close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта.

код для вставкиСкачать
УДК 519
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1
И. Г. Бурова
ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ
МАКСИМАЛЬНОГО И МИНИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА∗
Полиномиальные минимальные интерполяционные сплайны подробно изучались в
монографии [1]. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации
базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в
нескольких соседних узлах сетки. Выполняется свойство «точности» на полиномах заданной степени. В [1] получены оценки погрешности приближения полиномиальными
минимальными интерполяционными сплайнами. Здесь же указан подход к построению
неполиномиальных базисных функций максимального дефекта.
Тригонометрические, экспоненциальные и полиномиальные с дробными степенями
сплайны минимального дефекта с носителем, занимающим от трех до семи сеточных
интервалов на равномерной сетке узлов, получены в работах [2–8]. Там показана связь
между построенными базисными сплайнами и широко известными полиномиальными
В-сплайнами [9]. Гладкость базисных функций на две единицы меньше числа сеточных интервалов в носителе базисного сплайна. С помощью метода, предложенного в
работе [10], построены приближения в виде линейной комбинации базисных сплайнов с
коэффициентами, равными значениям приближаемой функции и ее нескольких производных в узлах сетки. Для построения приближения не требуется решения систем уравнений. Оценка погрешности тригонометрическими сплайнами минимального дефекта с
помощью разложения по формуле Тейлора дана в [11]. Прием построения непрерывно
дифференцируемых базисных сплайнов минимального дефекта с носителем, занимающим три сеточные интервала на неравномерной сетке, указан в работе [12].
В данной работе предложен подход к построению оценок погрешностей приближений, построенных с помощью сплайнов минимального и максимального дефекта и
обладающих свойством «точности» на функциях чебышевской системы, с помощью решений ассоциированных дифференциальных уравнений. Здесь также дан общий подход
к построению сплайнов минимального дефекта на равномерной сетке узлов, использованный в работах [2–8] для построения конкретных базисных сплайнов.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.К.Даугавету за идею по
применению теории обыкновенных дифференциальных уравнений к получению оценки
погрешности аппроксимации минимальными сплайнами.
1. Построение непрерывных базисных функций
Пусть l, s — целые неотрицательные числа, связанные соотношением l+s = n, {xj } —
упорядоченная по возрастанию сетка узлов на промежутке [a, b]. Функция u(x) задана
u
(x) для функции u(x)
в узлах сетки. Будем считать, что u ∈ C n [a, b]. Приближение
на промежутке [xj , xj+1 ] строим по формуле u
(x) =
u(x
)ω
k
k (x). Функции ωk (x),
k
∗ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 04-01-00692 и
04-01-00026) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских
ученых и ведущих научных школ (грант НШ 2268.2003.1).
c И. Г. Бурова, 2006
12
называемые базисными, будем находить из условий
u(x) − u
(x) = 0, u = ϕi (x), i = 1, 2, . . . , n,
где {ϕi } — чебышевская система функций на промежутке [xj−l+1 , xj+s ] ⊂ [a, b] и ϕi ∈
C n [xj−l+1 , xj+s ]. Таким образом, приходим к системе уравнений
ϕi (xk )ωk (x) = ϕi (x), i = 1, 2, . . . , n.
k
При условии supp ωj = [xj−s , xj+l ] количество уравнений в системе совпадает с количеством неизвестных. Система принимает вид
j+s
ϕi (xk )ωk (x) = ϕi (x), i = 1, 2, . . . , n.
k=j−l+1
Обозначим Φ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x))T . Предположим, что
Δj = det(Φ(xj−l+1 ), . . . , Φ(xj+s )) = 0,
тогда базисные функции ωk (x) определяются однозначно. С помощью формул Крамера
получим
ωj−k (x) = det(Φ(xj−l+1 ), . . . , Φ(xj−k−1 ), Φ(x), Φ(xj−k+1 ), . . . , Φ(xj+s ))/Δj ,
k = −s, −s + 1, . . . , l − 1.
Заметим, что в соответствии с результатами [1] при l ≥ 1, s ≥ 1 базисные сплайны
ωj непрерывны на промежутке [a, b].
2. Построение решения ассоциированного
дифференциального уравнения
Построим однородное линейное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений ϕ1 (x), . . . , ϕn (x). В соответствии с разделом 6.2.10 [13] для x ∈ [xj−l+1 , xj+s ]
составим соотношение
ϕ1 (x),
ϕ2 (x), . . . ϕn (x),
u(x) ϕ1 (x),
ϕ2 (x), . . . ϕn (x),
u (x) ...
...
...
...
. . . = 0.
(n)
(n)
ϕ (x), ϕ(n) (x), . . . ϕ(n)
(x)
n (x), u
1
2
Предположим, что определитель Вронского
ϕ1 (x),
ϕ2 (x),
ϕ1 (x),
ϕ2 (x),
W (x) = ...
...
(n−1)
(n−1)
ϕ
(x), ϕ2
(x),
1
...
ϕn (x) ...
ϕn (x) ...
...
(n−1)
. . . ϕn
(x)
отличен от нуля при x ∈ [xj−l+1 , xj+s ]. Разлагая определитель по элементам последнего
столбца и деля все члены полученного уравнения на W (x), получим искомое уравнение
Lu = u(n) (x) + p1 (x)u(n−1) (x) + . . . + pn (x)u(x) = 0.
13
Построим теперь общее решение неоднородного уравнения Lu = f (x) методом вариации
произвольных постоянных. Положим
u(x) =
n
Ci (x)ϕi (x).
i=1
Для определения Ci (x) в соответствии с [13] получаем систему n дифференциальных
уравнений первого порядка:
n
Ci (x)ϕi (x) = 0,
i=1
n
(k)
Ci (x)ϕi (x) = 0, k = 1, 2, . . . , n − 2,
i=1
n
(n−1)
Ci (x)ϕi
(x) = f (x).
i=1
Получаем
Ci (x) =
Wni (x)f (x)
,
W (x)
где Wni (x) — алгебраические дополнения элементов n-й строки определителя W (x). Находим
x
Wni (t)f (t)
dt + Ci ,
Ci (x) =
W (t)
η
где Ci — произвольные постоянные, а η — точка из промежутка [xj , xj+1 ]. Итак,
u(x) =
n
x
ϕi (x)
η
i=1
n
Wni (t)f (t)
dt +
Ci ϕi (x).
W (t)
i=1
3. Оценка погрешности
Оценим |
u(x) − u(x)|. Имеем при x ∈ [xj , xj+1 ]
j+s
u
(x) − u(x) =
u(xk )ωk (x) − u(x) =
k=j−l+1
j+s
=
ωk (x)
n
ϕi (xk )
η
i=1
k=j−l+1
n
Wni (t)f (t)
dt +
Ci ϕi (xk ) −
W (t)
i=1
x
n
n
Wni (t)f (t)
−
dt −
ϕi (x)
Ci ϕi (x).
W (t)
η
i=1
i=1
xk
Заметим, что ввиду аппроксимационных соотношений из п.1 верна цепочка равенств
j+s
k=j−l+1
14
ωk (x)
n
i=1
Ci ϕi (xk ) =
n
i=1
Ci
j+s
k=j−l+1
ωk (x)ϕi (xk ) =
n
i=1
Ci ϕi (x).
Теперь
u
(x) − u(x) =
n
⎛
⎝
i=1
xk
j+s
ωk (x)
k=j−l+1
Wni (t)f (t)
dt −
ϕi (xk )
W (t)
η
⎞
Wni (t)f (t) ⎠
dt .
W (t)
x
η
Пусть η = xj . Тогда
|
u(x) − u(x)| ≤ f [xj−l+1 ,xj+s ]
n
j+s
i=1 k=j−l+1
× sign(xk − xj )
xk
xj
max
x∈[xj ,xj+1 ]
|ωk (x)|×
ϕi (xk ) Wni (t)f (t) dt +
W (t) W
(t)f
(t)
ni
W (t) dt .
x xj
Если же положить η = x, то оценка принимает вид
|
u(x) − u(x)| ≤ Lu[xj−l+1 ,xj+s ]
n
j+s
i=1 k=j−l+1
max
x∈[xj ,xj+1 ]
|ωk (x)|×
× sign(xk − x)
xk
x
ϕi (xk ) Wni (t)f (t) dt.
W (t) 4. О построении базисных сплайнов
минимального дефекта
Построим на равномерной сетке узлов базисные сплайны ωj (x), удовлетворяющие
условиям supp ωj = [xj−s , xj+l ], l + s = n, ωj ∈ C n−2 [a, b]. Введем n2 − 1 дополнительных параметров cik в правую часть системы уравнений п. 1 для нахождения базисных
сплайнов ωj (x). Таким образом, на промежутке [xj , xj+1 ] имеем
j+s
k=j−l+1
ωk (x)ϕi (xk ) =
n
cik ϕk (x), i = 1, 2 . . . , n.
k=1
Аналогичные системы уравнений выписываем на соседних сеточных интервалах, содер(i)
жащихся в носителе базисного сплайна. Параметры находим из условия ωj (xj−s ) = 0,
(i)
ωj (xj+l ) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 2, ωj ∈ C n−2 [xj−s , xj+l ]. Так как количество параметров
на один больше, чем требуется, один из параметров, например c11 , можно положить
равным единице. Для построения приближения u
(x) на промежутке [xj , xj+1 ] воспользуемся методом, предложенным в [10].
Таким способом тригонометрические базисные сплайны минимального дефекта построены в работах [2–4]. Экспоненциальные сплайны минимального дефекта построены
в работах [5–7].
15
5. Оценки погрешности тригонометрическими сплайнами
Пусть даны функции ϕ1 (x) = 1, ϕ2 (x) = sin(x), ϕ3 (x) = cos(x). При достаточно
густой сетке узлов рассмотрим приближение (см. [1, 2])
u
(x) =
j+1
u(xk )ωk (x), x ∈ [xj , xj+1 ],
k=j−1
где из условия u
(x) = u(x), u(x) = ϕi (x), i = 1, 2, 3, получаем
ωj (x) =
ωj−1 (x) =
ωj+1 (x) =
x−xj−1
2
xj −xj−1
2
sin
x−xj
2
x
−x
sin j−12 j
x−x
sin 2 j
x
−x
sin j+12 j
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
x−xj+1
2
xj −xj+1
2
,
x−xj+1
2
xj−1 −xj+1
2
x−xj−1
2
xj+1 −xj−1
2
,
.
Уравнение, имеющее данную фундаментальную систему решений ϕi (x), i = 1, 2, 3, имеет вид u (x) + u (x) = 0. Общее решение уравнения u (x) + u (x) = f (x) записываем в
виде
x
x−t
dt.
(u (t) + u (t)) sin2
u(x) = C1 + C2 sin(x) + C3 cos(x) + 2
2
η
Пусть сетка узлов {xj } равномерная с шагом h. Имеем |ωj (x)| ≤ 1, |ωj+1 (x)| ≤ 1,
|ωj−1 (x)| < 0,14.
Если положим η = x, то нетрудно выписать достаточно грубую оценку погрешности
|
u(x) − u(x)| ≤ K0 h3 u + u [xj−1 ,xj+1 ] , K0 ≈ 1,6.
После вычисления интегралов получаем оценку
|
u(x) − u(x)| ≤ K1 u + u [xj−1 ,xj+1 ] ,
где K1 = |ωj−1 (x)| x−xj−1 −sin(x−xj−1 ) +|ωj (x)| x−xj −sin(x−xj )+|ωj+1 (x)| xj+1 −
x−sin(xj+1 −x). Непрерывно дифференцируемые тригонометрические базисные сплайны с носителем, задаваемым значениями параметров l = 2, s = 1, построены в работе
[2]. Там же рассмотрено приближение
u
(x) =
j+1
(u(xk ) + tg(h/2)u (xk )) ωk (x), x ∈ [xj , xj+1 ],
k=j−1
где
ωj−1 (x) =
cos(x − jh − h) − 1
,
2(cos(h) − 1)
ωj (x) =
Нетрудно
16
видеть,
что
ωj+1 (x) =
cos(x − jh) − 1
,
2(cos(h) − 1)
cos(h) − cos(x − jh − h/2) cos(h/2)
.
(cos(h) − 1)
1/2 ≤ ωj (x) ≤ 0,75,
0 ≤ ωj+1 (x) ≤ 1/2,
0 ≤ ωj−1 (x) ≤ 1/2.
Если положим η = x, то получим достаточно грубую оценку погрешности приближения:
|
u(x) − u(x)| ≤ K0 h3 u + u [xj−1 ,xj+1 ] , K0 ≈ 4,25.
Вычисляя интегралы, получаем оценку погрешности приближения:
|
u(x) − u(x)| ≤ u + u [xj−1 ,xj+1 ] 2 tg
j+1
h xk − x
+
ωk (x) sin2
2
2
k=j−1
+ ωj−1 (x) |x − xj−1 − sin(x − xj−1 )| + ωj (x) |x − xj − sin(x − xj )| +
+ ωj+1 (x) |xj+1 − x − sin(xj+1 − x)| .
Summary
I. G. Burova. Approximations by minimal splines of maximum and minimum defect.
The method of constructing the approximation errors by minimal splines of the maximum and
minimum defect with exactness on Chebyshev system functions is suggested.
Литература
1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория миниимальных сплайнов. СПб. 2000. 316 c.
2. Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.Петерб. ун-та.
Сер. 1. 2004. Вып. 2. C. 9–14.
3. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3. С. 13–19.
4. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 4. С. 12–23.
5. Бурова И. Г., Дюбина А. В. Приближения с помощью экспоненциальных сплайнов четвертого порядка и максимальной гладкости // Международный семинар «Супервычисления
и математические вычисления». Саров. 5–8 октября 2004 г. C. 19–20.
6. Бурова И. Г., Дюбина А. В. Построение приближений экспоненциальными сплайнами.
// Деп в ВИНИТИ N 221-В2005 от 15 февраля 2005. 12 с.
7. Бурова И. Г., Дюбина А. В. О построении экспоненциальных сплайнов // Труды XXXV
науч конф. «Проблемы управления и устойчивость». СПб., 2004. С. 151–157.
8. Бурова И. Г., Демина А. Ф. Построение приближений с особенностью в нуле на неравномерной сетке // Деп. в ВИНИТИ N 220-В2005 от 15 февраля 2005 г. 11 с.
9. Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко B. K. Методы сплайн-функций. М., 1980.
352 с.
10. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения
задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, № 6. C. 739–742.
11. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. Об оценках аппроксимации тригонометрическими и
полиномиальными сплайнами // Деп. в ВИНИТИ N 955-В2004 от 4.06. 2004. 12 с.
12. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. О сплайнах максимальной гладкости // Вестн.
С.Петерб. ун-та. Сер 1. 2004. Вып 4. С. 3–11.
13. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
СПб.; М.; Краснодар, 2003. 832 c.
Статья поступила в редакцию 25 мая 2005 г.
17
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1
И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг
ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ∗
1. Введение. Задача инвариантной стабилизации заключается в обеспечении независимости выхода системы от внешнего воздействия при ограниченности остальных
переменных. Основная трудность при решении этой задачи, как показано в обзоре [1],
заключается в том, что даже для стационарных линейных систем скалярное управление может обеспечить альтернативно либо инвариантность, либо устойчивость. В работе [2] показано, что можно добиться инвариантной стабилизации, если рассматривать
внешнее воздействие как один из входов регулятора. Полученное в [2] решение задачи существенно опирается на свойства линейности и стационарности рассматриваемой
системы.
В предлагаемой статье рассматривается дискретная линейная нестационарная система управления с внешним воздействием. Для такой системы формируется двумерное
управление, обеспечивающее инваринтную стабилизацию замкнутой системы.
2. Постановка задачи. Рассматривается дискретная линейная нестационарная система с внешним воздействием
xk+1 = Ak xk + b1k u1 + b2k u2 + gψk ,
σk = c∗ xk
(k = 0, 1, 2 . . .),
(1)
где xk , b1k , b2k , c, g ∈ Rm , u1 ∈ R1 , u2 ∈ R1 , Ak — заданная равномерно ограниченная для
всех k матрица, b1k , b2k заданные равномерно ограниченные для всех k векторы, ψk —
произвольная равномерно ограниченная скалярная функция, задающая внешнее воздействие, вектор наблюдения c и вектор распределения внешнего воздействия g заданы
и предполагаются постоянными.
Предполагается, что допустимы управления вида
uk1 = s1k ∗ xk ,
(2)
uk2 = s2k ∗ xk + αk ,
(3)
где вектор-функции s1k , s2k и скалярная функция αk равномерно ограничены для всех k.
Задача заключается в построении управлений (2), (3), обеспечивающих выполнение
условий
σk+1 = βσk (k = 0, 1, 2 . . .),
(4)
где β — заданный ненулевой параметр, |β| < 1,
lim sup xk ≤ γ0 lim sup |ψk |,
k→∞
k→∞
γ0 > 0.
(5)
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00290) и Совета по грантам
Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ
(грант № 2257.2003.1).
c И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2006
18
3. Основные результаты. Начнем с выбора s2k и αk , обеспечивающих выполнение
требования (4). С этой целью выразим σk из системы (1) и подставим в (1) соотношения
(2), (3). Имеем
σk+1 = (c∗ Ak + c∗ b1k s1k + c∗ b2k s2k ∗ )xk + c∗ b2k αk + c∗ gψk .
Предполагаем, что для всех k ≥ 0
c∗ b2k = 0.
(6)
(7)
Тогда, подставив в (6) выражение
αk = −
c∗ g
ψk ,
c∗ b2k
s2k ∗ = −
c∗ (Ak + b1k s1k ∗ ) + βc∗
,
c∗ b2k
(8)
получим соотношение (4). Итак, выбором αk и s2k вида (8) обеспечено выполнение требования (4).
Перейдем теперь к определению вектора s1k , обеспечивающего выполнение требования (5). Подставив значения s2k ∗ и αk из (8) в (1), перепишем уравнения (1) в виде
xk+1 = A1k xk + bk s1k ∗ xk + gk1 ψk ,
где
(9)
b 2 c∗ b 2 c∗
A1k = I − k∗ 2 Ak + β k∗ 2 ,
c bk
c bk
b 2 c∗ c∗ g
bk = I − k∗ 2 b1k , gk1 = g − ∗ 2 b2k .
c bk
c bk
Сделаем в системе (9) замену переменных
yk = Tk xk ,
где
∗ −1
em Bk
∗ −1
em Bk+1 Ak
..
Tk = .
m−1
∗ −1
Ak+j
em Bk+m−1
j=0
Bk = bk−1 , Ak−1 bk−2 , . . . ,
(10)
,
m
em
=
,
1 0
0
..
.
Ak−j bk−m−1 .
(11)
(12)
j=1
В [3] показано, что элементы матрицы Tk равномерно ограничены и
inf |detTk | > 0,
(13)
inf |detBk | > 0.
(14)
k
если
k
В результате преобразования (10) система (9) примет вид
k yk + en s ∗ yk + g1 ψk ,
yk+1 = A
k
k
(15)
19
где
k = Tk+1 Ak T −1 ,
A
k
sk∗ = s1k ∗ Tk−1 ,
gk1 = Tk+1 gk1 .
k является матрицей Фробениуса с функциональной нижВ [3] доказано, что матрица A
ней строкой:
0
1
0 ... 0 0
0
1 ... 0 .
.. .
k = A
..
. 0
0
0 ... 1 αk αk αk . . . αk 1
2
3
m
Положим
sk∗ = ρ1 , . . . , ρm − α1k , . . . , αkm .
(16)
Тогда система (15) примет вид
gk1 ψk ,
yk+1 = Dyk + (17)
где D — постоянная матрица Фробениуса с характеристическим многочленом λm −
ρm λm−1 − . . . − ρ1 . Выберем коэффициенты ρi (i = 1, . . . , m) таким образом, чтобы
матрица D имела вещественные различные собственные числа λ1 , . . . , λm . Обозначим
через di (i = 1, . . . , m) собственные векторы матрицы D, соответствующие собственным
числам λi , и через gi (i = 1, . . . , m) — собственные векторы матрицы D∗ , соответствующие собственным числам λi , нормированные таким образом, что di∗ gi = 1, di∗ gj = 0
(i = j). Пусть
G = g1 , . . . , gm , W = d1 , . . . , dm .
Следуя [4], возьмем функцию Ляпунова в виде
Vk = yk∗ GG∗ yk = G∗ yk 2 .
(18)
В силу системы (17) справедливо соотношение
Vk+1 = yk∗ D∗ GG∗ Dyk + mk ,
(19)
где mk = 2ψk qk1∗ GG∗ yk . Спектральное представление матрицы D имеет вид
D = W ΛG∗ ,
Поэтому
где Λ = diag(λ1 , . . . , λm ).
D∗ GG∗ D = GΛW ∗ GG∗ W ΛG∗ = GΛ2 G∗ ,
(20)
поскольку W ∗ G = I ввиду нормировки векторов gi . Оценим mk следующим образом:
|mk | ≤ μG∗ yk 2 +
1
|ψk |2 gk1∗ G2 ,
μ
(21)
где μ — положительный параметр, который будет выбран ниже. Из (18)–(21) вытекает
оценка
(22)
Vk+1 ≤ δVk + κϕk ,
где
δ = μ + max λ2k ,
k
20
κ=
1
sup gk1 ∗ G2 ,
μ k
ϕk = ψk2 .
Из неравенства (22) следует соотношение
Vn ≤ δ n V0 + κβn ,
(23)
где βn = δ n−1 ϕ0 + δ n−2 ϕ1 + . . . + δ k ϕn−1−k + δ k−1 ϕn−k + . . . + δϕn−2 + ϕn−1 .
Выберем числа λi и μ так, чтобы δ < 1. Оценим βn следующим образом:
βn ≤ δ k (δ n−1−k + . . . + δ + 1) sup ϕi + (1 + δ + . . . + δ k−1 ) sup ϕi ≤
i≥1
δk
1
sup ϕi +
sup ϕi .
≤
1 − δ i≥1
1 − δ i≥n−k
i≥n−k
Теперь по любому ε > 0 фиксируем k столь большим, чтобы
δk
sup ϕi < ε.
1 − δ i≥1
Затем выберем N таким, чтобы при n > N выполнялась оценка
1
1
sup ϕi <
lim sup ϕn + ε.
1 − δ i≥n−k
1 − δ n→∞
Тогда при n > N из (23) вытекает неравенство
Vn ≤ δ n V0 + 2κε +
κ
lim sup ϕn .
1 − δ n→∞
В силу произвольности ε получаем оценку
lim sup Vn ≤
n→∞
κ
lim sup ψn2 ,
1 − δ n→∞
из которой ввиду соотношений (10), (13) вытекает свойство (3). Таким образом получен
следующий результат.
Теорема. Предположим, что управления u1 и u2 в системе (1) выбраны по формулам (2), (3), (8), (16) и выполнены условия (7), (14). Тогда любое решение системы
(1) обладает свойствами (4), (5).
Summary
I. E. Zuber, A. Kh. Gelig. Invariant stabilization of discrete nonstationary systems with external
action.
The linear discrete nonstationary control system with measurable external action is considered. The solution of the problem of synthesis of two-dimensional control, providing the invariant
stabilization of closed system, is presented.
Литература
1. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. № 2. С. 3–13.
1985; № 2. С. 3–14; № 6. С. 3–14.
2. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания
// ДАН СССР. 1995. Т. 343. № 2. С. 172–175.
21
3. Зубер И. Е. Стабилизация дискретных систем при управлении по выходу // Автоматика
и телемеханика. 2003. № 3. С. 85–97.
4. Зубер И. Е., Якубович Е. Д. О модальном подходе к стабилизации дискретных нелинейных систем управления // Известия ВУЗ, 1989. № 11. С. 35–37.
Статья поступила в редакцию 13 апреля 2005 г.
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
214 Кб
Теги
минимальными, дефекты, приближение, сплайнами, максимальной, минимальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа