close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение итерационного процесса сжимающих отображений к решению нелинейной задачи о собственных волнах цилиндрического волновода в первом приближении.

код для вставкиСкачать
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.968.4
С. Н. Куприянова
ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА СЖИМАЮЩИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
ВОЛНОВОДА В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В статье изучается численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в первом приближении на основе
метода сжимающих отображений.
1. Постановка задачи
Пусть все пространство заполнено изотропной средой без источников с
диэлектрической проницаемостью 1 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод кругового сечения с образующей параллельной Оz.
Диэлектрическая проницаемость среды внутри цилиндра определяется
законом Керра
2
  2   E ,
(1)
где коэффициенты α и  2 – вещественные положительные константы.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в
следующем виде:
E * ( x, y , z , t )  E  ( x, y , z ) cos t  E  ( x, y , z ) sin t ;
(2)
H * ( x, y, z , t )  H  ( x, y, z ) cos t  H  ( x, y, z ) sin t .
(3)
Формулы перехода к комплексным амплитудам остаются такими же,
как в линейном случае, однако в нелинейном случае они не так очевидны:
E  E   iE  ;
(4)
H  H   iH  .
(5)
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся без
затухания вдоль образующей волновода. Электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла:
и условиям сопряжения
rotH  iE ;
(6)
rotE  iH ,
(7)
E  R  0, H   R  0 .
(8)
Поставим теперь нелинейную краевую задачу на собственные значения
с нелинейным вхождением параметра. Перейдем к цилиндрической системе
координат и рассмотрим случай распространения ТЕ-волн:
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион




E  0; E ; 0 , H  H  ; 0; H z ;
H 
1 E
1 1 
, Hz 
(E ) .
i z
i  
(9)
(10)
В этом случае систему уравнений Максвелла можно привести к скалярному уравнению:
2
⎞  E
 ⎛1 
⎜⎜
E ⎟⎟ 
 2E  0 .
2
 ⎝  
⎠ z


(11)
Его решение будем искать методом разделяющихся переменных в виде
произведения вещественной функции и и множителя, содержащего  – спектральный параметр, который предполагается вещественным
E (, , z )  E0u (,  )eiz ,
(12)
где E0 – вещественная константа.
Сведем уравнение (11) к обыкновенным дифференциальным уравнениям для внешней и внутренней задачи соответственно:
1
1
u   u  
u  k 2u  0,   R ;
2


(13)
1
1
u   u  
u  k 2u  u 3  0, 0    R ,
2


(14)
где   2 ; k 2  21   2 в первом уравнении; k 2  2 2   2 во втором уравнении; R – радиус волновода;
E  R  0 , H z R  0 ;
(15)
u  R  0 , u R  0 ;
(16)
u ()  0 экспоненциально при    .
Сформулируем краевую задачу. Требуется отыскать ограниченную и
непрерывно дифференцируемую на интервале  > 0 функцию u () , соответствующие ей значения параметра  такие, что u () удовлетворяет дифференциальным уравнениям (13) и (14), условиям сопряжения (16) и условию
излучения.
Будем называть такие решения и краевой задачи собственными функциями, а соответствующие значения  – собственными значениями.
Таким образом, поставленная краевая задача сформулирована для нелинейного оператора, нелинейно зависящего от спектрального параметра.
Уравнение (13) – уравнение Бесселя, его решение хорошо известно.
Уравнение (14), несмотря на кажущуюся простоту, неразрешимо аналитически в общем виде. Для его решения применим теорию интегральных уравнений, т.е. сведем краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений к нелинейной краевой задаче на собственные значения для интеграль48
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
ных уравнений. Будем использовать функцию Грина. Получим интегральное
уравнение собственной функции и и дисперсионное соотношение в интегральном виде.
Решение уравнений Бесселя выберем с использованием функции Макдональда первого порядка, чтобы выполнялись условия излучения
u  C1K1 ( k ) .
(17)
С учетом нормировки оно примет вид
u
K1 ( k )
, E (0, R)  E0 ;
K1 ( k R )
(18)
K1 ( K )  0,    .
(19)
Решая нелинейное уравнение, запишем его в операторном виде:
1
Lu   u 3  0 Lu  u   u   u  k 2u .

(20)
Для краевой задачи
LG  (  0 ) ,
(21)
G   0  G    R  0 (0    R ) ,
(22)
1
Lu  u   u   u  k 2u .

(23)
где
Строим функцию Грина оператора L линейной части уравнения:
G (, 0 
⎤
 ⎡ J1 (k) J1 (k0 )
N1 (kR)  J1 (k ) N1 (k  )⎥ ,
⎢
2⎣
J1 (kR)
⎦
(24)
0  , 0  R ,
где   min{, 0 } .    max{, 0 } . Интегральное уравнение для собственной функции и получим, используя вторую формулу Грина:
R
R
∫ (Lu  uL)d  ∫ (u  u ()d  R(u( R)( R)  ( R)u( R) ,
0
(25)
0
в которой, полагая   G , получаем
R
∫ (GLu  uLG )d  R(u( R  0)G( R, 0 )  G( R, 0 )u ( R  0)) 
0
(26)
 Ru( R  0)G ( R, 0 );
49
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
R
R
∫ (GLu  uLG )d   ∫ GB(u )d  u(0 ) ,
0
(27)
0
откуда следует интегральное представление решения:
R
u (0 )   G (, 0 )u 3 ()d  f (0 ),
∫
0  0  R ,
(28)
0
для получения которого используем u ( R  0 )  u ( R  0) и
G ( R,  0 ) 
1 J1 ( k 2  0 )
;
k 2 R J1 (k 2 R )
k J (k  )
f (0 )  Ru ( R  0)G ( R, 0 )  1 1 2 0 .
k 2 J1(k 2 R)
(29)
(30)
Таким образом, интегральное уравнение, записанное в виде (28), позволяет применить к нему принцип неподвижной точки интегральных операторов.
Дисперсионное соотношение получим, устремляя радиальную переменную к границе волновода и используя условия сопряжения:
u ( R  0)  u ( R  0) ;
R
u ( R  0)   G (, R)u 3 ()d  Ru ( R  0)G ( R, R ) .
∫
(31)
0
Распространение ТЕ-волны возможно при существовании нетривиальных решений параметра  .
2. Теоремы о существовании и единственности решений краевой задачи
Теперь сформулируем теорему о существовании, единственности и локализации точных решений краевой задачи. Доказательство опирается на
теорию нелинейных интегральных операторов.
Следующая теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения собственной функции. Она выясняет, при каких значениях нелинейного коэффициента α решение существует и в какой области
оно единственно. Для доказательства существования используется принцип
Шаудера, для доказательства единственности – принцип сжимающих отображений.
Теорема 1. Если   А2 , где
А
2
3 f
1
3 N0
(32)
и
R
N 0  max
00, R 
50
∫ G(, 0 ) d
0
(33)
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
(А не зависит от  ), то уравнение (31) имеет единственное решение и, являющееся непрерывной функцией, u  C[0, R ] , и верна оценка u  r* , где
⎛
⎛
⎞
⎜ arccos⎜ 3 3 ⎟ f
⎜ 2 ⎟
⎜
1
⎝
⎠
cos⎜
r*  2
3N
3
⎜
⎜
⎝
N
⎞
⎟
2 ⎟
 ⎟.
3 ⎟
⎟
⎠
(34)
Теорема 2. Установим теперь непрерывную зависимость решения и от
параметра  (или соответственно  2 ).
Пусть ядро N (, 0 )  G (, 0 ) и правая часть f интегрального
уравнения (31) непрерывно зависят от параметра    0 , N (, , 0 ) 
 C ( 0  [0, R]  [0, R ]), f (, 0 )  C ( 0  [0, R ]) на некотором отрезке  0
вещественной числовой оси. Пусть также
f ( ) 
2
1
.
3 3 N ( )
(35)
Тогда решения u (, ) уравнения (31) при    0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра  . u (, )  C ( )  [0, R]) .
Результаты этой теоремы используют при исследовании дисперсионных соотношений.
Теперь докажем теорему о существовании и локализации точных решений параметра  . Прежде чем исследовать дисперсионные соотношения,
введем коэффициент нормировки k ~ 2 и пронормируем все величины, входящие в дисперсионные соотношения. Таким образом, перейдем от абсолютных величин к относительным.
Получим
~
~  k , ~
~
~

0 z  k0 z , R  k0 R,    /  0 ,    /  0  1;
~
~
~  aC 2 /  ;
k2  ~2  (~ ) 2 , k1  (~ ) 2  ~1 (~2  ~1 ), ~   / k0 , 
0
1
u~  u / C1, k0  2 0 0 .
Дисперсионное соотношение представим в нормализованной форме:
K1 (k1R )  K1 (k1R)k1RG ( R, R)   G (, R)u 3 ()d ;
∫
(36)
1
k2 R
J1 ( k 2 R )
;
J1 (k 2 R )
(37)
G ( R, R ) 
k 2 RJ1 (k 2 R)   J1 (k 2 R)  k 2 RJ 0 (k 2 R ) ;
(38)
 k1RK1 (k1R)  k1RK 0 (k1R)  K1 (k1R ) .
(39)
51
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
С учетом свойств цилиндрических функций окончательно перепишем
его в виде
R
k 2 RK1 (k1R ) J 0 (k2 R)  k1RK 0 (k1R) J1 (k 2 R )   J1 (k 2)u 3 ()d ;
∫
(40)
0
g (  )  F (  ) ,
(41)
где функции g и F определяются формулами
g (  )  k 2 RK1 (k1R ) J 0 (k 2 R)  k1RK 0 (k1R ) J1 (k 2 R ) ;
(42)
R
F (  )  J1 (k 2)u 3 ()d .
∫
(43)
0
Это новое дисперсионное соотношение для случая распространения
волн в нелинейной среде в цилиндрическом диэлектрическом волноводе. Оно
является обобщением линейного случая g = 0 при  = 0.
Теперь сформулируем теорему о существовании и локализации точных
решений параметра  .
Теорема 3. Пусть 1 ,  2 , и  удовлетворяют условиям  2  1  0 и
0     0 , где
⎛
⎞
⎜
min
g ( li ) ⎟
⎜
⎟
1 l  2,1 i  m
 0  min ⎜ min A2 ( ),
⎟,
3
⎞ ⎟
2⎛
⎜ 
0,3R ⎜ max r* ( ) ⎟ ⎟
⎜
⎝ 
⎠ ⎠
⎝
(44)
и выполняется условие
1m  1
(45)
1m   2  j12m / R 2;
(46)
 2 m   2  j02m / R 2,
(47)
для определенного m  1 , где
m = 1, 2, ...
Когда существует дискретный спектр решений, состоящий по крайней
мере из m значений  i , i  1, ..., m, 1i   i2   2i таких, что задача Р имеет ненулевое решение.
3. Итерационный метод и алгоритм его реализации
в нулевом и первом приближениях
Сформулируем теперь численный метод решения поставленной задачи
и докажем теорему о сходимости приближенных решений u n (собственных
функций) и  n (собственных значений) к точным.
52
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
За основу численного метода выберем итерационный процесс сжимающих отображений
un 1  F (un ), n  0, 1, ...
(48)
и получим последовательность приближений собственных функций u n :
R
u0  f , un 1   G (, 0 )un3d  f , n  0, 1, ...
∫
(49)
0
Утверждение 1 устанавливает сходимость приближенных решений u n
к единственному точному решению и интегрального уравнения.
Утверждение 1. Последовательность приближенных решений u n
уравнения (31), определяемых посредством итерационного алгоритма (49),
существует и сходится в норме пространства С[0, R] к (единственному) точному решению этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости, которая позволяет сказать, что последовательность сходится как геометрическая
прогрессия
un  u 
qn
f ,
1 q
n,
(50)
где q : 3 N r*2  1 – коэффициент сжатия отображения F,
N (, 0 )  G (, 0 ) ,
(51)
r* определяется соотношением (34).
Сформулируем теорему о существовании и локализации приближенных решений параметра  n .
Теорема 4. Рассмотрим последовательность приближенных дисперсионных соотношений. Приближенные решения локализуются в тех же интервалах, что и точные. Пусть существуют 1 , 2 и  , удовлетворяющие усло-
виям  2  1  0 и 0     0 , где  0 определяется теоремой 3, и выполняется условие 1m  1 для определенных m = 1, 2, 3, ... Тогда для каждого
n  0 существует по крайней мере m значений  (i n ) , i = 1, ..., m, удовлетво-
ряющих неравенствам  1i  (in )   2 i и являющихся корнями уравнения
k2( n) RK1(k1( n) R ) J 0 (k2( n) R)  k1( n) RK0 (k1( n) R) J1(k2( n) R) 
R
  J1(k2( n))un3 ()d,
∫
(52)
0
где k1 ( n ) 
нием (49).
( n )   1 , k 2 ( n ) 
 2  ( n ) , а u n определяется соотноше-
53
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Установим сходимость приближенных решений (n) к точным в интервалах локализации по норме пространства С [0; R].
Теорема 5. Пусть  i и  i ( n) – соответственно, точное и приближенное
решения значения проблемы Р на интервале 1i ,  2i  , i  m , m = 1, 2, 3, ...
Тогда  i ( n)   i  0 при n   .
Алгоритм решения поставленной краевой задачи в нулевом и первом
приближениях выглядит следующим образом.
1. Выбор констант. Выбираем параметры волновода с учетом требований доказанных выше теорем и будем осуществлять цепочку уточнений собственных значений и соответствующих, собственных функций итерациями,
отталкиваясь от линейного случая  = 0.
2. Нулевая итерация  = 0. Решаем линейное дисперсионное соотношение и находим для найденного значения параметра соответствующее нулевое приближение собственной функции.
В формуле итерационного процесса
R
2
u n 1 (0 ,  )   G (, 0 )u n3 d  f , n  0, 1, ...
∫
(53)
0
полагаем
k J (k  )
u0 (0 ,  2 )  f (0 )  1 1 2 0 ,
k 2 J1 (k 2 R)
(54)
где  2 – решение g (  )  0 .
Таким образом, в результате первой итерации находим решение линейного дисперсионного соотношения и соответствующее ему нулевое приближение собственной функции u0 .
3. Определение нулевого приближения. Рассчитываем нелинейное приближение параметра  , опираясь на расчет u0 . Подстановка нулевой итерации u0 (0 ,  2 ) в уравнение
k2( n) RK1 (k1( n) R) J 0 (k2( n) R)  k1( n) RK 0 (k1( n) R) J1 (k 2( n) R) 
R
  J1 (k 2( n))un3 ()d
∫
(55)
0
дает соотношение
G (, , )  g ( R,  2 )   ;
J13 (k 2 R)
R
0
54
4
∫ d / J1 (k2)  0 .
(56)
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
 
2⎞
⎛
4. Первое приближение u1⎜ 0 ,  (0) ⎟ находим из уравнения
⎝
⎠
2 ⎞ k J (k  )
⎛
u1⎜ 0 ,  (0) ⎟  1 1 2 0 
⎝
⎠ k2 J1 (k2 R )
 


R
2⎞
 ⎛ N  (k R)
  ⎜ 1 2 J1(k20 ) dJ1(k2)u03 ,  (0) ⎟ 
⎟
2 ⎜ J1 (k2 R)
0
⎝
⎠
∫

  N1(k20 )
2

0
∫
dJ1(k2)u03
0
R
,  
(0) 2

(57)


2

J1(k20 ) dN1 (k2)u03 ,  (0) .
2
∫
0
Решения 10   02   20 существуют в силу теоремы 3 при
2
10   2  j10
/ R2 ,
2
 20   2  j00
/ R2 .
(58)
Первые приближения собственных функций, соответственно, внутри и
вне волновода:
 
 
2⎞
2 ⎞ K ( k )
⎛
⎛
u1⎜ 0 ,  (0) ⎟ , u ⎜ ,  (0) ⎟  1 1 .
(59)
⎝
⎠ K1 (k1)
⎝
⎠
В результате реализации предложенного алгоритма получены наглядные и удобные для приложений и для анализа формулы, описывающие суть
явления, и в то же время достигнута высокая степень точности, что устанавливается сравнением с результатами расчетов другими методами (например,
Рунге-Кутта, методом решения нелинейной краевой задачи с заранее заданной точностью).
4. Результаты тестирования
В таблице 1 рассчитан параметр  2 при различных значениях радиуса
волновода. Соответственно рассчитаны границы интервалов локализации.
В случае основной моды наблюдается совпадение значений  2 с точностью до третьего знака после запятой с результатами расчетов, выполненных с заранее заданной точностью   10 4 .
Таблица 1
2
Расчет параметра  в интервалах локализации при помощи первой итерации
m
1
2
3
4
1m
 2m
1,08223
1,02352
1,00529
1,01133
1,63849
1,39554
1,28016
1022560
R
4,0
7,1
10,2
13,4
2
1,44031
1,28342
1,27155
1,20776
1
2

1
1
1
1
2
2
2
2
0,01
0,01
0,01
0,01
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Ниже приведены графические представления зависимости спектрального параметра  от радиуса волновода в линейном и нелинейном случаях
(рис. 1 и 2) для различных значений коэффициентов нелинейности.
gg
1,4
1.4
1.3
1,3
1,2
1.2
1,1
1.1
33
4
4
5
66
7
7
8
R
R
Рис. 1 Решение линейного дисперсионного уравнения с выбором констант:
диэлектрическая проницаемость среды вне волновода 1  1 ;
диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода  2  2
g
g
1.4
1,4
1.3
1,3
1.2
1,2
1.1
1,1
11
11
2
33
44
R
55 R
Рис. 2 Зависимость спектрального параметра  от радиуса волновода R
для дисперсионного соотношения в нелинейном случае
для коэффициентов нелинейности  = 0,01; 0,02; 0,03; 0,04 соответственно
56
№ 1, 2007
Физико-математические науки. Математика
Выбор констант: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода
1  1 ; диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода  2  2 .
Список литературы
1. К у п р и я н о в а , С . Н . Распространение электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средной / С. Н. Куприянова, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2004. – № 10. – 44 т. – С. 1850–1860.
2. S e r o v , V . S . Existence of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless
nonlinear layered waveguides / V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov, H. W. Schurmann //
Dokl. Maths. – 1996. – V. 53. – P. 98–100.
3. Т р е н о г и н , В . А . Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1993.
4. К о р н , Г . Справочник по математике для научных работников и инженеров /
Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1968.
57
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа