (1), с. 103–106
Представление
Лакса
систем кирального
типа в специальных
координатах
103
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9:514.7
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАКСА СИСТЕМ КИРАЛЬНОГО ТИПА
В СПЕЦИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
 2012 г.
А.В. Баландин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
balandin@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 29.05.2012
Получены новые необходимые условия существования представления Лакса для систем кирального
типа, заданных в специальных системах координат.
Ключевые слова: интегрируемые системы, системы кирального типа, представление Лакса.
Изучаются представления Лакса систем кирального типа, т.е. систем n дифференциальных
уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными следующего вида:
U xyi   ijkU xjU yk  Q i  0 ,
(1)
здесь и далее индексы i,j,k,m принимают значения от 1 до n; функции  ijk , Q i являются гладкими функциями переменных
U m , причем
Q i  0 одновременно при всех i . Связность,
определенную коэффициентами  ijk , будем называть связностью, ассоциированной с системой.
Систему координат будем называть специальной, если для системы (1) выполнены следующие условия:
1) Q 1  Q 2  ...  Q n 1  0, Q n  0 ;
2) nni  0, i  1, n .
Заметим, что указанные специальные координаты существуют, вообще говоря, не для любой системы кирального типа.
В настоящей работе представление Лакса
системы в частных производных вида (1) со
значениями в алгебре Ли g будем понимать следующим образом.
Определение 1. Будем говорить, что система
(1) допускает представление Лакса со значениями в алгебре Ли g, если существует набор
~
гладких функций A  A j (U i ,  )U xj  M (U i , ) ,
~
B  B j (U i ,  )U yj  N (U i , ) (здесь λ – произвольный параметр) со значениями в матричной
алгебре Ли g ( g  gl ( N , R) ), таких, что условия
совместности системы линейных уравнений
~
~
Fx  A F , Fy  B F
(2)
при каждом значении параметра  приводят к
системе, эквивалентной системе (1).
Далее будем использовать следующие обозначения: S i  ( Ai  Bi ) , Pi  ( Ai  Bi ) и ограничимся изучением представлений Лакса, для
которых rang|| S i || = n, т.е. векторы S i – линейно независимые.
Теорема 1. Пусть система (1) допускает
представление Лакса со значениями в полупростой матричной алгебре Ли g. Тогда справедливы равенства
1
P[ j ,k ]  S ( j ,k )  Si  ijk  [( Pk  Sk ), ( Pj  S j )] ,
(3)
2
M ,i  [( Pi  S i ), M ] ,
(4)
N ,i  [( Pi  S i ), N ] ,
(5)
i
S i Q  [M , N ] ,
(6)
где запятые обозначают соответствующие частные производные.
Доказательство получается непосредственной проверкой.
С помощью калибровочного преобразования
уравнения (4)–(6) допускают следующее упрощение.
Лемма 1. Пусть T – некоторое решение
системы
Q iT ,i T 1  Q i Pi ,
(7)
а функции Ŝ , M̂ , N̂ определены равенствами
TŜT 1  Q i Si , TM̂T 1  M , TN̂T 1  N . (8)
Тогда функции M̂ , N̂ удовлетворяют системе


Q ( M̂ )  [ Ŝ , M̂ ] , Q ( N̂ )  [ Ŝ , N̂ ] ,
104
А.В. Баландин
1
Ŝ  [ M̂ , N̂ ] .
(9)
2
Доказательство. Сначала заметим, что переходя к локальным координатам, выпрямляю
щим поле Q , приведем систему (7) к виду
T,1T 1  P1 . Отсюда следует, что решения систе-
мы (7) существуют с произволом в dim g функций от n-1 переменной. Теперь равенства (9)
нетрудно получить непосредственной проверкой из (4)–(6) с учетом (8). Лемма доказана.
Замечание 1. Пусть алгебра Ли g удовлетворяет следующему условию: алгебра Adинвариантных симметричных многочленов от
двух переменных, т.е. многочленов, удовлетворяющих
условию
f ( M̂ , N̂ )  f ( N̂ , M̂ ),
( M̂ , N̂  g ) ,
является конечно порожденной.
Обозначим
t1 ( M̂ , N̂ ), t 2 ( M̂ , N̂ ), ..., t r ( M̂ , N̂ )
(r>1) базис этих многочленов, где t1  ( M̂ , N̂ )
(скобки обозначают скалярное произведение в
метрике Киллинга на алгебре g). Пусть многочлен t̂ i получен из многочлена t i дифференцированием с помощью формул:
M̂
1
N̂
1
  [[ M̂ , N̂ ], M̂ ],
  [[ N̂ , M̂ ], N̂ ] . (10)
U n
2
U n
2
Тогда очевидно, что deg tˆi =deg t i +2, и многочлен t̂ i также является Ad-инвариантным
симметричным многочленом на алгебре. Пусть
f i (t1 , t 2 ,..., t r ) – выражение многочлена tˆi через
базисные многочлены; такие функции существуют в силу конечной порожденности алгебры
многочленов. Определим систему r обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями следующего
вида:
dti
 f i (t1 , t 2 ,..., t r ) , i  1, r .
(11)
dU n
Теперь, учитывая (9), (10), приходим к следующему результату.
Предложение 1. Пусть система (1), заданная
в локальных координатах, выпрямляющих век

торное поле Q (т.е. Q  (0,0,...,1) ), допускает
представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли g. Если функция H определена
равенством H  ( M̂ , N̂ ) , где скобки обозначают
скалярное произведение в метрике Киллинга на
алгебре g, то H  t1 , т.е. является решением
системы (11).
Доказательство. Как известно (см., например, [1]), для полупростой алгебры выполнено
условие конечной порожденности указанной
выше алгебры инвариантов. Дальнейшее следует из замечания 1.
Замечание 2. Пусть система (1) допускает
представление Лакса. Тогда следующие 2 усло
вия эквивалентны: Q  0 и [ M̂ , N̂ ]  0 . Действительно, пусть [ M̂ , N̂ ]  0 . Тогда из (8) и (9)
следует, что Q i Si  0 , т.е. в силу линейной не
зависимости S i получим Q  0 . Обратное непосредственно следует из (8) и (9).
Теорема 2. Пусть система (1), заданная в
специальных координатах, допускает представление Лакса со значениями в компактной алгебре. Обозначим H  ( M̂ , N̂ ) . Тогда
s 2
 (S n , S n )
H
2 n


4
s
Q
,

0,
n
n
U
U
U n
s2  0 .
(12)
Доказательство. Во-первых, покажем, что в
таких
координатах
выполнено
равенство
( S n , S n )
 0 . Действительно, из равенства (3)
U n
имеем соотношение S n ,n  nni S i  [ S n , Pn ] . Умно-
жая скалярно данное равенство на S n , получим
искомое условие. В данных координатах последнее
из
равенств
(9)
принимает
вид
1
Q n S n  T [ M̂ , N̂ ]T 1 . Возводя последнее равен2
ство скалярно в квадрат, придем к соотношению
1
(Q n ) 2 s 2  ([ M̂ , N̂ ], [M̂ , N̂ ]) , где s 2  ( S n , S n )  0
4
в силу компактности алгебры. Кроме того, из
(10) несложно получить равенство

H
Q( H )  Q n
 ([ M̂ , N̂ ],[ M̂ , N̂ ]) . (13)
U n
Отсюда приходим к (12).
Следствие 1. Пусть система (1), удовлетворяющая условиям теоремы 1, допускает два
представления Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли g и g1 соответственно, и
H  ( M̂ , N̂ ) , H 1  ( M̂ 1 , N̂1 ) . Тогда выполнено
равенство
1 H
1 H 1

 0,
(14)
s 2 U n s1 2 U n
s
s1
где
 0 , s  0,
 0 , s1  0 .
n
U
U n
Замечание 3. Отсюда, в частности, следует,
что в случае, когда система (1) сводится к единственному уравнению, функции H  (M , N ) ,
построенные для двух различных представлений Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли, являются линейно зависимыми с посто-
Представление Лакса систем кирального типа в специальных координатах
105
янными коэффициентами. По-видимому, представляется интересным построение подобных
инвариантов интегрируемых систем и в более
общих случаях.
Рассмотрим некоторые необходимые условия существования представления Лакса со значениями в алгебре so(3).
Теорема 3. Пусть система (1) при n  3 , заданная в специальных координатах, допускает
представление Лакса со значениями в алгебре
so(3). Тогда функция Q n имеет вид
Лакса со значениями в алгебре so(3), которое с
помощью левоинвариантных форм можно записать в виде
d   ,
Q n  Asin( BU n  C ) ,
 2  (sinU 3 cosU 2U 1y  sinU 2U 3y ) dy  iM 2 dx,
(15)
где A, B, C – функции U 1 ,...,U n 1 .
Доказательство. Нетрудно видеть, что для
алгебры so(3) выполнены условия предложения
1. Действительно, в данном случае алгебра Adинвариантных многочленов порождена скалярными произведениями. Поэтому в специальной
системе координат функция H должна быть решением системы, аналогичной системе (11),
которая в данном случае с помощью (13) сводится к единственному уравнению

H
Q( H )  Q n
 ([M̂ , N̂ ], [ M̂ , N̂ ]) 
U n
 ( M̂ , M̂ )( N̂ , N̂ )  ( M̂ , N̂ ) 2  c 2  H 2 , (16)
где c  const. Теперь с учетом равенства (12)
получим
1 H 2
(
)  c2  H 2 .
(17)
4s 2 U n
Отсюда находим arcsin(k1 H )  k 2U n  k 3 ,
где
1
k1 , k 2 , k 3
–
некоторые
функции
от
n 1
U ,...,U . Отсюда с учетом равенства (12) приходим к (15).
Следствие 1. Пусть выполнены условия
теоремы 3. Тогда существует специальная система координат, в которой Q n  AsinU n , где A –
функция от U 1 ,...,U n 1 .
Доказательство следует из того, что специальные системы координат инвариантны относительно замен координат следующего вида
Û i  U i , i  1,.., n  1, Û n  U n   , где ,  –
функции от U 1 ,...,U n 1 .
Пример 1. Рассмотрим систему
U x2U 3y
U 1xy 
 ctgU 3U x3U 1y  0 ,
sinU 3
U x3U 1y
U xy2 
 ctgU 3U x2U 3y  0 ,
sinU 3
U xy3  sinU 3U x2U 1y  asinU 3  0 ,
которая записана в специальных координатах. В
[2] для этой системы построено представление
 0

где      3
 2
 
3
0
 1
 2 

1  ,

0 
1  ( cosU 2U y3  sinU 2 sinU 3U 1y )dy  iM 1dx,
M 1  asinU 3 sinU 2 ,
M 2  asinU 3 cosU 2 ,
 3  ( cos U 3U 1y  U y2 ) dy  i ( M 3 dx  dy ),
M 3  acosU 3 .
Очевидно, что в данном случае выполнены необходимые условия теоремы 3.
Пример 2. Для системы Полмайера–Лунда–
Редже [3], которая имеет вид:
(U 1xU y2  U x2U 1y )
1
U xy 
 0,
sinU 2
U 1xU 1y sinU 2
U xy2 
 psinU 2  0 ,
(1  cosU 2 ) 2
необходимые условия теоремы 3 также выполнены, и представление Лакса для нее можно
записать следующим образом:
U2 1
1
 1  U x2 dx,  2  tg
U x dx  sinU 2 dy,
2

2
cosU
 3  ( p 
U 1x ) dx 
2
U
2cos 2
2
1
1
 ( cosU 2 
U 1y ) dy .
2

2 U
2cos
2
Пример 3. Рассмотрим частный случай, когда система (1) состоит из одного уравнения,
т.е. U xy  Q (U ) . Из теоремы 3 получаем, что
единственным уравнением, допускающим представление Лакса со значениями в so(3), является
уравнение, которое заменой координат можно
привести к уравнению sin-Гордона.
Замечание 4. В случае одного уравнения,
выполняя в (2) преобразование F  WF̂ , где мат1
рица W определена равенством W '  ( A  B)W ,
2
dŜ
систему (3)–(6) можно привести к виду:
0,
dU
1
P̂  0 , M̂ '  [ Ŝ , M̂ ], N̂'  [ Ŝ , N̂ ] , ŜQ  [ M̂ , N̂ ].
2
Замечание 5. Аналогично системам, допускающим представление Лакса со значения-
106
А.В. Баландин
ми в so(3), можно исследовать случай алгебры
sl(2). Однако в данном случае, вообще говоря,
нельзя гарантировать выполнение условия s  0
в равенствах (12). В предположении s  0 (т.е.
вектор S n не является изотропным) равенство
1 H 2
(17) примет вид
(
)  c 2  H 2 . Отсюда
4s 2 U n
можно получить аналог теоремы 3 для алгебры
sl(2). В частности, для системы, состоящей из
одного уравнения, приходим к уравнению shГордона, если c  0 , и уравнению Лиувилля,
если c  0 .
Автор благодарен М.И. Кузнецову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ (шифр заявки 1.1907.2011) и ФЦП
«Кадры», № 14.В37.21.0361.
Список литературы
1. Спрингер Т. Теория инвариантов. М.: Мир,
1981. 191 с.
2. Balandin A.V., Pakhareva O.N., Potemin G.V.
// Phys. Lett. A. 2001. V. 283. № 3–4. Р. 168–176.
3. Lund F., Regge T. //Phys. Rev. D. 1976. V. 14.
№ 6. Р. 1524–1535.
LAX REPRESENTATION OF CHIRAL-TYPE SYSTEMS IN SPECIAL COORDINATES
A.V. Balandin
Some new necessary conditions for Lax representation of chiral-type systems given in special coordinates have been
obtained.
Keywords: integrable systems, chiral-type systems, Lax representation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
267 Кб
Теги
типа, лакса, киральной, система, представление, специальный, координат
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа