close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Регулярные пучки матриц.

код для вставкиСкачать
РЕГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
Доказан
критерий
эквивалентности
регулярных
матричных
пучков. С помощью полученных результатов доказана теорема об
однозначной разрешимости задачи Коши для вырожденной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: регулярные пучки матриц.
1.
Введение
Рассматривается задача Коши
dx
j = x1
dt t=0
xjt=0 = x0 ;
для системы
рядка с
n
(1)
линейных дифференциальных уравнений второго по-
n неизвестными функциями с постоянными коэффициентами:
dx
d2 x
+
B + Cx = f (t);
2
dt
dt
где A = kaik k; B = kbik k; C = kcik k (i; k = 1; : : : ; n);
A
x = (x1 ; : : : ; xn ); f
Пусть существует матрица
A
(2)
= (f ; : : : ; fn):
1
1
, тогда система (2) тривиально
редуцируется к системе
d2 x
dt2
где
=D
1
dx
+ D0x + h(t);
dt
(3)
D1 = A 1 B; D0 = A 1 C; h(t) = A 1 f (t).
Система (3) хорошо изучена и известно, что задача Коши (1),
(3) однозначно разрешима при любых начальных данных
x0 ; x1 [1].
Нашей целью является изучение задачи (1) в случае необратимо-
A, в частности, когда пучок A2 + B + C регулярный,
2
т.е. определитель jA + B + C j не равен тождественно нулю.
сти матрицы
Регулярные пучки матриц
2.
Элементарные
23
преобразования
многочленной
матрицы
называется прямоугольная матрица A(), элементы которой многочлены от :
i
=
1
;
2
;
:
:
:
;
m
;
l
l
l
A() = kaik ()k = kaik + aik + : : : + aik k
k = 1; 2; : : : ; n ;
здесь l наибольшая из степеней многочленов aik ():
Определение 1.
Многочленной матрицей или
(0)
(1)
-матрицей
( )
1
Полагая
Aj = ka(ikj ) k
(i = 1; 2; : : : ; m; k = 1; 2; : : : ; n; j = 0; 1; : : : ; l);
мы можем представить многочленную матрицу A() в виде матричного многочлена относительно
, т.е. в виде многочлена с матричными
коэффициентами:
A() = A0 l + A1 l
+ : : : + Al + Al :
Введем в рассмотрение следующие элементарные операции над
многочленной матрицей A():
10 Умножение какой-либо, например i-й, строки на число c 6= 0:
20
Прибавление к какой-либо, например
j -й, строки,
многочлен b().
пример
30
1
1
i-й,
строке другой, на-
предварительно умноженной на произвольный
i
Перестановка местами любых двух строк, например -й и
Операции
1;2;3
0
0
0
j -й.
равносильны умножению многочленной мат-
A() слева на соответствующие квадратные матрицы порядка m.
10; 20; 30 матрица A() преоб0
00
000
разуется соответственно в матрицы S A(); S A(); S A(): По0
0
0
этому операции типа 1 ; 2 ; 3 называются левыми элементарными
рицы
Т.е. в результате применения операций
операциями .
Совершенно аналогично определяются правые элементарные
операции над многочленной матрицей. Эти операции производятся
не над строками, а над столбцами многочленной матрицы и соответствующие этим операциям матрицы имеют порядок
n.
24
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
В результате применения правой элементарной операции матри-
ца
A() умножается справа на соответствующую матрицу T . Матрицы
S 0 ; S 00 ; S 000 (или, что то же, типа T 0 ; T 00 ; T 000 ) мы будем называть
типа
элементарными матрицами .
Определитель любой элементарной матрицы не зависит от
и
отличен от нуля. Поэтому для каждой левой (правой) элементарной
операции существует обратная операция, которая также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.
Две многочленные матрицы A() и B () называются: 1)
2)
3)
если одна из них получается из другой путем применения соответственно: 1) левых элементарных операций, 2) правых
элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.
Пусть матрица B () получается из A() при помощи левых элеОпределение 2.
левоэквивалентными,
правоэквивалентными,
экви-
валентными,
ментарных операций, соответствующих матрицам
S1 ; S2 ; : : : ; Sp.
То-
гда
B () = Sp Sp 1 : : : S1 A():
Обозначая через
P ()
произведение
SpSp 1 : : : S1 ,
(4)
запишем ра-
венство (4) в виде
B () = P ()A();
где
P (), как и каждая из матриц S1 ; S2 ; : : : ; Sp ; имеет отличный
(5)
от
нуля постоянный определитель.
Каждая квадратная
-матрица P () с постоянным отличным от
нуля определителем может быть представлена в виде произведения
элементарных матриц. Поэтому равенство (5) эквивалентно равенству
A() и B ().
В случае правой эквивалентности многочленных матриц A() и
(4) и потому означает левую эквивалентность матриц
B () вместо равенства (5) будем иметь равенство
B () = A()Q();
(6)
а в случае (двусторонней) эквивалентности равенство
B () = P ()A()Q();
(7)
Регулярные пучки матриц
25
P () и Q() матрицы с отличными от нуля и не зависящими от определителями.
здесь опять
Таким образом, определение 2 можно заменить равносильным
определением.
Две прямоугольные -матрицы A() и B () на2)
3)
если соответственно:
1)B () = P ()A(); 2)B () = A()Q(); 3)B () = P ()A()Q();
где P () и Q() многочленные квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.
[2] Произвольная прямоугольная многочленная матрица
A() эквивалентна некоторой канонической диагональной
a ()
0 : : : 0 0 : : : 0 0
a () : : : 0 0 : : : 0 ::::::
0
0 : : : as() 0 : : : 0 ;
(8)
0
0 ::: 0 0 ::: 0 ::::::
0
0 ::: 0 0 ::: 0 где многочлены a (); a (); : : : ; as() (s m; n) не равны тождественно нулю и каждый из них делится без остатка на предыдущий.
Определение 3.
зываются: 1)
левоэквивалентными,
правоэквивалентными,
экви-
валентными,
Теорема 1.
1
2
1
3.
2
Инвариантные многочлены
и элементарные делители многочленной
матрицы
A() имеет ранг r, т.е. в этой матрице имеются не равные тождественно нулю миноры r -го порядка,
в то время как все миноры порядка > r тождественно относительно
равны нулю. Обозначим через Di () наибольший общий делитель
всех миноров j -го порядка матрицы A() (j = 1; 2; : : : ; r ). Тогда, как
Пусть многочленная матрица
нетрудно видеть, в ряду
Dr (); Dr
1
(); : : : ; D ();
1
D0 () 1
26
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
каждый многочлен делится без остатка на предыдущий. Соответствующие частные обозначим через
i1 (); i2 (); : : : ; ir ():
() ; : : : ; i () = D () = D (): (9)
r
()
D ()
Многочлены i (); i (); : : : ; ir (), определяемые
формулами (9), называются
прямоугольной матрицы A().
i1 () =
D
Dr ()
; i2 () = r
Dr 1 ()
Dr
Определение 4.
1
1
2
0
1
1
2
инвариантными многочленами
Они остаются неизменными, инвариантными при переходе от
одной матрицы к другой, ей эквивалентной.
Многочленная прямоугольная матрица A() всегда эквивалентна канонической диагональной матрице
ir ()
0
:
:
:
0
0
:
:
:
0
0
ir () : : : 0 0 : : : 0 ::::::
0
0 : : : i () 0 : : : 0 :
(10)
0
0 ::: 0 0 ::: 0 ::::::
0
0 ::: 0 0 ::: 0 При этом здесь обязательно r ранг, а i (); i (); : : : ; ir () инвариантные многочлены матрицы A(), определяемые формулами
(9).
Для того чтобы две прямоугольные матрицы A()
и B () одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены.
Разложим инвариантные многочлены i (); i (); : : : ; ir () на
Теорема 2.
1
1
1
2
Следствие 1.
неприводимые в данном числовом поле
K
1
2
множители:
i1 () = [1 ()]c1 [2 ()]c2 : : : [s()]cs ;
i2 () = [1 ()]d1 [2 ()]d2 : : : [s()]ds ;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ir () = [1 ()]l1 [2 ()]l2 : : : [s()]ls
(11)
Регулярные пучки матриц
Здесь
ck dk : : : lk 0
k = 1; 2; : : : ; s
27
:
1 (); 2 (); : : : ; s() все различные неприводимые в поле K
многочлены (со старшими коэффициентами, равными единице), входящие в состав
Все отличные от единицы степени среди
в разложении (11) называются
матрицы A() в поле K .
Определение
c1
[ ()]
1
5.
: : : [r ()]ls
делителями
4.
i1 (); i2 (); : : : ; ir ().
элементарными
Регулярные пучки матриц
Пучок матриц A + B + C называется
если: 1) A, B и C квадратные матрицы одного и того же
порядка n и 2) определитель jA + B + C j не равен тождественно
нулю.
Два пучка квадратных матриц одного и того же порядка A + B + C и A + B + C , у которых jAj 6= 0, jA j 6= 0,
jB j 6= 0, jB j 6= 0, являются эквивалентными в том и только том
случае, когда эти пучки имеют одни и те же элементарные делители в K .
2
Определение 6.
регуляр-
ным,
2
Теорема 3.
2
1
2
1
1
1
1
Доказательство. Пучки A + B + C и A + B + C
2
виде
1
2
1
1
запишем в
A() = A2 + B + C ; B () = A1 2 + B1 + C1 :
Необходимость была получена в теореме 2. Достаточность следует из
того, что две многочленные матрицы, имеющие одни и те же инвариантные многочлены, эквивалентны одной и той же канонической диагональной матрице и, следовательно, эквивалентны между собой.
Введем понятие "бесконечных" элементарных делителей пучка.
A2 + B + C задавать при помощи "однородных" па2
2
раметров , : A + B + C . Тогда определитель (; ) jA2 + B + C2 j будет однородной функцией параметров , .
Определяя наибольший общий делитель Dk (; ) всех миноров k -го
Будем пучок
28
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
порядка матрицы
A2 + B + C2 (k = 1; 2; : : : ; n), получим инвари-
антные многочлены по формулам:
Dn (; )
D
; i2 (; ) = n
Dn 1 (; )
Dn
i1 (; ) =
при этом все
Dk (; )
ij (; )
и
1
2
(; ) ; : : : ;
(; )
однородные относительно
и
многочлены. Разлагая инвариантные многочлены на степени непри-
K однородных многочленов, получим элементарные
2
2
делители l (; ) ( = 1; 2; : : : ) пучка A + B + C в поле K .
Полагая = 1 в l (; ), мы вернемся к элементарным делителям
l () пучка A2 + B + C2. Обратно, из каждого элементарного дели2
теля l () степени q пучка A + B + C мы получим соответствующий
q элементарный делитель l (; ) по формуле l (; ) = = l ( ). Та
водимых в поле
ким способом могут быть получены все элементарные делители пучка
A2 + B + C2 , за исключением элементарных делителей вида q .
q
Элементарные делители вида существуют в том и только том
случае, когда jB j = 0, jAj = 0, и носят название "бесконечных" эле2
ментарных делителей для пучка A + B + C .
2
2
Поскольку из эквивалентности пучков A + B + C , A1 +
+B1 + C1 следует эквивалентность пучков A2 + B + C2 , A12 +
+B1 + C12, то у эквивалентных пучков A2 + B + C и A12 +
+B1 + C1 должны совпадать не только "конечные", но и "бесконечные" элементарные делители.
Пусть теперь даны два регулярных пучка
A2 + B + C и A1 2 +
+B + C , у которых соответственно совпадают все ( в том числе и
бесконечные) элементарные делители. Введем однородные параметры
A + B + C , A + B + C . Преобразуем параметры
= ~ + ~ ~ + ~ ;
= ~ + ~ ~ + ~ ;
= ~ + ~ ~ + ~
( + + ) 6= 0:
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
3
2
3
2
3
2
1
3
2
2
1
2
2
3
2
1
2
2
2
1
В новых параметрах пучки запишутся так:
A2 + B + C2 =
3
2
2
1
3
Регулярные пучки матриц
29
= ~ C + ~~C + ~ C + ~ B + ~~B + ~ B +
+ ~ A + ~~A + ~ A = ~ ( C + B + A)+
+~~( C + B + A) + ~ ( C + B + A) = A~~ + B~ ~~ + C~ ~ ;
2
1
2
1
2
2
3
2
2
2
где
2
3
2
1
2
3
2
2
3
2
1
3
1
2
1
2
3
2
A~ = 1 C + 1 B + 1 A
B~ = 2 C + 2 B + 2 A
C~ = 3 C + 3 B + 3 A:
2
2
~1~2 + B~1~~ + C~1~2, где
Аналогично, A1 + B1 + C1 = A
A~1 = 1 C1 + 1 B1 + 1 A1
B~1 = 2 C1 + 2 B1 + 2 A1
C~1 = 3 C1 + 3 B1 + 3 A1 :
2
2
2
2
Из регулярности пучков A + B + C и A1 + B1 + C1 вытекает, что можно подобрать числа 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 так, чтобы
jA~j 6= 0, jA~1j 6= 0, jB~ j 6= 0, jB~1j 6= 0: Поэтому, согласно теореме 3,
~~2 + B~ ~~ + C~ ~2 и A~1~2 + B~1~~ + C~1 ~2, а следовательно, и
пучки A
2
2
2
2
исходные пучки A + B + C и A1 + B1 + C1 (или, что то
2
2
же, A + B + C и A1 + B1 + C1 ) эквивалентны.
Таким образом, пришли к следующему обобщению теоремы 3:
Для того чтобы два регулярных пучка A + B + C
и A + B + C были эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы эти пучки имели одни и те же ("конечные"и "бесконечные")
элементарные делители.
Пусть теперь дан произвольный регулярный пучок A + B . Сделаем замену = : A + B . Тогда существует такое число c, что
jA + B j 6= 0. Данный пучок представим в виде B + ( c)A, где
B = cA + B , и потому jB j 6= 0. Умножим пучок слева на B :
E + ( c)B A. Преобразованием подобия приводим этот пучок к
2
Теорема 4.
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
виду
E + ( c)fJ0 ; J1 g = fE
cJ0 + J0 ; E
cJ1 + J1 g;
(12)
30
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
где
fJ ; J g квазидиагональная нормальная форма матрицы B A,
0
1
1
J0 жорданова нильпотентная (т.е. J0l = 0 при некотором целом l > 0)
матрица, а jJ1 j 6= 0:
Первый диагональный блок правой части (12) умножим на (E
1
cJ0 ) : Получим E + (E cJ0 ) 1 J0 ; здесь коэффициент при нильl
потентная матрица. Из J0 = 0 следует [(E
cJ0 ) 1 J0 ]l = 0. Поэтому
1
преобразованием подобия этот пучок можно привести к виду
E + J0 = fN (u1 ) ; N (u2 ) ; : : : ; N (us ) g
здесь
u,
(N u = E u + H u );
( )
( )
( )
(13)
E (u) единичная матрица порядка u, а H (u) матрица порядка
у которой элементы первой наддиагонали равны 1, а остальные
элементы равны 0.
Второй диагональный блок в правой части (12) умножением на
J1 1 , а затем преобразованием подобия может быть приведен к виду
J + E , где J матрица, имеющая нормальную форму, а E еди2
ничная матрица. Сделаем обратную замену: = : Мы пришли к
теореме:
Произвольный регулярный пучок A + B может
быть приведен к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагональному виду
fN u ; N u ; : : : ; N u ; J + E g (N u = E u + H u ); (14)
где первые s диагональных блоков соответствуют бесконечным элементарным делителям u ; u ; : : : ; u пучка A +B , а нормальная форма последнего диагонального блока J + E однозначно определяется конечными элементарными делителями данного пучка.
Теорема
( 1)
2
5.
( 2)
( s)
2
( 1)
( 2)
( )
( )
( s)
2
( )
2
2
5.
Приложения к дифференциальным уравнениям
Рассмотрим приложения полученных результатов к интегриро-
n линейных дифференциальных уравнений второго
n неизвестными функциями с постоянными коэффициента-
ванию системы
порядка с
ми:
n
X
d2 x
aik 2k
dt
k=1
+
n
X
k=1
bik xk = fi (t)
(i = 1; 2; : : : ; n);
(15)
Регулярные пучки матриц
31
или в матричной записи
A
d2 x
+ Bx = f (t)
dt2
(16)
c начальными данными
xjt=0 = x0 ;
здесь
dx
j = x1 ;
dt t=0
A = kaik k; B = kbik k;
x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); f
(i; k = 1; : : : ; n);
= (f ; f ; : : : ; fn):
1
Введем новые неизвестные функции
старыми
(17)
2
z1 ; z2 ; : : : ; zn ; связанные со
x1 ; x2 ; : : : ; xn ; линейным невырожденным преобразованием
с постоянными коэффициентами:
x = Qz z = (z1 ; z2 ; : : : ; zn ); jQj =
6 0:
(18)
n независимых линейных
A, B , f слева на
квадратную невырожденную матрицу P n-го порядка. Подставляя Qz
вместо x в (16) и умножая (16) почленно слева на P , получим
Вместо уравнений (15) можно взять любые
комбинаций их, что равносильно умножению матриц
A~
d2 z ~
+ Bz = f~(t);
dt2
(19)
где
A~ = P AQ; B~ = P BQ; f~ = P f
При этом пучки матриц
A2
= (f~ ; f~ ; : : : ; f~n):
(20)
~ + B~ строго эквивалентны друг
+ B и A
1
2
2
другу [2]:
~ 2 + B~ = P (A2 + B )Q:
A
Выберем матрицы
(21)
~ 2 +B~ имел каноническую
P и Q так, чтобы пучок A
квазидиагональную форму:
~ 2 + B~ = fN (u1 ); N (u2 ) ; : : : ; N (us ); J + 2E g:
A
(22)
32
О.Ю. Бородина, А.А. Замышляева
В соответствии с диагональными блоками (22) система дифференциальных уравнений распадается на систему вида
N (u) (
d2
)z = f;~
dt2
(23)
или в подробной записи
d2 z2
+ z1 = f~1 ;
dt2
d2 zu
+ zu
dt2
1
d2 z3
+ z2 = f~2; : : : ;
dt2
= f~u
и систему вида
Jz +
d2 z
dt2
1
; zu = f~u ;
(24)
= f:~
(25)
d2 f~u
;::: ;
dt2
Из (24) последовательно однозначно определяем решение
zu = f~u ; zu
z1 = f~1
1
= f~u
d2 f~2 d4 f~3
+ dt4
dt2
1
:::+(
1) u
2
2
d2u 2 f~u
:
dt2u 2
Таким образом, для однозначной разрешимости системы (23) с начальными условиями
zu jt=0 = zu0 ;
dzu
j =z
dt t=0 u1
необходимо выполнение соотношений:
zu0 = f~1 (0) f~200 (0) + : : : + (
::::::
f~u 1 (0) f~u00 (0)
f~u (0)
1) u f~u u (0) zu1 = f~10 (0) f~2000 (0) + : : : + (
::::::
f~u0 1 (0) f~u000 (0)
f~u0 (0)
1) u f~u u (0) 2
2
(2
2)
;
2
1
(2
(26)
1)
:
(27)
Регулярные пучки матриц
33
Общее решение системы (25), удовлетворяющее начальным условиям
dz
t=0
1 имеет вид (см. [2])
z jt=0 = z0 ; и
dt
p
j =z
p
p
p
z = cos( Jt)z0 + ( J ) sin( Jt)z1 + ( J )
здесь
z0 ; z1
1
1
Z t
0
p
sin[ J (t )]f ( )d ;
столбцы с произвольными элементами (начальными
значениями неизвестных функций и их производных при
t = 0).
Обратный переход от системы (19) к системе (16) осуществляется формулами (18) и (20), согласно которым каждая из функций
x1 ; : : : ; xn
является линейной комбинацией функций
каждая из функций
f~1 (t); : : : ; f~n (t)
z1 ; : : : ; zn ,
а
линейно (с постоянными коэф-
фициентами) выражается через функции
f1 (t); : : : ; fn (t).
Таким образом, доказана следующая
Пусть вектор-функция f 2 C n(( T; T ); Rn) и удовлетворяет соотношениям (26), (27), тогда существует единственное решение задачи Коши (17).
2
Теорема 6.
Для совместимости системы (15) в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит линейно как произвольные постоянные, так и
произвольные функции.
Список литературы
1. Иванов
В.К.,
Мельникова
И.В.,
Филинков
А.И.
Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука; Физматлит, 1995.
2. Гантмахер Ф.Р.
Теория матриц.
М.: Наука, 1988.
Теория функций от матриц и системы
линейных дифференциальных уравнений. М.; Л.: ОНТИ, 1934.
3. Лаппо-Данилевский И.А.
Челябинский государственный университет
alzam@csu.ac.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
216 Кб
Теги
пучко, матрица, регулярные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа