close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенные методы определения собственных частот колебаний проводов многопролетных линий электропередач.

код для вставкиСкачать
УДК 531.391.3
О. А. И в а н о в а
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ
ПРОВОДОВ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ЛИНИЙ
ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ
Рассмотрены собственные частоты и формы малых свободных
колебаний проводов воздушных линий электропередачи в плоскости
начального провисания. В качестве математической модели провода принята модель растяжимой нити. Получены алгебраические
уравнения, из которых можно приближенно определить собственные частоты колебаний многопролетных ЛЭП. В частном случае
одного пролета построенное уравнение совпадает с известным в
литературе. Численно определены несколько низших собственных
частот и форм колебаний двухпролетной линии методом сагиттарной функции. Вычисленная первая частота колебаний линии,
состоящей из двух одинаковых пролетов, совпадает с известной из
литературы частотой, полученной в результате анализа нелинейных колебаний линии.
E-mail: ivanovaolgaal@mail.ru
Ключевые слова: собственная частота, провод, многопролетная ЛЭП.
Определение собственных частот и форм малых свободных колебаний проводов воздушных линий электропередачи (ЛЭП) — важный этап исследования их динамики. Бо́льшая часть опор ЛЭП — это
промежуточные опоры, не полностью ограничивающие перемещения
концов провода, что приводит к взаимосвязи колебаний проводов в
соседних пролетах и может существенно повлиять на собственные
частоты линии.
Для определения низших собственных частот колебаний в качестве
математической модели провода, как правило, принимают модель нити, или абсолютно гибкого стержня [1]. Собственные частоты колебаний нити с неподвижно закрепленными концами хорошо исследованы.
В работе [2] получены приближенные выражения для собственных
частот колебаний нерастяжимой нити и проведен эксперимент, подтверждающий адекватность результатов. Работа [3] посвящена исследованию малых колебаний растяжимой нити с концами, закрепленными на одной высоте. Обнаружено, что при некоторых соотношениях
между параметрами нити у нее появляются кратные собственные частоты и происходит перекрещивание (crossover) собственных форм. В
работе [4], обобщающей результаты [3], исследованы малые колебания растяжимой нити с концами, закрепленными на разной высоте, и
установлено, что явление перекрещивания в этом случае отсутствует
(avoided crossing). В работах [3, 4] в предположении о малости стрелы
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
провеса нити (максимального вертикального расстояния между нитью
и прямой, соединяющей ее концы) получены приближенные формулы
для собственных форм и алгебраические уравнения, которым удовлетворяют собственные частоты колебаний.
Определению собственных частот колебаний многопролетных линий посвящено достаточно мало работ. Можно отметить работу [5], где
рассматриваются нелинейные колебания линии, состоящей из пролетов одинаковой длины.
В настоящей работе предлагается использовать для численного
определения собственных частот малых колебаний провода метод сагиттарной функции [6]. Для вывода алгебраических уравнений, которым в характерном для ЛЭП диапазоне параметров задачи удовлетворяют собственные частоты многопролетной ЛЭП, используется идея
работы [2]. Собственные частоты, определенные из полученных уравнений, хорошо согласуются с результатами расчета методом сагиттарной функции; значения первой частоты нелинейных колебаний двухпролетной ЛЭП при двух различных наборах параметров, приведенные в [5], также соответствуют вычисленным в настоящей работе.
Математическая модель. Постановка задачи. Требуется определить собственные частоты и формы малых свободных колебаний в
плоскости начального провисания провода N -пролетной ЛЭП. В качестве математической модели провода примем модель растяжимой
нити. Изоляторы, поддерживающие провод на промежуточных опорах,
будем считать нерастяжимыми и в равновесном положении расположенными вертикально (последнее условие означает, что горизонтальные составляющие тяжения проводов в соседних пролетах равны),
тогда в линейном приближении в точках крепления к изоляторам вертикальные перемещения провода в процессе колебаний будут равны
нулю. На концах линии провод будем считать неподвижно закрепленным. Примем также, что все точки закрепления провода расположены
на одной высоте. Все переменные далее являются безразмерными; величины, имеющие размерность длины, отнесены к длине провода в
нерастянутом состоянии L, а величины, имеющие размерность силы,
— к весу провода ρF gL (ρ — плотность материала провода, g — ускорение свободного падения, F — площадь поперечного сечения провода).
Введем декартову прямоугольную систему координат, как показано
на рис. 1. Нить, имеющая в нерастянутом состоянии единичную безразмерную длину, закреплена неподвижно в точках (s0 , 0) и (sN , 0),
(s0 = −l/2, sN = l/2, где l = sN − s0 — сумма длин всех пролетов),
а в точках (sk , 0) (k = 1, . . . , N − 1) прикреплена к промежуточным
опорам. Предполагается, что нить линейно-упругая по отношению к
растяжению, ее жесткость на растяжение равна α.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
35
Рис. 1. Расчетная схема
На нити введен натуральный параметр — независимая переменная
ξ ∈ [−0,5; 0,5]. Точкам крепления к опорам соответствуют значения
ξk , k = 0, . . . , N .
Равновесная форма нити. Равновесное состояние нити в каждом
пролете характеризуется ее тяжением Q0 (ξ) и формой x10 (ξ), x20 (ξ).
Проинтегрировав уравнения равновесия растяжимой нити [1], можно
получить
c1
2
x10 (ξ) = (ξ − c2 ) + c1 ln (ξ − c2 ) + c1 + (ξ − c2 )2 + c3 ,
α
(ξ − c2 )2
(1)
+ c21 + (ξ − c2 )2 + c4 ,
x20 (ξ) =
2α
Q0 (ξ) =
c21 + (ξ − c2 )2 .
Константы c1 , c2 , c3 , c4 определяются из граничных условий. Легко
видеть, что константы c3 , c4 отвечают за параллельный перенос нити в
плоскости Ox1 x2 . В уравнения малых колебаний нити функции xi0 (ξ),
i = 1, 2, входят под знаком производных, поэтому выбор c3 , c4 не
имеет значения. Константа c2 равна значению ξ, в котором нить имеет
точку минимума, т.е. x20 (c2 ) = 0. Константа c1 является самой важной
и представляет собой горизонтальную компоненту тяжения нити.
Уравнения малых колебаний. Система уравнений малых колебаний нити относительно положения равновесия [1] после разделения
пространственной и временно́й переменных имеет вид
ΔQ
Q0
x10 + ω 2 U1 = 0,
U1 +
2
1 + Q0 /α
(1 + Q0 /α)
Q0
ΔQ
(2)
x
+ ω 2 U2 = 0,
U +
1 + Q0 /α 2 (1 + Q0 /α)2 20
Q0
ΔQ
x10 U1 + x20 U2 =
1+
,
α
α
где ω — безразмерная собственная
частота, связанная с размерной частотой ω̃ соотношением ω = ω̃ L/g; U1 (ξ) и U2 (ξ) — отклонения нити
от положения равновесия в направлениях, соответствующих координатным осям; ΔQ(ξ) — отклонение тяжения от равновесного; штрихом
обозначена производная по ξ. Системой (2) можно описать каждый
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
участок нити; поскольку в положении равновесия горизонтальная составляющая тяжения в соседних пролетах одинакова, константа c1 в
(1) для всех пролетов одна и та же. Подстановка ΔQ из последнего
уравнения (2) в два первых приводит к системе с симметричной и
положительно определенной матрицей:
Q0
x
(x10 )2
x
10 20
U1 + α
U2 + ω 2 U1 = 0,
+α
1 + Q0 /α
(1 + Q0 /α)3
(1 + Q0 /α)3
2
)
x10 x20
(x
Q
0
20
α
U2 + ω 2 U2 = 0.
+α
3 U1 +
3
1
+
Q
/α
(1 + Q0 /α)
(1 + Q0 /α)
0
(3)
Граничные условия. Верхним индексом (k) будем указывать на
принадлежность величины к k-му пролету, тогда
(1)
(1)
(N )
(N )
U1 (−0,5) = U2 (−0,5) = U1 (0,5) = U2 (0,5) = 0,
(k)
(k+1)
U1 (ξk ) = U1
(ξk ), k = 1, . . . , N − 1,
(k)
(k+1)
U2 (ξk ) = U2
(ξk ) = 0, k = 1, . . . , N − 1,
(k)
(k+1)
ΔQ1 (ξk ) − ΔQ1
(ξk ) = 0, k = 1, . . . , N −
(4а)
(4б)
(4в)
1,
(4г)
(k)
где ΔQ1 — горизонтальная компонента динамического тяжения в
k-м пролете. Можно убедиться, что левая часть (4г) представляет со(k)
(k)
(k+1)
(ξk ),
бой линейную комбинацию величин U 1 (ξk ), U 2 (ξk ), U 1
(k+1)
U2
(ξk ) (см. (2)). Всего для 2N обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка (по 2 уравнения на каждый пролет) имеем 4N
граничных условий. Заметим, что условия (4а)—(4г) делают задачу
(3)—(4г) несамосопряженной, за исключением случая N = 1.
Определение собственных частот. Метод сагиттарной функции.
Для приближенного определения собственных частот и форм малых
колебаний в данной работе используется метод сагиттарной функции [6].
Рассмотрим идею метода сагиттарной функции на примере анализа
системы (3) с граничными условиями
U1 (±0,5) = U2 (±0,5) = 0.
Пусть задано некоторое значение ω; в силу линейности общее решение
системы (3) при условии U1 (−0,5) = U2 (−0,5) = 0 — это линейная
комбинация решений двух задач Коши для системы (3) с начальными
условиями
A
U1A (−0,5) = U2A (−0,5) = U 2 (−0,5) = 0,
A
U 1 (−0,5) = 1
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
37
и
A
A
U1A (−0,5) = U2A (−0,5) = U 1 (−0,5) = 0,
U 2 (−0,5) = 1.
Поэтому искомые собственные частоты являются решениями уравнения
A
U1 (ξ) U1B (ξ)
∗
= 0.
(5)
S(ω) = S (ω, ξ)|ξ=0,5 = A
U2 (ξ) U2B (ξ)ξ=0,5
Функция S ∗ (ω, ξ) называется сагиттарной функцией [6]; доказано,
что если задача самосопряженная, то сагиттарная функция обладает
осцилляционными свойствами. Найти решение уравнения (5) можно,
например, методом бисекции. Для самосопряженных задач разработан
также алгоритм ускоренной сходимости [6].
Приведем алгоритм использования метода сагиттарной функции
для расчета собственных частот и форм колебаний двухпролетной линии. Граничные условия имеют вид (см. (4а)—(4г))
(1)
(1)
(N )
(N )
U1 (−0,5) = U2 (−0,5) = U1 (0,5) = U2 (0,5) = 0,
(1)
(2)
(1)
(2)
U1 (ξ1 ) = U1 (ξ1 ),
(6)
U2 (ξ1 ) = U2 (ξ1 ) = 0,
(1)
(1)
(2)
(2)
b1 U 1 (ξ1 ) + b2 U 2 (ξ1 ) = d1 U 1 (ξ1 ) + d2 U 2 (ξ1 ),
где b1 , b2 , d1 , d2 — некоторые константы. Построим пять линейно независимых решений задач Коши для системы (3) с начальными условиями
(1)A
U1
(1)A
(−0,5) = U2
(1)A
(−0,5) = U 2
(−0,5) = 0,
(1)A
U 1 (−0,5) = 1, ξ ∈ [−0,5; ξ1 ],
(1)B
(1)B
(1)B
U1 (−0,5) = U2 (−0,5) = U 1 (−0,5) = 0,
(1)B
U 2 (−0,5) = 1, ξ ∈ [−0,5; ξ1 ],
(2)A
(2)A
(2)A
(2)A
U1 (ξ1 ) = U2 (ξ1 ) = U 2 (ξ1 ) = 0, U 1 (ξ1 ) = 1, ξ ∈ [ξ1 ; 0,5],
(2)B
(2)B
(2)B
(2)B
U1 (ξ1 ) = U2 (ξ1 ) = U 1 (ξ1 ) = 0, U 2 (ξ1 ) = 1, ξ ∈ [ξ1 ; 0,5],
(2)C
U2
(2)C
(ξ1 ) = U 1
(2)C
(ξ1 ) = U 2
(ξ1 ) = 0,
(2)C
U1
(ξ1 ) = 1,
ξ ∈ [ξ1 ; 0,5],
тогда искомые решения будут представимы в виде линейных комбинаций
(1)
(1)A
(2)
U1
(2)
U2
(2)A
K3 U1
(2)A
K3 U2
U1 = K1 U1
=
=
(1)B
+ K 2 U1
+
+
(2)B
K 4 U1
(2)B
K 4 U2
,
+
+
(1)
(1)A
U2 = K1 U2
(1)B
+ K2 U2
(2)C
K5 U1 ,
(2)C
K5 U2 ,
,
(7)
где Kj — неизвестные коэффициенты. Составим матрицу
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
Z(ω) =
⎞
⎛
(1)A
(1)B
U1 (ξ1 )
0
0
−1
U1 (ξ1 )
⎟
⎜
(1)A
(1)B
U2 (ξ1 )
0
0
0
⎟
⎜ U2 (ξ1 )
⎟
⎜
⎟
⎜b1 U (1)A (ξ1 )+ b1 U (1)B (ξ1 )+
−d
−d
0
1
2
1
1
⎟.
=⎜
⎟
⎜+b U (1)A (ξ ) +b U (1)B (ξ )
⎟
⎜ 2 2
1
2 2
1
⎟
⎜
(2)A
(2)B
(2)C
⎝
0
0
U1 (0,5) U1 (0,5) U1 (0,5)⎠
(2)A
(2)B
(2)C
0
0
U2 (0,5) U2 (0,5) U2 (0,5)
Повторяя процесс при изменении ω с некоторым шагом, получаем алгоритмически заданную сагиттарную функцию S(ω) = det Z(ω).
Решая численно методом бисекции уравнение S(ω) = 0, получаем искомые собственные частоты. Собственные формы имеют вид (7), где
коэффициенты Kj являются элементами собственного вектора матрицы Z(ω). Аналогично можно провести расчет для N -пролетной линии,
тогда для определения значения сагиттарной функции при каждом ω
потребуется решить (3N − 1) задач Коши.
Приближенное уравнение для собственных частот нити. Построим алгебраические уравнения для приближенного нахождения
собственных частот многопролетной линии. Приводимые ниже рассуждения не являются строгими и основаны на ряде упрощающих
предположений, однако позволяют получить простые уравнения, корни которых хорошо согласуются с рассчитанными значениями собственных частот.
В работе [2] рассматривается нерастяжимая нить. Ее малые колебания в плоскости начального провисания описываются системой
уравнений (2) при α → ∞
(Q0 U1 + ΔQ x10 ) + ω 2 U1 = 0,
(Q0 U2 + ΔQ x20 ) + ω 2 U2 = 0,
x10 U1 + x20 U2 = 0
и однородными граничными условиями
(8)
U1 (±0,5) = U2 (±0,5) = 0.
Вводится подстановка
ξ
1
1
U1 (ξ) = U
(ξ)
+
V (ξ),
c1 ξ 2 + c21
ξ 2 + c21
1
ξ
1
U (ξ) + V (ξ).
U2 (ξ) = − 2
c1 ξ 2 + c21
ξ 2 + c1
Третье уравнение (8) после подстановки с учетом равновесной формы
(1) принимает вид
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
39
U (ξ) + (ξ 2 + c21 )V (ξ) = 0,
отсюда функция U выражается через V и подставляется в первые
два уравнения (8). После этого из уравнений исключается тяжение,
и в результате остается одно уравнение относительно V четвертого
порядка с граничными условиями
V (±0,5) = V (±0,5) = 0.
В настоящей работе с помощью системы компьютерной алгебры
Wolfram Mathematica аналогичные преобразования были проведены
для системы (2) при α < ∞. В результате получено уравнение четвертого порядка относительно V с очень громоздкими коэффициентами.
Однако, поскольку
1) жесткость провода на растяжение велика, т. е. α c1 ;
2) представляют интерес малые значения стрелы провеса, поэтому
безразмерное тяжение c1 1;
3) из результатов работы [2] следует, что при c1 → ∞ квадрат
собственной частоты ω 2 — бесконечно большая величина порядка c1 ,
то, максимально упростив уравнение для V , получим уравнение
ω 2 V + c1 V (IV ) = 0
(9)
и граничные условия
V (±0,5) = 0,
V (±0,5) ΔQ
−
= 0,
c1
α
(10)
где
αc21
αc1 ω 2
V
−
V .
2 2
2 2
α − c1 ω
α − c1 ω
Уравнение (9) имеет общее решение
ωξ
ωξ
V = a1 + a2 ξ + a3 sin √ + a4 cos √ ,
c1
c1
ΔQ ≈ −
(11)
где aj , j = 1, 2, 3, 4, — произвольные постоянные. Накладывая на (11)
граничные условия (10), получаем систему линейных алгебраических
уравнений относительно констант aj , приравнивая определитель которой к нулю, приходим к уравнению
c21 ω 2
ω
ω
ω
ω
− √
1−
= 0.
(12)
cos √ + sin √
sin √
α
2 c1
2 c1
2 c1
2 c1
Это уравнение соответствует приведенному в работе [3].
Обобщим рассуждения на случай двухпролетной линии. Тогда на
каждом пролете имеем общее решение в виде
ωξ
ωξ
(k)
(k)
(k)
(k)
V (k) = a1 + a2 ξ + a3 sin √ + a4 cos √ , k = 1, 2,
c1
c1
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
и граничные условия
c1
(1)
V (1) (−0,5) = 0, V (−0,5) − ΔQ(1) (−0,5) = 0,
α
c1
c1
(2)
(1)
(1)
V (ξ1 ) − ΔQ (ξ1 ) = 0, V (ξ1 ) − ΔQ(2) (ξ1 ) = 0,
α
α
(1)
(2)
(1)
(2)
V (ξ1 ) = V (ξ1 ), ΔQ (ξ1 ) = ΔQ (ξ1 ),
c1
(2)
V (2) (0,5) = 0, V (0,5) − ΔQ(2) (0,5) = 0.
α
Приравнивая к нулю определитель соответствующей системы линей(k)
ных алгебраических уравнений относительно констант aj , k = 1, 2,
j = 1, 2, 3, 4, получаем уравнение для определения собственных частот
ω(0,5 − ξ1 ) 1
ω(ξ1 + 0,5)
ω
sin
Ψ(ω) = sin
sin √ −
√
√
2 c1
2 c1
2
2 c1
c21 ω 2
ω(0,5 − ξ1 )
ω(ξ1 + 0,5)
ω
= 0, (13)
1−
cos
cos
− √
√
√
α
4 c1
2 c1
2 c1
или, если пролеты имеют равную длину (ξ1 = 0), то
c21 ω 2
ω
ω
ω
ω
ω
2
sin √ cos √
− √
1−
= 0.
cos √ + sin √
α
4 c1
4 c1
4 c1
4 c1
4 c1
Таким же образом можно получить уравнение для собственных
частот линии и с бо́льшим числом пролетов. Если все пролеты имеют одинаковую длину, то собственные частоты линии удовлетворяют
уравнению
ω
ω
sinN √ cosN −1
√ ×
2N c1
2N c1
ω
ω
ω
c21 ω 2
× − √
1−
= 0.
cos
√ + sin
√
2N c1
2N c1
2N c1
α
В следующем разделе будет проведен расчет методом сагиттарной
функции и сравнение результатов расчета с результатом вычисления
по (13).
Результаты расчетов. Все расчеты проводились с использованием
системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.
Один пролет. Рассмотрим нить с концами, неподвижно закрепленными на одной и на разной высоте. На рис. 2 приведены вычисленные
значения квадратов четырех первых собственных частот, отнесенные к
тяжению в середине нити (при ξ = 0) при α = 10000, β = 0◦ и β = 30◦
(β — угол между горизонталью и прямой, проходящей через концы
нити), в зависимости от длины пролета l. Рассчитанные собственные
частоты очень близки к корням уравнения (12).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
41
Рис. 2. Квадраты первых четырех собственных частот, отнесенные к тяжению
в центре нити
Двухпролетная линия. На рис. 3 штриховой линией обозначены
результаты вычисления сагиттарной функции S(ω), а сплошной линией — функции Ψ(ω) в зависимости от ω при α = 10000 и следующих
параметрах:
а) длины пролетов равны (ξ1 = 0), стрелы провеса в них составляют 2,5 % длин пролетов (рис. 3, а);
б) длины пролетов относятся как 1:3 (ξ1 = −0,25), стрела провеса
в левом пролете составляет 2,5 % длины пролета, в правом пролете —
7,5 % длины пролета (рис. 3, б).
Видно, что несколько первых нулей функций S(ω) и Ψ(ω) очень
близки.
На рис. 4 приведены первые четыре собственные формы колебаний
линии с параметрами, приведенными в п. а); горизонтальные перемещения U1 для наглядности увеличены в 5 раз. Первая собственная
частота колебаний удовлетворяет уравнению (см. (13))
ω
(14)
cos √ = 0.
4 c1
Первая собственная частота линии из двух равных пролетов независимо от стрелы провеса, соотношения между длинами пролетов и
жесткости на растяжение всегда будет равна первому корню уравнения (14) и будет иметь форму, аналогичную приведенной на рис. 4, а.
Рис. 3. Графики функций S(ω) и Ψ(ω)
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
Рис. 4. Первые четыре собственные формы колебаний линии, состоящей из
двух равных пролетов
Вторая и третья собственные частоты совпадают и определяются из
уравнения
ω
sin √ = 0;
4 c1
на данной частоте каждый пролет может колебаться независимо от
основной формы колебаний нерастяжимой нити (см. рис. 4 б, в). Четвертая собственная частота определяется из уравнения
c21 ω 2
ω
ω
ω
1−
cos √ + sin √ = 0;
− √
α
4 c1
4 c1
4 c1
соответствующая ей форма приведена на рис. 4, г.
В работе [5] исследованы собственные частоты нелинейных колебаний двухпролетной линии методом Линштедта—Пуанкаре. Размерные параметры линии следующие: погонная масса провода 1 кг/м,
жесткость на растяжение EF = 2,156 · 107 Н (E — модуль упругости, F — площадь поперечного сечения), длина всего провода в
нерастянутом состоянии L = 641,4 м, длина каждого пролета (горизонтальная) 320 м. Было проведено два расчета при значениях стрелы
провеса в пролетах 10 м и 7,61 м. Полученные значения первой собственной частоты составили соответственно f = ω̃/2π = 0,175 Гц и
f = ω̃/2π = 0,200 Гц [5]. Вычисляя первый корень уравнения (14),
после приведения к размерному виду, получаем значения 0,175 Гц и
0,201 Гц. Собственные формы, полученные в линейном приближении
и с помощью анализа нелинейной модели [5], как и следовало ожидать,
несколько отличаются.
Выводы. Предложено два подхода к определению собственных частот и форм малых свободных колебаний проводов многопролетных
линий электропередачи в плоскости начального провисания: расчет
методом сагиттарной функции и вывод алгебраических уравнений, которым в характерном для проводов диапазоне параметров приближенISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
43
но удовлетворяют собственные частоты колебаний провода. Приведены уравнения для линии, состоящей из двух пролетов произвольной
длины, и для линии с произвольным числом одинаковых пролетов.
Описанным способом можно также получить уравнения для линии,
состоящей из более чем двух пролетов произвольной длины. Значения
первой частоты колебаний двухпролетной линии, полученные методом сагиттарной функции и с помощью выведенного уравнения при
различных параметрах линии, практически равны приведенным в работе [5] значениям первой частоты, полученным с помощью анализа
нелинейных колебаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С в е т л и ц к и й В. А. Механика абсолютно гибких стержней / Под ред.
А.Ю. Ишлинского. – М.: Изд-во МАИ, 2001. – 432 с.
2. S a x o n D. S., C a h n A. S. Modes of vibration of a suspended chain // Quart. J.
Mech. and Appl. Math. – 1953. – Vol. 6, pt. 3. – P. 273–280.
3. I r v i n e H. M., C a u g h e y T. K. The Linear Theory of Free Vibrations of a
Suspended Cable // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. – 1974. –
Vol. 341. – P. 299–315.
4. T r i a n t a f y l l o u M. S. The Dynamics of Taut Inclined Cables // Quarterly Journal
of Mechanics and Applied Mathematics. – 1984. – Vol. 37, pt. 3. – P. 421–440.
5. R i e n s t r a S. W. Nonlinear free vibration of coupled spans of overhead
transmission lines // Journalof Engineering Mathematics. – 2005. – Vol. 53. – P. 337–
348.
6. A k u l e n k o L., N e s t e r o v S. High-precision methods in eigenvalue problems
and their applications. – Boca Raton: CRC Press, 2004. – 235 p.
Статья поступила в редакцию 25.10.2011
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа