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Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов.

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?. ?. ???????
???????? ???????????????? ? ???????
????????????? ???????????
????????? ??????????1
???????? ????????? ???????? ????????????????, ??????? ???????????? ???
????????? ???????????? ??????? ????????????? ??????????? ?????? ??????????? ?????????, ? ????? ????? ??????????.
K??????? ?????: ?????????????????, ?????????? ??????????, ????????? ????????????
????.
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??? ???????????? ????????? ???????????? ????, ??????? ???
Lu?(t) = M u(t),
(1)
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?? ?????? ?? ???? ????????? L, ?? ? ?? ??? M -?????????????? ???????? [1?4].
??? ??? ?????????? ??????? ???? ????? ? ?????? ?????????? ?????? ?? ??????????? ????? (L, p)-?????????? ????????? M ????
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K
(祂 L ? M )?1 L ? p
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(2)
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n
k=0
(祂 ? a)
k=0
??? ?????????????? ????????????? ??????????? ????????? ?????? ????????
?????????? ????? ?????????? ??? ???????????? ??????? ????? {�, �, . . . , 祊 }
[2?4]. ?????? ?????? ????????? ?????????????? ??????????????? ??????? ????
(2) ????? ??????? ???????? ????
n(p+1) K
.
(礚 ? M )?1 L
?
(� ? a)n(p+1)
??? ???????? ?????? ????????? ???????????? ??????? ???? ????? ? ??????
??? ?????? ??????????? ?????? ??????????? ????????? ? ????? ??????????.
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????? G ? ??????? ? R ??? ? C, V ???????? ????????? ???????? ??? R ???
C ?????????????? ? ?????????? ? : V � V ? V, ?????? ??????, ?? ??????? ???????. ??????????? R : G ? V ?????????? ?????????????????? (??., ????????,
[5]), ????
R(?) ? R(�) = ?(? ? �)(R(?) ? R(�)) ??, � ? G.
(3)
1
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???????? ???????????????? ? ??????? ????????????? ??????????? . . .
13
????? ???? ? ?????, ??? ???????, ????????.
????? 1. ????? ????????????????? R : G ? V ???????? ??????????? ????????????. ?????
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(4)
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? R ???????? ?????????? ???????????????? ???????????? ? G, ??? ????
dk
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(5)
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??????????????. ??????? ??? ??????????? ?? ????????. ??????????? (4) ???
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k ? N, ??
lim kR(�)k+1 ? R(?)k+1 kV ?
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? R(�)R(?)k kV + lim kR(�)R(?)k ? R(?)k+1 kV ?
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k
k
? lim kR(�)kV � kR(�) ? R(?) kV + lim kR(�) ? R(?)kV � kR(?)k kV = 0
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? ???? ?????????????? ????????? {R(�) : |� ? ?| < ?} ? V.
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R(?) = ?R(?)2 . ????? ??? ????????? k ? N
k
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k R ? ??????????? ?????????
dk
R(?) = (?1)k k!R(?)k+1 .
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????? ? ?????? ??????????????? ???????? R ? ??????? V, ????????? ?? ????????? (3),
R(�)k+1 ? R(?)k+1
dk+1
k
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= (?1)k k! lim
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k
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n=0
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�?
�?
= (?1)k+1 (k + 1)!R(?)k+2 .
????????? 2. ? ????????? ??????? ? ???????? ??????????? ?????????????????? ????????????????? ????? ??????? ?? ????????? (3), ??? ??? ????????, ????????, ? [5].
????? 2. ????? R : G ? V ? ?????????????????, ???????? ???????? ????????? {�, �, . . . , 祊 } ? G ????? ? G. ????? ??? ?????? p ? N
p
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0
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14
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0
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= R(�)R(�).
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???????????, ??? ????????? (6) ????? ??? ????????? ???????? ????????? p?1 ?
N, ?????
(?1)p
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tk (祊?k ? 祊+1?k ) dtp =
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R(p) 祊 +
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Z
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R(p?1)
(?1)p?1
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祊 +
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Z
dt2 . . .
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tk (祊?k ? 祊+1?k ) + tp?1 (�? �) dtp?1 ?
祊 +
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!
tk (祊?k ? 祊+1?k ) dtp?1 =
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L
RM
(�) = (礚 ? M )?1 L, LLM (�) = L(礚 ? M )?1 .
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?a ? R (a, +?) ? ?L (M ).
(7)
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k ? (a, +?), k = 0, p,
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n
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L
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L(U)
K
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(� ? a)n(p+1)
?K ?R+ ?n ? N ?�
k ? (a, +?), k = 0, p,
n
p
Q
,
LLM (祂 ) ? Qp K
(� ?a)n
k=0
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k
k=0
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(10)
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?K ? R+
?n ? N ?� ? (a, +?)
p ?K ? R+ ??, 祂 ? (a, +?), k = 0, p,
Q L
K
R (祂 )(?L ? M )?1 ?
p
M
Q
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k=0
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L
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,
(� ? a)n(p+1)
,
(12)
K
.
(� ? a)p+2
(13)
?u ?domM ?C(u) ? R+ ??, 祂 ? (a, +?), k = 0, p,
p
Q
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RL (祂 )(?L ? M )?1 M u ?
,
p
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15
(14)
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k=0
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(RL (�))p+1 (礚 ? M )?1 M u ? C(u)p+2 ,
M
(�a)
U
(15)
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?f ?F ?C(f ) ? R+ ??, 祂 ? (a, +?), k = 0, p,
p
C(f )
M (?L ? M )?1 Q LL (祂 )f ?
,
p
M
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(� ?a)
k=0
(16)
k
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k=0
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) ? R+ ?�? (a, +?)
?f ?F ?C(f
)
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M (礚 ? M ) (LL (�))p+1 f ? C(fp+2
,
M
(�a)
F
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(17)
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??????? 1. ????? ??????????? ??????? (7). ????? ??????? (8) ????????????
??????? (9), ??????? (10) ???????????? ??????? (11), ??????? (12) ????????????
??????? (13), ??????? (14) ???????????? ??????? (15), ??????? (16) ????????????
??????? (17).
??????????????. ????????, ??? ?? ?????????????? ??????? (k) ??????? ?????????? ??????? (k + 1) ??? k = 8, 10, 12, 14, 16. ??????? ???????? ???????????.
L
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: (a, +?) ? L(U) ???????? ?????????????????? ?
??????? ?????????? ?????????? ? ????????? ??????? L(U). ?????????
?(t1 , . . . , tn(p+1)?1 ) = 祊 +
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X
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n?1
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16
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= (n(p + 1) ? 1)!
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n(p+1) =
?(t1 , . . . , tn(p+1)?1 ) ? a
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p
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R(n(p+1)?1) ?(t1 , . . . , tn(p+1)?1 ) dtn(p+1)?1
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K
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??????????????? ??????? (10) ? (11) ???????????? ??????????. ??? ?????????????? ??????????????? ??????? (12) ? (13) ???????, ??? ???????????
� ? (礚 ? M )?1 ?? (a, +?) ???????? ??????????????????, ??????????? ? ???????? ??????? L(F; U) ? ??????????, ?????????? ?? ??????? A ? B ? ALB ???
A, B ? L(F; U). ????????? ? ????????? ??????? ????? kAk1 = kLkL(U;F) kAkL(F;U) ,
????????????? ???????? ????? ? ????????? ???????????? L(F; U). ????? ??????????? ????????????????? ???????????
kA ? Bk1 = kLkL(U;F) kA ? BkL(F;U) = kLkL(U;F) kALBkL(F;U) ? kAk1 kBk1 .
??????? (5), (6) ??? ??????????????? ????????????????? ? ???????? ???????? ????????? ?????????? ???????? ????????? ???????:
dp+1
L
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(礚 ? M )?1 = (?1)p+1 (p + 1)!(RM
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K
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tk+1 (祊?k ? 祊+1?k ) dtp+1 =
.
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0
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P
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???????????? ??????? ?? ????????? ? ????????? ???????????? ???? (1), ??????????? ? ??????????? ??? ????????????? ??? ??????????? ?????? ???????????
?????????? [1; 2; 4], ??????? ?? ?? ?????????????, ??? ??? ?????????????? ?
????????? ???????????.
????????? 1. 1) ???????? M ???????? (L, p)-?????????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??????????? ??????? (7), (9), (11).
2) ???????? M ?????? (L, p)-???????? ?????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??????????? ??????? (7), (9), (11), (15).
3) ???????? M ?????? (L, p)-???????? ????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??????????? ??????? (7), (9), (11), (17).
4) ???????? M ?????? (L, p)-???????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??????????? ??????? (7), (9), (11), (13), (17).
3. ??????? ????????????? ??????????? ????? ??????????
? ?????? [3] ??? ???????????? ??????????? ????? ?????????? ???????????? ????????? ??????? ?? ???? ?????????? (L, M ):
?a ? R (??, ?a) ? (a, +?) ? ?L (M ),
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Q L
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M
Q
(|?|?a)
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?a) ? (a, +?), k = 0, p,
?p N ?祂 n
Q
,
LLM (祂 ) ? Qp K
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k=0
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(23)
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?a) ? (a, +?), k = 0, p,
p
Q
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????? ????????, ??? ??? ?????????? ????????????????? ?????????? ? ??? ?????????? ???? ??????????? ?????????? ????? ?????? ??????? ?? ????????? L, M :
???????? ???????????????? ? ??????? ????????????? ??????????? . . .
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Q
L
LM (祂 ) ?祂 ? (??, ?a), k = 0, p, k=0
?祂 ? (a, +?), k = 0, p,
p
n Q L
L
(�
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k
M
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L(F)
L(F)
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p
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K
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,
??????? (22), (23), (24) ???????? ?? ??????? (12), (14), (16) ??????????????.
????????? ??????? ???????????? ????????? ???????????.
??????? 2. ????? ??????????? ??????? (19). ????? ??????? (25) ????????????
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(27)
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M
L(U)
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+ L ?n ?n(p+1)
? (??, ?a)
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(L (�))
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(|祙?a)n(p+1)
L(F)
(28)
????????? 1. ?????? ?????? ?????? [3], ? ?????? ?????????? ??????? (19),
(27), (28) ???????? M ??????? (L, p)-????????????. ???? ? ???? ?? ???????????
??????? (14) ((16)), ?? ???????? M ?????????? ?????? (L, p)-???????????? ??????
(c????). ? ?????? ?????????? ??????? (19), (27), (28), (16), (12) ???????? M
??????? ?????? (L, p)-????????????.
????? ?????????? ????. ?. ?. ???????? ?? ???????? ??????????.
?????? ??????????
1. ???????, ?. ?. ???????? ????????? ???? ???????? ? ????????????
p-??????????? ??????????? / ?. ?. ??????? // ????. ???.? 1996.? ?.351, ? 3.?
?.316?318.
2. ???????, ?. ?. ??????????? ?????? ??????????? ?????????? ?????????? /
?. ?. ??????? // ??????? ? ??????.? 2000.? ?.12, ???.3.? ?.173?200.
3. ???????, ?. ?. ??????????? ?????? ??????????? ?????? ?????????? /
?. ?. ??????? // ???. ?????. ??????????.? 2000.? ? 3.? ?.54?65.
4. ???????, ?. ?. ????????? ??????? ????? ? ?????? ?? ?????? ???????????
????????? ? ???????? ???????? ????????????? / ?. ?. ??????? // ???. ???.
????.? 2005.? ?.46, ? 2.? ?.426?448.
5. ?????, ?. ?????????????? ?????? ? ?????????? / ?. ?????, ?. ???????.? ?. :
??????. ???., 1962.
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