close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенный метод нахождения оптимальных стабилизирующих управлений для автономных систем с последействием.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
П р и м е р. Положим h(t) =
уравнение
2t + 2, t ? [1, 2),
2t + 4, t ? [2, 3].
При ? ? [0, ?) рассмотрим линейное
y(t) = y(h(t)) + ?, t ? [1, 3], y(s) = 0,
если s ?/ [1, 3],
относительно неизвестной функции y ? L?
Если ? = 0, то уравнение (2) имеет глобальное решение
значений ? существует предельно продолженное решение
([1, 3], ?, Rn ).
y(t) = m?, t ?
m?1
i=0
2i ,
m
y(t) ? 0,
(2)
для остальных
2i , m = 1, 2, . . . .
i=0
ЛИТЕРАТУРА
1.
Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам
математической физики // Бюл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. ќ 8. С. 1-25.
2.
Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем.
сб. Москва, 2006. Т. 197. ќ 10. С. 33-56.
3.
Бурлаков Е.О.
О разрешимости операторных уравнений Volterra // Вестник тамб. ун-та. Тамбов,
2010. Т. 15. ќ 6. С. 1654-1656.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты ќ 090197503, ќ 110100626).
Burlakov E.O. On solvability of operator Volterra equations and continuous dependence of
solutions on parameters. The conditions of existence and continuous dependence on parameters
of a unique global or maximally-prolonged solution to the Volterra equation in a functional space
are obtained.
Key words: Volterra operators; continuous dependence of solutions on parameters; locally
Lipschitz operators.
Бурлаков Евгений Олегович, ОГУЗ ТПБ, г. Тамбов, Российская Федерация, инженерпрограммист, e-mail: eb_@bk.ru.
УДК 517.977
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ
СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С
ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
c Д.С. Быков
Ключевые слова
: оптимальная стабилизация; квадратичный критерий качества;, систе-
ма с последействием; сплайны высшего порядка.
При приближенном построении оптимальных стабилизирующих управлений для автономной системы с последействием применяется ее аппроксимация системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход к аппроксимирующей системы в функциональном пространстве состояний использует методы приближений функций сплайнами. В работах Н.Н. Красовского, K. Ito и K. Kappel при построении аппроксимирующих
систем для уравнения с последействием частного вида выбирались сплайны нулевого
и первого порядка.
1045
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Исследуется задача оптимальной стабилизации для системы с последействием
dx (t)
=
dt
0
d? (?) x (t + ?) + Bu,
??
?
J=
(1)
t ? [0, ?) ,
T
x (t) C1 x (t) + uT (t) C2 u (t) dt.
(2)
0
Здесь x ?
u ?
управляющее воздействие, ? матричнозначная функция с
ограниченной вариацией на отрезке [??, 0] , B матрица размерности n Ч r, C1 и C2 положительно определенные матрицы соответствующей размерности.
Для решения поставленных задач удобно перейти к постановке в гильбертовом пространстве H = L2 ([??, 0) , Rn) Ч Rn. Система (1) и критерий качества (2) примут вид
Rn ,
Rr
?
J=
T
xt (0) C1 xt (0) + uT (t) C2 u (t) dt .
0
Здесь замкнутый неограниченный оператор
формулами
(3)
dxt
= Axt + Bu,
dt
(Ax) (?) = x (?) ,
A
и ограниченный оператор
(4)
B
определяются
0
? ? [??, 0) ,
(Ax) (0) =
d? (s) x (s) ,
??
(Bu) (?) = 0,
где
? ? [??, 0) ,
(Bu) (0) = Bu,
x ? D (A) = W12 ([??, 0] , Rn ) , u ? Rr .
Для нахождения аппроксимирующих стабилизирующих управлений в работах [13] систему (3) заменяют конечномерной системой дифференциальных уравнений, используя
сплайны нулевого порядка. В работе [4] были использованы сплайны первого порядка. В
настоящей работе предлагается схема аппроксимации, основанная на сплайнах высшего порядка.
Зададим на отрезке [??, 0] равномерную сеть, состоящую из N ? N узлов. Пусть BmN линейное пространство, порожденное B -сплайнами порядка m дефекта 1 c узлами из
Ч Rn . Будем апэтой сети, а PmN оператор, проектирующий пространство H в Bm?1
N
проксимировать решение задачи оптимальной стабилизации (3), (4) в бесконечномерном
пространстве решением задачи оптимальной стабилизации системы в конечномерном пространстве BmN
Pm
(5)
N x?N = AxN + Bu
с критерием качества (4).
Для эффективного применения численных методов при решении задачи (5), (4) заменим ее эквивалентной. Сужение оператора PmN на пространство BmN является биекцией
m?1
Bm
Ч Rn , обозначим его матричное представление через Qm
N ? BN
N . Сужение операn . Обозначим его матричное
Ч
R
тора A на BmN является отображением из BmN в Bm?1
N
представление через HNm. Тогда задача оптимальной стабилизации (5), (4) эквивалентна
задаче оптимальной стабилизации обыкновенного дифференциального уравнения
dXN +m
?1
?1
m
HN
XN +m + (Qm
BN u,
= (Qm
N)
N)
dt
1046
XN +m ? Rn(N +m) ,
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
с критерием качества
m
JN
=
? [XN +m (t)]T0 C1 [XN +m (t)]0 + uT (t) C2 u (t) dt,
0
где [XN +m ]0 первая компонента вектора XN +m .
Предложенный алгоритм нахождения аппроксимирующих стабилизирующих оптимальных управлений имеет численную реализацию.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в
системе с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 716724.
2.
Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary dierential systems: innite dimensional Riccati
equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optimization. 1983. V. 21. ќ. 1. P. 95139.
3.
Lasiecka L., Manitius A. Dierentiability and Convergence Rates of Approximating Semigroups for Retar-
ded Functional Dierential Equations // SIAM J. Numerical anal. 1988. V. 25. ќ 4. P. 883907.
4.
Ito K., Kappel F. A Uniformly Dierentiable Approximation Scheme for Delay Systems Using Splines //
Appl. Math. and Optim. 1991. V. 23. ќ 1. P. 217262.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Bykov D.S. Approximative method of nding optimal stabilization control for autonomous
system with aftereect. Dierential autonomous system with aftereect is approximate by system
of ordinary dierential equations to nd approximative optimal stabilization control. Transition
to approximation system in functional space uses methods of theory of splines. In works of
Krasovskii, Ito and Kappel splines of zero- and rst-order are used for construction of approximative systems for equation with aftereect.
: optimal stabilization; quadratic cost functional; system with aftereect; high-order
spline.
Key words
Быков Данил Сергеевич, Уральский государственный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: bykovdanila@gmail.com.
УДК 5177.330.4
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА ФРАКТАЛЬНОСТИ ВРЕМЕННОГО РЯДА
c В.В. Васильев
Ключевые слова
: временной ряд; индекс фрактальности; персистентность; антиперси-
тентность; тренд; флэт.
В работе рассмотрено вычисление индекса фрактальности временного ряда, который
может быть использован при работе с инструментами на финансовом и фондовом рынках.
В работе [1] введено понятие индекса фрактальности временного ряда, задаваемого
функцией f (t), где t дискретное время. Разобьем отрезок [a, b] точками a = t0 , . . . , ti?1 ,
ti , . . . , tn = b на m равных частей длинами ? = b?a
m . Построим покрытие функции f (t) с
помощью прямоугольников с основанием ?, высота прямоугольника на отрезке [ti?1 , ti ]
1047
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа