close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение универсального итерационного процесса к некоторым задачам механики.

код для вставкиСкачать
УДК 517.95
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2
А. И. Кошелев
ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО
ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА
К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ∗
Введение
В одной из своих последних статей С. Г. Михлин [1] обратил внимание на универсальный итерационный процесс, предложенный автором. Для довольно широкого класса краевых задач, встречающихся в механике, этот процесс характерен тем, что он
сходится, начиная с любого начального приближения, принадлежащего пространству,
в котором рассматривается краевая задача. Это пространство, как правило, оказывается энергетическим. Однако внимательное изучение с использованием различных
теорем вложения показывает, что эти процессы иногда сходятся в «сильных» (C, Cα )
пространствах. Процессы иногда отличаются друг от друга линейным оператором, который связывает две последовательные итерации (оператор Лапласа, элементарный
оператор Ламе, оператор теплопроводности и др.). Мы рассмотрим в данной статье,
посвященной памяти нашего учителя, в основном, краевые задачи нелинейной теории
упругости с однородным краевым условием первой задачи и нестационарную задачу
фильтрации с ограниченными нелинейностями.
1. Универсальный итерационный процесс для нелинейной краевой задачи теории упругости с закрепленными краями с использованием оператора
Лапласа
Будем рассматривать упругую среду, заключенную внутри ограниченной области
Ω ⊂ Rm (m > 2). В целях упрощения вычислений мы проводим рассмотрения для
любого целого m > 2, хотя для механики наиболее важными являются случаи m = 2
и m = 3. Через u(x) = {ui (x1 , . . . , xm )}, i = 1, . . . , m, мы обозначаем вектор смещений,
который зависит от точки x ∈ Ω. Обычным образом обозначаются деформации
εij [u] =
1
(Dj ui + Di uj ) (i, j = 1, . . . , m)
2
(1.1)
и элементы тензора напряжений σij . Соотношения (1.1) определяют геометрически
линейные зависимости. Физические соотношения между элементами тензоров деформаций и напряжений определяются равенствами
σik [u] = aik (x, εjl [u]) (i, j, k, l = 1, . . . , m),
(1.2)
где aik — заданные достаточно гладкие функции своих аргументов, симметричные относительно индексов i и k. Характер этой зависимости будет уточнен ниже. Для однородной изотропной упругой среды соотношения (1.2) имеют вид
σik [u] = λDj uj δik + 2µεik [u],
(1.3)
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00321).
c А. И. Кошелев, 2008
47
где по повторяющимся индексам (как и везде ниже) производится суммирование, λ и
µ — постоянные Ламе. Уравнения равновесия Коши запишутся в следующем виде:
Lk (u) ≡ Di aik (x, εjl [u]) = −Fk (x),
(1.4)
где Fk (x) — k-ая проекция массовых сил.
Потребуем, чтобы граница области ∂Ω была закреплена, т. е. чтобы было выполнено
условие
u = 0.
(1.5)
∂Ω
Мы будем рассматривать слабое решение u ∈ H0 краевой задачи (1.4)–(1.5), удовлетворяющее интегральному тождеству
Z
Z
−
aik (x, εjl [u])Di vk dx +
Fk vk dx = 0,
(1.6)
Ω
Ω
которое выполняется для любой v ∈ H0 (Ω). Здесь H0 (Ω) — гильбертово пространство
функций, удовлетворяющих условию (1.5) и квадратично суммируемых вместе со всеми
первыми обобщенными по С. Л. Соболеву производными. Однако вначале мы рассмотрим более простую задачу для уравнения Пуассона
∆u = −Di fi ,
(1.7)
где u — скалярная функция, удовлетворяющая граничному условию (1.5) и fi ∈ H(Ω).
Интегральное тождество для задачи (1.7), (1.5) запишется в виде
Z
Z
Di uDi v dx =
fi Di v dx.
(1.8)
Ω
Ω
Наличие слабого решения u ∈ H0 (Ω) очевидно, и из неравенства Гельдера следует
соотношение
m Z
m Z
X
X
|Di u|2 dx 6
|fi |2 dx.
(1.9)
i=1
Ω
i=1
Ω
Приступим теперь к решению задачи (1.4)–(1.5) или (в слабой форме) интегрального тождества (1.6). Предположим,что коэффициенты aik (x, εjl [u]) для ∀ u, z ∈ H(Ω)
удовлетворяют неравенствам
Z
Ω
m Z
X
aik (x, εjl [u]) − aik (x, εjl [z]) εik [u − z] dx > a
|εik [u − z]|2 dx,
m Z
X
i,k=1
Ω
|aik (x, εjl [u]) − aik (x, εjl [z])|2 dx 6 b2
m Z
X
i,k=1
(1.10)
Ω
i,k=1
Ω
|εik [u − z]|2 dx,
(1.11)
где a, b = const > 0.
Неравенства (1.10) и (1.11) носят, соответственно, названия условий монотонности
и ограниченной нелинейности. Применяя к левой части (1.10) неравенство Гельдера, из
(1.11) получим соотношение
a2 6 b 2 .
(1.12)
Предположим также, что если u ∈ H, то aik (x, εjl [u]) ∈ L2 (Ω) и Fk ∈ L2 (Ω).
48
Рассмотрим универсальный итерационный процесс
Z
Z
Z
(n+1)
(n)
Di u k
Di vk dx = (Di uk − εaik (x, εjl [u(n) ])Di vk dx + ε
Fk vk dx,
Ω
Ω
(1.13)
Ω
где ε — положительная постоянная, которая должна быть подобрана с помощью условий (1.10) и (1.11). Соотношения (1.13) являются слабыми равенствами для итерационной системы
(n+1)
(n)
∆uk
= ∆uk − ε[Lk (u) + Fk (x)],
(1.14)
где Lk (u) определяется по формулам (1.4). Краевое условие (1.5) должно выполняться
для каждой итерации.
Пусть начальное приближение u(0) (x) ∈ H0 (Ω). Тогда из оценки (1.9) и свойства
оператора ∆ (F ∈ L2 ) следует, что u(1) (x) ∈ H0 (Ω). Это будет справедливо для всех
итераций. Возьмем любые два соседних n и вычтем два последовательных равенства
(1.13). Тогда получим
Z
Ω
Z (n+1)
(n)
(n)
(n−1)
Di u k
− uk
Di vk dx =
Di (uk − uk
)−
Ω
−ε[aik (x, εjl [u(n) ]) − aik (x, εjl [u(n−1) ] Di vk dx.
Используя для правой части неравенство Гельдера и возведя в квадрат обе части, найдем

Z
2 Z  X
m
(n)
(n−1)
Di u(n+1) − u(n) Di vk dx 6
|Di uk − uk
|2 −
k
k
Ω
Ω i,k=1
h
i
(n)
(n−1)
− 2ε aik (x, εjl [u(n) ]) − aik (x, εjl [u(n−1) ]) Di uk − uk
+

m m Z
2 
X
X
+ε2
dx ·
|Di vk |2 dx.
aik (x, εjl [u(n) ]) − aik (x, εjl [u(n−1) )

Ω
i,k=1
i,k=1
Ввиду того, что aik = aki , имеем
h
i
(n)
(n−1)
aik (x, εjl [u(n) ]) − aik (x, εjl [u(n−1) ]) Di uk − uk
=
h
i
= aik (x, εjl [u(n) ]) − aik (x, εjl [u(n−1) ]) εik [u(n) − u(n−1) ].
Применяяя тогда к правой части предыдущего неравенства соотношения (1.10) и (1.11),
получим
Z
2 Z
Di w(n+1) Di vk dx 6
k
Ω
m n
X
(n)
|(Di wk |2 −
Ω i,k=1
m Z
o
X
−2εa ε2ik [w(n) ] + ε2 b2 ε2ik [w(n) ] dx
|Di vk |2 dx.
i,k=1
(1.15)
Ω
где w(n+1) = u(n+1) − u(n) .
49
Как известно, при выполнении условия (1.5) имеют место неравенства Корна
m Z
m Z
m Z
X
X
1 X
2
2
|Di uk |2 dx.
|Di uk | dx >
εik [u] dx >
2
Ω
Ω
Ω
i,k=1
i,k=1
i,k=1
Увеличивая правую часть предыдущего неравенства за счет этих соотношений, найдем
Z
2
m Z
m Z
X
X
(n) 2
Di w(n+1) Di vk dx 6 |1 − εa + ε2 b2 |
|D
w
|
dx
|Di vk |2 dx.
i k
k
Ω
i,k=1
Ω
i,k=1
Ω
Взяв v = w(n+1) и сократив на
||w(n+1) ||2H =
m Z
X
i,k=1
Ω
(n+1) 2
|Di wk
| dx,
(1.16)
придем к соотношению
где
qε2
2 2
||w(n+1) ||H 6 qε ||w(n) ||H ,
(1.17)
2 2
= |1 − εa + ε b |. Поскольку при ε > 0 справедливо соотношение 1 − εa + ε b > 0,
r
p
a
2
2
q = min qε = 1 − εa + ε b = 1 − 2.
(1.18)
ε>0
4b
ε=a/2b2
Из соотношений (1.13) и (1.17) следует, что универсальный процесс сходится быстрейшим образом при выбранном начальном приближении в H0 при ε = a/2b2 , и скорость сходимости определяется геометрической прогрессией со знаменателем (1.18). В
частности, для однородной изотропной среды, удовлетворяющей соотношениям (1.3),
постоянные a и b из неравенств (1.10) и (1.11) имеют вид
a = 2µ,
b = λm + 2µ.
(1.19)
Из (1.15) следует, что для рассматриваемого случая
s
µ2
.
q = min qε = 1 −
ε>0
(λm + 2µ)2
(1.20)
Из (1.17) следует,что
||w(n) || 6 Cq n ,
(1.21)
где C не зависит от n.
2. Универсальный итерационный процесс упругих решений
В этом разделе мы рассмотрим ту же задачу (1.4)–(1.5) с помощью итерационного
процесса, отличного от (1.13), (1.14). Обозначим через L0 (u) простейший оператор Ламе
с постоянными µ = 1 и λ = 0:
L0 (u) = ∆u + ∇ div u.
(2.1)
Универсальный итерационный процесс
L0 (u(n+1) ) = L0 (u(n) ) − ε[L(u(n) ) + F (x)]
50
(ε = const > 0)
(2.2)
после интегрирования по частям и перемены знака запишется в виде
Z Ω
(n+1)
Di u k
(n+1)
+ Dk u i
Di vk dx =
Z h
Z
i
(n)
(n)
(n)
=
Di uk + Dk ui − εaik (x, εjl [u ]) Di vk dx − ε
Fk vk dx, (2.3)
Ω
Ω
где Fk — k-ая проекция массовой силы F .
Примем вначале, что F ∈ L2 (Ω). Поскольку оператор L эллиптический, решение
(1)
задачи L0 (u) = F с граничным условием (1.5) принадлежит W2 ∩ H0 в Ω и, следовательно, все итерации процесса (2.2) и (2.3) принадлежат этому пространству.
Подставляя выражения (1.1), учитывая симметричность коэффициентов aik по индексам и деля на 2, получаем
Z
Z Z
1
1
(n+1)
(n)
(n)
εik [u
]εik [v] dx =
εik [u ] − εaik (x, εjl [u ]) εik [v] dx − ε
Fk vk dx,
2
2 Ω
Ω
Ω
(2.4)
Вычитая два последовательных соотношения (2.4) и обозначая w(n+1) = u(n+1) −
u(n) , приходим к равенству
Z
Z 1 εik [w(n+1) ]εik [v] dx =
εik [w(n) ] − ε aik (x, εjl [u(n) ] − aik (x, εjl [u(n−1) ]
εik [v] dx.
2
Ω
Ω
Применим к правой части неравенство Гельдера, подставим v = w(n+1) . После сокращения и применения неравенств (1.10) и (1.11) находим
m Z
X
i,k=1
Ω
ε2ik [w(n+1) ] dx 6 |1 − aε +
Коэффициент 1 − aε +
m Z
b2 2 X
ε |
ε2ik [w(n) ] dx.
4
Ω
i,k=1
b2 2
4 ε
при ε > 0 положителен, и
r
r
b2 2
b2 2 q = min 1 − aε + ε = 1 − aε + ε ε>0
4
4 ε=2a/b2
=
r
1−
a2
.
b2
(2.5)
Сравнивая (2.5) с (1.18), получаем, что оценка скорости сходимости процесса (2.4)
больше, чем скорость сходимости в процессе (1.13). Это вытекает из неравенства Корна,
и в этом случае будет справедливо неравенство, аналогичное (1.21).
3. Регулярность решения нелинейных упругих задач
и итерационные процессы
В предыдущих двух пунктах мы исследовали вопрос о слабом решении нелинейных задач теории упругости, удовлетворяющих условию монотонности (1.10) и условию
ограниченной нелинейности (1.11). В обоих случаях универсальные процессы (1.13) и
(2.3) сходятся в H0 (Ω). Однако из этого не следует принадлежность слабого решения
к пространству Гельдера.
Пусть область Ω′ — строго внутренняя подобласть Ω, граница которой отстает от ∂Ω
на δ0 > 0. Возьмем ∀x0 ∈ Ω′ и окружим шаром Bδ (x0 ), где δ < δ0 . Введем пространство
Морри Hα (Ω′ ), норма в котором определяется по формуле
51
||u||2Hα (Ω′ )
=
sup
x0 ∈Ω′ ,δ<δ0
m Z
X
i,k=1
Bδ (x0 )
|Di uk |2 |x − x0 |α dx + ||u||2H0 (Ω) ,
(3.1)
где α = 2 − m − 2γ (0 < γ < 1).
Известно, что
Hα (Ω′ ) ⊂ C γ (Ω′ ).
(3.2)
Таким образом, если (1.13) сходится в Hα (Ω′ ) и все итерации принадлежат Hα (Ω′ ),
то и решение будет принадлежать этому пространству. Это было доказано в нашей
монографии [2]. Мы вкратце напомним здесь идею доказательства.
Вернемся к неравенству (1.15) и введем функцию-срезку, определенную в шаре
Bδ (x0 ):

1
для
0 6 r 6 δ/2,

16/δ 2 (r − 3δ/4)2 для δ/2 6 r 6 3δ/4,
ζ(r) =

0
для
r > 3δ/4,
где r = x − x0 , и равную нулю в остальной части Ω. Запишем левую часть (1.15) в виде
Z
2
(n+1) α/2
−α/2
Di wk
r Di vk r
dx ,
Bδ (x0 )
(n+1)
возьмем vk = wk
ζ и применим неравенство Гельдера. Тогда после простых преобразований неравенство (1.15) приведется к виду
Z
(n+1)
Bδ (x0 )
6
Di wk
1−
(n+1) α
Di wk
r ζ dx 6
1
εa + ε2 b2
m−1
X
m Z
2
(m − 2)2
(n) 1+
+ O(γ)
Di wk rα ζ dx+
m−1
i,k=1 Bδ (x0 )
m Z 2
X
(n) +C
Di wk dx.
i,k=1
Ω
Мы использовали здесь неравенство Корна в пространстве Hα при α = 2 − m − 2γ. Взяв
ε=
a
2(m − 1)b2
получим оптимальную оценку
Z
(n+1)
Bδ (x0 )
Di wk
6 1−
(n+1) α
Di wk
r ζ dx 6
1
a2
4(m − 1)2 b2
X
m Z
2
(m − 2)2
(n) 1+
+ O(γ)
Di wk rα ζ dx + Cq 2n ,
m−1
Bδ (x0 )
i,k=1
p
где q = 1 − a2 /4b2 .
Отсюда следует неравенство
||w(n+1) ||Hα (Ω′ ) 6 Q||w(n) ||Hα (Ω′ ) + Cq n ,
52
и, таким образом, процесс (1.13) сходится в Hα (Ω′ ), если
1/2 r
(m − 2)2
1
a2
Q= 1−
1+
< 1.
2
2
4(m − 1) b
m−1
(3.3)
Вложение (3.2) гарантирует сходимость этого процесса в C γ (Ω′ ). Однако условие
(3.3) может выполняться только для целых m < 3. Таким образом, если при m = 2
выполняются неравенства (1.10), (1.11) и Fk ∈ L2 (Ω), то процесс (1.13), (1.14) сходится
в пространстве Hα (Ω′ ) при достаточно малом γ (α = −2γ) к слабому решению задачи
(1.4), (1.5) и, тем самым, это решение принадлежит пространству C γ (Ω′ ).
Для доказательства сходимости процесса (1.13) в Hα (Ω′ ) при m = 3 мы потребовали
в [2] выполнения неравенств, несколько отличных от (1.10), (1.11). При тех же самых
аналитических предположениях мы допустим,что справедливы соотношения
Z
m Z
X
(aik (x, εjl [u]) − aik (x, εjl [v])) εik [u − v] dx > a′
ε2ik [u − v] dx,
(3.4)
Ω
m Z
X
i,k=1
Ω
i,k=1
(aik (x, εjl [u]) − aik (x, εjl [v]))2 dx 6 b′
Z
Ω
Ω
(aik (x, εjl [u]) − aik (x, εjl [v])) εik [u−v] dx,
где a′ , b′ = const > 0.
Тогда справедлив следующий результат: если имеет место неравенство
2 a′
(m − 2)2
1−
1
+
< 1,
m − 1 b′
m−1
(3.5)
(3.6)
то для задачи (1.4), (1.5) процесс (1.13) сходится в Hα (Ω′ ) при достаточно малом γ > 0.
Отсюда следует, что для этой задачи при достаточно малом γ > 0 слабое решение в
трехмерном пространстве будет принадлежать C γ (Ω′ ). Начиная с m = 4 условие (3.6)
не выполняется.
4. Параболические (диффузионные) системы и универсальный
нестационарный итерационный процесс
Этот раздел посвящен исследованию квазилинейных параболических систем второго порядка, которые рассматриваются в цилиндре Q = (0, T ) × Ω при конечном T > 0
при наличии времени t ∈ [0, T ). Более общие системы изучаются в [3]. Мы рассмотрим относительно искомой функции u(x, t) = {u1 (x, t), . . . , um (x, t)} параболическую
систему вида
m
X
∂t u −
Di aik (x, t, Dj ul ) = fk (x, t)
(4.1)
i=1
с краевыми условиями
u|t=0 = u|[0,T ]×∂Ω = 0.
(4.2)
Будем предполагать, что ∂Ω — гладкая поверхность, коэффициенты aik (x, t, pjl ) удовлетворяют условию Каратеодори и непрерывно дифференцируемы по всем p, т. е.
(0,1)
по градиентам Dj ul при почти всех x, t ∈ Q. Примем, что для ∀u ∈ W2 (Ω) все
aik ∈ L2 (Q). Предположим также,что матрица
∂aik
(4.3)
A=
∂pjl
53
порядка m2 × m2 симметрична и ее спектр, составленный из собственных чисел λi ,
удовлетворяет условиям
inf{λi } = λ > 0
и
sup{λi } = Λ < ∞,
(4.4)
где inf и sup берутся по всем аргументам, от которых зависит λi . Кроме того, допустим,
(0,2)
что для u ∈ W2 (Q) при всех k
Lk (u) =
m
X
i=1
Di aik (x, t, Dj ul ) ∈ L2 (Q).
(4.5)
Для задачи (4.1), (4.2) рассматривается универсальный итерационный процесс
(n+1)
(n+1)
− ∆uk
ε∂t uk
(n)
= −∆uk + ε Lk (u(n) ) + fk (x, t) ,
который в слабой форме может быть записан в виде
ε
Z
Q
(n+1)
∂t uk
vk
dx dt +
Z
(n+1)
Di vk dx dt =
#
Z
Z "X
m
(n)
(n)
=
Di uk Di vk dx dt − ε
aik (x, t, Dj ul )Di vk − fk (x, t)vk dx dt, (4.6)
Q
Di u k
Q
Q
i=1
где ε — некоторая достаточно малая положительная постоянная. В. М. Чистяковым [4]
(недавно трагически погибшим) было доказано, что если ε = 2(Λ + λ)−1 , где λ и Λ опре(0,2)
делены в (4.4), и любое начальное приближение из W2
удовлетворяет краевым усло(0,1)
виям (4.2), то процесс (4.6) сходится в W2 (Q) к слабому решению задачи (4.1), (4.2)
со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q = (Λ − λ)(Λ + λ)−1 .
Этот результат был доказан В. М. Чистяковым при несколько иных, но аналогичных
условиях. Допустим теперь, что кроме высказанных выше предположений о коэффи(0,1)
циентах мы примем, что ∃q0 > 2, при котором для ∀q ∈ (1, q0 ] и ∀u ∈ Wq (Q) все
(0,2)
aik ∈ Lq (Q) и для ∀u ∈ Wq (Q) справедливо условие L(U ) ∈ Lq (Q). Кроме того,
примем, что выполняется неравенство
∂aik (x, t, pjl ) < C(1 + |p|),
∂xj
где |p|2 =
m
X
j,l=1
|pjl |2 . При сделанных выше предположениях справедлива доказанная в
[3] и [5] теорема.
Теорема. Если
Λ−λ
Λ+λ
2 m−2
m
1+
[1 + (m − 2)(m − 1)] < 1
m+1
2
или
2
54
Λ−λ
Λ+λ
2
< 1 при m = 2,
при m > 3
то существует обобщенное решение задачи (4.1), (4.2), которое при некотором достаточно малом показателе удовлетворяет неравенству Гельдера как по x, так и по
t в Q.
Эта теорема может быть применена для задач ограниченной фильтрации [6]. Она
будет верна и при математической постановке соответствующих горногеологических
задач [7].
В качестве примера рассмотрим уравнение нелинейной фильтрации
∂t u − Di [(a(∇u)Di u − f (x, t)] = 0
с краевыми условиями (4.2). Примем
a=α−
β
,
1 + |∇u|2
где α, β > 0 и α > β. Матрица параболичности A в данном случае имеет вид
′ pi pk
(i, k = 1, 2),
A = aδik + a
|∇p|2
и собственные числа будут равны
λ1 = a,
λ2 = a + a′ |∇p|.
Таким образом,
λ = min{ inf λ1 , inf λ2 } = α − β,
Λ = max{sup λ1 , sup λ2 } = α.
Знаменатель геометрической прогрессии имеет вид
K=
Λ−λ
β
=
< 1.
Λ+λ
2α − β
Поэтому, как легко показать, процесс (4.6) в рассматриваемом случае сходится в пространстве Гельдера оптимальным образом при ε = 2/(2α − β).
Литература
1. Михлин С. Г. Об одном применении универсального процесса и связанных с ним погрешностях // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 4 (22). С. 22–27.
2. Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука,
1986. 240 с.
3. Кошелев А. И., Челкак С. И. Регулярность решений некоторых краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000.
356 с.
4. Чистяков В. М. О сходимости одного итерационного процесса для параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1989, № 1. С. 41–45.
5. Koshelev A. Regularity problem for quasilinear elliptic and parabolic systems // Lecture
Notes in Math. Bd 1614, 1995. Berlin-Heidelberg. 255 s.
6. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.
7. Ромм Е. С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. М.: Недра, 1966.
284 с.
Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.
55
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
250 Кб
Теги
механика, универсального, процесс, применению, итерационного, некоторые, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа