close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Принцип включения и устойчивоподобные свойства «частичного» положения равновесия динамической системы.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2011. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.925.51
А. В. Щенников
ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ И УСТОЙЧИВОПОДОБНЫЕ СВОЙСТВА
«ЧАСТИЧНОГО» ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Введение. В настоящей работе проведено исследование устойчивоподобных
свойств (УПС) «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных динамической системы, задаваемой в виде системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, с использованием идеи расширения фазового пространства исходной динамической системы. Полученные результаты являются продолжением и развитием результатов работ [1–11]. Здесь под УПС движений понимаются различные виды устойчивости по Ляпунову.
Рассмотрим нелинейные динамические системы
dx
= f1 (t, x),
dt
(1)
dy
= f2 (t, y),
(2)
dt
в которых n-мерный вектор x(t) определяет фазовое состояние системы (1), а n
-мерный
вектор y(t) – фазовое состояние системы (2), причем n n
. Область задания и свойства
векторных функций f1 (t, x) и f2 (t, x) уточним в п. 2. В дальнейшем будем пользоваться
преобразованиями [1, с. 495]
y = V x,
x = U y,
U V = E,
(3)
где V – постоянная матрица размерности n
× n, ранг которой равен числу ее столбцов
(моник-матрица); U – постоянная матрица размерности n×
n, ранг которой равен числу
ее строк (эпик-матрица); E – единичная матрица размерности n × n.
Изучение УПС движений системы (1) относительно всех и части фазовых переменных проведем с применением принципа включения [1, гл. 8; 2–6]. Суть принципа
включения состоит в построении расширенной системы (пусть это будет система (2))
и в определении условий, при выполнении которых УПС движений системы (1) будут
Щенников Алексей Владимирович – соискатель кафедры математики и теоретической механики Научно-исследовательского университета «Мордовский государственный университет имени
Н. П. Огарева». Количество опубликованных работ: 41. Научное направление: исследование динамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека, кардиология. E-mail: du@math.mrsu.ru.
c А. В. Щенников, 2011
119
следовать из соответствующих свойств движений системы (2). В дальнейшем покажем, каким образом строится система (2). Необходимо отметить, что при использовании принципа включения с целью анализа УПС движений нелинейных динамических
систем по сравнению с линейными динамическими системами появляется больше ограничений. Основное условие при «переходе» к расширенной системе (2) состоит в том,
чтобы положение равновесия системы (1) при линейном преобразовании (3) переходило
в состояние равновесия y = ye системы (2), т. е. чтобы ye = V xe являлось положением
равновесия системы (2).
2. Исследование УПС «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных системы (1). Представим далее системы
(1) и (2) в следующих формах:
dx(1)
(1)
= f1 (t, x(1) , x(2) ),
dt
Здесь x(1) = (x1 , . . . , xk )T , x(2)
(1 )
dx(2)
(2)
= f1 (t, x(1) , x(2) ),
(1 )
dt
dy (1)
(1)
= f2 (t, y (1) , y (2) ),
(2 )
dt
dy (2)
(2)
= f2 (t, y (1) , y (2) ).
(2 )
dt
= (xk+1 , . . . , xn )T , y (1) = (y1 , . . . , yk )T , y (2) = (yk+1 , . . . ,
(1)
(1)
(1)
(2)
yn )T , x = ((x(1) )T , (x(2) )T )T , y = ((y (1) )T , (y (2) )T )T , f1 = (f11 , . . . , f1k )T , f1 =
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(f1,k+1 , . . . , f1n )T , f1 = ((f1 )T , (f1 )T )T , f2 = (f21 , . . . , f )T , f2 = (f , . . . ,
(2)
(1)
2k
(2)
2,k+1
f2n )T , f2 = ((f2 )T , (f2 ))T , верхний индекс T означает транспонирование. Устойчивость относительно фазовых переменных x1 , . . . , xk (y1 , . . . , yk ) в дальнейшем будем
обозначать x(1) (y (1) )-устойчивость.
Уточним условия на правые части систем (1) и (2) и соответственно систем
(1 ), (1 ) и (2 ), (2 ). Будем считать, что системы (1) и (2) заданы соответственно
в областях
Ω1 = {t, x(1) , x(2) : t ∈ J + , x(1) h1 , x(2) < ∞},
Ω2 = {t, y (1) , y (2) : t ∈ J + , y (1) h2 , y (2) < ∞},
где h1 и h2 – положительные постоянные вещественные числа, а норма вектора евклидова, J + = {t : t 0}. Следует указать, что нормы вектора и матрицы согласованы.
Пусть правые части систем (1) и (2), как и систем (1 ), (1 ) и (2 ), (2 ), являются непрерывными соответственно в областях Ω1 и Ω2 и удовлетворяют условию единственности
решения задачи Коши, а также решения системы (1 ), (1 ) ((2 ), (2 )) x(2) (y (2) ) – продолжимы (это означает, что каждое решение x(t, t0 , x0 ) (y(t, t0 , y0 )) определено при всех
t t0 0, для которых x(1) h1 (y (1) h2 )).
Отметим, что при исследовании глобальных УПС движений указанных систем будем считать, что правые части систем заданы соответственно в областях
Ω1 = {t, x : t ∈ J + , x < ∞},
(1)
Ω2 = {t, y : t ∈ J + , y < ∞}.
(2)
Пусть xe = ((xe )T , (xe )T )T – положение равновесия системы (1) ((1 ), (1 )),
(1)
T
(2)
T
а ye = (ye , ye )T – системы (2) ((2 ), (2 )). Будем считать, что они связаны соотношением ye = V xe . При изучении x(1) -устойчивости положения равновесия x = xe
120
системы (1) ((1 ), (1 )), как и положения равновесия y = ye системы (2) ((2 ), (2 )),
следует различать случаи:
(1)
а) x(1) = xe является «частичным» положением равновесия системы (1) ((1 ),
(1)
(1)
(1 )) [7–9], т. е. f1 (t, xe , x(2) ) ≡ 0;
(1)
б) x(1) = xe не является «частичным» положением равновесия системы (1) ((1 ),
(1)
(1)
(1 )), т. е. f1 (t, xe , x(2) ) ≡ 0.
Заметим, что в случае единственности решений системы (1) ((1 ), (1 )) множество
(e)
M {x(1) , x(2) : x(1) = x1 } есть ее инвариантное множество [9; 12, § 5]. Помимо линейных
преобразований (3) будем здесь также пользоваться линейными преобразованиями
y (1) = V1 x(1) ,
x(1) = U1 y (1) ,
(4)
кроме
где V1 – моник-матрица размерности k × k; U1 – эпик-матрица размерности k × k;
того, U1 V1 = E1 , E1 – единичная матрица размерности k × k. Не исключается при этом,
что может быть k = k̃, а V1 = E1 .
Введем далее необходимые определения.
Определение 1 [1, с. 495]. Будем считать, что система (2) включает систему
(1), если существуют две матрицы U и V , удовлетворяющие условию U V = E, такие,
что для произвольных (t0 , x0 ) ∈ Ω1 из y0 = V x0 следует
x(t, t0 , x0 ) = U y(t, t0 , V x0 )
(5)
при t t0 0.
Определение 2. Примем, что система (2 ) включает систему (1 ), если имеет
место включение системой (2) системы (1) и существуют две матрицы U1 и V1 ,
(1)
удовлетворяющие условию U1 V1 = E1 , такие, что для произвольных (t0 , x0 ) ∈ Ω1
(1)
(1)
из условия y0 = V1 x0 вытекает
x(1) (t, t0 , x0 ) = U1 y (1) (t, t0 , V x0 )
(6)
при t t0 0.
Данное определение дополняет определение 1.
Таким образом, здесь рассматриваются системы, у которых при выполнении усло(1)
(1)
вия ye = V xe выполняется и условие ye = V1 xe .
Отметим, что для каскадных систем [13–16] нет необходимости осуществлять линейные преобразования (3). Достаточно при этом ограничиться преобразованиями (4)
(1)
(1)
и требованием выполнения условия типа ye = V1 xe .
Будем в дальнейшем пользоваться не вполне корректным, хотя и общепринятым
[1, с. 495], обозначением включения системой (2) ((2 )) системы (1) ((1 )), а именно:
(2) ⊃ (1) ((2 ) ⊃ (1 )).
Приведем условия, при выполнении которых будут иметь место включения (2) ⊃
(1) и (2 ) ⊃ (1 ). С целью получения условий включения (2) ⊃ (1) в монографии [1,
с. 496] вводится вспомогательная ñ-мерная векторная функция
f2 (t, y) = V f1 (t, U y) + m(t,
y),
(7)
определенная на множестве Ω2 . Здесь m(t,
y) – дополнительная векторная функция.
С использованием функции (7) в монографии [1, § 8.4] доказана следующая теорема
о включениии (2) ⊃ (1).
121
Теорема 1 [1, с. 496]. Если
m(t,
V x) = 0
(8)
U m(t,
y) = 0
(9)
при произвольных (t, x) ∈ Ω1 или
при произвольных (t, y) ∈ Ω2 , то (2) ⊃ (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом введенной функции (7) составим выражение
ẏ − V ẋ = V [f1 (t, U y) − f1 (t, x)] + m(t,
y).
(10)
Отсюда и из условия (8) следует, что y − V x = 0 является положением равновесия системы (10). Это означает, что из y0 = V x0 вытекает y(t, t0 , y0 ) = V x(t, t0 , x0 ),
t t0 0, из чего, в свою очередь, следует справедливость условия (5).
Доказательство того, что (2) ⊃ (1), если выполнено условие (9), проводится по аналогии с предыдущим. Теорема доказана.
(1)
Рассмотрим теперь случай, когда x(1) = xe есть «частичное» положение равно(1)
(1)
весия системы (1) ((1 ), (1 )), а ye = V1 xe – соответственно «частичное» положение
равновесия системы (2) ((2 ), (2 )). При этом система (1) ((1 ), (1 )) может иметь,
а может не иметь положения равновесия.
Введем в данном случае также вспомогательную k̃-мерную векторную функцию
(1)
(1)
y (1) ),
f2 (t, y) = V1 f1 (t, U y) + m(t,
(11)
y (1) ) также является дополнительной
которая определена на множестве Ω2 . Здесь m(t,
k̃-мерной векторной функцией.
Теорема 2. Если в (11) дополнительная функция удовлетворяет одному из условий
(12)
m
1 (t, V1 x(1) ) = 0
при произвольных t t0 0, ||x(1) || h1 или
1 (t, y (1) ) = 0
U1 m
(13)
при произвольных t t0 0, ||y (1) || h2 , то (2 ) ⊃ (1 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 проводится по тому же плану, что и теоремы 1.
В самом деле, с учетом (4), (11) и (12) получим
(1)
(1)
1 (t, y (1) ).
ẏ (1) − V1 ẋ(1) = V1 [f1 (t, U1 y) − f1 (t, x)] + m
(14)
Тогда из условия (12) и системы (14) следует, что y (1) − V1 x(1) = 0 есть положение
(1)
(1)
равновесия системы (14). А это означает, что из y0 = V1 x0 и y0 = V x0 вытекает
равенство y (1) (t, t0 , y0 ) = V1 x(1) (t, t0 , x0 ), из которого, в свою очередь, следует справедливость равенства (6).
По аналогии с этим доказывается утверждение теоремы и при выполнении условия
(13). Теорема доказана.
Перейдем далее непосредственно к решению поставленной задачи, т. е. к исследованию УПС движений системы (1) с использованием принципа включения. В частности, будем изучать УПС «частичного» положения равновесия системы (1) ((1 ), (1 ))
относительно всех и части фазовых переменных.
122
Как уже отмечалось, в отличие от линейных систем, для нелинейных систем [1,
с. 496] необходимо требовать, чтобы «частичное» положение равновесия системы (1 ),
(1 ) при линейных преобразованиях (3) и (4) в расширенной системе (2) ((2 ), (2 ))
сохранилось в смысле определений 1 и 2. Следовательно, если f1 (t, xe ) ≡ 0, t t0 0,
то необходимо, чтобы выполнялось и условие
f2 (t, V xe ) ≡ 0,
t t0 0,
т. е. чтобы ye = V xe было положением равновесия системы (2). Это, согласно теореме 1,
имеет место тогда и только тогда, когда m(t,
V xe ) = 0 при t t0 0.
Аналогичное утверждение справедливо и относительно «частичного» положения
(1)
(1)
(1)
равновесия x(1) = xe системы (1) ((1 ), (1 )), т. е. если f1 (t, xe , x(2) ) ≡ 0 при t (1)
(1)
t0 0, то должно иметь место и тождество f2 (t, V1 xe , y (2) ) ≡ 0 при t t0 0. Это
тождество выполняется при выполнении условия (12).
(1)
(2)
(1) (2)
Предположим, что (xe , xe ) ((ye , ye )) является положением равновесия систе(1)
(1)
мы (1) ((2)), а xe (ye ) – «частичным» положением равновесия системы (1) ((1 ), (1 ))
(1)
(1)
((2) ((2 ), (2 ))) и при этом выполняются условия ye = V xe и ye = V1 xe .
(1)
Определение 3. «Частичное» положение равновесия x(1) = xe системы (1)
((1 ), (1 )):
а) устойчиво, если для каждого ε > 0 и произвольного t0 0 существует такое
(1)
(1)
(2)
(1)
δ(ε, t0 ) > 0, что из x0 − xe < δ, x0 < ∞ следует x(1) (t, t0 , x0 ) − xe < ε при
t t0 0;
б) равномерно x(1) -устойчиво, если указанная величина δ зависит только от ε;
в) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и для каждого ε > 0 и произвольного t0 0 существует такое δ1 (ε, t0 ) > 0, что для любого решения x(t, t0 , x0 )
системы (1) ((1 ), (1 )) выполняется равенство
lim x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
e = 0,
t→∞
(1)
(1)
(15)
(2)
как только x0 − xe < δ1 , x0 < ∞;
г) эквиасимптотически устойчиво, если для каждого t0 0 существует такое
(1)
δ2 (t0 ) > 0, что равенство (15) выполняется равномерно относительно x0 из области
(1)
(1)
(2)
x0 − xe < δ1 ; при этом x0 < ∞;
д) равномерно асимптотически устойчиво, если оно равномерно устойчиво и величина δ1 не зависит от t0 , а равенство (15) выполняется равномерно относительно
(1)
(1)
(1)
(2)
t0 , x0 при t0 0 и x0 − xe < δ1 ; при этом x0 < ∞;
е) асимптотически устойчиво в целом, если оно устойчиво и равенство (15) справедливо при произвольных t0 0 и x0 ∈ Ω1 ;
ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, если оно равномерно
x(1) -устойчиво и равенство (15) справедливо при произвольных t0 0, x0 ∈ Ω1 рав(1)
(1)
номерно относительно t0 и x0 из области t0 0, (x0 − x2 ) ∈ Kx(1) , где Kx(1) –
(2)
(1)
произвольный компакт x -пространства; при этом x0 < ∞;
з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво, если существуют положительные постоянные δ2 , M и α, такие, что для каждого решения
(1)
(1)
(2)
x(t, t0 , x0 ) системы (1) ((1 ), (1 )), для которого x0 − xe < δ2 , x0 < ∞, при
t t0 0 справедливо неравенство
(1)
(1) −α(t−t0 )
x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
e M x0 − xe e
(16)
123
(1)
(1)
−α
(x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
);
e M x0 − xe (t − t0 + 1)
(17)
и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом,
если существуют такие положительные постоянные δ2 , K и α, что неравенство (16)
((17)) справедливо при t t0 0 и произвольных t0 0 и (x0 − xe ) ∈ Ω1 .
З а м е ч а н и е 1. Помимо известных определений [7–9] различных видов устойчивости «частичного» положения равновесия системы (1) ((1 ), (1 )) здесь даны определения устойчивости «частичного» положения равновесия системы (1) ((1 ), (1 )) по
степенному закону.
З а м е ч а н и е 2. Аналогично определяются и УПС «частичного» положения рав(1)
новесия y (1) = ye относительно всех и части фазовых переменных системы (2 ), (2 ).
Отличие состоит лишь в том, что нужно будет при этом рассматривать норму разности
(1)
y (1) (t, t0 , y0 ) − V1 xe .
Для большей ясности приведем определения устойчивости и асимптотической
(1)
устойчивости «частичного» положения равновесия y (1) = ye системы (2) ((2 ), (2 )).
Определение 4. Если для каждого ε̃ > 0 и произвольного t0 0 существует
(1)
(1)
(2)
δ̃(t0 , ε̃) > 0 такое, что из неравенств y0 − V1 xe < δ̃(t0 , ε̃), y0 < ∞ вытекает
(1)
y (1) (t, t0 , y0 ) − V1 xe < ε̃ при t t0 0, то «частичное» положение равновесия
(1)
y (1) = ye называется устойчивым.
˜ , ε̃) > 0 такое, что из y (1) − V x(1) < δ̃,
˜
Если же, кроме того, найдется δ̃(t
0
1 e
0
(2)
(1)
y0 < ∞ следует limt→∞ y (1) (t, t0 , y0 ) − V1 xe = 0, то «частичное» положение
(1)
равновесия y (1) = ye будет асимптотически y (1) -устойчивым.
(1)
(1)
(1)
Здесь вместо V1 xe можно писать ye , так как выполняется условие ye =
(1)
V1 xe .
(i)
(i)
Введем обозначения: x(i) = ((x(i) )T , (x )T )T , y (i) = ((y (i) )T , (y )T )T , i = 1, 2.
Положим i = 1.
(1)
Снова предположим, что x(1) = xe является «частичным» положением равно
весия системы (1) ((1 ), (1 )) и, кроме того, правые части системы (1) ((1 ), (1 )), как
и системы (2) ((2 ), (2 )), непрерывны и удовлетворяют условию единственности соответственно в областях
(1)
Ω3 = {t, x(1) , x(2) : t t0 0, x(1) h1 , x
Ω4 = {t, y (1) , y (2) : t t0 0, y(1) h2 , y
(1)
(1)
(1)
< ∞, x(2) < ∞},
< ∞, y (2) < ∞},
а также (x , x(2) ), (y , y (2) )-продолжимости соответствующих решений.
(1)
Определение 5. «Частичное» положение равновесия x(1) = xe системы (1)
((1 ), (1 )):
а) x(1) -устойчиво, если для каждого ε > 0 и произвольного t0 0 существует
(1)
(1)
(2)
(1)
такое δ(ε, t0 ) > 0, что из x0 − xe < δ, x0 < ∞ следует x(1) (t, t0 , x0 ) − xe < ε
при всех t t0 0;
б) равномерно x(1) -устойчиво, если величина δ зависит только от ε;
в) асимптотически x(1) -устойчиво, если оно x(1) -устойчиво и для каждого t0 0
существует такое δ1 (ε, t0 ) > 0, что для любого решения системы (1) ((1 ), (1 ))
выполняется соотношение
(18)
lim x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
e = 0,
t→∞
(1)
(1)
(2)
как только x0 − xe < δ1 , x0 < ∞;
124
г) эквиасимптотически x(1) -устойчиво, если для любого t0 0 существует та(1)
кое δ2 (t0 ) > 0, что соотношение (18) выполняется равномерно относительно x0
(1)
(1)
(2)
из области x0 − xe < δ2 ; при этом x0 < ∞;
д) равномерно асимптотически x(1) -устойчиво, если оно равномерно x(1) -устой(1)
чиво и δ1 = δ1 (ε), а соотношение (18) выполняется равномерно относительно t0 , x0
(1)
(1)
(2)
при t t0 0, x0 − xe < δ1 и x0 < ∞;
е) асимптотически x(1) -устойчиво в целом, если оно x(1) -устойчиво и соотноше(1)
(1)
(2)
ние (18) справедливо при всех t0 0, x0 − xe < ∞, x0 < ∞;
(1)
ж) равномерно асимптотически x -устойчиво в целом, если оно равномерно
x(1) -устойчиво и соотношение (18) справедливо равномерно относительно t0 и x0 при
(1)
(1)
всех t0 0 и (x0 −xe ) ∈ Kx(1) , где Kx(1) – произвольный компакт x(1) -пространства;
(2)
при этом x0 < ∞;
з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически x(1) -устойчиво, если существуют положительные постоянные δ 2 , M и α такие, что для каждого
(1)
(1)
(2)
решения системы (1) ((1 ), (1 )), для которого x0 − xe < δ 2 , x0 < ∞, при
t t0 справедливо неравенство
(1)
(1) −α(t−z0 )
x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
e M x0 − xe e
(1)
(1)
−α
(x(1) (t, t0 , x0 ) − x(1)
, α > 0);
e M x0 − xe (t − t0 + 1)
(19)
(20)
и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически x(1) -устойчиво в целом, если существуют такие положительные постоянные K и α, что неравенство
(19) ((20)) справедливо при t t0 0 и произвольных t0 0 и (x0 − xe ) ∈ Ω1 .
З а м е ч а н и е 3. Аналогично определяются УПС «частичного» положения
(1)
равновесия y (1) = ye относительно части фазовых координат переменных системы
(1)
(2) ((2 ), (2 )). Например, «частичное» положение равновесия y (1) = ye называется
ȳ1 -устойчивым, если для каждого ε̃ > 0 и произвольного t0 0 существует такое
(1)
(1)
(2)
δ̃(t0 , ε) > 0, что при y0 − V1 xe < δ̃(t0 , ε), y0 < ∞ и t t0 0 выполняется
(1)
y (1) (t, t0 , y0 ) − V1 xe < ε.
З а м е ч а н и е 4. Здесь не приводятся определения различных видов устойчивости положения равновесия системы (10), которые общеизвестны и их можно найти,
например, в замечательной обзорной статье В. И. Воротникова [9].
Теорема 3. Пусть (2) ⊃ (1), (2 ) ⊃ (1 ) и при этом ye = V xe , где x = xe – положение равновесия системы (1) ((1 ), (1 )), является положением равновесия системы (2)
(1)
(1)
(1)
((2 ), (2 )), а ye = V1 xe , где x(1) = xe – «частичное» положение равновесия систе
мы (1) ((1 ), (1 )), есть «частичное» положение равновесия системы (2) ((2 ), (2 )),
(1)
(1)
т. е. f2 (t, ye , y (2) ) ≡ 0. Тогда:
1) если положение равновесия ye = V xe системы (2) ((2 ), (2 )): а) устойчиво, б) равномерно устойчиво, в) асимптотически устойчиво, г) эквиасимптотически
устойчиво, д) равномерно асимптотически устойчиво, е) асимптотически устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, з) экспоненциально
(по степенному закону) асимптотически устойчиво, и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом, то положение равновесия x = xe
системы (1) обладает соответственно теми же УПС, что и положение равновесия
y = ye системы (2) ((2 ), (2 ));
125
(1)
(1)
2) если «частичное» положение равновесия ye = V1 xe системы (2) ((2 ), (2 )):
а) устойчиво, б) равномерно устойчиво, в) асимптотически устойчиво, г) эквиасимптотически устойчиво, д) равномерно асимптотически устойчиво, е) асимптотически устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво, и) экспоненциально
(по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом, то «частичное» по(1)
ложение равновесия x(1) = xe системы (1) ((1 ), (1 )) обладает соответственно
(1)
(1)
теми же УПС, что и «частичное» положение равновесия ye = V1 xe системы (2)
((2 ), (2 ));
(1)
(1)
3) если «частичное» положение равновесия ye = V1 xe системы (2) ((2 ), (2 )):
(1)
(1)
(1)
а) y e -устойчиво, б) равномерно y e -устойчиво, в) асимптотически ye -устойчиво,
(1)
(1)
г) эквиасимптотически y e -устойчиво, д) равномерно асимптотически y e -устой(1)
чиво, е) асимптотически ye -устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически
(1)
y e -устойчиво в целом, з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически
(1)
(1)
y e -устойчиво, и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически y e -ус(1)
тойчиво в целом, то «частичное» положение равновесия x(1) = xe системы (1)
((1 ), (1 )) обладает соответственно теми же УПС, что и «частичное» положение
(1)
(1)
равновесия y e = V1 ye системы (2) ((2 ), (2 )).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем асимптотическую устойчивость положения
равновесия x = xe системы (1) ((1 ), (1 )) при выполнении условий п. 1) теоремы.
Пусть положение равновесия y = ye системы (2) ((2 ), (2 )) асимптотически устойчиво,
0 , ε̃) > 0 такое, что
т. е. для каждого ε > 0 и произвольного t0 0 существует δ(t
из y0 − ye < δ(t0 , ε̃) следует y(t, t0 , y0 ) − ye < ε при t t0 и, кроме того, для
каждого t0 0 и любого ε̃ > 0 существует такое δ1 (t0 , ε̃) > 0, что для произвольного
решения системы (2) ((2 ), (2 )) выполняется соотношение
lim y(t, t0 , y0 ) − ye = 0,
t→∞
(21)
как только y0 − ye < δ1 (t0 , ε).
Для доказательства асимптотической устойчивости положения равновесия x = xe
системы (1) ((1 ), (1 )) воспользуемся условиями теоремы. Задаем ε > 0 и t0 0.
В соответствии с определением устойчивости положения равновесия y = ye по t0 0
и числу ε̃ = ||U ||−1 ε находим соответствующее значение δ̃ > 0. Пусть δ = ||V ||−1 δ̃. Тогда
при ||x0 − xe || < δ справедливо неравенство
||y0 − ye || ||V || · ||x0 − xe || < δ̃.
(22)
Из выполнения (22) следует, что y(t, t0 , y0 ) − ye < ε при t t0 . Значит,
||x(t, t0 , x0 ) − xe || ||U || · ||y(t, t0 , y0 ) − y0 || ||U ||ε̃ = ε.
(23)
Таким образом, для любых ε > 0 и t0 0 существует такое δ > 0, что если ||x0 −xe || < δ,
то при всех t t0 имеет место оценка (23). А это означает, что положение равновесия
x = xe системы (1) устойчиво.
Сходимость решений системы (1) ((1 ), (1 )) к x = xe непосредственно вытекает
из равенства (21). Следовательно, утверждение теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия x = xe системы (1) ((1 ), (1 )) доказано. Все остальные
утверждения п. 1) теоремы доказываются по этому же методу.
126
(1)
Докажем утверждения п. 2). Так как «частичное» положение равновесия y (1) = ye
t0 ) такое, что
асимптотически устойчиво, то для каждых ε > 0 и t0 0 существует δ(ε,
(1)
(1)
(1)
(2)
(1)
из ||y0 − ye || < δ следует ||y (t, t0 , y0 ) − ye || < ε при всех t t0 0 и ||y0 || < ∞
и, кроме того, существует такое δ1 (t1 , ε) > 0, что для каждого решения системы (2)
(1)
(1)
(2)
((2 ), (2 )) с ||y0 − ye || < δ1 при произвольных значениях y0 справедливо равенство
lim ||y (1) (t, t0 , x0 ) − ye(1) || = 0.
(24)
t→∞
Задаем ε > 0 и t0 0. В соответствии с определением устойчивости «частичного»
(1)
положения равновесия y (1) = ye системы (2) ((2 ), (2 )) по t0 0 и числу ε̃ = ||U1 ||−1 ε
выбираем соответствующее значение δ̃ > 0. Пусть δ = ||V1 ||−1 δ̃.
Используя оценки
(1)
(1)
||y0 − ye(1) || ||V1 || · ||x0 − x(1)
e ||,
(1)
(1)
(1)
||x0 (t, t0 , x0 ) − x(1)
e || < ||U1 || · ||y0 (t, t0 , x0 ) − ye ||,
(1)
(1)
получаем: для ε > 0 и t0 0 нашлось такое δ > 0, что из ||x0 − xe || < δ вытекает
(1)
(2)
неравенство ||x(1) (t, t0 , x0 ) − xe || < ε при t t0 и ||x0 || < ∞. Это означает, что
«частичное» положение равновесия системы (1 ), (1 ) устойчиво.
Сходимость решений системы (1) ((1 ), (1 )) к «частичному» положению равнове(1)
сия x(1) = xe следует непосредственно из условия (24) при произвольных значениях
(2)
x0 .
Таким образом, установлена асимптотическая устойчивость «частичного» положения равновесия системы (1) ((1 ), (1 )).
Остальные утверждения данного пункта, а также утверждения п. 3) доказываются
аналогичным образом.
З а м е ч а н и е 5. Следует отметить, что утверждения п. 1) теоремы 3 восполняют утверждение теоремы 8.26 [1, с. 497–498]. Отметим, что в теореме 8.26 доказана
устойчивость положения равновесия исходной системы с использованием факта устойчивости положения равновесия расширенной системы.
З а м е ч а н и е 6. Из условий теоремы 3 следует, что x = xe и y = ye – положения
(1)
(1)
равновесия соответственно систем (1) и (2), а x(1) = xe и y (2) = ye – «частичные»
положения равновесия соответственно систем (1 ) и (2 ). Если же системы (1) и (2)
не имеют положения равновесия, а только «частичные», то в этом случае в условиях
теоремы будут только матрицы U1 и V1 , причем U1 V1 = E1 , структура которых будет
совпадать со структурой матриц U и V .
Рассмотрим далее систему дифференциальных уравнений
dx
= Ax(μ) ,
dt
(25)
где x ∈ Rn ; A – постоянная матрица размерности n × n, определитель которой не равен
нулю; x(μ) = (xμ1 , . . . , xμn )T , μ = 3, 5, 7, ... . Изучим вопрос об асимптотической устойчивости положения равновесия x = 0 данной системы.
С целью использования перекрывающихся декомпозиций необходимо осуществить
расширение фазового пространства системы (25). Система (25) является существенно
нелинейной. Поэтому, как уже упоминалось, необходимо, чтобы положение равновесия
ye = 0 расширенной системы
dy
(μ) ,
= Ay
(26)
dt
127
– постоянная матрица размерности n
в которой y ∈ Rn , A
×n
, y (μ) = (y1μ , . . . , ynμ )T ,
в процессе преобразований вида (3) «переходило» из xe = 0 в ye = 0. В этом случае принято говорить [1, гл. 8], что расширенная система (26) содержит положение равновесия
xe = 0 системы (25).
(μ)
Будем предполагать, что вектор x(μ) состоит из трех компонент, т. е. x(μ) = ((x1 )T ,
(μ) T
(μ) T T
(μ)
(x2 ) , (x3 ) ) , xs ∈ Rns (s = 1, 2, 3), n1 + n2 + n3 = n.
Из трех компонент вектора состояния x образуем две перекрывающиеся компонен(μ)
(μ)
(μ)
(μ)
(μ)
(μ)
ты y1 = ((x1 )T , (x2 )T )T и y2 = ((x2 )T , (x3 )T )T . Воспользуемся ими с целью
(μ)
(μ)
формирования нового вектора y (μ) = ((y1 )T , (y2 )T )T и произведем перекрывающуюся декомпозицию матрицы A по пунктирным линиям, т. е.
⎛
⎞
A12 | A13
A11
A = ⎝ A21 |A22 | A23 ⎠ ,
(27)
A31 | A32 A33
подматрицы Aij которой имеют соответствующие размерности.
Вектор y связан с x, как и вектор y (μ) с вектором x(μ) , посредством преобразований
y (ν) = V x(ν) , x(ν) = U y (ν) , ν = 1, μ.
(28)
задается
Преобразования (28) являются обобщением преобразований (3). Матрица A
в виде
= V AU + M,
A
(29)
где M – постоянная дополнительная матрица размерности n
×n
. Здесь
⎛
⎞
1
⎛
⎞
0
− 21 A12 0
2 A12
0
E1 0
⎜
⎟
1
− 21 A22 0 ⎟
⎜ 0
⎜ 0 E2 0 ⎟
2 A22
⎟,
⎟
M =⎜
V =⎜
⎜
⎟
⎝ 0 E2 0 ⎠ ,
1
1
A
0
⎝ 0 − 2 A22
⎠
22
2
0
0 E3
1
0 − 21 A32
0
2 A32
а E1 , E2 , E3 – единичные матрицы, размерности которых совпадают с размерностями
компонент x1 , x2 и x3 вектора x. Матрица U = (V T V )−1 V T выбирается как псевдообратная к V [1, с. 458].
(μ) − V AU y (μ) = M y (μ) . Отсюда следует равенство
Из равенства (29) получим Ay
(7), где m(y)
= M y (μ) . За счет выбора матрицы M произведение M y (μ) = 0. И тем
самым обеспечивается выполнение условий теоремы 1 применительно к системе (26),
а следовательно, положение равновесия системы (25) «переходит» в положение равновесия расширенной системы.
расширенной
Из преобразований (28) и формулы (29) вытекает, что матрица A
системы имеет структуру
⎛
⎞
0
A13
A11 A12 |
⎜
0
A23 ⎟
= ⎜ A21 A22 |
⎟
A
(30)
⎝ A21 0 | A22 A23 ⎠ .
A31 0 | A32 A33
С учетом структуры матриц (27) и (30) следует, что преобразования (28) не меняют
перекрывающиеся диагональные блоки благодаря наличию в (29) матрицы M . Таким
128
сохраняется
образом, свойство инвариантности расширения важно, так как в матрице A
расположение перекрывающихся подсистем, которые можно рассматривать теперь как
в виде
неперекрывающиеся. Преимущество представления расширенной матрицы A
(30) проявляется тогда, когда удается установить связь между решениями x(t, t0 , x0 )
и y(t, t0 , y0 ) соответственно систем (25) и (26).
На основании теоремы 1 (26) ⊃ (25), если выполняется условие (8). В случае системы (25) условие (8) выполняется, так как M y (μ) = 0. Итак, непосредственной проверкой (см. теорему 1) удается показать, что из y0 = V x0 и того, что U V = E, следует
x(t, t0 , x0 ) = U y(t, t0 , y0 ) при всех t t0 0. Данный результат указывает на то, что U
является проекцией пространства состояний системы (26) на пространство состояний
системы (25), что означает: система (26) по теореме 1 включает систему (25). При этом
УПС движений системы (25) на основании теоремы 3 следуют из соответствующих
УПС решений системы (26).
Покажем на конкретном примере, что для доказательства асимптотической устойчивости положения равновесия системы (25) с помощью векторных функций Ляпунова удается применять перекрывающиеся декомпозиции в случае, когда использование
неперекрывающихся декомпозиций не дает результата.
Пример 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
⎞⎛ 3 ⎞
⎛ dx1 ⎞ ⎛
−2
1| −1
x1
dt
⎠ ⎝ x32 ⎠ .
⎝ dx2 ⎠ = ⎝ 1 | − 1|
2
(31)
dt
3
dx3
x
−3
|
0
−2
3
dt
Здесь перекрывающиеся подсистемы обозначены пунктирными линиями.
Выпишем далее неперекрывающиеся подсистемы системы (31)
и
dx1
= −2x31 + x32 ,
dt
dx2
= x31 − x32
dt
(32)
dx3
= −2x33 .
dt
(33)
Функцию Ляпунова для системы (32) выберем в виде V1 (x1 , x2 ) = (x41 + x42 )/4, для
уравнения (33) – как V2 (x3 ) = x43 /4, а для системы (31) –
V (x1 , x2 , x3 ) = V1 (x1 , x2 ) + V2 (x3 ).
(34)
Очевидно, что
dV1 = −2x61 + 2x31 x32 − x62 ≡ W1 (x1 , x2 ),
dt (32)
dV2 = −2x63 ≡ W2 (x3 ).
dt (33)
Заменой ξ = x31 , η = x32 форма W1 (x1 , x2 ) приводится к квадратичной.
Согласно критерию Сильвестра, функция W1 (x1 , x2 ) является определенно-отрицательной. Функция W2 (x3 ) также определенно-отрицательная. Полная производная
по времени функции Ляпунова (34) на решениях системы (31) имеет вид
dV
|(31) = −2x61 + 2x31 x32 − 4x31 x33 − x62 + 2x32 x33 − 2x63 ≡ W (x1 , x2 , x3 ).
dt
129
Функция W (x1 , x2 , x3 ) – однородная форма шестого порядка. Однако заменой
ξ = x31 , η = x32 , γ = x33 она приводится к квадратичной форме. Применяя критерий
Сильвестра, получаем, что форма W (x1 , x2 , x3 ) не является знакоопределенно-отрицательной. Таким образом, с использованием неперекрывающихся подсистем и функции Ляпунова (34) не удается установить асимптотическую устойчивость системы (31).
Для того чтобы выявить асимптотическую устойчивость системы (31) с помощью
перекрывающихся декомпозиций, декомпозируем систему (31) по пунктирным линиям.
Эта декомпозиция соответствует перекрывающейся декомпозиции (см. систему (31))
фазового вектора состояний x = (x1 , x2 , x3 )T системы (31) на два фазовых вектора
состояний y = (y1T , y2T )T , y1 = (x11 , x12 )T , y2 = (x21 , x22 )T . Для удобства дальнейших
преобразований здесь введены обозначения x11 ::= x1 , x12 ::= x2 , x21 ::= x2 , x22 ::= x3 .
При такой декомпозиции матрицы V и U предстают в виде
⎛
⎞
⎞
⎛
1 0 0
1 0 0 0
⎜ 0 1 0 ⎟
⎟
⎝ 0 1 1 0 ⎠ , U V = E.
(35)
V =⎜
2
2
⎝ 0 1 0 ⎠, U =
0 0 0 1
0 0 1
Преобразования (28) здесь следующие: y (ν) = V x(ν) , x(ν) = U y (ν) , ν = 1, 3. Система
(31) «переходит» в расширенную систему
⎛ dx ⎞
11
⎛
⎞⎛ 3 ⎞
dt
−2
1|
0 −1
x11
⎜ dx ⎟
⎜ 12 ⎟ ⎜
⎜ x312 ⎟
0
2 ⎟
⎜ dt ⎟ ⎜ 1 −1|
⎟
⎟⎜
(36)
⎜ dx ⎟ = ⎝
1
0| −1
2 ⎠ ⎝ x321 ⎠
⎜ 21 ⎟
⎝ dt ⎠
3
x22
−3
0|
0 −2
dx
22
dt
с неперекрывающимися подсистемами.
Матрица системы (36) сформирована в соответствии с формулой Ã = V AU + M,
где дополнительная матрица
⎞
⎛
1
0
− 12 0
2
⎟
⎜
1
0 ⎟
⎜ 0 − 12
2
⎟.
⎜
M =⎜
⎟
1
1
−
0
⎠
⎝ 0
2
2
0
0
0
0
При этом нетрудно убедиться, что M y (3) = 0.
Подсистемы системы (35) имеют вид
и
130
dx11
= −2x311 + x312 ,
dt
dx12
= x311 − x312
dt
(37)
dx21
= −x321 + 2x322 ,
dt
dx22
= −2x322 .
dt
(38)
Здесь Ṽ1 = (3x411 + x412 )/4 есть определенно-положительная функция для системы (37),
а Ṽ2 = x421 /4 + x422 /3 – для системы (38).
Для системы (36) выберем определенно-положительную функцию Ляпунова
Ṽ (x11 , x12 , x21 , x22 ) =
1
4
(3x411 + x412 + x421 + x422 ).
4
3
Найдем
dṼ = −6x611 + 4x311 x312 + x311 x321 − 7x311 x322 − x612 + 2x312 x322 −
dt (35)
8
− x621 + 2x321 x322 − x622 ≡ W2 (x11 , x12 , x21 , x22 ).
3
Функция W2 (x11 , x12 , x21 , x22 ) является однородной формой шестого порядка, которая заменой η1 ::= x311 , η2 ::= x312 , η3 ::= x321 , η4 ::= x322 сводится к квадратичной.
С помощью критерия Сильвестра нетрудно проверить, что полученная таким образом
квадратичная форма определенно-отрицательна. Значит, система (36) асимптотически
устойчива. На основании теоремы 3 (см. п. 1)) из этого следует асимптотическая устойчивость системы (31).
Пример 2. Рассмотрим систему
⎛
⎞⎛ 3 ⎞
−2
1| −1 0
x1
⎟ ⎜ x32 ⎟
dx ⎜
1
|−1|
2|
0
⎟,
⎟⎜
=⎜
(39)
⎝ 3 | 0 −2|
0 ⎠ ⎝ x33 ⎠
dt
x34
1
2
−3 2
в которой представим вектор фазовых переменных в виде x = ((x(1) )T , (x(2) ))T , x(1) =
(x1 , x2 , x3 )T , x(2) = x4 . Система (39) имеет положение равновесия x = (0, 0, 0, 0)T . В качестве «частичного» положения равновесия системы будем считать x(1) = (0, 0, 0)T .
Здесь перекрывающиеся подсистемы обозначены пунктирными линиями. Введем обозначение
⎞
⎛
−2
1| −1
2 ⎠.
A1 = ⎝ 1 | − 1|
−3 | 0 −2
Приведем еще одну систему дифференциальных уравнений
⎛
⎞
⎞⎛ 3 ⎞ ⎛
| 0
0
x1
⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜
dx ⎜
| 0 ⎟
A1
⎟ ⎜ x23 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ .
=⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
x3
| 0
0 ⎠
dt
3
1
2 −3 2
x4
t2
(40)
Она не обладает положением равновесия, а «частичное» положение равновесия имеет
x(1) = (0, 0, 0)T .
Системы (39) и (40) с помощью преобразований y (ν) = V x(ν) , x(ν) = U y (ν) , ν = 1, 3,
1 приводятся соответственно к расширенным системам. Здесь V , U , M ,
и матрицы A
Ã1 – того же вида, что и при рассмотрении системы (36).
Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые касались установления асимптотической устойчивости положения равновесия системы (31), получим асимптотическую
устойчивость «частичных» положений равновесий соответственно систем (39) и (40).
131
Литература
1. Шильяк Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами / пер. с англ.; под ред.
В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с. (Siljak D. D. Decentralized Control of Complex
Systems. Cambridge, MA: Academic Press, 1991.)
2. Ikeda M., Siljak D. D., White D. E. An inclusion principle for dynamic systems // IEEE
Transactions. 1984. Vol. AC-29. P. 244–249.
3. Ikeda M., Siljak D. D. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems // Large Scale Systems. 1980. Vol. 1, N 29. P. 29–38.
4. Ikeda M., Siljak D. D. Generalized decompositions and stability of nonlinear systems // Proc. of
the 18th Allerton Conference. Monticello, 1980. P. 726–734.
5. Мартынюк А. А. Расширение пространства состояний динамических систем и проблема устойчивости // Прикл. механика. 1986. Т. XXII, № 12. С. 10–25.
6. Мартынюк А. А. Принцип включения для стандартных систем // Докл. АН СССР. 1984.
Т. 276, № 1. С. 34–37.
7. Воротников В. И. Два класса частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 1. С. 47–51.
8. Воротников В. И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия нелинейных динамических систем // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 332–337.
9. Воротников В. И. Частичная устойчивость и управление: состояние, проблемы и перспективы
развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3–32.
10. Косов А. А. Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления.
2005. Вып. 4. С. 123–129.
11. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестн.
С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 4.
С. 127–131.
12. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 c.
13. Panteley E., Loria A. Crowth rate conditions for uniform asymptotical stability of cascaded timevarying systems // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 645–651.
14. Su W., Fu M. Robust stabilisation of nonlinear cascaded systems // Automatica. 2006. Vol. 42.
P. 645–651.
15. Chaillet A., Loria A. Nesessary and sufficient conditions for uniform semiglobal partical asymptotic
stability application to cascaded systems // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 1899–1906.
16. Chaillet A., Angeli D. Integral input to state stable systems in cascade // Systems & Control
Letters. 2008. Vol. 57. P. 519–527.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 19 мая 2011 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
280 Кб
Теги
равновесие, включение, устойчивоподобные, система, свойства, принципы, частичного, положение, динамическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа