close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке.

код для вставкиСкачать
2008
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (550)
УДК 517.9
В.В. ПРОВОТОРОВ
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ
ШТУРМА{ЛИУВИЛЛЯ НА ГРАФЕ-ПУЧКЕ
Аннотация.
В работе рассматривается вопрос применимости метода Фурье для дифферен-
циальных уравнений в частных производных на пространственных сетях (в качестве модели
сети взят граф-пучок), приводящий к важной задаче: разложению заданной функции по
собственным функциям соответствующей задачи Штурма{Лиувилля на сети. Изучается модельная задача, описывающая симметричный случай, когда на графе-пучке рассматриваются физически одинаковые одномерные континуумы. К таким задачам приходят, например,
при моделировании колебательных процессов упругой мачты с поддерживающими упругими
растяжками.
Анализ процессов в сложных системах, допускающих представление в виде набора одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы, приводит к изучению задачи
Штурма{Лиувилля на сети ([1], с. 33). На каждом ребре такой сети имеют место классические
уравнения, описывающие процесс, а в узлах сети, где ребра смыкаются, решения смежных уравнений связаны некоторыми условиями. Если процесс в сложной системе, являясь динамическим,
описывается линейными уравнениями в частных производных, то естественным является вопрос
применимости метода Фурье, приводящий к важной задаче: разложению заданной функции по
собственным функциям соответствующей задачи Штурма{Лиувилля на сети.
В данной работе рассматривается симметричный случай, когда сеть представляет собой пучок физически одинаковых одномерных континуумов (m ребер с одним узлом). К таким задачам
приходят, например, при так называемом неразрушающем контроле процесса, не допускающем
контролирующие компоненты датчика внедрять в тело исследуемого континуума (их ставят
в место смычки континуумов), при моделировании колебательных процессов упругой мачты с
поддерживающими упругими растяжками.
Sm
Sm
Пусть k = (0; 2 ), k = 1; m ; 1, m = ( 2 ; ). Обозначим ; = k , очевидно ; = k .
k=1
k=1
Множество ; представляет собой граф-пучок с узлом 2 . На графе ; рассмотрим множество
= функций y(x) 2 C (;) \ C 2(;) (непрерывность в узле 2 означает выполнение соотношений
y(x)x= 2 21 = y(x)x= 2 22 = = y(x)x= 2 2 m ), производные которых в точках 2 2 k , k = 1; m
Ключевые слова:
краевая задача на графе, собственные функции, функция Грина, полнота системы
собственных функций, разложимость по собственным функциям.
50
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
51
(т. е. в узле 2 ), удовлетворяют условиям согласования (условия трансмиссии ([1], с. 27)):
mX
;1
k=1
y0(x)x= 2 2k = y0 (x)x= 2 2 m :
(1)
На функциях y(x) 2 = рассмотрим краевую задачу Штурма{Лиувилля
`(y) ;y00 + q(x)y = y;
Uk (y) (y0 (x) ; hy(x))x=02 k = 0; k = 1; m ; 1;
V (y) (y0 (x) + hy(x))x=2m = 0;
(2)
(3)
(4)
здесь | спектральный параметр; q(x), h > 0 вещественные; q(x) 2 C (k ), k = 1; m.
Наряду с краевой задачей (2){(4) рассмотрим классическую краевую задачу Штурма{
Лиувилля на отрезке [0; ] для функций y(x) 2 C [0; ] \ C 2 (0; ):
; y00 + q(x)y = y; x 2 (0; );
(5)
0
U (y) y(0) ; hy(0) = 0; V (y) y () + hy() = 0:
(6)
Здесь, как и в задаче (2){(4), q(x), h > 0 вещественные, q(x) 2 C [0; ]. Симметричность задачи
(2){(4) ((5), (6)) понимается в виде наличия соотношений q(x) = q(x) = = q(x) m; =
q( ; x) m (q(x) = q( ; x), x 2 [0; ]).
1
2
1
Предварительно изучим свойства спектра краевой задачи (2){(4) и получим асимптотические
формулы для собственных значений и собственных функций, при этом краевая задача (5), (6)
носит вспомогательный характер.
В дальнейшем потребуется
Теорема 1 ([2], с. 41). Для любого существует единственное решение y (x; ) 2 C [0; ] \
C 2(0; ) уравнения (5) такое, что y(0; ) = sin , y0 (0; ) = ; cos . Для каждого фиксированного
x 2 [0; ] функция y(x; ) является целой аналитической функцией от .
Пусть функции (x; ); (x; ) 2 C [0; ]\C 2(0; ) | решения уравнения (5), удовлетворяющие
начальным условиям ( 2 ; ) = 1, 0 ( 2 ; ) = 0 и ( 2 ; ) = 0, 0 ( 2 ; ) = 1 соответственно (линейная
независимость функций (x; ), (x; ) очевидна). Тогда функции
(
!k (x; ) = ik (x; ); x 2 i ; i = 1; m ; 1;
(x; ); x 2 m ;
(k=1;m;1)
!m(x; ) (x; ); x 2 ;
(7)
(здесь ik | символ Кронекера) являются линейно независимыми решениями уравнения (2) на
графе ;.
Лемма 1. Функции !k (x; ), k = 1; m, образуют фундаментальную систему решений уравнения (2).
Доказательство.
Пусть y(x; ) | произвольное решение уравнения (2), тогда
y(x; ) k = c1k (x; ) + c2k (x; ); k = 1; m:
Включение y(x; ) 2 = связывает постоянные c1k , c2k соотношениями
c11 = c12 = = c1m ;
mX
;1
k=1
c2k = c2m :
(8)
52
В.В. Провоторов
Пусть c2k = ck , k = 1; m ; 1, c1k = ck , k = 1; m, тогда c2m =
влении (8) принимает вид
y(x; ) =
m
X
k=1
mP
;1
k=1
ck и функция y(x; ) в предста-
ck !k (x; ); x 2 ;;
т. е. произвольное решение уравнения (2) является некоторой линейной комбинацией функций
!k (x; ), k = 1; m.
Фундаментальную систему решений f!k (x; )gmk=1 уравнения (2) назовем базовой фундаментальной системой решений уравнения (2).
Пусть функции u(x; ); v(x; ) 2 C [0; ] \ C 2 (0; ) являются решениями уравнения (5) при
начальных условиях u(0; ) = 1, u0 (0; ) = h, v(; ) = 1, v0 (; ) = ;h (v(x; ) = u( ; x; ),
x 2 [0; ]). В силу теоремы 1 при каждом фиксированном функции u(x; ), v(x; ) являются
целыми аналитическими по . Ясно, что U (u) = 0, V (v) = 0. Рассмотрим функции
(
'k (x; ) = u( 2 ; )(x; ); x 2 i (i = 1; m ; 1; i 6= k);
u(x; );
x 2 k [ m;
(k=1;m;1)
(
'm(x; ) = v( 2 ; )(x; ); x 2 i (i = 2; m ; 1);
v(x; );
x 2 1 [ m:
(9)
Очевидно, функции 'k (x; ), k = 1; m, принадлежат множеству =, являются решениями
уравнения (2) и удовлетворяют краевым условиям Uk ('k ) = 0, k = 1; m ; 1, V ('m ) = 0. Покажем
их линейную независимость. Согласно лемме 1
'k (x; ) =
m
X
i=1
aki !i (x; ); k = 1; m;
(10)
где aki | надлежащим образом подобранные константы.
Лемма 2. Решения 'k (x; ), k = 1; m, уравнения (2) линейно независимы на графе ; тогда
и только тогда, когда матрица A = kaki k, k; i = 1; m, составленная из коэффициентов aki
представлений (10) , является невырожденной.
Доказательство.
Функции 'k (x; ), k = 1; m, линейно независимы на ;, если соотношение
m
X
k=1
k 'k (x; ) = 0; x 2 ;;
имеет место только при k = 0, k = 1; m. Учитывая (10), рассмотрим соотношение
m
m
X
X
k=1
k
i=1
aki !i (x; ) = 0; x 2 ;:
Так как функции !k (x; ), k = 1; m, являются линейно независимыми на ;, то
m
X
k=1
k aki = 0; i = 1; m:
(11)
Таким образом, получаем систему линейных однородных уравнений (11) относительно k с
определителем, отличным от нуля, значит, k = 0, k = 1; m.
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
53
Получим разложение функций 'k (x; ), k = 1; m, по базовой фундаментальной системе (7)
'k (x; ) =
m
X
i=1
aki !i (x; ); k = 1; m:
(12)
Для каждого фиксированного k = 1; m в соответствии с (11) получаем m систем линейных
алгебраических уравнений относительно постоянных aki , k; i = 1; m, которые и определяют эти
постоянные: aki = ki u0 ( 2 ; ), k; i = 1; m ; 1; akm = u( 2 ; ), k = 1; m ; 1; am1 = v0 ( 2 ; ); ami = 0,
k = 2; m ; 1; amm = v( 2 ; ). Значит, матрица A коэффициентов разложения функций 'k (x; ),
k = 1; m, по базовой фундаментальной системе решений (7) имеет вид
0u0( ; ) 0
0
:::
0
u( 2 ; ) 1
2
BB 0 u0 ( 2 ; ) 0 : : :
0
u( 2 ; ) C
C
BB 0
; ) C
0
;
)
:
:
:
0
u
(
0
u
(
C;
2
2
A=B
BB : : :
CC
:::
::: C
@ 0
0
0
: : : u0 ( 2 ; ) u( 2 ; ) A
v0 ( 2 ; )
0
0
:::
0
v( 2 ; )
определитель ее равен ;(u0 ( 2 ; ))m;2 (), где () = u(x; )v0 (x; ) ; u0 (x; )v(x; ), x = =2.
Таким образом, получена
0 m;2 (), то функции 'k (x; ), k = 1; m, обраТеорема 2. Если не является нулем u ( ; )
2
зуют фундаментальную систему решений уравнения (2), причем Uk ('k ) = 0, k = 1; m ; 1,
V ('m ) = 0.
Пусть (Ly)(x); y00 +q(x)y | дифференциальное выражение, заданное на функциях y(x)2=,
x 2 ;, и пусть D | совокупность функций y(x), удовлетворяющих краевым условиям (3), (4).
Оператором Штурма{Лиувилля L на графе ; назовем оператор, порожденный дифференциальным выражением (Ly)(x) и многообразием D. Обозначим hg1 (x); g2 (x)i = g1 (x)g20 (x) ; g10 (x)g2 (x),
x 2 ; (в вершинах и узле графа производные понимаются как односторонние).
Лемма 3. Для любых функций h1 (x); h2 (x) 2 = имеет место
Z
;
mX
;1
(Lh1 )(x)h2 (x)dx = hh1 (x); h2 (x)ix= ;
Здесь интеграл на
k=1
Z
hh1 (x); h2 (x)ix=02k + h1 (x)(Lh2 )(x)dx: (13)
;
; определяется как сумма интегралов на k , k = 1; m.
R
m R
P
Рассмотрим интеграл (Lh1 )(x)h2 (x)dx =
(Lh1 )(x)h2 (x)dx. Вычиk=1 k
;
слим каждый интеграл по k , k = 1; m, два раза по частям, получим
Доказательство.
m Z
X
k=1 k
(Lh1 )(x)h2 (x)dx =
m Z
X
k=1 k
(;h001 (x) + q(x)h1 (x))h2 (x)dx =
= [h1 (x)h02 (x) ; h01 (x)h2 (x)]x= ;
+
mX
;1
k=1
mX
;1
k=1
[h1 (x)h02 (x) ; h01 (x)h2 (x)]x=02k +
[h1 (x)h02 (x) ; h01 (x)h2 (x)]x= 2 2 k ; [h1 (x)h02 (x) ; h01 (x)h2 (x)]x= 2 2 m +
+
m Z
X
k=1 k
h1 (x)(;h002 (x) + q(x)h2 (x))dx = hh1 (x); h2 (x)ix= ;
;
mX
;1
k=1
Z
hh1 (x); h2 (x)ix=02k + h1(x)(Lh2 )(x)dx:
;
54
В.В. Провоторов
Здесь использованы краевые условия (3), (4) и структура многообразия =.
Следствие.
Если h1 (x); h2 (x) 2 D, то
Z
;
Z
(Lh1 )(x)h2 (x)dx =
;
h1 (x)(Lh2 )(x)dx:
Теорема 3. Собственные значения и собственные функции краевой задачи
(2){(4)
веще-
ственны. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны в
L2(;).
Доказательство. Пусть 0 = + i | комплексное собственное значение и y0 (x) | ему соответствующая собственная функция. В силу вещественности q(x), h, H число 0 = ; i также
является собственнымR значением с собственной функцией y0 (x). Тогда из леммы 3 (0 6= 0 ) вытекает ky0 (x)k2L2 (;) = y0 (x)y0 (x)dx = 0, что невозможно. Таким образом, все собственные зна;
чения краевой задачи (2){(4) вещественны, следовательно, собственные функции вещественны.
Пусть n 6= k | собственные значения краевой задачи (2){(4), yn (x), yk (x) | соответствующие
собственные функции. Тогда ввиду леммы 3
Z
т. е.
;
Z
Z
(Lyn )(x)yk (x)dx =
;
Z
yn (x)(Lyk )(x)dx;
n yn (x)yk (x)dx = k yn(x)yk (x)dx; n 6= k:
;
;
Отсюда вытекает ортогональность функций yn (x), yk (x) в L2 (;):
n 6= k.
R y (x)y (x)dx = 0,
n
k
;
Обозначим
(
()x= k = h'k (x; ); 'm (x; )i; k = 1; m ; 1;
(14)
h'1 (x; ); 'm (x; )i; k = m:
Согласно формуле Остроградского{Лиувилля выражения h'k (x; ); 'm (x; )i, k = 1; m ; 1,
не зависят от x на каждом ребре i , i = 1; m, а значит, () является кусочно-постоянной функцией по x 2 ;. Очевидны простейшие свойства функции ():
()x=02k = h'k (x; ); 'm (x; )ix=02k = ['0m (x; ) ; h'm (x; )]x=02k = Uk ('m );
(k=1;m;1)
()x= = h'1 (x; ); 'm (x; )ix= = ;['01 (x; ) + h'1 (x; )]x= = ;V ('1 );
кроме того, учитывая представления (9) и (14), а также симметричность задачи (5), (6) (v(x; ) =
u( ; x; ), x 2 [0; ]), получаем
()x2 [ m = ;2u 2 ; u0 2 ; ;
= ()x2 = = ()x2m; = ;u 2 ; u0 2 ; ;
1
()x2 2
3
1
откуда вытекает: равенство нулю функции () хотя бы на одном из ребер влечет ее равенство
b ) = ()x21[m , очевидно b () = 2()x2k , k = 2; m ; 1.
нулю на графе ;. Обозначим (
b ).
Установим основные свойства функций (), (
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
Теорема 4.
ства нулей
1)
Функция
fn g 2)
.
Нули
()
fng
является целой по
55
и имеет не более счетного множе-
совпадают с собственными значениями краевой задачи
(2){(4).
3) Функции 'k (x; n ), k = 1; m, являются собственными функциями и существует последоваfn g (n 6= 0) такая, что
'm (x; n ) = n '1 (x; n ):
(15)
Доказательство. 1) Функции 'k (x; ), k = 1; m, являются целыми по (теорема 1), функции h'k (x; ); 'm (x; )i также являются целыми по , значит, и () | целая функция .
2) Пусть 0 | нуль (). Тогда Uk ('m ) = 0, k = 1; m ; 1, V ('1 ) = 0, кроме того, V ('m ) = 0,
Uk ('1 ) = 0, k = 1; m ; 1. Значит, 0 | собственное значение краевой задачи (2){(4), а '1 (x; 0 ),
'm(x; 0 ) | собственные функции. Из представлений (9) функций '1 (x; 0 ), 'm (x; 0 ) вытекает,
что для функций u(x; ), v(x; ), x 2 [0; ], имеет место U (u) = 0, V (u) = 0 и U (v) = 0, V (v) = 0,
т. е. 0 | собственное значение краевой задачи (5), (6) и v(x; 0 ) = 0 u(x; 0 ), x 2 [0; ] (0 6= 0),
значит, 'm (x; 0 ) = 0 '1 (x; 0 ), x 2 ;. При этом
если u( 2 ; 0 ) = 0, а значит, v( 2 ; 0 ) = 0, u0 ( 2 ; 0 ) 6= 0, v0 ( 2 ; 0 ) 6= 0, то собственное
значение 0 имеет m ; 1 линейно независимых на ; собственных функций
(
x 2 i ; i = 1; m ; 1; i 6= k;
('0m (x; 0 ) = 0 '01 (x; 0 ));
'0k (x; 0 ) = 0;
u(x; 0 ); x 2 k [ m
(k=1;m;1)
если u( 2 ; 0 ) 6= 0, а значит, v( 2 ; 0 ) 6= 0, u0 ( 2 ; 0 ) = 0, v0 ( 2 ; 0 ) = 0, то u(x; 0 ) u( 2 ; 0 )(x; 0 ), x 2 [0; 2 ], и собственному значению 0 соответствует одна собственная
функция '0 (x; 0 ) 'k (x; 0 ), x 2 ;, k = 1; m.
Обратно, пусть 0 | собственное значение краевой задачи (2){(4) и y0 (x) | собственная
функция. Тогда Uk (y0 ) = 0, k = 1; m ; 1, V (y0 ) = 0. Отметим, что существует хотя бы одно
ребро k0 (1 k0 m ; 1), для которого значение y0(x)x=02 k0 6= 0. В противном случае при
y0(x)x=02 k = 0, k = 1; m ; 1, в соответствии с краевыми условиями (3) y00 (x)jx=02k = 0, k =
1; m ; 1, откуда y0 (x) 0, x 2 k (k = 1; m ; 1), а значит, y0 (x) 0, x 2 ;, что невозможно.
Пусть y0(x)x=02 k 6= 0, k = 1; k0 , 1 k0 < m ; 1, y0(x)x=02 k = 0, k = k0 + 1; m ; 1.
Тогда y0 (x) 0, x 2 k , k = k0 + 1; m ; 1, непрерывность в узле 2 дает y0 (x)x= 2 2 k = 0,
k = 1; m ; 1. Так как y0(x) = k u(x; 0 ), x 2 k , k = 1; k0 (k | некоторые постоянные), значит, u( 2 ; 0 ) = 0. Непрерывность функции y0 (x) в узле 2 и условия взаимодействия (1) дают
k0
P
начальные условия для функции y0 (x) на ребре m : y0 ( 2 ) = 0, y00 ( 2 ) m = k u0 ( 2 ; 0 ). Отсютельность
k=1
P
k
k
k
k
P
b 0 ) P
да y0 (x) = k '0k (x; 0 ), x 2 ;. Значит, V (y0 ) = V
k '0k = P k V ('0k ) = ;(
k ,
k=1
k=1
k=1
k=1
b 0 ) = 0, так
'01(x; 0 ) = '0k (x; 0 ) = u(x; 0 ), x 2 m, k = 1; k0 . Учитывая V (y0) = 0, получаем (
kP
как постоянные k всегда можно выбрать так, что k =
6 0. Отсюда (0) = 0.
k=1
6 0, k = 1; m ; 1. Тогда y0(x) = k u(x; 0 ), x 2 k , k = 1; m ; 1. Если
Пусть, далее, y0(x)x=02 k =
m;1
u( 2 ; 0 ) = 0, то аналогично предыдущему y0(x) = P k '0k (x; 0 ), x 2 ;, и 0 | нуль функции
k=1
(0 ). Если же u( 2 ; 0 ) =
6 0, то из условия непрерывности в узле 2 вытекает, что постоянные k
0
0
0
0
0
равны между собой и можно считать их равными единице. Таким образом, получаем начальные
условия для функции y0 (x) на ребре m : y0 (x)x= 2 2m = u( 2 ; 0 ), y00 (x)x= 2 2m = (m ; 1)u0 ( 2 ; 0 ). С
другой стороны, в силу условий v(; 0 ) = 1, v0 (; 0 ) = ;h получаем y0 (x)x2m = v(x; 0 ), |
некоторая постоянная. Учитывая симметричность краевой задачи (5), (6), имеем y0 (x)x= 2 2m =
v( 2 ; 0 ) = u( 2 ; 0 ) и y00 (x)x= 2 2m = v0 ( 2 ; 0 ) = ;u0 ( 2 ; 0 ). Отсюда и из предыдущего получаем = 1, u0 ( 2 ; 0 ) = 0, т. е. v0 ( 2 ; 0 ) = 0. Значит, y0(x) = v(x; 0 ), x 2 m . Учитывая
56
В.В. Провоторов
y00 (x)x= 2 2m = 0, k = 1; m, получаем y0 (x) = 'm (x; 0 ), x 2 ;. Собственное значение 0 является
нулем функции (), так как ()x=02k = Uk ('m ) = Uk (y0 ) = 0, k = 1; m ; 1.
Пусть | множество собственных значений n краевой задачи (2){(4), тогда
=
где 0 | множество собственных значений 0n таких, что u( 2 ; 0n ) = 0, 00 |
множество собственных значений 00n , для которых u0 ( 2 ; 00n ) = 0. При этом, если собственное
значение n = 0n , то оно имеет m ; 1 собственных функций
Следствие.
0
[ 00,
'k (x; 0n ) =
(k=1;m;1)
(
0;
x 2 i (i = 1; m ; 1; i 6= k);
u(x; 0n ); x 2 k [ m ;
k = 1; m ; 1;
при этом n = ;1; если собственное значение n = 00n , то оно простое '(x; 00n ) = '1 (x; 00n )
(= 'k (x; 00n ), k = 2; m), x 2 ; | соответствующая собственная функция (n = 1).
R
Обозначим !n = '21 (x; n )dx.
;
Теорема 5. Пусть
n | собственное значение краевой задачи (2){(4), тогда
b 0 (n ) = n !n ;
где число
(16)
n определяется в соответствии со следствием теоремы 4.
Доказательство. Пусть n | собственное значение краевой задачи (2){(4). Возьмем произвольное из окрестности n . Для функций '1 (x; ), 'm (x; n ) формула (13) принимает вид
Z
;
(L'1 )(x; )'m (x; n )dx = h'1 (x; ); 'm (x; n )ix= ;
;
mX
;1
k=1
Z
h'1 (x; ); 'm (x; n )ix=02k + '1(x; )(L'm )(x; n )dx:
;
Согласно условиям (3), (4) получаем h'1 (x; ); 'm (x; n )ix= ;
['1 (x; )'0m (x; n ) ; '01 (x; ) 'm (x; n )]x= ;
mP
;1
k=1
mP
;1
k=1
h'1 (x; ); 'm (x; n )ix=02k =
['1 (x; )'0m (x; n ) ; '01 (x; )'m (x; n )]x=02k =
m;1
b ), значит, преды;['01(x; ) + h'1 (x; n )]x= ; P ['m (x; n ) ; h'm (x; n )]x=02k = ;V ('1 ) = (
дущее соотношение дает
k=1
Z
b n ):
( ; n ) '1 (x; )'m (x; n )dx = (
;
При ! n ввиду (15) приходим к формуле (16).
Замечание. Из n 6= 0, !n 6= 0 в силу соотношения (16) и представления (14) вытекает
b ), а значит, и функции ().
простота нулей функции (
Изучим асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций задачи
(2){(4) в комплексной -плоскости спектрального параметра. Пусть = 2 , = =; обозначим
G = f : j ; kj > 0, k = 0; 1; 2; : : : g.
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
Теорема 6. При
(
jj ! +1
верны следующие асимптотические формулы
57
:
1
cos ( ; x); x 2 (i = 1; m ; 1; i 6= k );
cos
i
2
2
'k (x; ) =
+ O jj exp(j jx) ;
cos x;
x 2 k [ m;
(k=1;m;1)
( 'm (x; ) = cos 2 cos ( 2 ; x); x 2 i (i = 2; m ; 1); + O j1j exp(j jx) ;
cos ( ; x);
x 2 1 [ m;
( '0k (x; ) = cos 2 sin ( 2 ; x); x 2 i (i = 1; m ; 1; i 6= k); + O(exp(j jx));
; sin x;
x 2 k [ m;
(k=1;m;1)
( '0m (x; ) = cos 2 sin ( 2 ; x); x 2 i (i = 2; m ; 1); + O(exp(j jx));
sin ( ; x);
x 2 1 [ m;
(
1
1=2; x 2 i (i = 2; m ; 1);
+ O jj exp(j jx) ; 2 G :
() = sin 1; x 2 1 [ m ;
(17)
Доказательство. Асимптотические формулы (17) получаются из представлений (9), (14)
для функций 'k (x; ), k = 1; m, и () с использованием асимптотических формул для функций
u(x; ), v(x; ) и определителя () ([3], с. 12): при jj ! +1 u(x; ) = cos x + O( j1j exp(j jx)),
u0 (x; ) = ; sin x + O(exp(j jx)), v(x; ) = cos ( ; x)+ O( j1j exp(j jx)), v0 (x; ) = sin ( ; x)+
O(exp(j jx)), () = ; sin [1 + O(exp(j jx))] при 2 G .
Следствие. Краевая задача (2){(4) имеет счетное множество собственных значений fn gn0 ,
p
при этом n = n = n + O(1=n), асимптотические формулы для собственных функций получаются из соотношений (17) при = n .
Функцией Грина краевой задачи (2){(4) ([1], с. 68) назовем функцию G(x; t; ) такую, что
решение полуоднородной задачи `(y) ; y = f (x), Uk (y) = 0, k = 1; m ; 1, V (y) = 0 при любой
функции f (x) может быть представлено в виде
Z
y(x; ) = G(x; t; )f (t)dt;
;
т. е. функция y(x; ) представляется истокообразно при помощи ядра G(x; t; ).
Определим G(x; t; ) соотношением G(x; t; ) = G0 (x; t; ) + g(x; ), где
8(
>
'k (x; )'m (t; );
>
>
<
G0(x; t; ) = (ik) > ('k (t; )'m (x; );
'1(x; )'m (t; );
k
(i=1;m)
>
: '1(t; )'m (x; );
x t; x 2 ; t 2 ; k = 1; m ; 1;
k
i
t x;
x t; x 2 ; t 2 ; k = m;
k
i
t x;
g(x; ) = ck 'k (x; ); x 2 k ; k = 1; m;
ck , k = 1; m, определяются как решение системы m линейных алгебраических уравнений, порожденной условиями непрерывности решения y(x; ) в узле 2 и условиями взаимодействия (1)
(t 2 ;):
u ; c ; u ; c
= G (x; t; ) ; G (x; t; ) ;
2
mX
;1
k=1
k
2
m
(k=1;m;1)
0
x= 2 2 m
0
x= 2 2 k
mX
;1 @G
0
0
(
x;
t;
)
;
u0 2 ; ck + u0 2 ; cm = @G
x= 2 2 m
@x
@x (x; t; )x= 2 2k :
k=1
(18)
58
В.В. Провоторов
Определитель системы (18) имеет вид D() = m(u( 2 ; ))m;1 u0 ( 2 ; ); вспомогательные определители имеют вид Dk (t; ) i = b (2) (1 ; meki )(u( 2 ; ))m;1 u0 ( 2 ; )'i (t; ) i , k; i = 1; m, где
(
eki = ki 1=2; k = 1; m;
i = 1; m. Коэффициенты ck ck (t; ), k = 1; m, определяются
1; k = 2; m ; 1;
соотношениями
ck (t; ) i = b2 (1 ; meki )'i (t; )i ; i = 1; m; k = 1; m:
m()
Таким образом, функция Грина краевой задачи (2){(4) принимает вид
G(x; t; ) = G0(x; t; ) + ck (t; )'k (x; ); x 2 k ; k = 1; m:
(19)
Из представления (19) и асимптотик (17) вытекает асимптотическая формула для функции
Грина
1
G(x; t; ) = O exp(j jx) ; 2 G ;
(20)
jj
при фиксированном > 0.
Пусть fn gn0 | собственные значения краевой задачи (2){(4), f'(x; n )gn0 | соответствующие им собственные функции; при этом каждое собственное значение в последовательности
fngn0 повторяется столько раз, сколько ему соответствует линейно независимых собственных
функций.
Теорема 7. Система собственных функций f'(x; n )gn0 краевой задачи (2){(4) полна и
2
образует ортогональный базис в L (;).
Доказательство. Рассмотрим истокообразно представимую функцию
Z
Y (x; ) = G(x; t; )f (t)dt;
;
в комплексной -плоскости спектрального параметра получим вычеты в точках = n для
случаев n = 0n и n = 00n .
Пусть n = 0n . Учитывая следствие теоремы 4 и используя представление функции Грина
(19), на каждом из ребер k получим
1) при n = 0n
Z
;
2
0
0
( ; n )Y (x; ) k = b 0 0 'k (x; n ) 'k (t; 0n )f (t)dt +
Res Y (x; ) k = lim
=0n
!0n
k
(n )
Z
m
X
+ b 20 0
' (x; 0 ) ' (t; 0 )f (t)dt =
m (n ) i=1 k n i i n
Z
mX
;1
1
0
' (t; 0 )]f (t)dt; k = 1; m ; 1;
= ; ' (x; ) [;2' (t; 0 ) + 2
k
!n
n
k
;
n
m
i=1
i
n
;
i=1
;1
1 ' (x; 0 ) Z 2 mX
0
0
Res
Y
(
x;
)
=
lim
(
;
)
Y
(
x;
)
=
;
m !0
m
n
=0
! m n m 'i (t; n )f (t)dt;
n
2) при n = 00n
n
n
Z
m
X
2
00
= b 0 00
'k (x; n) 'm(t; 00n )f (t)dt =
i
m (n ) i=1
Z
2 ' (x; 00 ) ' (t; 00 )f (t)dt; k = 1; m:
= m!
1
1
n
n
Res Y (x; ) k = lim
( ; 00n )Y (x; ) k
=00n
!00n
n
;
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
59
Из полученных представлений вычетов в точках n вытекает, что если функция f (x) ортогональна всем собственным функциям '(x; n ), то Res
Y (x; ) = 0 и, следовательно, при каждом
=n
фиксированном x 2 ; функция Y (x; )является целой по . Асимптотическая формула (20) дает
оценку при фиксированном > 0 и достаточно большом > 0:
jY (x; )j Cjj ; 2 G ; jj (здесь C | фиксированная постоянная). Используя принцип максимума модуля для аналитических функций ([4], с. 214), заключаем, что Y (x; ) = 0, x 2 ;. Отсюда следует f (x) = 0 почти
всюду на ;. Ортогональность собственных функций вытекает из теоремы 3 (при n 6= m ), а
также возможности ортогонализовать m ; 1 собственных функций, соответствующих каждому
собственному значению 0n .
Приведем условия разложимости заданной функции f (x) в ряд по собственным функциям
f'(x; n )gn0.
Теорема 8. Для любой абсолютно непрерывной функции f (x), x 2 ;, имеет место разложение в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям f'(x; n )gn0 :
Z
1
X
f (x) = a '(x; ); a = 1 f (t)'(t; )dt;
n=0
n
n
n
!n
;
n
;.
Доказательство. Пусть f (x) | произвольная абсолютно непрерывная на ; функция. Так
как 'k (x; ), k = 1; m, | решения уравнения (2), то функцию Y (x; ), x 2 ;, можно преобразовать к виду
Zx
Y (x; )1 = b1 'm(x; ) [;'001 (t; ) + q(t)'1 (t; )]f (t)dt +
0
()
причем ряд сходится равномерно на
+ '1 (x; )
; '1(x; )
Z
2
Zx
1
[;'00m (t; ) + q(t)'m (t; )]f (t)dt ;
[;'001 (t; ) + q(t)'1 (t; )]f (t)dt +
m Z
X
2
00
[;'k (t; ) + q(t)'k (t; )]f (t)dt ;
+ m '1 (x; )
k=1 k
Zx
1
Y (x; ) = b
2' (x; ) [;'002 (t; ) + q(t)'2 (t; )]f (t)dt +
0
() m
Z
+ 2'2 (x; ) [;'00m (t; ) + q(t)'m (t; )]f (t)dt ;
Zx
; 2'2 (x; ) [;'002 (t; ) + q(t)'2 (t; )]f (t)dt +
m Z
X
[;'00k (t; ) + q(t)'k (t; )]f (t)dt ;
+ m2 '2 (x; )
2
2
2
k=1 m
:::::::::::::::::::::
Zx
1
Y (x; )m = b
' (x; ) [;'001 (t; ) + q(t)'1 (t; )]f (t)dt +
() mZ
2
00
+ '1 (x; ) [;'m (t; ) + q(t)'m (t; )]f (t)dt ;
x
60
; 'm(x; )
В.В. Провоторов
Z
[;'00m (t; ) + q(t)'m (t; )]f (t)dt +
m
m Z
X
+ m2 'm (x; )
k=1 k
[;'00k (t; ) + q(t)'k (t; )]f (t)dt:
Учитывая вид (9) функций 'k (x; ), k = 1; m, вычислим интегралы по частям в представлениях функций Y (x; ) k , k = 1; m, содержащих вторые производные от 'k (x; ). Получим
Y (x; ) = f (x) + 1 (S (x; ) + S (x; ));
где
1
2
Zx
Z 2
S1 (x; ) 1 = b 1 'm (x; ) '01 (t; )f 0(t)dt + '1 (x; ) '0m (t; )f 0(t)dt ;
0
x
()
Z
Z
m
X
2
0
0
0
0
; '1 (x; ) '1 (t; )f (t)dt + m '1(x; )
'k (t; )f (t)dt ;
1
k
k=1
Z
Z
x
1
0
0
S1 (x; ) = b
2' (x; ) '2 (t; )f (t)dt + 2'2 (x; ) '0m (t; )f 0(t)dt ;
0
x
() m
Z
Z
m
X 0
2
0
0
0
; 2'2 (x; ) '2 (t; )f (t)dt + m '2 (x; )
'k (t; )f (t)dt ;
2
2
2
:::::::::::::::::::::
k=1 k
Zx
Z
S1 (x; ) m = b 1 'm (x; ) '01 (t; )f 0(t)dt + '1 (x; ) '0m (t; )f 0(t)dt ;
x
()
Z
Z 2
m
X
2
0
0
0
0
'k (t; )f (t)dt ;
; 'm (x; ) 'm (t; )f (t)dt + m 'm (x; )
k
m
=1
kX
m
1
2
S2 (x; ) = b
hf (0) ('m (x; ) ; '1 (x; )) + m h f (0) k + f () '1 (x; ) +
()
Zx
Zk=1
+ 'm (x; ) q(t)'1 (t; )f (t)dt + '1 (x; ) q(t)'m (t; )f (t)dt ;
x
Z0
m Z
X
2
q(t)'k (t; )f (t)dt ;
; '1 (x; ) q(t)'1 (t; )f (t)dt + m '1 (x; )
k=1 k
X
m
S2 (x; ) = b 1 2hf (0) ('m (x; ) ; '2 (x; )) + m2 h f (0)k + f () '2 (x; ) +
()
k=1
Zx
Z
+ 2'm (x; ) q(t)'2 (t; )f (t)dt + 2'2 (x; ) q(t)'m (t; )f (t)dt ;
x
Z0
m Z
X
2
; 2'2 (x; ) q(t)'2 (t; )f (t)dt + m '2 (x; )
q(t)'k (t; )f (t)dt ;
1
1
2
1
2
2
2
k=1 k
2
:::::::::::::::::::::
X
m
1
2
S2 (x; ) m = b
hf ()('m (x; ) ; '1(x; )) + m h f (0) k + f () 'm (x; ) +
()
kZ=1
Zx
+ 'm (x; ) q(t)'1 (t; )f (t)dt + '1 (x; ) q(t)'m (t; )f (t)dt ;
; 'm (x; )
Z
2
m
x
q(t)'m (t; )f (t)dt + m2 'm (x; )
m Z
X
k=1 k
q(t)'k (t; )f (t)dt :
Разложение по собственным функциям задачи Штурма{Лиувилля...
61
Из асимптотических формул (17) и представления функции S2 (x; ) при фиксированном
> 0 и достаточно большом > 0 вытекает оценка
max jS2 (x; )j jCj ; 2 G ; jj :
(21)
x2;
Рассмотрим функцию S1 (x; ). Обозначим g(x) = f 0(x), x 2 ; (производные в узле 2 односторонние). Предположим сначала, что g(x) абсолютно непрерывна на каждом из ребер k ,
k = 1; m. Тогда интегрирование по частям приводит S1 (x; ) к виду, содержащему под знаком
производной только функцию g(x). В силу асимптотических формул (17) получаем оценку, аналогичную (21):
max jS1 (x; )j jCj ; 2 G ; jj :
x2;
Пусть g(Rx) 2 L(;). Зафиксируем " > 0 и выберем абсолютно непрерывную функцию g" (x)
так, чтобы jg (t) ; g" (t)jdt < 2"Ce , где Ce = max sup jS1 (x; )j. Тогда при 2 G , имеем
x2; 2G
;
max jS1 (x; )j max jS1 (x; ; q" )j+max jS1 (x; ; g ; g" )j 2" + jCej . Следовательно, существует 0 > 0
x2;
x2;
;
такое, что max jS1 (x; )j " при > 0 . В силу произвольности " > 0 получаем
;
lim max jS1 (x; )j = 0; 2 G :
(22)
jj!1 x2;
Рассмотрим контурный интеграл
Z
1
IN (x) = 2i Y (x; )d;
RN
1
2
где RN = f : jj = (N + 2 ) g (с обходом против часовой стрелки). Из (21), (22) вытекает IN (x) =
f (x) + "N (x), Nlim
max j" (x)j = 0.
!1 x2; N
С другой стороны, можно вычислить IN (x) с помощью теоремы о вычетах [4]. Для этого
рассмотрим два случая (следствие теоремы 4): n = 0n и n = 00n .
1. Пусть n = 0n . Тогда n = ;1 и собственные функции 'k (x; 0n ), k = 1; m ; 1, имеют
вид, указанный в следствии теоремы 4, вычеты функции Y (x; ) в n = 0n определяются по
формулам (теорема 7)
Z
Res Y (x; ) = ; 1 ' (x; 0 )
(t; 0 )f (t)dt; k = 1; m ; 1;
=0n
k
!n
k
n
;
k
n
;1
1 ' (x; 0 ) Z mX
0
Res
Y
(
x;
)
=
m ! m
i (t; n )f (t)dt;
n
=0
n
n
; i=1
m;1
2 P ' (x; 0 ), k = 1; m ; 1. Заметим, что ' (x; 0 ) = ;' (x; 0 ),
k (x; 0n ) = ;2'k (x; 0n ) + m
i
m
k
n
n
n
i=1
x 2 m, k = 1; m ; 1, значит, предыдущие формулы принимают вид (x 2 ;)
Z
mX
;1 1
mX
;1
0
0
Res
Y
(
x;
)
=
;
'
(
x;
)
(
t;
)
f
(
t
)
dt
=
akn 'k (x; 0n );
k
k
n
n
=0n
!
;
k=1 n Z
k=1
1
0
akn = ; !
k (t; n )f (t)dt; k = 1; m ; 1:
n ;
где
2. Пусть n = 00n . Тогда n = 1, '(x; 00n ) = 'k (x; 00n ), x 2 ;, k = 1; m. Вычет функции Y (x; ),
x 2 ;, в точках n = 00n определяется следующим образом (теорема 7):
Z
Res Y (x; ) = 2 '(x; 00 ) '(t; 00 )f (t)dt = a '(x; 00 );
=00n
m!n
n
;
n
n
n
62
В.В. Провоторов
Z
2
an = m! '(t; 0n )f (t)dt:
n ;
Таким образом, если n = 0 , то
IN (x) =
N mX
;1
X
n=1 k=1
n
akn'k (x; 0n );
akn
Z
1
= ;!
n ;
0
k (t; n )f (t)dt;
k = 1; m ; 1;
причем количество слагаемых, содержащих собственное значение 0n , равно m;1, и они содержат
собственные функции 'k (x; 0n ), k = 1; m ; 1; если n = 00n , то
Z
N
X
I (x) = a '(x; 00 ); a = 1 '(t; 00 )f (t)dt:
N
n=1
n
n
n
!n
;
n
Переход к пределу при N ! 1 завершает доказательство теоремы.
Литература
1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А.
Дифференциальные уравнения на геометрических графах. { М.: Физматлит, 2004. { 227 с.
2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. { М.: Наука, 1970. { 671 с.
3. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. { Саратов: Изд-во Саратовск.
пед. ин-та, 2001. { 499 с.
4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функции одного переменного. { М.: Наука,
1976. { 320 с.
В.В. Провоторов
доцент кафедры уравнения в частных производных и теории
вероятностей математического факультета,
Воронежский государственный университет,
394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1
E-mail: rao vpo@mail.ru
Поступила
06:10:2006
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
218 Кб
Теги
лиувилля, пучко, функция, разложение, граф, задачи, штурм, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа