close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Риски в бескоалиционных играх с векторными выигрышами при неопределенности.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2004. Є2(30)
УДК 519.833.2
А. А. Горелова
agorelovabk.ru
РИСКИ В БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ
С ВЕКТОРНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ
И ?РИ НЕО?РЕДЕЛЕННОСТИ
1
Ключевые слова
: бескоалиционная игра, многокритериальная зада-
ча, равновесие, неопределенность, выигрыши.
Abstrat
. There are disoalition game with vetor funtions of outome
and unertainty. Guaranteed on outomes and risks deision of this game
is formalized. It's known for gamblers only set of values.
Введение
Рассматривается бескоалиционная игра двух лиц с векторными
функциями выигрыша и при неопределенности (БИВН):
= h{1, 2}, {Xi }i=1,2 , Y, {fi (x, y)}i=1,2 i.
В игре кадый игрок i выбирает свою стратегию
xi ? Xi ? Rni (i = 1, 2) , в результате образуется ситуация
x = (x1 , x2 ) ? X = X1 ╫ X2 ; независимо от такого выбора одновременно реализуется какая-либо неопределенность
y ? Y ? Rm ; на прямом произведении X ╫ Y определена векторная функция выигрыша i -го игрока
fi (x, y ) = fi
(1)
1
(x, y), ..., fi(Ni ) (x, y) (i = 1, 2).
Работа поддерана грантом РФФИ (02-01-00612).
65
На єсодерательном уровне цель i -го игрока | выбор такой
своей стратегии xi ? X , при которой все компоненты
(j )
fi
(x, y)(j = 1, ..., Ni )
принимали бы возмоно большие значения (выигрыши); при таком выборе все игроки долны учитывать возмоность реализации любой неопределенности y ? Y .
БИВН возникают при моделировании взаимодействий конкурирующих экономических систем, в которых, во-первых, качество
функционирования кадой оценивается набором критериев (увеличение прибыли, сниение себестоимости, затрат); во-вторых,
учитываются помехи, возмущения и другого типа неопределенности, о которых известны лишь границы изменений (скачки спроса, срыв и изменение номенклатуры поставок, неоиданное появление конкурентов на рынке сбыта и т.п.).
Математические модели типа уе рассматривались в [1? с
позиции принципа максиминной полезности [2? и для БИВН со
скалярными функциями выигрыша. Однако при этом (при формировании своих стратегий) игроки вынудены рассчитывать на
єкатастрофу - на реализацию єсамой плохой неопределенности y ? Y . Такой подход, как правило, приводит к єзаниенным гарантиям.
Избеать пессимистического подхода моно, если, во-первых,
игрокам при выборе опираться на принцип минимаксного соаления [3?, во-вторых, стремиться к оптимальному сочетанию векторных выигрышей (исходов) и рисков.
Как раз такому подходу в формализации гарантированного
решения БИВН и посвящена данная работа.
66
1.
Формализация гарантированного по выигрышам
и рискам решения
Введем функцию риска по кадому критерию
(j = 1, ..., Ni ; i = 1, 2) :
(j )
fi
(x, y)
1(j ) (x1 , x2 , y ) = max f1(j ) (z1 , x2 , y ) ? f1(j ) (x1 , x2 , y ) =
z1 ?X1
= g1(j ) (x2 , y ) ? f1(j ) (x1 , x2 , y ), (j = 1, ..., N1 ),
(1.1)
2(j ) (x1 , x2 , y ) = max f2(j ) (x1 , z2 , y ) ? f2(j ) (x1 , x2 , y ) =
z2 ?X2
= g2(j ) (x1 , y ) ? f2(j ) (x1 , x2 , y ), (j = 1, ..., N2 ).
Игре поставим в соответствие вспомогательную бескоалиционную игру при неопределенности и с векторными функциями
выигрыша h :
h
= h{1, 2}, {Xi }i=1,2 , Y, {fi (x, y), ?i (x, y)}i=1,2 i.
(1.2)
В этой игре i -й игрок (i = 1, 2) стремится за счет
одновременно возмоно увеличить свой векторный исход
= (fi(1) (x, y), ..., fi(Ni ) (x, y)) и уменьшить свой векторный
(N i )
риск i (x, y) = ((1)
(x, y)) .
i (x, y ), ..., i
О п р е д е л е н и е 1.1. Набор
xi ? Xi
fi (x, y )
hxS , f1S , S1 , f2S , S2 i ? X ╫ R2(N1 +N2 )
назовем гарантированным по исходам и рискам решением игры
, если существует неопределенность yS ? Y , для которой
10 . fiS = fi(xS , yS ), Si = i(xS , yS ), (i = 1, 2);
20 . a) при любой x1 ? X1 несовместна система из 2N1 неравенств:
(j )
(j )
f1 (x1 , xS2 , yS ) > f1 (xS , yS ),
1(j ) (x1 , x2S , yS ) < 1(j ) (xS , yS ) (j ? {1, ..., N1 }),
67
то есть xS1 - максимальная по Cлейтеру стратегия в 2N1 -критериальной задаче hX1 , {f1 (x1 , xS2 , yS ), ?1 (x1 , x2S , yS )}i;
б) для кадой x2 ? X2 несовместна система из 2N2 неравенств:
(j )
(j )
f2 (xS1 , x2 , yS ) > f2 (xS , yS ),
2(j ) (xS1 , x2 , yS ) < 2(j ) (xS , yS ) (j ? {1, ..., N2 }),
то есть xS2 - максимальная по Cлейтеру стратегия в 2N2 -критериальной задаче hX2 , {f2 (x1S , x2 , yS ), ?2 (xS1 , x2 , yS )i;
в) при всякой y ? Y несовместна система из 2(N1 + N2 )
неравенств:
(j )
(j )
fi (xS , y ) < fi (xS , yS ),
(ij ) (xS , y ) > i(j ) (xS , yS ) (j ? {1, ..., Ni }, i = 1, 2).
?ри этом тройку (xS1 , x2S , yS ) назовем гарантированным равновесием Нэша | Слейтера БИВН в игре , а
fiS (x, y ) = (fi
(1)
(xS , yS ), ..., fi(Ni ) (xS , yS ))
гарантированным векторным исходом;
(Ni )
S
Si (x, y) = ((1)
(xS , yS ))
i (x , yS ), ..., i
гарантированным векторным риском i -го игрока (i = 1, 2) .
Смысл решения заключается в том, что кадый i -й игрок
старается увеличить свой векторный выигрыш и уменьшить свой
векторный риск за счет выбора своей i -й стратегии xi ? Xi , на
основе концепции оптимума по Слейтеру. Неопределенность, согласно принципу максиминной полезности [2?, єстарается максимально уменьшить векторные функции выигрыша обоих игроков и максимально увеличить их векторные функции риска.
З а м е ч а н и е 1.1. ?редставим функции, противополоные функциям риска, в следующем виде:
?1 (x, y ) = f1
(j )
(j )
(x, y) ? g1(j ) (x2 , y ),
68
?2 (x, y ) = f2
(x, y) ? g2(j ) (x1 , y ).
Тогда требования 2а, 2б и 2в в определении 1 моно привести к
следующему виду:
2a) при любых x1 ? X1 несовместна система неравенств:
(j )
(j )
(x1 , x2S , yS ) > f1(j )(xS , yS ), j ? {1, ..., N1 },
то есть xS1 - максимальная по Cлейтеру стратегия в N1 - критериальной задаче
hX1 , f1 (x1 , x2S , yS )i;
(1.3)
2б) аналогично x2S - максимальная по Cлейтеру стратегия в
N2 -критериальной задаче
hX2 , f2 (xS1 , x2 , yS )i;
(1.4)
2в) неопределенность yS - минимальна по Cлейтеру в
2(N1 + N2 ) -критериальной задаче
hY, {f1 (xS , y ), ?1 (xS , y ), f2 (xS , y ), ?2 (xS , y )}i.
(1.5)
(j )
f1
2.
Игра со скалярными функциями выигрыша
Рассмотрим игру при
N1
= N2 = 1 , то есть
= hX1 , X2 , Y, {f1(1) (x1 , x2 , y ), f2(1) (x1 , x2 , y )}i.
Функции риска примут вид:
(1)
1 (x, y ) = max
z1 ?X1
(1)
f1
(2.1)
(z1 , x2 , y ) ? f1(1) (x1 , x2 , y ),
(x, y) = max f2(1) (x1 , z2 , y ) ? f2(1) (x1 , x2 , y ).
(1)
2
z2 ?X2
Будем рассматривать специальную ситуацию равновесия по
Нэшу xe (y ) = (x1e (y ), xe2 (y )) игры (2.1), при кадом y ? Y определяемую равенствами:
max f1 (x1 , x2e (y ), y ) = f1 (xe (y ), y ),
X1
max f2 (xe1 (y ), x2 , y ) = f2 (xe (y ), y ).
X2
69
У т в е р д е н и е 2.1.
e
(1)
i (x (y ), y ) ? 0,
сто
Если существует
при любых
xe (y ) , то
y ? Y и i = 1, 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?ри кадом
y?Y
имеет ме-
(1)
(1)
e
e
e
e
(1)
1 (x (y ), y ) = max f1 (z1 , x2 (y ), y ) ? f1 (x1 (y ), x2 (y ), y ) =
z1 ?X1
= f1(1) (xe (y ), y ) ? f1(1) (xe (y ), y ) ? 0,
(1)
(1)
e
e
e
e
(1)
2 (x (y ), y ) = max f2 (x1 (y ), z2 , y ) ? f2 (x1 (y ), x2 (y ), y ) =
z2 ?X2
= f2(1) (xe (y ), y ) ? f2(1) (xe (y ), y ) ? 0.
С л е д с т в и е 2.1.
Если существует гарантирован-
ное по исходам и рискам решение игры
(i = 1, 2) , причем
(2.1) , то i(1) (xe , yS ) = 0
yS ? Y будет минимальной по Слейтеру не-
определенностью в четырехкритериальной задаче
(1)
hY, {fi
e
(xe , y ), (1)
i (x , y )}i=1,2 i.
В самом деле,
e
(1)
1 (x , yS ) = max
z1 ?X1
(1)
f1
(z1 , xe2 , yS ) ? f1(1) (x1e , xe2 , yS ) = 0.
Аналогично получаем 2 (1)(xe , yS ) = 0. Так как i (x, y) > 0
(по определению), поэтому yS будет минимальной по Слейтеру,
ибо i(1) (xe , yS ) = 0 (i = 1, 2) .
3.
Достаточные условия существования
Л е м м а 3.1. ([4?, c.71). Если существуют
m
P
?i > 0 (i = 1, ..., m),
?i > 0 , такие, что
i=1
max
x?X
m
X
?i fi (x) =
i=1
m
X
i=1
70
?i fi (xS )
постоянные
m
X
min
x?X
m
X
?i fi (x) =
i=1
i=1
?i fi (xS ) ,
xS будет максимальной (соответственно,
минимальной) по Слейтеру в m -критериальной задаче
hX, {fi (x)}i=1,...,m i .
то альтернатива
У т в е р д е н и е 3.1.
цательные постоянные
(j = 1, ..., N1 ;
k
N1
X
N2
X
max
x2 ?X2
N1
X
?j f1
N2
X
?k f2
(j )
такие, что
(x1 , x2S , yS ) =
(k )
(xS1 , x2 , yS ) =
k =1
N2
X
?j f1
N2
X
?k f2
(j )
(xS , yS );
(3.1)
(xS , yS );
(3.2)
(k )
k =1
N1
X
(xS , y ) ? ?1(j +N1 ) 1(j ) (xS , y ) +
(j )
j =1
(k ) (k )
2
2
?
(j )
?1 f1
f
(x
S
, y) ? ?
(k +N2 )
1
k =1
(xS1 , x2S , yS )
N1
X
j =1
y?Y
то
k =1
(?2(k) + ?2(k+N2 ) ) > 0,
j =1
Idem[y ? yS ? = min
+
j =1
(k +N )
(k )
2
, ?2 , ?2
N2
P
?j > 0,
?k > 0,
k =1
(x1S , xS2 , yS ) ? X1 , X2 , Y
x1 ?X1
, ?1
N1
P
= 1, ..., N2 ) , причем
(?1(j ) + ?1(j +N1 ) ) +
max
(j +N1 )
?j , ?k , ?
j =1
и тройка
?усть существуют неотри-
(j )
1
(k )
2
(x , y ) ,
S
будет гарантированным равновесием
Нэша | Слейтера БИВН в игре
71
.
(3.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 3.1 и пункту
2а замечания 1.1 выполнение равенства (3.1) достаточно, чтобы
стратегия xS1 была максимальной по Слейтеру в N1 - критериальной задаче (1.3). Аналогично устанавливаются импликации
(3.2) ? [xS2 - максимальна по Слейтеру в (1.4)?,
(3.3) ? [yS - минимальна по Слейтеру в (1.5)?.
З а м е ч а н и е 3.1. Рассмотрим вспомогательную
бескоалиционную игру трех лиц
h{1, 2, 3}, {X1 , X2 , Y }, {Fr (x1 , x2 , y )}r=1,2,3 i,
(3.4)
где функции выигрыша игроков 1, 2, 3 соответственно имеют вид:
F1 (x1 , x2 , y ) =
N1
X
?j f1
N2
X
?k f2
(j )
(x1 , x2 , y ),
(k )
(x1 , x2 , y ),
j =1
F2 (x1 , x2 , y ) =
k =1
F3 (x1 , x2 , y ) = ?
N1
X
(j )
(j )
?1 f1
(x, y) ? ?1(j +N1 ) 1(j ) (x, y)
j =1
?
N2
X
(k) (k)
(k +N2 ) (k )
2 (x, y) ,
?2 f2 (x, y ) ? ?1
?
k =1
(k )
(k +N2 )
а ?j , ?k , ? , ?
, ?2 , ?2
(j = 1, ..., N1 ; k = 1, ..., N2 ) |
постоянные, фигурирующие в утвердении 3.1. Тогда, если выполнены требования этого утвердения, то тройка (xS1 , xS2 , yS )
является ситуацией равновесия по Нэшу игры (3.4). Этот факт
позволяет для доказательства существования гарантированного
по исходам и рискам решения игры привлечь теоремы существования ситуации равновесия по Нэшу из теории бескоалиционных игр [5?.
(j )
1
(j +N1 )
1
72
4.
Свойства гарантированного решения
4.1.
Инвариантность относительно аффинных преобразований
Рассмотрим игру
f^i
(j )
причем
?
= hX1 , X2 , Y, {f^1 (x, y), f^2 (x, y)}i, где
(x, y) = ?(ij ) fi(j ) (x, y) + ?i(j ) , (j = 1, ...Ni ; i = 1, 2),
(j )
?i
(4.1)
= const > 0, ?i(j ) = const.
У т в е р д е н и е 4.1. Любое гарантированное равS
новесие Нэша | Слейтера (xS
одновременно
1 , x2 , yS ) игры
является гарантированным равновесием игры (4.1) и, обратно,
любое гарантированное равновесие игры (4.1) является гарантированным равновесием игры
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению, функция риска по критерию fi(j ) для игры имеет следующий вид:
(j )
(j )
fi (x, y ) ? fi (x, y ).
i(j ) (x, y) = max
x
i
Для преобразованной игры (4.1) функция риска станет
(j )
(j )
f^i (x, y ) ? f^i (x, y ) =
^ (ij ) (x, y) = max
x
i
= max
(?(ij ) fi(j ) (x, y) + ?i(j ) ) ? ?(ij ) fi (j )(x, y) ? ?i(j ) =
x
i
(j )
??i
(j )
(j )
(j ) (j )
fi (x, y ) ? fi (x, y )) = ?i i (x, y ).
(max
x
i
?ри ?i > 0 справедливы эквиваленции: (xS1 , xS2 , yS ) - гарантированное равновесие в игре тогда и только тогда, когда несовместны следующие системы неравенств:
(j )
(j )
a) f1 (x1 , x2S , yS ) > f1 (xS , yS ), j ? {1, ..., N1 };
б) f2(j ) (xS1 , x2 , yS ) > f2(j )(xS , yS ),
в) fi(j ) (xS , y ) < fi(j ) (xS , yS ),
73
j ? {1, ..., N2 },
(ij ) (xS , y ) > (ij ) (xS , yS ), j ? {1, ..., Ni }, (i = 1, 2).
Указанные системы неравенств несовместны тогда и только
тогда, когда несовместны следующие системы неравенств:
(j ) (j )
(j )
(j ) (j )
(j )
a) ?1 f1 (x1 , x2S , yS ) + ?1 > ?1 f1 (xS , yS ) + ?1 ,
j ? {1, ..., N1 };
б) ?2(j ) f2(j )(xS1 , x2 , yS ) + ?2(j ) > ?2(j ) f2(j ) (xS , yS ) + ?2(j ) ,
j ? {1, ..., N2 }
в) ?(ij ) fi(j )(xS , y ) + ?i(j ) < ?(ij ) fi(j ) (xS , yS ) + ?i(j ) ,
(j )
?i
(ij ) (xS , y ) > ?(ij ) (ij ) (xS , yS ),
j ? {1, ..., Ni }, (i = 1, 2);
или несовместны неравенствa:
(j )
(j )
a) f^1 (x1 , x2S , yS ) > f^1 (xS , yS ),
б) f^2(j ) (xS1 , x2 , yS ) > f^2(j )(xS , yS ),
j ? {1, ..., N1 };
j ? {1, ..., N2 };
в) f^i(j ) (xS , y ) < f^i(j ) (xS , yS ),
^ (ij ) (xS , y ) > ^ (ij ) (xS , yS ), j ? {1, ..., Ni }, (i = 1, 2),
что равносильно тому, что (xS1 , xS2 , yS ) | гарантированное
равновесие Нэша | Слейтера игры (4.1).
4.2.
Компактность мноества гарантированных по исходу и риску решений
Рассмотрим игру
ZS
. Введем
= {(xS1 , xS2 , yS )} ? Rn1 +n2 +m ?
мноество гарантированных равновесий Нэша | Слейтера в бескоалиционной игре .
74
У т в е р д е н и е 4.2. Если X1 , X2 , Y | компакты, все fi (x, y ) | непрерывны по совокупности аргументов,
то
Z S | компакт (моет и пустой).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мноество
Z S ? X1 ╫ X2 ╫ Y ?
ограничено, так как X1 ╫ X2 ╫ Y | ограничено.
Докаем замкнутость Z S . Возьмем последовательность
k
z = (x1k , x2k , y k ) ? Z S , сходящуюся к (x?1 , x?2 , y ? ) . ?редполоим
z? ?
/ Z S , тогда по определению 1.1 не выполняется хотя бы одно
из трех условий:
1) x?1 | максимальна по Слейтеру в задаче
hX1 , f1 (x1 , x?2 , y ? )i,
2)
x?2
| максимальна по Слейтеру в задаче
hX2 , f1 (x?1 , x2 , y ? )i,
3)
y?
| минимальная по Слейтеру в задаче
hY, {fi (x? , y ), ?i (x? , y )}i=1,2 i.
?редполоим, что не выполнено первое условие. Это означает, что существует x1 ? X1 такое, что совместна система неравенств:
(j )
f1
(x1 , x2? , y ? ) > f1(j ) (x?1 , x2? , y ? ),
j ? {1, ..., N1 }.
Так как f1(j ) (x, y) | непрерывны по всем переменным, то найдется номер K такой, что при всех k > K будет
(j )
f1
(x1 , xk2 , y k ) > f1(j )(xk1 , x2k , y k ),
j ? {1, ..., N1 },
а это противоречит максимальности по Слейтеру стратегии xk1
в задаче hX1 , f1 (x1 , xk2 , y k )i. Аналогично для x2? . ?ри доказательстве для y ? еще используется тот факт, что функции риска
75
i (x, y) (i = 1, 2) таке непрерывны по всем переменным (так
как непрерывны fi (x, y), (i = 1, 2) , то соответственно непрерывны и максимумы в (1.1)). Следовательно, предполоение неверно
и z ? ? Z S . Таким образом, Z S | замкнутое мноество, а так
как оно ограничено, то Z S | компакт.
Введем мноество
MS
= {(xS1 , x2S , yS , f1S , S1 , f2S , S2 )} ? R2(N1 +N2 )+n1 +n2 +m ?
мноество гарантированных по исходу и риску решений игры .
У т в е р д е н и е 4.3. Если X1 , X2 , Y | компакты, компоненты векторов fi (x, y ), (i = 1, 2) | непрерывны
на
X1 ╫ X2 ╫ Y , то MS | компакт (моет и пустой).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как все fi(x, y) и
i (x, y) (i = 1, 2) | непрерывны по всем переменным и Z S |
компакт, то эти вектор-функции переводят компакт в компакт,
следовательно, fi (Z S ), i (Z S ), (i = 1, 2) являются компактами.
Отсюда получаем, что мноество MS как прямое произведение
компактов является компактом.
4.3.
Задача с єразделенными
Рассмотрим игру
(j )
fi
функциями выигрыша
с сепарабельными функциями выигрыша
(x, y) = h(i1j ) (x1 ) + h(i2j ) (x2 ) + gi(j ) (y ).
(4.2)
Здесь (j = 1, ...Ni ; i = 1, 2).
Для данной игры получаем следующую функцию риска
(j )
i (x, y) по критерию fi(j )(x, y) :
(ij ) (x, y) = max fi(j )(x, y) ? fi(j ) (x, y) =
xi ?Xi
= max [h(i1j ) (x1 ) + h(i2j ) (x2 ) + gi(j ) (y )? ? fi(j ) (x, y) =
xi ?Xi
= max h(iij ) (xi ) ? h(iij ) (xi )
xi ?Xi
76
(j = 1, ..., Ni ; i = 1, 2) . Специальный вид (4.2) функций выигрыша в игре и (4.2) позволяет выяснить структуру гарантированного по исходам и рискам решения
hxS , f1S , S1 , f2S , S2 i ? X ╫ R2(N1 +N2 ) .
Для этого введем две многокритериальные задачи
hXi , {hjii (xi )}j =1,...,Ni i
и обозначим, во-первых, через
по Слейтеру альтернатив xSi
во-вторых, вектора
(4.3)
XiS | мноество максимальных
? Xi задачи (4.3) при i = 1, 2 ;
fi (x, y ) = hi1 (x1 ) + hi2 (x2 ) + gi (y ),
где
сла
(i = 1, 2)
i (x, y) = Hii ? hii (xi ), (4.4)
Ni -вектора hii = (hii , ..., hii i ) , Hii = (Hii , ..., Hii
(j )
(j )
Hii = max hii (xi ), (j = 1, ..., Ni ; i = 1, 2) .
(1)
(N )
(1)
(Ni )
) и чи-
xi ?Xi
Будем предполагать, что мноества Xi , Y суть компакты, а
функции h(irj ) (xr ) и gi(j ) (y ) непрерывны.
У т в е р д е н и е 4.4. Для того чтобы тройка
( 1 2 S ) была гарантированным равновесием Нэша | Слейтера игры
с функциями выигрыша (4.2) необходимо и достаS (i = 1, 2), y ? Y.
точно, чтобы xS
i ? Xi
xS , xS , y
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом замечания 1.1 (4.2)
и утвердения 4.1, система неравенств
h11 (x1 ) + h12 (xS2 ) + g1
(j )
(j )
(j )
(j )
(j )
(yS ) > h11
(xS1 ) + h12
(xS2 ) + +g1(j ) (yS )
= 1, ..., N1 ) несовместна тогда и только тогда, когда
(j )
(j )
несовместна система h11
(x1 ) > h11
(xS1 ) ?x1 ? X (j = 1, ..., N1 ) ,
S
S
что означает x1 ? X1 . Аналогично устанавливается включение
x2S ? X2S . Наконец, требование 2в определения 1.1 с учетом (4.4)
?x1 ? X (j
77
сводится к несовместности (j = 1, . . . Ni , i = 1, 2)
(
gi (y ) < gi (yS )
(j )
(j )
(j )
(j )
Hii ? hii (xSi ) > Hii ? hii (xSi ) ?y ? Y.
(j )
(j )
Эта система неравенств несовместна при всех
вторая подсистема обращается в равенства.
У т в е р д е н и е 4.5.
рованных исходов для
y ? Y
, так как
Мноество всех гаранти-
i -го игрока совпадает с
hi1 (X1S ) + hi2 (X2S ) + gi (Y ),
а мноество его гарантированных векторных рисков с
Hii ? hii (XiS ) (i = 1, 2) , где
[
[
gi (y ) (i, r
hir (xr ), gi Y =
hir XrS =
xr ?XrS
4.4.
= 1, 2).
y?Y
Справедливость утвердения сразу следует из утвердения
Автор благодарит В.И. Жуковского за постановку задачи и
замечания.
Список литературы
1. Жуковский В.И., Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: МНИИ?У, 1997.
2. Wald A. Contribution to the theory of statistial estimation and testing
hypothesys // Annuals Math. Statist. 1939. V.10. P.299-326.
3. Savage L.Y. The theory of statistial deision // J. Amer. Statisti
Assotiation. 1951. N 46. P. 55-67.
4. ?одиновский В.В., Ногин В.Д. ?арето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
5. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.
78
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
221 Кб
Теги
риски, выигрыша, игра, неопределенность, векторных, бескоалиционные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа