close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных Ф-пространствах порядка 6.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 4, c. 89–98
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0037
А.С. САМСОНОВ
ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ И ЭРМИТОВЫ f -СТРУКТУРЫ
НА ОДНОРОДНЫХ Φ-ПРОСТРАНСТВАХ ПОРЯДКА 6
Аннотация. Рассмотрены произвольные естественно редуктивные однородные Φ-пространства
порядка 6. Для канонических f -структур на этих пространствах получены необходимые и
достаточные условия принадлежности таким классам обобщенной эрмитовой геометрии как
приближенно келеровы и эрмитовы f -структуры.
Ключевые слова: естественно редуктивное пространство, инвариантная f -структура, обобщенная эрмитова геометрия, однородное Φ-пространство, однородное симметрическое пространство, каноническая f -структура.
УДК: 514.765
Abstract. In this paper we consider the canonical f -structures on arbitrary naturally reductive
homogeneous Φ-spaces of order 6. We obtain the necessary and sufficient conditions under which
these structures belong to classes of a generalized Hermitian geometry such as nearly Kähler and
Hermitian f -structures.
Keywords: naturally reductive space, invariant f -structure, generalized Hermitian geometry, homogeneous periodic Φ-space, generalized symmetric space, canonical f -structure.
1. Введение
Аффинорные структуры в значительной степени характеризуют геометрию гладких многообразий. Почти контактные структуры, структуры почти произведения, почти комплексные структуры и серия других структур являются классическими объектами исследований.
С 1960-х годов важную роль в этой серии начинают играть f -структуры в смысле К. Яно
(f 3 + f = 0 [1], [2]), которые обобщают почти комплексные и почти контактные структуры. С середины 1980-х годов f -структуры становятся важнейшим объектом в обобщенной
эрмитовой геометрии (например, [3]–[5]).
Изучение инвариантных аффинорных структур является также одним из основных направлений при исследовании геометрии однородных многообразий групп Ли. Значительное
место здесь занимают однородные Φ-пространства (например, [6]–[8]), в иной терминологии, обобщенные симметрические пространства ([9], с. 23), поскольку такие пространства обладают нетривиальным запасом инвариантных структур. Например, однородные
Φ-пространства порядка 3 (однородные 3-симметрические пространства [9]) обладают хорошо известной канонической почти комплексной структурой ([10], [7]) J = √13 (θ−θ 2 ). Позднее оказалось, что регулярные Φ-пространства (в частности, однородные k-симметрические
Поступила 29.10.2009
89
90
А.С. САМСОНОВ
пространства) содержат обширную серию канонических структур классического типа, которые также включают f -структуры [11], [12]. В случае однородных k-симметрических пространств такие структуры можно описать алгебраическим путем, используя автоморфизм
Φ [11]. Это дало возможность увеличить ресурс однородных многообразий с инвариантными
почти эрмитовыми структурами и серию инвариантных примеров в обобщенной эрмитовой
геометрии [13]–[19].
Отметим, что для однородных Φ-пространств порядков 3, 4, 5 известны следующие сведения о принадлежности канонических f -структур такому классу обобщенной эрмитовой геометрии как приближенно келеровы f -структуры (класс NKf ). Каноническая f -структура
на естественно редуктивном однородном Φ-пространстве порядка 3 является приближенно
келеровой [20], [21]. Естественным развитием [22] этого факта стали результаты о том, что
каноническая f -структура на однородном Φ-пространстве порядка 4 и обе базовые канонические f -структуры на однородном Φ-пространстве порядка 5 принадлежат классу NKf в
случае естественно редуктивной метрики.
В связи с указанными результатами в данной работе рассматриваются произвольные однородные Φ-пространства порядка 6. Для канонических f -структур на рассматриваемых
Φ-пространствах в случае естественно редуктивной метрики доказаны необходимые и достаточные условия принадлежности классу NKf. Для канонических NKf-структур получен
также критерий эрмитовости (класс Hf ). Указаны примеры Φ-пространств порядка 6, иллюстрирующие полученные результаты.
2. Приближенно келеровы и эрмитовы f -структуры
Известно, что f -структурой на гладком многообразии M порождаются два взаимно дополнительных распределения L = Im f и M = Ker f . Их называют первым и вторым фундаментальными распределениями f -структуры, а размерности этих распределений — рангом
и дефектом f -структуры соответственно. Частные случаи размерности распределения M
дают почти комплексную (если def f = 0) и почти контактную (если def f = 1) структуры.
Пусть (M, g = ·, ·) — (псевдо)риманово многообразие, тогда f -структура на M называется метрической [3], если f X, Y + X, f Y = 0 ∀X, Y ∈ X(M ) (X(M ) — модуль гладких
векторных полей на M ). Случай def f = 0 для метрических f -структур приводит также к
почти эрмитовым структурам.
Композиционный тензор T типа (2, 1) играет фундаментальную роль в геометрии метрических f -структур. С его помощью можно ввести структуру так называемой присоединенной Q-алгебры в X(M ) по формуле X ∗ Y = T (X, Y ) [4], [3], причем вид тензора T хорошо
известен [4], [3]:
1 T (X, Y ) = f ∇f X (f )f Y − ∇f 2 X (f )f 2 Y ,
4
где ∇ — связность Леви-Чивита (псевдо)риманова многообразия (M, g), X, Y ∈ X(M ).
С помощью свойств этой Q-алгебры можно определить некоторые классы метрических
f -структур. Опишем два из них. Метрическая f -структура называется приближенно келеровой f -структурой (NKf-структурой: Nearly Kähler f -structure), если ∇f X (f )f X = 0
для всех X ∈ X(M ) [22]. Если присоединенная Q-алгебра X(M ) абелева (т. е. T (X, Y ) = 0),
то метрическая f -структура называется эрмитовой f -структурой (т. е. Hf-структурой:
Hermitian f -structure) [3]. Классы NKf и Hf в частном случае def f = 0 дают хорошо известные классы почти эрмитовых структур — приближенно келеровы NK и эрмитовы H
соответственно (например, [5]).
ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ И ЭРМИТОВЫ f -СТРУКТУРЫ
91
Рассмотрим теперь инвариантные метрические f -структуры на однородных многообразиях. Пусть G/H – однородное редуктивное пространство связной группы Ли G, g = h⊕m —
соответствующее редуктивное разложение алгебры Ли g группы G, g = ·, · — инвариантная (псевдо)риманова метрика на G/H, подпространство m отождествляется, как обычно,
с касательным пространством To (G/H) в точке o = H. Поскольку инвариантные метрические f -структуры определяются своими значениями в точке o = H, условимся не различать
в обозначениях инвариантные структуры на G/H и их значения в этой точке. Известно [23],
что метрика ·, · на G/H называется естественно редуктивной относительно редуктивного разложения g = h ⊕ m, если [X, Y ]m, Z = X, [Y, Z]m ∀X, Y, Z ∈ m.
Для естественно редуктивных однородных пространств критерием принадлежности инвариантной метрической f -структуры классу NKf является условие [22]
[f Y, f 2 Y ] ∈ h для всех Y ∈ m.
(1)
Критерий принадлежности классу Hf для приближенно келеровых f -структур указывает
Теорема 1 ([24]). Пусть (G/H, g, f ) — естественно редуктивное пространство с инвариантной NKf-структурой, g = h ⊕ m — соответствующее редуктивное разложение, где
m = Im f ⊕Ker f . Структура f является эрмитовой f -структурой тогда и только тогда,
когда выполняется условие [Im f, Im f ] ⊂ Ker f ⊕ h.
Будем использовать условие (1) и теорему 1 для исследования канонических f -структур
на однородных Φ-пространствах порядка 6.
3. Канонические f -структуры на однородных Φ-пространствах
Рассмотрим связную группу Ли G с заданным автоморфизмом Φ. Обозначим через GΦ
подгруппу неподвижных точек автоморфизма Φ, через GΦ
0 — компоненту единицы подΦ
группы G . Пространство G/H называется однородным Φ-пространством [8], если H —
Φ
замкнутая подгруппа в G и GΦ
0 ⊂H ⊂G .
Пусть G/H — однородное Φ-пространство порядка k (Φk = id), g и h — соответствующие
алгебры Ли, ϕ = dΦe — автоморфизм алгебры g. Известно [6], что пространство G/H
редуктивно с каноническим редуктивным разложеним g = h ⊕ m, где m = (ϕ − id)g. Будем
обозначать θ = ϕ|m.
Известно, что для однородного многообразия G/H множество A всех инвариантных аффинорных структур является алгеброй над R. Пусть F — инвариантный аффинор на G/H.
Тогда F полностью определяется значением Fo в точке po = H, где структура Fo инвариантна относительно Ad(H) (поэтому будем применять одни и те же обозначения для F и
Fo ). Инвариантная аффинорная структура F на регулярном Φ-пространстве G/H называется канонической [11], если ее значение Fo является полиномом от θ. Очевидно, алгебра
A(θ) канонических аффинорных структур является коммутативной подалгеброй в A.
Будем использовать обозначение
n,
если k = 2n + 1;
u=
n − 1, если k = 2n,
в следующей теореме для нахождения канонических f -структур среди элементов алгебры
A(θ) в случае однородных Φ-пространств порядка k.
92
А.С. САМСОНОВ
Теорема 2 ([11]). Пусть G/H — Φ-пространство порядка k (k ≥ 3). Все канонические
f -структуры на G/H могут быть заданы операторами
u u
2πmj
2 (θ m − θ k−m ),
ζj sin
f=
k
k
m=1
j=1
где ζj ∈ {−1, 0, 1}, j = 1, 2, . . . u, причем среди чисел ζj есть отличные от нуля.
Например, при k = 3 теорема 2 дает хорошо известную почти комплексную структуру
J = √13 (θ − θ 2 ), а при k = 4 — структуру f = 12 (θ − θ 3 ). Как уже отмечалось, обе структуры
принадлежат классу приближенно келеровых f -структур в случае естественно редуктивной
метрики ([20], [22]).
Отметим, что f -структуры fj , определяемые наборами (ζ1 , . . . , ζj , . . . , ζu ), в которых ζj =
1, а остальные числа равны нулю, называются базовыми каноническими f -структурами.
4. Коммутаторные соотношения для однородных Φ-пространств порядка 6
Для произвольного однородного Φ-пространства порядка 6 запишем разложение канонического редуктивного дополнения m в соответствии с автоморфизмом ϕ (ϕ6 = id):
m = m1 ⊕ m2 ⊕ m3 ,
m|(θ 2 −θ +1)X
(2)
= 0}, m2 ={X ∈
= 0}, m3 ={X ∈ m|(θ +1)X = 0}.
где m1 ={X ∈
Для подпространств разложения (2) справедливы следующие утверждения.
m|(θ 2 +θ +1)X
Лемма 1. Если X ∈ g, то X ∈ m1 ⊕ m3 тогда и только тогда, когда ϕ3 X = −X.
Лемма 2. Если X ∈ g, то X ∈ h ⊕ m2 тогда и только тогда, когда ϕ3 X = X.
Доказательства лемм 1 и 2 очевидны, поскольку автоморфизм ϕ имеет порядок 6.
Теорема 3. Пусть G/H — однородное Φ-пространство порядка 6, m — соответствующее
каноническое редуктивное дополнение. Тогда для подпространств разложения (2) имеют
место следующие коммутаторные соотношения:
[m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h,
[m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h, [m3 , m3 ] ⊂ h,
[m1 , m2 ] ⊂ m1 ⊕ m3 , [m1 , m3 ] ⊂ m2 ,
[m2 , m3 ] ⊂ m1 .
Доказательство. Возьмем произвольные элементы из подпространств разложения (2) и
докажем каждое из соотношений, используя леммы 1, 2 и свойства скобки Ли.
Получим следующие переходы: ϕ3 [X1 , Y1 ]m = [θ 3 X1 , θ 3 Y1 ]m = [−X1 , −Y1 ]m = [X1 , Y1 ]m ⇒
[X1 , Y1 ]m ∈ m2 ⇒ [X1 , Y1 ] ∈ h ⊕ m2 при X1 , Y1 ∈ m1 ;
ϕ3 [X2 , Y2 ]m = [θ 3 X2 , θ 3 Y2 ]m = [X2 , Y2 ]m ⇒ [X2 , Y2 ]m ∈ m2 ⇒ [X2 , Y2 ] ∈ h ⊕ m2 при X2 , Y2 ∈
m2 .
ϕ[X3 , Y3 ] = [θX3 , θY3 ] = [−X3 , −Y3 ] = [X3 , Y3 ] ⇒ [X3 , Y3 ] ∈ h при X3 , Y3 ∈ m3 .
Отметим, что в оставшихся случаях h-компонента скобок Ли тривиальна (это следует из
лемм 1, 2 и равенства (2)).
Будем иметь ϕ3 [X1 , Y2 ] = [θ 3 X1 , θ 3 Y2 ] = [−X1 , Y2 ] = −[X1 , Y2 ] ⇒ [X1 , Y2 ] ∈ m1 ⊕ m3 при
X1 ∈ m1 , Y2 ∈ m2 ;
(ϕ2 + ϕ)[X1 , Y3 ] = [θ 2 X1 , θ 2 Y3 ] + [θX1 , θY3 ] = [θ 2 X1 , Y3 ] + [θX1 , −Y3 ] = [θ 2 X1 − θX1 , Y3 ] =
−[X1 , Y3 ] ⇒ [X1 , Y3 ] ∈ m2 при X1 ∈ m1 , Y3 ∈ m3 ;
(ϕ2 − ϕ)[X2 , Y3 ] = [θ 2 X2 , θ 2 Y3 ] − [θX2 , θY3 ] = [θ 2 X2 , Y3 ] − [θX2 , −Y3 ] = [θ 2 X2 + θX2 , Y3 ] =
−[X2 , Y3 ] ⇒ [X2 , Y3 ] ∈ m1 при X2 ∈ m2 , Y3 ∈ m3 .
ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ И ЭРМИТОВЫ f -СТРУКТУРЫ
93
Следствие. Подпространства h ⊕ m2 , h ⊕ m3 суть подалгебры Ли в g.
Заметим, что указанные в теореме 3 соотношения получены в несколько иной форме в
работе [25]. В этой работе, в частности, получены критерии интегрируемости канонических
f -структур.
5. Приближенно келеровы канонические f -структуры
на однородных Φ-пространствах порядка 6
Используя теорему 2, запишем формулы всех канонических f -структур (с точностью до
знака) в случае однородных Φ-пространств порядка 6:
√
√
3
3
2
4
5
(θ + θ − θ − θ ), f2 =
(θ − θ 2 + θ 4 − θ 5 ), f3 = f1 + f2 , f4 = f1 − f2 .
f1 =
6
6
Докажем вспомогательные утверждения для элементов из подпространств разложения (2).
Лемма 3. [Xi , θXi ] ∈ h для всех Xi ∈ mi , i = 1, 2.
Доказательство. Пусть X1 ∈ m1 (для X2 ∈ m2 доказательство аналогичное). Учитывая
разложение (2) и свойства коммутатора, имеем
ϕ[X1 , θX1 ] = [θX1 , θ 2 X1 ] = [θX1 , (θ − 1)X1 ] = [θX1 , θX1 ] − [θX1 , X1 ] = [X1 , θX1 ].
Итак, ϕ[X1 , θX1 ] = [X1 , θX1 ] ⇒ [X1 , θX1 ] ∈ h.
Лемма 4. θZ + Z ∈ m1 для всех Z ∈ m1 ⊕ m3 .
Доказательство. Пусть Z ∈ m1 ⊕ m3 , т. е. Z = Z1 + Z3 для некоторых Z1 ∈ m1 , Z3 ∈ m3 .
Получим
θZ + Z = θ(Z1 + Z3 ) + (Z1 + Z3 ) = (θZ1 + Z1 ) + (θZ3 + Z3 ) =
= (θZ1 + Z1 ) + (−Z3 + Z3 ) = θZ1 + Z1 ⇒ θZ + Z ∈ m1 .
Лемма 5. [θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ] ∈ m3 для всех X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 .
Доказательство. Для произвольных X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 будем иметь
θ([θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ]) = [θ 2 X1 , θX2 ] + [θX1 , θ 2 X2 ] =
= [(θ − 1)X1 , θX2 ] + [θX1 , (−θ − 1)X2 ] = −([θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ]).
Итак, θ([θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ]) = −([θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ]), т. е. [θX1 , X2 ] + [X1 , θX2 ] ∈ m3 .
√
Лемма 6. f1 X1 =
3
3 (2θ
− 1)X1 , f2 X2 =
√
3
3 (2θ
+ 1)X2 для всех X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 .
получим
f X =
Доказательство.
Для структуры
f (для f2 доказательство аналогичное)
√
√ 1
√
√ 1 1
3
3
3
3
2
4
5
2
2
2
6 (θX1 + θ X1 − θ X1 − θ X1 ) = 6 (θX1 + θ X1 + θX1 + θ X1 ) = 3 (θX1 + θ X1 ) = 3 (θX1 +
θX1 − X1 ) =
√
3
3 (2θ
− 1)X1 .
Для указанных f -структур докажем три теоремы.
Теорема 4. На естественно редуктивном однородном Φ-пространстве (G/H, g) порядка 6
обе канонические базовые f -структуры f1 , f2 являются NKf-структурами.
94
А.С. САМСОНОВ
Доказательство. Возьмем произвольный элемент X ∈ m, X = X1 + X2 + X3 (элементы
X1 , X2 , X3 принадлежат соответствующим подпространствам разложения (2)). Докажем
утверждения теоремы, используя критерий (1), коммутаторные соотношения из теоремы 3
и свойства скобки Ли.
Для структуры f1 покажем, что [f1 X, f12 X] ∈ h:
√
√
√
2 3
3
2 3
2
2
(2θ − 1)X1 , −X1 = −
[θX1 , X1 ] =
[X1 , θX1 ].
[f1 X, f1 X] = [f1 X1 , f1 X1 ] =
3
3
3
Поскольку [X1 , θX1 ] ∈ h (по лемме 3), то [f1 X, f12 X] ∈ h, т. е. структура f1 является NKfструктурой в естественно редуктивном случае.
Для структуры f2 аналогично покажем, что [f2 X, f22 X] ∈ h:
√
√
3
2 3
2
2
(2θ + 1)X2 , −X2 =
[X2 , θX2 ] ∈ h.
[f2 X, f2 X] = [f2 X2 , f2 X2 ] =
3
3
Теорема 5. На естественно редуктивном однородном Φ-пространстве (G/H, g) порядка 6 каноническая структура f3 является NKf-структурой тогда и только тогда, когда
[m1 , m2 ] ⊂ m3 .
Доказательство. Возьмем произвольный элемент X ∈ m, X = X1 + X2 + X3 , X1 ∈ m1 ,
X2 ∈ m2 , X3 ∈ m3 .
Рассмотрим структуру f3 = f1 + f2 и коммутатор [f3 X, f32 X] для проверки критерия (1).
Имеем
[f3 X, f32 X] = [(f1 + f2 )X, (f1 + f2 )2 X] = [f1 X1 + f2 X2 , f12 X1 + f22 X2 ] =
= [f1 X1 , f12 X1 ] + [f2 X2 , f22 X2 ] + [f2 X2 , f12 X1 ] + [f1 X1 , f22 X2 ].
По теореме 4 структуры f1 и f2 являются приближенно келеровыми. Поэтому
[f1 X1 , f12 X1 ] + [f2 X2 , f22 X2 ] ∈ h.
Рассмотрим теперь сумму [f2 X2 , f12 X1 ] + [f1 X1 , f22 X2 ]. Получим
√
√
3
3
2
2
(2θ + 1)X2 , −X1 +
(2θ − 1)X1 , −X2 =
[f2 X2 , f1 X1 ] + [f1 X1 , f2 X2 ] =
3
3
√
√
2 3
2 3
([θX2 , X1 ] − [X2 , θX1 ] + [X2 , X1 ]) = −
([θX2 , X1 ] + [X2 , (−θ + 1)X1 ]) =
=−
3
3
√
√
2 3
2 3
2
([θX2 , X1 ] − [X2 , θ X1 ]) =
(θ[X2 , θ 2 X1 ] + [X2 , θ 2 X1 ]).
=−
3
3
Итак,
√
2 3
2
(θ[X2 , θ 2 X1 ] + [X2 , θ 2 X1 ]).
(3)
[f3 X, f3 X]m =
3
Согласно лемме 4, приняв Z = [X2 , θ 2 X1 ] (Z ∈ m1 ⊕ m3 из коммутаторных соотношений
теоремы 3), получим, что θ[X2 , θ 2 X1 ] + [X2 , θ 2 X1 ] ∈ m1 . Тогда по теореме 3
[m1 , m2 ] ⊂ m3 ⇒ θ[X2 , θ 2 X1 ] + [X2 , θ 2 X1 ] = 0 ∈ h.
Таким образом, учитывая критерий (1), для f3 запишем импликацию
[m1 , m2 ] ⊂ m3 ⇒ [f3 X, f32 X] ∈ h ∀X ∈ m (т.е. f3 — NKf-структура).
Докажем обратное утверждение. Если [m1 , m2 ] m3 , то в силу невырожденности операторов θ + 1, θ 2 на m1 существуют такие X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 , что [X2 , θ 2 X1 ]m1 = 0, а значит,
ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ И ЭРМИТОВЫ f -СТРУКТУРЫ
95
θ[X2 , θ 2 X1 ]m1 + [X2 , θ 2 X1 ]m1 = 0. В силу (3) [m1 , m2 ] m3 ⇒ ∃X ∈ m и [f3 X, f32 X]m = 0. Это
доказывает обратное утверждение для f3 : [f3 X, f32 X] ∈ h ∀X ∈ m ⇒ [m1 , m2 ] ⊂ m3 .
Теорема 6. Для естественно редуктивного однородного Φ-пространства (G/H, g) порядка 6 следующие условия эквивалентны:
1) структура f4 = f1 − f2 является NKf-структурой,
2) [m1 , m2 ] ⊂ m1 ,
3) h ⊕ m1 ⊕ m2 — подалгебра Ли в g.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент X ∈ m, X = X1 + X2 + X3 , X1 ∈ m1 ,
X2 ∈ m2 , X3 ∈ m3 .
2) ⇒ 1). Рассмотрим структуру f4 = f1 − f2 и коммутатор [f4 X, f42 X] для проверки
критерия (1). Имеем
[f4 X, f42 X] = [(f1 − f2 )X, (f1 − f2 )2 X] = [f1 X1 − f2 X2 , f12 X1 + f22 X2 ] =
= [f1 X1 , f12 X1 ] − [f2 X2 , f22 X2 ] − [f2 X2 , f12 X1 ] + [f1 X1 , f12 X2 ].
По теореме 4 структуры f1 и f2 являются приближенно келеровыми. Поэтому
[f1 X1 , f12 X1 ] − [f2 X2 , f22 X2 ] ∈ h.
Рассмотрим теперь сумму −[f2 X2 , f12 X1 ] + [f1 X1 , f12 X2 ]. Получим
√
−
[f2 X2 , f12 X1 ] +
[f1 X1 , f22 X2 ]
=−
Итак,
[f4 X, f42 X]m
√
3
3
(2θ + 1)X2 , −X1 +
(2θ − 1)X1 , −X2 =
3
3
√
2 3
([θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ]).
=
3
√
2 3
([θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ]).
=
3
(4)
В силу леммы 5 [θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ] ∈ m3 . Тогда по теореме 3
[m1 , m2 ] ⊂ m1 ⇒ [θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ] = 0 ∈ h.
Таким образом, учитывая критерий (1), для f4 доказали импликацию 2) ⇒ 1):
[m1 , m2 ] ⊂ m1 ⇒ [f4 X, f42 X] ∈ h ∀X ∈ m (т.е. f4 — NKf-структура).
1) ⇒ 2). Если [m1 , m2 ] m1 , то в силу невырожденности оператора θ + 1 на m1 , m2
существуют такие X1 ∈ m1 , X2 ∈ m2 , что [θX2 + X2 , θX1 + X1 ]m3 = 0. Тогда 0 = [θX2 +
X2 , θX1 + X1 ]m3 = ([θX2 , θX1 ] + [X2 , X1 ] + [θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ])m3 = (θ[X2 , X1 ] + [X2 , X1 ] +
[θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ])m3 = ([θX2 , X1 ] + [X2 , θX1 ])m3 (по лемме 4). Учитывая (4), получаем
[m1 , m2 ] m1 ⇒ ∃X ∈ m и [f4 X, f42 X]m = 0. Это доказывает импликацию 1) ⇒ 2) для f4 :
[f4 X, f42 X] ∈ h ∀X ∈ m (т.е. f4 — NKf-структура) ⇒ [m1 , m2 ] ⊂ m1 .
Итак, условия 1) и 2) эквивалентны, а из коммутаторных соотношений теоремы 3 следует
эквивалентность условий 2) и 3).
96
А.С. САМСОНОВ
6. Эрмитовы канонические f -структуры
на однородных Φ-пространствах порядка 6
Перейдем к исследованию принадлежности канонических f -структур на естественно редуктивных однородных Φ-пространствах порядка 6 классу Hf. Будем рассматривать указанные в предыдущем разделе канонические f -структуры f1 , . . . , f4 .
Для канонических базовых f -структур f1 , f2 получена
Теорема 7. На естественно редуктивном однородном Φ-пространстве (G/H, g) порядка 6
каноническая структура f1 является эрмитовой f -структурой, а структура f2 принадлежит классу Hf тогда и только тогда, когда выполняется условие [m2 , m2 ] ⊂ h.
Доказательство. По теореме 4 обе канонические базовые f -структуры f1 , f2 принадлежат
классу NKf. Поэтому для структур f1 , f2 исследуем условие [Im f, Im f ] ⊂ Ker f ⊕ h из
теоремы 1, равносильное принадлежности классу Hf в данном случае. Имеем
Im f1 = m1 , Ker f1 = m2 ⊕ m3 , Im f2 = m2 , Ker f2 = m1 ⊕ m3 .
В силу теоремы 3 [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h, [m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h. Тогда
[Im f1 , Im f1 ] = [m1 , m1 ] ⊂ m2 ⊕ h ⊂ Ker f1 ⊕ h;
[Im f2 , Im f2 ] = [m2 , m2 ] ⊂ m2 ⊕ h ⊂ Ker f2 ⊕ h ⇐⇒ [m2 , m2 ] ⊂ h.
Для суммы и разности базовых f -структур справедлива
Теорема 8. Пусть (G/H, g) — естественно редуктивное однородное Φ-пространство порядка 6, f3 и f4 — канонические f -структуры на этом пространстве. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) NKf-структура f3 является эрмитовой f -структурой тогда и только тогда, когда
выполняются условия
[m1 , m1 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ h;
2) NKf-структура f4 является эрмитовой f -структурой тогда и только тогда, когда
выполняются условия
[m1 , m1 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ h, [m1 , m2 ] = 0.
Доказательство. Если f -структура принадлежит классу NKf, то ее принадлежность классу Hf согласно теореме 1 равносильна в естественно редуктивном случае условию [Im f, Im f ] ⊂
Ker f ⊕ h. Отметим, что Im f = m1 ⊕ m2 , Ker f = m3 для структур f3 , f4 .
Пусть структура f3 принадлежит классу NKf, как дано в условии теоремы. Согласно
теореме 5 это равносильно условию [m1 , m2 ] ⊂ m3 . Тогда, используя теорему 3, имеем
[Im f3 , Im f3 ] = [m1 ⊕ m2 , m1 ⊕ m2 ] ⊂ [m1 , m2 ] + [m1 , m1 ] + [m2 , m2 ] ⊂
⊂ Ker f3 ⊕ h ⇐⇒ [m1 , m1 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ h.
Пусть структура f4 принадлежит классу NKf, как дано в условии теоремы. В силу теоремы 6 это равносильно условию [m1 , m2 ] ⊂ m1 . Тогда, используя теорему 3, имеем
[Im f4 , Im f4 ] = [m1 ⊕ m2 , m1 ⊕ m2 ] ⊂ [m1 , m2 ] + [m1 , m1 ] + [m2 , m2 ] ⊂
⊂ Ker f4 ⊕ h ⇐⇒ [m1 , m1 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ h, [m1 , m2 ] = 0.
ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ И ЭРМИТОВЫ f -СТРУКТУРЫ
97
7. Приближенно келеровы и эрмитовы f -структуры
на однородных Φ-пространствах порядка 6
псевдоортогональных групп O(2, n)
↑
(2, 2) псевдоортоВ качестве примера рассмотрим связную компоненту единицы G = O+
гональной группы O(2, 2). Возьмем внутренний автоморфизм
где s = diag {J, I1,1 }, J =
1
2
√
− 23
Φ : G → G, g → sgs−1 ,
3
2
, I1,1 = diag {1, −1}. Легко проверить, что автомор1
√
2
физм Φ имеет порядок 6, соответствующий автоморфизм алгебры Ли
имеет порядок 6, при этом ϕ(X) = sXs−1 (X ∈ g). Известно
0 a
b1 b3
0
A B , B=
, C=
g=
A =
t
−a 0
b2 b4
−c
B C g = o(2, 2) также
c
.
0
Проверкой получаем, что клетка A соответствует подалгебре h, клетки bb12 , bb34 , C соответствуют подпространствам m1 , m2 , m3 разложения (2) для алгебры g, причем выполняются соотношения [m1 , m1 ] ⊂ h, [m2 , m2 ] ⊂ h, [m1 , m2 ] ⊂ m3 и [m1 , m2 ] = {0}.
В силу теорем 4–6 структуры f1 , f2 , f3 являются приближенно келеровыми для рассмотренного случая, а структура f4 не принадлежит классу NKf. Такой же результат анало↑
(2, n) (n > 2) и элемента s = diag {J, I1,n−1 }. Заметим,
гично получаем для группы G = O+
что этот результат получен для указанных Φ-пространств при непосредственной проверке
критерия (1) в работе [26].
↑
(2, 2) структуры
Применив теперь теоремы 7, 8, получим, что в случае группы G = O+
f1 , f2 , f3 являются эрмитовыми f -структурами.
Автор выражает благодарность научному руководителю Виталию Владимировичу Балащенко за консультации во время проведения исследований и ценные советы при написании
данной работы.
Литература
[1] Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type (1, 1) satisfying f 3 + f = 0, Tensor 14, 99–109
(1963).
[2] Яно К., Кон М. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях (Наука, М., 1990).
[3] Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий, Итоги науки и техн. Проб. геом. ВИНИТИ АН СССР 18, 25–71 (1986).
[4] Кириченко В.Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры, Изв. АН
СССР. Сер. матем. 47 (6), 1208–1223 (1983).
[5] Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях (МПГУ, М., 2003).
[6] Степанов Н.А. Основные факты теории ϕ-пространств, Изв. вузов. Математика, № 3, 88–95 (1967).
[7] Wolf J.A., Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms, J. Diff. Geom. 2 (1–2), 77–159
(1968).
[8] Феденко А.С. Пространства с симметриями (Изд-во Белорусского ун-та, Минск, 1977).
[9] Ковальский О. Обобщенные симметрические пространства (Мир, М., 1984).
[10] Степанов Н.А. Однородные 3-циклические пространства, Изв. вузов. Математика, № 12, 65–74 (1967).
[11] Балащенко В.В., Степанов Н.А. Канонические аффинорные структуры классического типа на регулярных Φ-пространствах, Матем. сб. 186 (11), 3–34 (1995).
[12] Балащенко В.В. Канонические f -структуры гиперболического типа на регулярных Φ-пространствах,
УМН 53 (4), 213–214 (1998).
[13] Балащенко В.В. Естественно редуктивные киллинговы f -многообразия, УМН 54 (3), 151–152 (1999).
[14] Балащенко В.В. Однородные эрмитовы f -многообразия, УМН 56 (3), 159–160 (2001).
98
А.С. САМСОНОВ
[15] Балащенко В.В. Однородные приближенно келеровы f -многообразия, Докл. РАН 376 (4), 439–441
(2001).
[16] Чурбанов Ю.Д. Геометрия однородных Φ-пространств порядка 5, Изв. вузов. Математика, № 5, 70–81
(2002).
[17] Балащенко В.В., Вылегжанин Д.В. Обобщенная эрмитова геометрия на однородных Φ-пространствах
конечного порядка, Изв. вузов. Математика, № 10, 33–44 (2004).
[18] Balashchenko V.V. Invariant structures generated by Lie group automorphisms on homogeneous spaces, Proc.
of the Workshop “Contemporary Geometry and Related Topics” (Belgrade, Yugoslavia, May 15–21, 2002),
N. Bokan, M. Djoric, A.T. Fomenko, Z. Rakic, J. Wess (Editors) (World Scientific, 2004), pp. 1–32.
[19] Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория
и приложения (Полиграфист, Ханты-Мансийск, 2008).
[20] Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3, J. Diff. Geom. 7 (3–4), 343–369 (1972).
[21] Кириченко В.Ф. О геометрии однородных K-пространств, Матем. заметки. 30 (4), 569–582 (1981).
[22] Balashchenko V.V. Invariant nearly Kähler f -structures on homogeneous spaces, Global Differential
Geometry: The mathematical legacy of Alfred Gray. Contemporary Mathematics 288, 263–267 (2001).
[23] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 (Наука, М., 1981).
[24] Балащенко В.В. Инвариантные f -структуры на естественно редуктивных однородных пространствах, Изв. вузов. Математика, № 4, 3–15 (2008).
[25] Чурбанов Ю.Д. Интегрируемость канонических аффинорных структур однородных периодических
Φ-пространств, Изв. вузов. Математика, № 8, 43–57 (2008).
[26] Самсонов А.С. Однородные Φ-пространства псевдоортогональных групп O(2, k), Вестн. БГУ. Сер. 1.
Матем. Физ. Информ., № 3, 112–118 (2007).
А.С. Самсонов
аспирант, кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики,
Белорусский государственный университет,
пр. Независимости, д. 4, г. Минск, 220030, Республика Беларусь,
e-mail: Andrey.S.Samsonov@gmail.com
A.S. Samsonov
Postgraduate, Chair of Geometry, Topology and Mathematics Teaching Pronciples,
Belarussian State University,
4 Nezavisimosti Ave., Minsk, 220030 Belarus,
e-mail: Andrey.S.Samsonov@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
218 Кб
Теги
однородные, структура, приближение, пространство, келеровы, порядке, эрмитовых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа