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Свойства непараметрической оценки уравнения разделяющей поверхности в задаче распознавания образов при случайных значениях коэффициентов размытости ядерных функций.

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??????? ?????????? ???????????????? ???????????????? ???????????? ????? ????????? ?. ?. ?????????
2. ??????????? ?. ?. ????????????????? ?????? ??????????? ????????? ??????????? // ?????? ???????????
? ?? ??????????. 1969. ?. 14. ???. 1. ?. 156?161.
3. ????? ?. ?., ???????? ?. ?., ????????? ?. ?. ?????????? ? ???????????? ????????????????? ?????? ????-
????? ???????????, ?????????? ?? ???????? ???????????? ????????? ??????? ?? ?? ?????? // ???????
??????. 2009. ? 1(22). ?. 1. ?. 45?49.
A. V. Lapko, V. A. Lapko
ANALYSIS OF PROPERTIES OF MIXTURE OF NONPARAMETRIC ESTIMATIONS
OF A PROBABILITY DENSITY OF A MULTIDIMENSIONAL RANDOM VARIABLE
Asymptotic properties of mixture of nonparametric estimations of a probability density of a multidimensional random
variable are researched. Their correlation with properties of a traditional nonparametric estimation of a probability
density of Rosenblatt?Parzen type, in accordance with quantity of components of mixture and dimension of a random
variable is arranged.
Keywords: mixture of probability densities, nonparametric estimation, the big samples, asymptotic properties.
© ????? ?. ?., ????? ?. ?., 2010
??? 681.513
?. ?. ?????, ?. ?. ?????
???????? ????????????????? ?????? ????????? ???????????
??????????? ? ?????? ????????????? ??????? ??? ?????????
????????? ????????????? ?????????? ??????? ???????*
??????????? ??????????????? ???????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???????????,
?????????? ?? ????????????????? ?????? ?? ???????????. ?????????? ?? ????????? ?? ?????????? ???????????? ????????????????? ???????? ??????? ????????????? ????.
???????? ?????: ????????????????? ??????????, ????????????? ???????, ????????? ???????????? ??????????, ??????????????? ????????.
????????? ??????????? ???? ??????????????????? ?? ?????????? ?????????????? ?????????? ??????? ??????? ???????? ??????????? ?????????? ?????????????
?????? ????????????? ? ?????? ????????? ???????. ?????? ???????????? ??????????????? ?????????????????
?????????? ????????????? ??????? ?????????????? ??
?????? ?????????????? ?????????????.
???? ?????? ?????? ??????? ? ???????????? ??????????????? ??????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???????????, ?????????? ?? ????????????????? ?????? ?? ???????????, ? ?? ?????????????? ??????????? ?? ?????????? ?????? ?????????????
????????????? ?????????? ??????? ???????.
????????????????? ???????? ????????????? ???????
?? ?????????? ?????????????? ?????????? ???????
???????. ?????????? ???????? ?????????? ?????????????????? ?????????????? ?? ??????? ????????????????? ?????? ????????????? ??????? ? ???????????? ???????????? ???????? x .
???????????? ???????? ???????????? ???????
????????????? ?????????????? ??????? ??????? ? ????????????? ???????? ????????? ??????? ?????????? ?????????? ????????? ???????? ??????????? ?????? ?????????? ??????, ??????????? ? ?????????
??????.
??????? ??????????? ?????????? ?????? ????????????? ?????????? ??????? ??????? ??? ??????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???? ??????????????????? ???? ??????????? ? 1975 ?. ?. ???????? [1]. ? ?????? [2] ???? ?????????? ???????? ???????
????????????????? ?????????? ????????????? ???????,
?????????? ?? ????????????????? ?????? ?? ???????????. ?? ???? ??????? ? ????????? ?????????? ?????????
????????????? ?????????? ??????? ??????? ? ???????? ????????? ??????? ????????? ?????? ? ?????? ?????????? ?????? ?? ????????????? ??? ??????????? ????????????????? ???????? ??????. ?? ?????? ???????
??????????????? ??????? ????????????????? ??????
?????? ????????? ??? ????????? ?????? ??? «??????? ? ??????-?????????????? ????? ????????????? ??????» ?? 2009?
2013 ??., ?? ? 02.740.11.0621.
*
35
??????????, ????????, ???????????
????????, ??? ??????????? ???????? ??????? ????????????? ???????, ??????????????? ???????? ????????????? ?????????????, ????? ??? [3]
мп x О W1 , ???? f12 ( x ) Ј 0
m ( x) : н
(1)
по x О W 2 , ???? f12 ( x ) > 0.
?????
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(2)
???????? ?????????? ??????????? ??????????? ?????
???????? W1 , W 2 ; p j ( x ) ? ???????? ????????? ??????????? ????????????? ???????? x ????????????? ???????? ? ?????? W j , j = 1, 2 .
? ???????? ????????? ???????????????? ? ???? ??????? ????????????? p j ( x ) , j = 1, 2 ??? ??????????????
??
?????????? ????????? ??????????? ??????????? ???????????? ????????????????? ?????? ??????????.
????? V = x i , s ( i ) , i = 1, n ? ????????? ???????
?????? n , ???????????? ?? ???????? ????????? x i ????????????????? ??????? ? ???????????????? ??? «???????? ???????» s ( i ) ? ??? ?????????????? ? ?????? ?? ????
??????? W1 , W 2 .
??? ?????????? ????????? ??????????? ? ?????????
??????????? ??????????? (2) ????? ???????????? ?????????? ???? ??????????????????? [4].
????? ???????????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? f12 ( x ) (2) ?????????????? ? ????
(
??? ?????????????????? ????????????? ??????????
??????? ??????? ? ????
1
(5)
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?????????
c
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0
??? e О [ 0; 1] ? ????????? ???????? ? ??????????? ??????? ?????????????.
?? ????????? ????????? (5) ?????????? ?????????????????? c i , i = 1, n ????????????? ?????????? ? ?????????? ????????? ??????? ?? ????????? ??????? ??????? ? ?????????? (3). ????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? ?? ?????????? ?????????????? ?????????? ??????? ??????? ??? ????????????????? ?????? ????????????? ??????? ????????? ? ????
)
n
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ч.
i =1
и c ш
1 n
1 ж x - xi ц
(6)
i
s
(
)
е 1 ci F з c i ч .
n i =1
и
ш
??????????? ????????????????? ???????? ??????? f%12 ( x ) , f12 ( x ) ?????????????? ?????????????? ??
???????????? ?????????? c ? ????????? h ? ??????
«??????????? ????????» ?? ??????? ???????? ??????
??????????? ?????? ????????????? ???????.
??????????????? ???????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???????????. ??????????????? ???????? ?????????? (6) ???????????? ?????????
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p j ( x ) , j = 1, 2 ????????????? x ? ??????? ? ?????? ???
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????????? ??????????? ph ( c ) ????????????? ?????????? c ??????? ??????? ??????, ??? ??? n1 ® Ґ , n2 ® Ґ ,
n +n
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??? ?????? f12 ( x ) ????????? ??????????? ??????????? f12 ( x ) ???????? ?????????? ??????????????? ????????????? ? ???????????????.
??????????????.
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f12 ( x ) =
(3)
?????
-1
i
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s1 ( i ) = н -1
i
по P2 , ???? x О W 2 ;
Pj =
nj
? ?????? ????????? ??????????? ???????????n
??? ???????? ????????? ??????? ? ?????? W j , j = 1, 2 .
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????????
F ( u ) = F ( -u ) , 0 Ј F ( u ) < Ґ ,
т F ( u ) du = 1 , т u F ( u ) du = 1 ,
т u F ( u ) du < Ґ , 0 Ј m < Ґ ;
2
(4)
m
(
)
M f12 ( x ) = M ( p2 ( x ) - p1 ( x ) ) =
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???????.
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??????????.
??????????? ?? ??????????? ?????? [2], ????? ??????
???????????? ????? ????????????? ????????????? ?????????? c ? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? ????? ??????? ????
t +1
ph ( c ) = act , a = t +1 " c О [ 0 , h ] ,
h
h
??? ? ?????? ??????? ????????? ????????? c .
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?????????.
? ???????????? ? ????????? ?????????? ???????? ????????? ??????? [5] ????????? ????????? ?????????-
h
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1
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ж x-t ц
ж x-t ц
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ч p2 ( t ) dt - т F з
ч p1 ( t ) dt ъ ph ( c ) dc,
c
c
c
c
и
ш
и
ш
ы
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??? ?????????? ?????? ?????????????? ???????????, ??? ???????? ?????????????? ???????, ???????????? ?????? ?????, ???????? ?????????? ????? ? ??? ??
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j = 1, 2 . ?????? ???????? ??????????????????
ci , i = 1, n ??????????? ? ???????????? ? ??????????
??????????? ph ( c ) .
???????? ? ?????????? ?????????? ????????? ?????? ?????????? ( x - t ) ? -1 = u . ???????? ???????
p j ( x - cu ) , j = 1, 2 ? ??? ??????? ? ????? x ? ??????
??????? ??????? ??????? (4). ????? ??? ?????????? ??????? ????????? n1 , n2 ???????
36
??????? ?????????? ???????????????? ???????????????? ???????????? ????? ????????? ?. ?. ?????????
(
)
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~
(
1 ( 2)
2
p2 ( x ) - p1( ) ( x )
2
( t + 1) h 2
h
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2
??? h* ?????? ??????? h ????????? ??????????? ph ( c ) .
?? ??????? ???????? W2 ( h ) ???????
ph ( c ) dc =
1
(
)
(7)
p2( 2) ( x ) - p1( 2) ( x ) ,
t +3
2
??? p (j ) ( x ) ? ?????? ??????????? ????????? ??????????? p j ( x ) ?? x , j = 1, 2 .
??????, ?? ??????? h ® 0 ??? n1 ® Ґ , n2 ® Ґ ????????? ???????? ??????????????? ????????????? ????????????????? ?????????? f12 ( x ) (6).
2. ??? ?????????????? ??????????????? ????????????????? ?????? f12 ( x ) ????????? ??????????????? ???????? ????????????????????? ??????????
=
h
(
(
)
)
2
W2 ( h ) = т M т f12 ( x ) - f12 ( x ) dx ph ( c ) dc . (8)
0
=
??????????? ?????????
(
)
2
-2 M т ( p1 ( x ) - p1 ( x ) ) ( p2 ( x ) - p2 ( x ) ) dx +
2
(9)
+ M т ( p2 ( x ) - p2 ( x ) ) dx.
???????? [6], ??? ? ??????????? ???????????????????? ?????????? p j ( x ) ??? p j ( x ) ????? ???
M т ( p j ( x ) - p j ( x ) ) dx ~
2
F (u )
njc
2
+
c
4
( 2)
pj
( x)
4
R2 =
(
2
)
,
2
2
2
??? F ( u ) = т F 2 ( u ) du , p (j ) ( x ) = т p (j ) ( x ) dx .
(
)
M т f12 ( x ) - f12 ( x ) dx ~
2
F (u )
2
( n1 + n2 )
n1 n2 c
+
W2 ( c* ) ,
W2 ( c* )
( t (t + 5))
=
4
15
(
????? ??? ?????????? ??????? ???????? n1 , n2 ??????????????? ????????? ??? ????????????????????? ?????????? (9) ?????????????? ? ????
2
15
4
.
(12)
t +1
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??????? ??????? ????????????? ????????????
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??????????? ????????? h ? c . ????? ????????, ??? ??
????????? ????????? ? ?????????? (12).
?? ???????? ????????? ????????? ???????????
???????? ???????? ??? f12 ( x ) , f%12 ( x ) , ??????? ???????????? ??????????? (7) ?
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p2 ( x ) - p1( 2) ( x ) .
2
????? ????????? ?????????????? ???????
2
j = 1, 2 ,
? ??????????????? ????????? ????????
c2 (2)
M ( p j ( x ) - p j ( x )) ~
p j ( x) ,
2
2
t +1
( t ( t + 5) )
*
W
c
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????????? ????????????????????? ?????????? f%12 ( x ) ???
f12 ( x ) .
????? ?????????
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1
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5
1
2
*
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*
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??????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? (3) ? ?????? ???????? ????????????????????? ?????????? f%12 ( x ) ??? f12 ( x ) ??? n ® Ґ .
????? ??????????? ???????? ???????????????? ????????? ????????????????????? ?????????? f12 ( x )
?? f12 ( x ) ????????? ? ????
й F ( u ) 2 ( n + n ) ( c* )4 щ
t +1
1
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к
W2 ( h ) =
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*
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к
ъ
n
n
c
4
1 2
(t ( t + 5)) л
ы
0
W1 ( c* )
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2
t + 3 ж t ц5 .
R1 =
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з
ч
*
W1 ( h ) t + 1 и t + 5 ш
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?????????? f12 ( x ) ???????? ???????? ???????????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? p j ( x ) ,
j = 1, 2 .
???????????? ????????????????? ?????? ?????????
??????????? ??????????? f12 ( x ) ????? ??????? ???????? ?? ????????? ? ???????????? ?????????????????
???????? ???????? f%12 ( x ) (??. ???????). ? ??????????? ????????? t ????????? ??????????? ph ( c ) ???????? ????????? R1 ? R2 ????????? ? 1.
? ?????? ????????????? ??????? ?????????? ??????????? ???????? ???????? ????????? ?????????? f12 ( x ) ?
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?????????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? ????? ????????:
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N j =1
4
c
B , (10)
4
2
2
??? B = p1( ) ( x ) - p2( ) ( x ) .
? ?????? (10) ???????? ????????? (8):
2
F ( u ) ( n1 + n2 ) ( t + 1) h 4 ( t + 1)
W2 ( h ) ~
+
B . (11)
n1 n2 h t
4 (t + 5)
???????? ????????, ??? ??? ?????????? ???????
n +n
h ® 0 , 1 2 ® 0 ??? n j ® Ґ , j = 1, 2 ???????????n1 n2 h
?????? ?????? f12 ( x ) ???????? ? ???????????????????? ?
???????????? ????????? ??????????? ??????????? (2),
? ? ?????? ???????? ?? ??????????????? ?????????????
???????? ????????????? ???????.
????????? ??????? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???????????. ??? ??????? ????????????? ????????????????? ?????? f%12 ( x ) ? f12 ( x ) ?????????? ????????? ??????????????? ?? ??????????????? ????????? ???????????????????? ?????????? ???
??????????? ????????? ?????????? h ? c . ?????????
??????????? ???????? W2 ( h* ) ??? ??????????? ?????37
??????????, ????????, ???????????
??? ???????????? ??????????????? ????? ? ??? ??
??????????? ?????????? h ?????? ??????? ???????
??????????? ph ( c ) , ?? ??????? ?????????? ???????????????????? ????????????? ?????????? ??????? ???i
???? c j , i = 1, n , j = 1, N .
(
??? ???????? ????????????? ???? ???????????? ?????????? ????? ??????? ????????, ?? ??????? ???????? ????????????????????? ??????????.
??????????????? ??????? ??????????? ????????????
??????? ? ??????????? ????????????? ????????? ????????????? ?????????? ??? ????????? ????????????????? ??????? ????????????????? ?????? ?????????
??????????? ??????????? ? ???????? ???????????????
??????? ?? ?????????????? ??????????.
)
????????????????? ??????
1. ?????? ?., ?????? ?. ????????????????? ?????????? ????????? ( L1 -??????). ?. : ???, 1988.
2. ????? ?. ?., ????? ?. ?. ????????????????? ????????? ????????????? ??????? ??? ????????? ?????????
????????????? ?????????? ??????? ??????? // ??????????. 2007. ? 5. ?. 47?55.
3. ?????? ?. ?. ?????? ?????? ??????????? ??????.
?. : ?????, 1970.
4. Parzen E. On estimation of a probability density
function and mode // Ann. Math. Statistic. 1962. Vol. 33.
P. 1065?1076.
5. ???????? ?. ?., ??????? ?. ?. ????? ?????????????? ?????????. ?. : ???. ???-?? ???.-???. ???., 1961.
6. ??????????? ?. ?. ????????????????? ?????? ??????????? ????????? ??????????? // ?????? ???????????
? ?? ??????????. 1969. ?. 14. ???. 1. ?. 156?161.
??????????? ????????? R1 (?????? 1), R2 , R3 (?????? 2) ??
????????? t ?????? ????????????? ph ( c ) ?????????????
?????????? ??????? ??????? ????????????????? ??????
????????? ??????????? ??????????? f12 ( x )
????? ???????, ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? ? ????????????????? ?????? ????????????? ???????, ?????????? ?? ????????????????? ?????? ?? ???????????, ???????? ??????????
??????????????? ????????????? ? ???????????????. ??
????????? ? ???????????? ????????????????? ?????-
A. V. Lapko, V. A. Lapko
PROPERTIES OF A NONPARAMETRIC ESTIMATION OF THE EQUATION
OF A SEPARATING SURFACE IN THE PATTERN RECOGNITION TASK
AT CASUAL VALUES OF FUZZINESS COEFFICIENTS OF KERNEL FUNCTIONS
Asymptotic properties of nonparametric estimation of the equation of the separating surface grounded on the
randomized method of the estimation optimization are researched. Their correlation with properties of traditional
nonparametric decision function of type a Rosenblatt?Parzen is made.
Keywords: nonparametric statistics, pattern recognition, random fuzziness parameters, asymptotic properties.
© ????? ?. ?., ????? ?. ?., 2010
38
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