close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с ограниченной неровностью.

код для вставкиСкачать
Т. 15, № 1 (41). С. 113–118
Уфа : УГАТУ, 2011
МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК ???
В. П. Житников, Р. Р. Муксимова
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ПЛОСКИМ ЭЛЕКТРОД-ИНСТРУМЕНТОМ С ОГРАНИЧЕННОЙ НЕРОВНОСТЬЮ
Задачи моделирования нестационарного электрохимического формообразования сводятся к решению двух краевых задач для
определения аналитических функций комплексного переменного: конформного отображения параметрической плоскости на
физическую и частных производных по времени координат точек межэлектродного пространства. Каждая из функций ищется в
виде суммы известной функции с особенностями и двух неизвестных функций, определяемых с помощью интеграла Шварца.
Одна из неизвестных функций предназначена для описания неровности электрода-инструмента, вторая – обрабатываемой поверхности.Представлены результаты численного решения задач с электродом в виде сегмента круга и пластины. Нестационарное формообразование; аналитические функции; установление стационарных конфигураций
ВВЕДЕНИЕ
Для решения задач нестационарной электрохимической обработки применяются методы
конечных [1] и граничных [2–4] элементов. При
этом, как отмечается в [4], применение численных методов, как правило, затрудняется неустойчивостью, в особенности при исследовании
длительных процессов и при обработке электрод-инструментами (ЭИ), имеющими острые
кромки. Это приводит к необходимости разработки новых методов, обладающих улучшенными свойствами.
S st =
kk I ηU
,
Vet
(1)
где k – электрохимическая постоянная; kI – коэффициент, учитывающий средний ток за период (с учетом скважности импульсов и изменения свойств среды); η – выход по току. При
st
этом Vet = Vecm
.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ
УСЛОВИЙ
Рассмотрим нестационарную задачу электрохимического формообразования с помощью
ЭИ, представляющего собой плоскость с выступом или впадиной с горизонтальным размером
R (рис. 1). ЭИ заглубляется в заготовку со скоростью Vet под прямым углом к поверхности.
Начальный межэлектродный зазор (МЭЗ) равен
S 0.
В результате растворения происходит сдвиг
точек анодной границы, причем каждая из ее
dW
точек движется со своей скоростью Vecm ~
.
dZ
Асимптотическая величина зазора S(t) изменяется и на бесконечности слева и справа приближается к стационарной величине
Контактная информация: (347) 273-32-00
Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента «Ведущие научные школы РФ»
(проект НШ-65497.2010.9).
Рис. 1. Схема МЭП
на физической плоскости
Задачи удобнее решать в безразмерном виде. Сведение к безразмерным величинам для
данной задачи проведем следующим образом.
В качестве характерного размера выберем величину стационарного зазора (1), который устанавливается при обработке (при обработке поверхности с горизонтальной асимптотой эта величина зазора устанавливается на бесконечности слева и справа).
Перейдем к безразмерным величинам z, x, y,
τ и w, где
z=
X
Z
Y
, x=
, y=
,
S st
S st
S st
V
kk ηU
W
τ = et t = I
t, w=
.
2
S st
U
S st
(2)
МАШИНОСТРОЕНИЕ
114
Тогда
dy
1 S st dYA′ Vet
vet = − A′ = −
=
= 1,
dτ
S st Vet dt
Vet
(3)
dy A S st
1
vecm = −
=
=
.
dτ S (t ) s(τ)
При этом согласно (3) значение s(τ) должно
удовлетворять следующим условиям:
τ
τ
s = s0 − τ + ∫ vecm (τ1 )dτ1 = s0 − τ + ∫
1
dτ1 ,
0 s (τ1 )
0
ds
1
= −1 +
dτ
s (τ)
(4)
1 e πξ e πβ − 1
1 1 + e πχ e πβ
.
ln πξ πβ + i , ξ = ln πχ
π e −e
π e + e πβ
Производные при χ = σ
χ=
(
(
В связи с эквипотенциальностью электродов
форма области МЭП на плоскости комплексного потенциала представляет собой полосу
(рис. 2).
Выберем в качестве параметрической переменную χ = σ + iv, область изменения которой
представляет собой горизонтальную полосу
единичной ширины (рис. 3, а). Конформное
отображение параметрической плоскости χ на
плоскость комплексного потенциала определяется по формуле W = Uiχ.
Тогда согласно (2)
dw
∂ψ
=i,
=1.
dχ
∂σ
предназначенная для описания выпуклости на
ЭИ (при ξ = ω + i0 Im zc(ξ, τ) = 0). Функция
zc(ξ, τ) определена на полосе единичной ширины
Dξ (рис. 3, б). Связь ξ и χ
)
dξ
e πσ e 2 πβ − 1
,
=
dχ 1 + e πσe πβ e πσ + e πβ
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
w = ϕ + iψ = iχ ,
деляющая отличие формы обрабатываемой поверхности от прямолинейной (при χ = σ+i Im
za(χ, τ) = 0); zc(ξ, τ) – аналитическая в области
Dξ и непрерывная в ее замыкании Dξ функция,
πβ
(
)(
)
)
2 πσ
∂ξ
e e −1
dβ
.
=
πσ πβ
πσ
πβ
∂τ 1 + e e e + e dτ
(
При ξ = ω + i
(
)(
)(
(
(
(
2 πω
)
)
(8)
)
)
dξ 1 + e πωe πβ e πω + e πβ
=
,
dχ
e πω e 2 πβ − 1
πβ
(7)
)
∂ξ
e e − 1 dβ
= − πω 2 πβ
.
∂τ
e e − 1 dτ
(9)
(5)
а
Рис. 2. Форма образа МЭП на плоскости
комплексного потенциала
Представим функцию, конформно отображающую полосу плоскости χ на область МЭП
физической плоскости в неподвижной (относительно тела заготовки) системе координат в виде суммы
dτ1
+ s(τ )χ + z a (χ, τ ) + z c (ξ(χ ), τ ) , (6)
0 s (τ1 )
τ
z (χ, τ ) = −i ∫
где za(χ, τ) – аналитическая в области Dχ и непрерывная в ее замыкании Dχ функция, опре-
б
Рис. 3. Формы образов МЭП на
параметрических плоскостях χ и ξ
В силу (6), поскольку горизонтальный размер неровности ЭИ r = Re zD,
В. П. Житников, Р. Р. Муксимова ● Решение задачи нестационарной электрохимической обработки…
r=
3. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ
R
= s(τ)β(τ) + zc (∞, τ ) + za (β(τ ) + i, τ ) , (10)
S st
где β(τ) – образ точки D, определяемый из этого
уравнения. Из уравнения, получаемого дифференцированием (10), найдем производную
∂za
(β(τ) + i, τ) + ∂ zc (∞, τ) + β(τ) − 1 + 1 
∂τ
∂τ
s (τ ) 
dβ

.
=−
∂z
dτ
s(τ ) + a (β(τ) + i, τ )
∂χ
(11)
Функция za(χ, τ) определяется следующим
образом. Будем искать решение на границе χ =
= σ + i0 в узловых точках σm (m = 0,…,n). Заданными на каждом временном шаге будут значения Im za(σm, τj) = ym. Примем Im za(σn, τ) = 0,
поскольку za(σ, τ) быстро (как экспонента) убывает при σ→∞. Значения Im za(σ, τ) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна, имеющего две
непрерывные производные.
Для восстановления функции za(χ, τ) используем формулу Шварца с учетом того, что za(χ, τ)
аналитическая функция, имеющая чисто действительные значения на прямой Imχ = 1, и Im
za(σ, τ) = Im za(–σ, τ)
∞
dσ
. (12)
za (χ, τ ) = sh πχ ∫ Im za (σ, τ )
ch πσ − ch πχ
0
Производная
Im
∂z a
(σ, τ) = − Im ∂za (− σ, τ) ,
∂σ
∂σ
тогда
∞
dza
(χ, τ) = ∫ Im ∂za (σ, τ) sh πσ dσ . (13)
dχ
∂σ
ch πσ − ch πχ
0
Функция zc(ξ, τ) получается аналогичным
образом. Будем искать решение на границе
ξ=ω+i в узловых точках ωm (m=0,…,n). Заданными будут значения Im zc ωm , τ j = ym . Примем
(
)
Im z c (ωn , τ ) = 0 . Для восстановления функции
zc(ξ, τ) используем формулу Шварца с учетом
того, что zc(ξ, τ) аналитическая функция, имеющая чисто действительные значения на прямой
Imξ = 0, и Im zc(ω + i, τ) = Im zc(–ω + i, τ)
∞
zс (ξ, τ ) = sh πξ ∫ Im zс (ω + i, τ )
0
dω
. (14)
ch πω + ch πξ
Производная
∞
∂z с
(ξ, τ) = − ∫ Im ∂zс (ω + i, τ ) sh πω dω . (15)
∂ξ
∂ω
ch πω + ch πξ
0
115
Нестационарная задача сводится к решению
системы обыкновенных дифференциальных
уравнений и решается численным методом. При
этом на каждом временном шаге τj = j∆τ,
j =1,2,…,k решаются задачи конформного отображения полосы параметрической плоскости χ
на физическую плоскость z. При этом задача
конформного отображения в полном объеме
решается только при τ = 0. Значения переменных ym τ j +1 и ym τ j +1 на следующем шаге по
( )
( )
времени вычисляются с помощью частных про∂y a
изводных
(σm , τ j ) , ∂∂yτc (ωm , τ j ) . Частные
∂τ
производные по времени определяются при решении краевой задачи: найти частную произ∂z
водную
(χ, τ j ) как аналитическую функцию
∂τ
комплексного параметра χ, удовлетворяющую
краевому условию [5]
 ∂z ∂z 
∂w
 = − Im
Im
.

∂
σ
∂
τ
∂σ


(16)
(
)
(
)
∂z a
χ, τ j
∂τ
применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения
za(χ, τj). Искомыми параметрами на каждом временном шаге τj = j∆τ будут значения
∂z
∂z
Im a σ m , τ j = qm . Значения
Im a σ, τ j
∂τ
∂τ
в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна Q(σ, τ).
∂z
Для восстановления a χ, τ j используем фор∂τ
мулу Шварца, аналогичную (12):
Для вычисления производной
(
)
(
)
∞
∂z a
dσ
(χ, τ) = sh πχ ∫ Q(σ, τ)
.
∂τ
ch πσ − ch πχ
0
(17)
(
)
(
)
∂zc
ξ, τ j
∂τ
также применяется способ, аналогичный применяемому для определения конформного отображения zc(ξ, τj). Искомыми параметрами на
каждом временном шаге τj = j∆τ будут значения
∂z
∂z
Значения
Im c ωm , τ j = rm .
Im c ω, τ j
∂τ
∂τ
в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна R(ω,τ).
∂z
Для восстановления c ξ, τ j используем фор∂τ
мулу Шварца, аналогичную (14):
Для вычисления производной
(
)
(
)
МАШИНОСТРОЕНИЕ
116
∞
∂zc
dω
(ξ, τ) = sh πξ ∫ R(ω, τ)
.
∂τ
ch πω + ch πξ
0
(18)
С учетом (3)–(9) определяются производные
∂z ∂z
при χ = σ + i0 (на границе анода)
,
∂σ ∂τ
∂z
(σ, τ) = s(τ) + ∂za (σ, τ) + ∂zc (ξ(σ), τ) ∂ξ
∂σ
∂σ
∂ξ
∂σ , (19)
∂z
(σ, τ) = − i +  − 1 + 1 σ + ∂za (σ, τ ) +
∂τ
s (τ ) 
s (τ ) 
∂τ
(20)
∂zc
∂z c
∂ξ
(ξ(σ ), τ) + (ξ(σ ), τ) .
+
∂τ
∂ξ
∂τ
На границе катода ξ = ω + i в системе координат, связанной с катодом,
zet (χ, τ ) = −is (τ ) + s (τ )χ + z a (χ, τ ) + z c (ξ(χ), τ ) .
С учетом (3), (4) производные
∂zet
(σ + i, τ) =
∂σ
∂z
∂z
= s (τ ) + a (σ + i, τ ) + c (ξ(σ + i ), τ ),
∂σ
∂σ
(21)
 ∂z

∂z
Im  et (ωm ) et (ω m ) = 0 , m = 0,..., N − 1 . (27)
∂σ
 ∂τ

После решения системы линейных алгебраических уравнений (26), (27) и определения
∂z
∂z
частных производных Im a = qm , Im c = rm
∂τ
∂τ
производится шаг по времени по методу предиктор-корректор второго порядка точности.
Далее снова повторяется процесс вычисле∂z
∂z
ния a , c , qm, rm и т. д.
∂χ ∂ξ
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Численные результаты представлены на
рис. 4–7. На рис. 4 показаны формы поверхности при обработке полукруглым ЭИ с радиусом
r = 10. Картина в системе координат, связанной
с подвижной асимптотической поверхностью
анода (рис. 4, а), показывает ход процесса растворения и позволяет увидеть установление
стационарной формы обрабатываемой поверхности (которая была рассчитана заранее).
∂zet
(σ + i, τ) =  − 1 + 1 σ + ∂za (σ + i, τ) +
∂τ
s(τ) 
∂τ

(22)
∂zc
∂zc
∂ξ
+
(ξ(σ + i ), τ) + (ξ(σ + i ), τ) .
∂τ
∂ξ
∂τ
Для вычисления
dβ
(11) найдем производdτ
ные
∂za
(β(τ) + i, τ) =
∂τ
(23)
∞
∂za
dσ
(σ, τ)
,
= − sh πβ(τ)∫ Im
∂τ
ch πσ + ch πβ(τ)
0
∂za
(β(τ) + i, τ) =
∂χ
∞
∂z
sh πσ
= ∫ Im a (σ, τ )
dσ,
∂σ
ch πσ + ch πβ(τ )
0
(24)
∞
∂
∂z
zc (∞, τ ) = ∫ Im c (σ + i , τ )dσ .
∂τ
∂τ
0
(25)
Значения qm, rm определяются методом коллокаций по краевому условию (16) с учетом
(19), (20) и того, что ψ = σ (5),
 ∂z

∂z
Im  (σ m ) (σ m ) + 1 = 0 , m = 0,..., N − 1 . (26)
∂σ
 ∂τ

На катоде краевое условие с учетом (21),
(22) имеет вид
а
б
Рис. 4. Формы поверхности при обработке
полукруглым ЭИ с радиусом r = 10 и шагом
по времени ∆τ = 2: а – основная часть
поверхности; б – фрагмент обрабатываемой
поверхности вблизи излома ЭИ
117
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
Рис. 5. Формы поверхности при обработке ЭИ
в форме сегмента с радиусом r = 2 и с высотой
l = 3 с шагом по времени ∆τ = 1
Рис. 6. Формы поверхности при обработке ЭИ
c выемкой с радиусом r = 2 с шагом по времени ∆τ = 1
а
б
Рис. 7. Формы поверхности обрабатываемой ЭИ в форме вертикальной пластины с высотой l =10 с
шагом по времени ∆τ = 2: а – основная часть поверхности; б – фрагмент обрабатываемой поверхности
Разработанный метод позволяет рассматривать ЭИ с выступом и впадиной, форма которых
может варьироваться в широких пределах.
В частности, на рис. 7 рассмотрен ЭИ в виде
горизонтальной пластины, присоединенной
к плоскому основанию.
На рис. 5 и 6 показаны формы нестационарной обрабатываемой поверхности при обработке ЭИ, имеющего выпуклость и впадину в форме сегмента круга. Во всех случаях наблюдается
установление стационарной формы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в данной работе предложен
численно-аналитический метод решения задач
нестационарной электрохимической обработки
при помощи плоского электрода-инструмента
с выступом или выемкой криволинейной формы, основанный на аналитическом решении задачи определения частных производных координат по времени и разделении функций, определяющих неровности ЭИ и обрабатываемой
поверхности. Рассмотрение численных примеров подтвердило высокую эффективность предложенного метода.
МАШИНОСТРОЕНИЕ
118
ЛИТЕРАТУРА
1. Электрохимическое формообразование в условиях локальной изоляции анодной поверхности. I.
Теоретический анализ / А. Н. Мустянцэ [и др.] //
Электронная обработка материалов. Кишинев: Штиинца. 1989. № 3. С. 11–15.
2. Котляр Л. М., Миназетдинов Н. М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная
механика и техническая физика. Новосибирск. 2004.
Т. 45, № 4. С. 7–12.
3. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of
multistage electrochemical shaping // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier. 2004. Vol. 149,
No 1-3 4. P. 466–471.
4. 3D electrochemical machining computer simulations / M. Purcar [et al.] // Journal of Materials
Processing Technology. Elsevier. 2004. Vol. 149, No 1–
3. P. 472–478.
5. Житников В. П., Зайцев А. Н. Математическое моделирование электрохимической размерной
обработки. Уфа: УГАТУ, 1996. 221 с.
ОБ АВТОРАХ
НЕТ ДАННЫХ!
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа