close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение теории оптимального управления для решения уравнений Гамильтона-Якоби с фазовыми ограничениями.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
example, the stability of a special rod system performing triaxial tension of an elementary cube
made from the nonlinear material is investigated.
: gradient system; potential function; potential's nonconvexity; state and control
parameters; critical points; separatrix; stability control.
Key words
Стружанов Валерий Владимирович, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: stru@imach.uran.ru.
Бурмашева Наталья Владимировна, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, инженер, e-mail: nat_burm@mail.ru.
УДК 517.95, 517.977
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНАЯКОБИ С ФАЗОВЫМИ
ОГРАНИЧЕНИЯМИ
c Н.Н. Субботина, Л.Г. Шагалова
Ключевые слова
: уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана; фазовые ограничения; вяз-
костные решения; минимаксные решения; оптимальное управление; функция цены; субдифференциал.
Рассматриваются
две
задачи
Коши
с
фазовыми
ограничениями
для
уравнений
ГамильтонаЯкоби, возникающие, соответственно, в молекулярной биологии и экономике. Эти задачи не имеют классических решений. Вводятся обобщенные решения,
супердифференцируемые в области определения. Предложен метод конструирования
обобщенных решений с помощью вспомогательных задач оптимального управления.
Приведены результаты и анализ численных экспериментов.
Рассматривается следующая задача Коши:
?u/?t + H(x, ?u/?x) = 0,
u(0, x) = u0 (x),
0 t < ?,
?1 x 1,
?1 x 1.
(1)
(2)
Предполагается, что гамильтониан в уравнении (1) имеет вид
H(x, p) = ?f (x) + 1 ?
или вид
1 + x 2p 1 ? x ?2p
e ?
e
2
2
H(x, p) = e?a0 ?a1 x + ea0 +a1 x ? e?a0 ?a1 x ep ? ea0 +a1 x e?p .
(3)
(4)
Нетрудно заметить, что гамильтонианы вида (3) и (4) являются вогнутыми по импульсной переменной p при x ? [?1, 1] .
Уравнение (1) ГамильтонаЯкоби с гамильтонианом вида (3) было получено в [1] для
модели КроуКимуры молекулярной эволюции. Входящая в выражение (3) функция f (·)
называется фитнесом и полагается непрерывно дифференцируемой.
1185
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Уравнение (1) с гамильтонианом вида (4) было получено Д.Б. Саакяном для одной
модели рынка в рамках эконофизики [2].
Нетрудно проверить, что задача Коши (1)(2) с фазовыми ограничениями и гамильтонианом вида (3) или (4) не имеет классического решения в рассматриваемой полосе
? = {(t, x)| t 0, x ? [?1, 1]}, и для нее в этой области не выполняются известные [3]
условия существования вязкостного решения.
Для произвольного фиксированного момента времени T > 0 вводится [4] понятие непрерывного обобщенного решения рассматриваемой задачи на множестве DT = [0, T ] Ч [?1, 1],
субдифференцируемого в этой области.
Рассматривается вспомогательная задача оптимального управления (OCP):
x? = ?Hp (x, p),
I(t0 ,x0 ) (p(·)) =
t
t0
t ? [0, T ],
p ? PT ,
p(? )Hp (x(? ), p(? )) ? H(x(? ), p(? ))d? + ?(t , x(t )) ? sup,
PT компакт, ?(·) дифференцируемая в R2 функция,
Hp (x, p) = ?H(x, p)/?p,
?(T, x) = u0 (x) при x ? [?1, 1], t момент первого выхода траектории
x(·) = x(·; t0 , x0 , p(·)), стартующей из начальной точки (t0 , x0 ) под воздействием измеримого управления p : [0, T ] ? P, на целевое множество
где
GT = {(t, x)| 0 t T, x = 1} ? {(t, x)| 0 t T, x = ?1} ? {(t, x)| t = T, ?1 x 1}.
Множество всех измеримых управлений p : [0, T ] ? PT называется множеством допустимых управлений и обозначается символом PT . Рассматривается функция цены VT (t, x)
DT ? R :
(t, x) ? VT (t, x) = sup I(t,x) (p(·)).
p(·)?PT
Опираясь на результаты работ [57], показано, что функция
u(t, x) = VT (T ? t, x),
t ? [0, T ], x ? [0, 1],
построенная с помощью функции цены VT (t, x) задачи OCP, удовлетворяет в области DT
введенному определению обобщенного решения задачи (1)(2). Глобальное обобщенное решение в полосе ? определяется как результат непрерывного продолжения входных данных
для вспомогательных задач OCP и конструирования VT (t, x) для произвольного T > 0.
Приведены результаты численного построения обобщенных решений двух рассматриваемых задач и анализ полученных результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Saakian D.B., Rozanova O., Akmetzhanov A.
Dynamics of the Eigen and the CrowKimura models for
molecular evolution // Physical Review E. 2008. V. 78, 041908. 7 p.
2.
1999.
3.
Mantegna R.N., Stanley H.E.
An Introduction to Econophysics. Cambridge: Cambridge University Press,
Capuzzo-Dolcetta I., Lions P.-L. Hamilton-Jacobi Equations with State Constraints // Trans. Amer. Math.
Soc. 1990. V. 318. ќ 2. P. 643683.
4.
Субботина Н.Н., Шагалова Л.Г.
О решении задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с фа-
зовыми ограничениями // Труды института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2011. Т. 17.
ќ 2.
5.
Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Boston:
Birkhauser, 1995.
6.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория опти-
мальных процессов. М.: Наука, 1961.
7.
Субботина Н.Н.
Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в ди-
намической оптимизации // Современная математика и ее приложения. Тбилиси: Ин-т кибернетики АН
Грузии, 2004. Т. 20.
1186
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований ќ 080100410 и Федеральной программой содружества УрО РАН с СО
РАН.
Subbotina N.N., Shagalova L.G. Application of the optimal control theory to solutions of
HamiltonJacobi equations with state constraints. Two Cauchy problems with state constraints
are considered for the HamiltonJacobi equations arising in molecular biology and economy,
accordingly. The problems have no classical solutions. The generalized solutions are introduced,
that are subdifferentiable everywhere in domain. A method is suggested to construct the generalized solutions using auxiliary optimal control problems. Results and analysis of numerical
experiments are exposed.
Key words: HamiltonJacobi equations; state constraints; viscosity solutions; minimax solutions; optimal control; value function; subdierential.
Субботина Нина Николаевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий сектором
отдела динамических систем, e-mail: subb@uran.ru.
Шагалова Любовь Геннадьевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела динамических систем, e-mail: shag@imm.uran.ru.
УДК 517.95
СИЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ ПРИНЦИПА
МАКСИМУМА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ
c В.И. Сумин
Ключевые слова
:
распределенные
задачи
оптимизации;
управляемые
вольтерровы
функциональные уравнения; поточечный принцип максимума; особые управления.
Показывается, что для широкого класса распределенных оптимизационных задач характерно сильное вырождение особых управлений поточечного принципа максимума,
когда вместе с принципом максимума, который можно рассматривать как необходимое условие оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управлений, вырождаются и все необходимые условия оптимальности особых управлений до
порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Описан способ
получения содержательных необходимых условий оптимальности сильно вырожденных
особых управлений.
Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (п.п.м.), на которых
он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях [14]. Однако, для распределенных систем вопросы получения необходимых условий оптимальности
(н.у.о.) особых управлений (о.у.) изучены еще относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы ГурсаДарбу и близкие им [2, 59]. Главные усилия были
1187
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
280 Кб
Теги
оптимальное, решение, уравнения, применению, гамильтон, управления, якоба, теория, ограничениями, фазовыми
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа