close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Свойства функции Грина третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (461)
УДК 517.956
В.И. УШАКОВ, М.В. ИВАНОВА
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРИНА ТРЕТЬЕЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
1. Постановка задачи. Формулировка основных результатов
Пусть область лежит в полупространстве ft > 0g fx 2 Rn g. Обозначим D проекцию
сечения плоскостью ft = g области на плоскость ft = 0g. Предположим, что расширяется
с увеличением времени, т. е.
Dt1 Dt2 8t1; t2; t1 < t2:
(1)
В силу этого условия для каждой точки (t0 ; x) 2 луч f(t; x)jt t0 g также принадлежит .
Обозначив через s(x) = inf ft j (t; x) 2 g, получим
= f(t; x) j x 2 D; t > s(x)g;
(2)
где D = [t>0 Dt . При этом, поскольку для каждого t > 0 fx 2 D j t > s(x)g открыто (
|
область), то s(x) | полунепрерывная сверху функция.
В области рассмотрим задачу для параболического уравнения второго порядка
n @
X
@u = f (t; x); (t; x) 2 ;
@u
(3)
Lu @t ; @x aij (t; x) @x
j
i;j =1 i
n
X
@u = '(x); (t; x) 2 ;;
L0 0u ; aij (t; x) @x
(4)
j
0
j
i;j =1
где ; | граница , = (0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n ) | единичный вектор внешней (по отношению к )
нормали к ;. Коэффициенты aij = aji | измеримые функции в , удовлетворяющие условию
1 n
X
i;j =1
aij ij 2
(5)
для любого единичного вектора (1 , 2 | положительные постоянные).
Отметим, что (4) включает и начальное условие (если D0 = ; \ ft = 0g, то i = 0 при
1 i n, 0 = ;1, т. е. (4) принимает вид ujt=0 = '(x)).
Будем рассматривать обобщенное решение задачи (3), (4) в п. 2. В частности, никаких свойств
регулярности ; (за исключением (1)) не предполагается.
Целью работы является построение и изучение функции Грина G(t; x; ; ), с помощью которой выражается решение задачи (3), (4)
u(t; x) =
Z
G(t; x; ; )f (; )dd +
68
Z
D
G'()d:
(6)
Для произвольных (вообще говоря, неограниченных и с негладкой границей) цилиндрических
областей такая функция Грина была построена в [1]. Там же установлены оценки
Z
D\fjx;j>rg
2
G2(t; x; ; )d Be; tr; = minft ; ; 2 (x)g n2 ;
(7)
B exp ; 4(jxt;;j)2
G(t; x; ; ) (minft ; ; 2 (x)g minft ; ; 2 ()g) n4 ;
(8)
где (x) | расстояние от x до границы D. Постоянная B зависит только от 1 , 2 и n. В данной
работе устанавливаются оценки функции Грина задачи (3), (4), аналогичные (7), (8). Именно,
введем цилиндры
Q+ (; ) = f(t; x) j < t < + 2 ; jx ; j < g;
Q; (t; x) = f(; ) j t ; 2 < < t; jx ; j < g;
и пусть
d+(; ; t0 ) = supf j Q+ \ ft < t0gg;
d;(t; x; 0 ) = supf j Q; \ f < 0gg:
p
Tак как расширяется, то d+ (; ; t) = min( t ; ; ( )), где ( ) | расстояние от до границы D .
Основным результатом работы является
Теорема. Пусть удовлетворяет условию (1). Тогда существуют постоянные Cm (зависящие от 1 , 2 из (5) и размерности пространства n) и (зависящая от 2 ) такие, что для
функции Грина задачи (3), (4) для всех p, 1 p 1, справедливы неравенства
Z
Dt \fjx;j>rg
q1
C1 exp(; min( p1 ; 1q ) tr;2 )
;
(d+ (; ; t)) np
(9)
1
p
C2 exp(; min( p1 ; 1q ) tr;2 )
;
(d; (t; x; )) nq
(10)
Gq (t; x; ; )dx
Z
D \fjx;j>rg
Gp(t; x; ; )d
C3 exp(; min( 1p ; q1 ) tr;2 )
G(t; x; ; ) (d+(; ; t)) nq (d;(t; x; )) np ;
(11)
где p1 + 1q = 1, t > , r > 0.
1 = 0, при p = 1 считаем 1 = 0, q = 1,
Замечание. Как обычно, при p = 1 считаем
q
p
R
1
( jf (x)jp dx) p = ess supjf (x)j.
Отметим, что из (11) (в отличие от (8)) следует, что G(t; x; ; ) как функция переменной x
ограничена вплоть до границы Dt (при фиксированных < t, 2 D ), и как функция переменной ограничена вплоть до границы D .
2. Функциональные пространства и обобщенные решения
Отметим прежде всего, что аналогичные рассуждения для случая цилиндрических областей
имеются в работе [2].
Пусть область удовлетворяет условию (1). Через T обозначим пересечение с полупространством ft < T g, а через ;T | параболическую границу T , ;T = ; \ ft < T g.
69
Пусть V = V (
T ) | множество функций из C01 (Rn+1 ), обращающихся в нуль при t T
(точнее | множество сужений на T функций указанного класса). Под W20;1 и W 12;1 будем
понимать пополнение V по нормам
n @u 2 X
2
=
u +
dx dt;
T
i=1 @xi
(12)
2
Z
n @u 2 X
@u
2
2
kukW21;1 =
u + @t +
dx dt:
T
i=1 @xi
Разумеется, в определении W20;1 класс V можно заменить на C01 (Rn ). Если пополнение C01(Rn )
в норме (12) обозначить через W21;1 , то
kuk2W20;1
Z
W 12;1 = fu 2 W21;1 j ujt=T = 0g;
где ujt=T | след функции u.
Пусть ; dtd | оператор, отображающий W20;1 ! W20;1 , с областью определения V . Как обычно, отождествляем L2 (
T ) со своим сопряженным. Поэтому
W20;1 L2 = (L2 ) W20;1;
и для любой u 2 L2
Z
kukW20;1 = sup0;1
'2W2
W20;1 ! W20;1
u' dx dt
k'kW20;1 :
T
Оператор ; dtd : V
допускает замыкание.
Заметим, что для любой u 2 V справедливо равенство
Лемма 1.
u2(s(x); x) = ;
(функция s(x) определена в (2)). Следовательно,
Z
T
s(x)
2u @u
@t dt
@u @u
u dx dt 2kukW20;1 @t 0;1 :
(13)
DT
T @t
W2
Обозначим через D; : W20;1 ! W20;1 замыкание оператора ; dtd , а через H ; | его область
Z
Z
u2(s(x); x)dx 2
определения, которое снабдим нормой графика
kuk2H; = kuk2W20;1 + kD;uk2W20;1 :
Очевидно, H ; | банахово пространство (более того, в нем можно ввести скалярное произведение, задающее данную норму), которое плотно в W20;1 .
Из оценки (13) вытекает утверждение о следах функций из H ; .
Лемма 2. Отображение : u(t; x) ! u(s(x); x), определенное на функциях из V , продолжается по непрерывности до отображения : H ; ! L2 (DT ).
Для любой функции u 2 H ; будем использовать обозначения u = u(s(x); x).
Обозначим через D+ : W20;1 ! W 20;1 оператор, сопряженный в смысле теории неограниченных операторов к D; : W20;1 ! W20;1 . Область определения D+ будем обозначать H + . Cнабженное нормой графика
kuk2H+ = kuk2W20;1 + kD+uk2W20;1 ;
H + будет гильбертовым (с подходящим скалярным произведением) пространством.
70
1) hD; u; ui 0 для любой функции u 2 H ; (
T ),
2)
для любой функции u 2 H + (
T ).
Доказательство. 1. Если u 2 V , то
D
E
1 Z @u2 dx dt = 1 u2 (s(x); x) 0:
hDu; ui = ; @u
;
u
=
;
@t
2 T @t
2
Так как V плотно в H ; , то предельным переходом легко получить требуемое неравенство для
любой u 2 H ; (
T ).
2. Пусть u 2 H + (
T ). Обозначим через uh осреднение Стеклова функции u: uh (t; x) =
t+h
0;1
1;1
1 R
h t u(; x)d , где h > 0. (Считаем u(t; x) = 0 при t > T .) Так как u 2 W2 (
T ), то uh 2 W2 (
T )
(напомним, что T расширяется). При этом D; uh = ; @u@th = u(t;x);hu(t+h;x) и uh ! u в W20;1 при
h ! 0. Тогда
Z
1
+
;
u(t; x)(u(t; x) ; u(t + h; x))dx dt hD u; u i = hu; D u i =
Лемма 3.
hD+u; ui 0
h
h
h T
Z
Z
1
1
2
2
2h (u (t; x) ; u (t + h; x))dx dt = 2h
T
Z
s(x)+h
DT s(x)
u2(t; x)dt dx 0:
Переходя к пределу при h ! 0, получим нужное неравенство.
Пусть (H ; ) , (H + ) | сопряженные пространства к H ; и H + соответственно, (D; ) : W20;1 !
;
(H ) , (D+ ) : W20;1 ! (H + ) | сопряженные операторы к ограниченным операторам D; : H ; !
(W20;1 ) и D+ : H + ! (W20;1 ) . Легко видеть, что D; = (D+ ) jH ; , D+ = (D; ) jH + ,
H + = fu 2 W20;1 j (D;) u 2 (W20;1) g;
H ; = fu 2 W20;1 j (D+ )u 2 (W20;1) g:
0;1 ! (W 0;1 ) | линейный ограниченный оператор, удовлеПредложение 1. Пусть M : W2
2
0
;
1
творяющий для всех u 2 W2 неравенству
hMu; ui kuk2W20;1 + kuk2L2 ; > 0:
(14)
Тогда следующие операторы являются линейными гомеоморфизмами:
1. D; + M : H ; ! (W20;1 ) ,
2. D+ + M : H + ! (W20;1 ) ,
3. (D; ) + M : W20;1 ! (H ; ) ,
4. (D+ ) + M : W20;1 ! (H + ) .
Доказательство. Предположим вначале, что постоянная из (14) положительна. Тогда
в силу леммы 3 неограниченные операторы D; + M : W20;1 ! (W20;1 ) и D+ + M : W20;1 !
(W20;1 ) имеют ограниченные обратные на своей области определения. Следовательно (напр., [3]),
D+ + M и D; + M сюрьективны (как сопряженные к операторам с ограниченными
обратными).
Тем самым пп. 1 и 2 предложения 1 доказаны (непрерывность D; + M : H ; ! (W20;1 ) , D+ + M :
H + ! (W20;1) очевидна). Утверждения пп. 3 и 4 немедленно следуют0;из
1 и 2. Осталось заметить,
что отображение u ! et u является изоморфизмом пространств W2 1 и (W20;1 ) в себя (T < 1).
Поэтому условие > 0 не ограничивает общности.
Заметим теперь, что если в качестве M взять оператор Mu = ;u + u (более точно оператор
M определим равенством
hMu; vi =
Z
T
n
@u @v + uvdx dt
i=1 @xi @xi
X
71
для всех u; v 2 W20;1 (
T )), то решение уравнения D+u + M u = f удовлетворяет интегральному
тождеству
Z
Z
n @u @v
X
@v
; u @t + @x @x + uv dx dt = fv dx dt
T
i=1
i
i
T
для всех v 2 W 12;1 и, следовательно, удовлетворяет уравнению
@u ; u + u = f
@t
в смысле теории обобщенных функций в . Поэтому u бесконечно дифференцируема, если f
бесконечно дифференцируема.
Поскольку множество гладких функций плотно в (W20;1 (
T )) , то из п. 2 предложения 1 вытекает, что пересечение H + (
T ) с множеством бесконечно дифференцируемых в T n ;T функций
(обозначим его V + ) плотно в H + (
T ).
Пусть 0 < t0 T . Тогда для любой функции u из V + u(t0 ; x) 2 L2 (Dt0 ). При
этом отображение u(t; x) ! u(t0 ; x) продолжается по непрерывности до отображения
t0 : H +(
T ) ! L2(Dt0 ):
Лемма 4.
Для функций из H + наряду с обозначением t0 u будем использовать обозначения ujt=t0 или u(t0 ; x).
В предложении 1 по существу доказаны существование и единственность решений задачи
(3), (4) и сопряженной с ней задачи (16){(18) (см. ниже). Сейчас мы дадим более традиционное
определение обобщенных решений в терминах интегральных тождеств. А именно, функцию u 2
W20;1 будем называть обобщенным решением задачи (3), (4), если для всех v 2 V справедливо
интегральное тождество
Замечание.
Z
Z
n
X
@u
@v
@v
; u @t + aij @x @x dx dt = f (t; x)v(t; x)dx dt + '(x)v(s(x); x)dx:
T
DT
T
j i
i;j =1
Интегралы, входящие в (15), определены, если f 2 L2 (
T ), '(x) 2 L2 (DT ).
Z
(15)
Рассмотрим теперь сопряженную к (3), (4) задачу
Lv ; @v
@t ;
n
@ a @v = g(t; x); (t; x) 2 ;
(16)
ij
T
i;j =1 @xj @xi
n
X
@v = 0; (t; x) 2 ; ; t > 0;
aij @x
(17)
j
T
i
i;j =1
vjt=T = (x); x 2 DT :
(18)
Под обобщенным решением задачи (16){(18) будем понимать функцию v 2 W20;1, удовлетворяющую для всех u 2 H + (
T ) тождеству
Z
n
X
@v @u dx dt = Z g(t; x)u(t; x)dx dt ; Z (x)u(T; x)dx:
hv; D+ ui +
aij @x
(19)
T i;j =1
T
DT
j @xi
e
X
Предложение 2. Для любых f 2 L2 (
T ), ' 2 L2 (DT ) задача (3), (4) имеет единственное
обобщенное решение.
Для любых g 2 L2 (
T ), 2 L2 (DT ) задача (16){(18) имеет единственное обобщенное решение.
72
Доказательство.
Определяем оператор M : W20;1 ! (W20;1 ) равенством
hMu; vi =
Z
n
X
T i;j =1
@u @v dx dt:
aij @x
@x
j
(20)
i
В силу лемм 2 и 4 функционалы v ! v(s(x); x)'(x)dx, u !
(x)u(T; x)dx принадлежат
DT
DT
(H ; ) и (H + ) соответственно. Применение утверждений 3 и 4 предложения 1 завершает доказательство.
R
R
3. Построение функции Грина
Пусть U | открытое подмножество T . Будем говорить,что функция (определенная в U )
принадлежит H ; (H + ; W20;1 ) в U , если она является сужением на U функции из H ; (
T )(H + ; W20;1 ).
Будем говорить, что функция u (соответственно v) является решением однородной задачи
(3), (4) (соответственно (16){(18)) в U , если она принадлежит W20;1 в U и удовлетворяет (15) с
f = 0, ' = 0 для всех v 2 V (соответственно (19) с g = 0, = 0 для всех u 2 H +), обращающихся
в нуль в окрестности T n U .
Предложение 3. Существует функция G(t; x; ; ) 2 L2 (
T T ), непрерывная вне диагонали (t; x) = (; ), такая, что
а) для всех (0 ; 0 ) 2 T функция G(t; x; 0 ; 0 ) принадлежит H + вне любой окрестности
(0 ; 0 ), для всех (t0 ; x0 ) 2 T функция G(t0 ; x0 ; ; ) принадлежит H ; вне любой окрестности (t0 ; x0 );
б) для обобщенных решений задачи (3), (4) почти всюду справедливо равенство (6), для
обобщенных решений задачи (16){(18) почти всюду справедливо равенство
v(; ) =
Z
T
G(t; x; ; )g(t; x)dx dt +
Z
DT
G(T; x; ; ) (x)dx;
(21)
в) вне любой окрестности каждой точки (0 ; 0 ) 2 T функция G(t; x; 0 ; 0 ) является решением однородной задачи (3), (4), вне любой окрестности каждой точки (t0 ; x0 ) 2 T
функция G(t0; x0 ; ; ) является решением однородной задачи (16){(18).
Доказательство. Для всех f и g из L2 (
T ) определим функционал равенством
h; f (; )g(t; x)i = h(D; + M);1g; f i = h(D+ + M);1f; gi;
где оператор M = M определен в (20). В силу предложения 1 однозначно продолжается до
линейного непрерывного функционала на L2 (
T T ).
По теореме Рисса существует G 2 L2 (
T T ) такая, что
h; f (; )g(t; x)i =
Z
T T
G(t; x; ; )f (; )g(t; x)d d dt dx:
Справедливость равенств (6) (при ' = 0) и (19) (при = 0) следует из теоремы Фубини.
Пусть U1 , U2 | открытые подмножества T , замыкания которых не пересекаются, Ue1 , Ue2
| открытые подмножества, компактно лежащие в U1 и U2 соответственно. Пусть f (; ), принадлежащая H ; (
T ) , имеет носитель в U2 , тогда u(t; x) = ((D; ) + M);1 f является решением однородной задачи (3), (4) в U1 и поэтому [3] непрерывна по Гельдеру в U1 с показателем
= (1 ; 2 ; n) > 0, причем
kukC (Ue1) ckukL2 (U1);
(22)
где c зависит только от 1 , 2 , n, U1 , Ue1 .
73
Поэтому для всех (t; x) 2 U1 функционал f ! u(t; x) непрерывен в норме (H ; ) и по теореме
Хана{Банаха продолжается до элемента G1t;x(; ) 2 (H ; ) = H ; ,
u(t; x) = hf (; ); G1t;x (; )i;
(23)
причем норма G1t;x в H ; (
T ) равномерно относительно (t; x) 2 Ue1 ограниченa. Очевидно,
G1t;x(; ) = G(t; x; ; ) почти всюду в U1 U2 . Тем самым первое утверждение п. а) доказано.
Аналогично строится семейство функций G2; (t; x) 2 H + (
T ), совпадающих почти всюду в
U1 U2 с G(t; x; ; ), равномерно ограниченное в H + (
T ) относительно (; ) 2 Ue2.
Если в качестве U1 взять окрестность некоторой точки (t; x), компактно лежащую в T , в
качестве U2 | окрестность границы T , а в качестве f | функционал
u!
Z
DT
u(s(x); x)'(x)dx;
то из (23) следует (6) (для п. в. (t; x) следы функций G и G1t;x на ;T , очевидно, совпадают).
Равенство (21) получается аналогично.
Пусть теперь u 2 H + (
T ) имеет носитель вне Ue1 . Тогда, положив f = (D+ + M)u, в силу
(23) получим
hG1t;x; (D+ + M)ui = 0
(24)
1
при (t; x) 2 U1 . Поэтому Gt;x является решением однородной задачи (16){(18) в U2 и, следовательно, удовлетворяет там условию Гельдера. Tак как норма G1t;x(; ) в H ; (
T ) ограничена равномерно относительно (t; x) 2 Ue1 , то из неравенства, аналогичного (22), вытекает, что
kG1t;xkC (Ue2) также равномерно ограничена. G2; , очевидно, обладает тем же свойством. Функция G(t; x; ; ) для п. в. (t; x; ; ) 2 Ue1 Ue2 совпадает как с G1t;x(; ), так и с G2; (t; x) и, значит,
ее можно считать (исправив на множестве нулевой меры) непрерывной по Гельдеру в Ue1 Ue2 по
совокупности переменных. В силу произвольности Ue1 , Ue2 G(t; x; ; ) непрерывна по Гельдеру
всюду вне диагонали (t; x) = (; ).
Из (24) следует, что равенство
hG(t; x; ; ); (D+ + M)u(; )i = 0
(25)
справедливо при (t; x) 2 Ue1 n E , где E | множество нулевой меры. Приближая теперь произвольную точку (t; x) 2 Ue1 последовательностью (tk ; xk ) 2 Ue1 n E и учитывая ограниченность норм
G(tk ; xk ; ; ) в H ;, можем выбрать слабо сходящуюся в H ; подпоследовательность последовательности G(tk ; xk ; ; ). Перейдя к пределу в (25), получим, что для всех (t; x) 2 Ue1 G(t; x; ; )
является решением однородной задачи (16){(18) в U2 . Первое утверждение п. в) доказывается
аналогично.
Следствие. При t < G(t; x; ; ) = 0.
Так как в области T \ft < ; g ( > 0) G(t; x; ; ) как функция переменных (t; x) является
решением однородной задачи (3), (4), то в силу единственности решения она равна нулю.
4. Оценки функции Грина
Пусть теперь tt21 = \ ft1 < t < t2 g, 0 t1 < t2 T . Покажем, что построенная в п. 3
функция Грина задач (3), (4) и (16){(18) является также функцией Грина в области tt21 задачи
Lu = 0; (t; x) 2 tt21 ;
(26)
L0u = 0; (t; x) 2 ;; t1 < t < t2;
(27)
ut=t = '(x); x 2 Dt1 ;
(28)
1
74
и сопряженной к ней задачи
Lv = 0; (t; x) 2 tt21 ;
@v = 0; (t; x) 2 ;; t < t < t ;
aij @x
j
1
2
(29)
e
n
X
i;j =1
(30)
i
vjt=t2 = (x); x 2 Dt2 :
(31)
Обобщенные решения задачи (26){(28) и (29){(31) определяются интегральными тождествами
(аналогичными (15) и (19))
Z
tt21
Z
n
X
@v
@u
@v
; u @t + aij @x @x dx dt = '(x)v(t1 ; x)dx
Dt1
j i
i;j =1
(32)
для всех v 2 V (
T ), обращающихся в нуль при t > t2 и соответственно
n
Z
hv; D+ ui +
X
tt21 i;j =1
@u @v dx dt = Z
aij @x
@x
j
i
Dt2
(x)u(t2 ; x)dx
(33)
для всех u 2 H + (
tt21 ).
R
Лемма 5. Функция u(t; x) =
G(t; x; ; )'()d является обобщенным решением задачи
D
t
1
R
(26){(28). Функция v(; ) = G(t2 ; x; ; ) (x)dx является обобщенным решением задачи (29){
Dt2
(31).
Пусть hf; vi = v(t1 ; )'( )d для всех v 2 H ; (
T ). Тогда в силу лемDt1
мы 2 f 2 H ; (
T ) . Из свойств функции Грина следует, что ((D; ) +M)u = f , а т. к. из следствия
к предложению 3 вытекает, что u = 0 при t < t1 , то (32) доказано.
Аналогичными рассуждениями мы докажем справедливость (33), если проверим, что всякую
функцию u 2 H + (
tt21 ) можно продолжить до функции ue 2 H + (
T ), равной нулю при < t1 ,
и сужение D+ ue на tt21 совпадает с D+ u. Пусть f = (D+ + M)u, fe | продолжение нулем на
T функции f , которое не выводит за пределы класса (W20;1 ) . Тогда ue = (D+ + M);1 f = 0
при < t1 . Следовательно, для любой функции v 2 V (
T ), обращающейся в нуль при t > t2 ,
справедливо равенство
R
Доказательство.
Z
tt21
Z
n
X
e @v
@v
@
u
; ue @t + aij @x @x dx dt = t2 f v dx;
t1
j i
i;j =1
т. е. u совпадает с сужением ue на tt21 (в силу единственности обобщенного решения).
D+
Замечание.
tt21 ,
При доказательстве леммы мы не делали различия в обозначениях операторов
что не должно привести к недоразумениям, поскольку всегда указывался его
в T и в
аргумент.
Пусть A0 | открытое подмножество
= \ fA ft > 0gg,
H (t; ) =
Z
Dt;
n,
R
A = fx 2 A0 j =inf
jx ; j > g, Dt; = Dt \ A,
2A0
u2 (t; x)dx + 2
75
n
tZ
Z
0
X
Dt; i;j =1
@u @u dx d:
aij @x
@x
i
j
Лемма 6.
t > 0, R > 0
Пусть u(t; x) является решением однородной задачи (3), (4) в 0 . Тогда для всех
2
R
H (t; R) c0 exp ; 0 t H (t; 0);
(34)
где c0 | абсолютная постоянная, 0 зависит от 2 .
Доказательство. Из интегрального тождества (15) с f = 0, ' = 0 с помощью стандартных
рассуждений (см. [3], [4]) получаем неравенство
n
n
@u @u dx d Z t Z u X
@u @ dx d 1 Z u2 (t; x)(x)dx + Z t Z X
a
a
ij
ij
2 Dt
0 D i;j =1 @xi @xj
0 D i;j =1 @xi @xj
(35)
для любой неотрицательной функции (x) с носителем в A0 и равномерно ограниченными первыми производными.
Для любого множества A функция d(x; A) = yinf
jx ; yj, очевидно, удовлетворяет условию
2A
Липшица
jd(x; A) ; d(y; A)j jx ; yj
и, следовательно, имеет обобщенные производные первого порядка, причем для п. в. x 2 Rn
j @x@ i d(x; A)j 1.
Пусть при r > 0, > 0
r;(x) = min(1; 1 d(x; Rn n Ar )):
Тогда (x) = 0 при x 2= Ar , (x) = 1 при x 2 Ar+ и j @x@i j 1 при п. в. x 2 Rn .
Положив в (35) (x) = r; (x), получим
H (t; r + ) 2
0
n
1
1
Z tZ
n
2
2
X
@u
@u
@
@
2
aij @x @x dx d
u
aij @x @x dx d D;r i;j =1
0 Dt;r i;j =1
i j
i j
p2 1
Z t
2
2
H (t; r) H (; r)d :
0
tZ
Z
X
Повторяя далее рассуждения из ([4], предложение 3), получим (34).
При произвольных t1 и t2 (0 < t1 < t2 ) через Utt12 обозначим оператор, который каждой функции ' 2 L2 (Dt1 ) ставит в соответствие функцию u(t2 ; x) 2 L2 (Dt2 ), где u(t; x) | решение задачи
(26){(28). В силу леммы 5 сопряженный к Utt12 оператор (Utt12 ) : L2 (Dt2 ) ! L2 (Dt1 ) переводит
функцию 2 L2 (Dt2 ) в v(t; x), где v | решение задачи (29){(31).
В [4] установлено, что
kUtt12 k 1;
(36)
и что оценка (36) справедлива, если рассматривать Utt12 как оператор, отображающий L1 (Dt1 ) !
L1(Dt2 ) и L1(Dt1 ) ! L1(Dt2 ).
С учетом (36) из (34) следует, что норма Utt12 как оператора из L2 (Dt1 n Dt1 ;0 ) (функция ' = 0
вне A0 ) в L2 (Dt2 ;R ) удовлетворяет неравенству
2
kUtt12 k C0 exp ; t R; t
2
1
для любого множества A0 и R 0.
76
Применяя теперь интерполяционную теорему Рисса{Торина ([5]{[7]), для оператора Utt12 :
Lp(Dt1 n Dt1 ;0) ! Lp(Dt2 ;R) получим оценку
kUtt12 k C0 exp
2 R
1
1
; 0 min( p ; q ) t ; t ;
2
1
(37)
где p 1, p1 + 1q = 1.
Из этой же теоремы следует, что (36) справедлива для Utt12 : Lp (Dt1 ) ! Lp (Dt2 ) при всех p
(1 p 1). Следовательно, для любой функции ' 2 L2 (Dt1 ) \ Lq (Dt1 )
Z
Dt1
G(t2; x; t1 ; )'()d
Lq (Dt2 )
k'()kLq (Dt1 )
для всех t2 > t1 .
Как следует из результатов работы [5], для любого решения u(t; x) уравнения (26) в цилиндре
Q; (t; x) справедлива оценка
Следовательно,
ju(t; x)j c1nq t;max
ku(; x)kLq (D ):
2 <<t
(38)
Gq (t; x; t1 ; )'()d (d;C(1t;kx';ktLq)) nq ;
Dt1
1
отсюда в силу произвольности '
1
Z
p
p
G (t; x; t1 ; )d (d; (t;Cx1; t )) nq :
Dt1
1
Z
Аналогично,
1
q
Z
Dt2
Gq (t2 ; x; ; )dx
Применяя теперь (38) к G(t; x; ; ), получим
(39)
(d+ (;C1; t )) np :
(40)
2
1
Z
q
q (t; x; ; )d
G
jG(t; x; ; )j c1nq t;max
2 <<t D
для любого цилиндра Q; (t; x), лежащего в t . Из (40) и (41) получаем
2
jG(t; x; ; )j (d+ (; ; t+ )) Cnp (1d;(t; x; t+ )) nq (d+ (; ; t)) npC(d; (t; x; )) nq :
2
2
(41)
(42)
Из (39), (40) следует, что для доказательства неравенств (10) и (9) достаточно рассмотреть
случай r > 4(t ; ). При этом
d+ (; ; t) < 2r ; d;(t; x; ) < 2r :
(43)
Возьмем в качестве A0 шар с центром в точке x радиуса r. Из (37) с R = 2r следует, что для
всех ' 2 Lq \ L2 с носителем вне A0
Z
Dt1
G(t; x; ; )'()d
Lq (Dt2 ; r2 )
C0 exp
2 r
1
1
; 0 min( p ; q ) 4(t ; ) k'kLq :
Следовательно, учитывая (43), из (38) получим
Z
C exp(;0 min( p1 ; 1q ) 4(tr;2 ) )
G(t; x; ; )'()d k'kLq :
d; (t; x; ) nq
Dt1
77
Отсюда в силу произвольности ' следует (10). Неравенство (9) доказывается аналогично.
Для доказательства (11) достаточно (в силу (42)) ограничиться случаем jx ; j2 > 4(t ; ).
Возьмем r = jx;2 j , тогда d+ (; ; t) + r jx ; j. Из (10) и (41) следует
C1 C exp(;0 min( p1 ; 1q ) 4(tr;2 ) )
jG(t; x; ; )j (d+(; ; t+ )) np (d; (t; x; t+ )) nq :
2
2
Простой оценкой получим отсюда (11). Теорема доказана. Литература
1. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. { 1982. { T. 119. { Є 4. { C. 451{508.
2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. { М.: Мир,
1971. { 371 c.
3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического
типа. { М.: Наука, 1964. { 538 c.
4. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Матем. сб. { 1980. { T. 111 { Є 1. {
C. 95{115.
5. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. { М.: Мир, 1980. { 664 c.
6. Riesz M. Sur les maxima des formes bilinaires et sur les fonctionelles linaires // Acta math. {
1926. { V. 49. { P. 460 {497.
7. Thorin G.O. An extension of a convexity theorem due to M. Riesz // Comm. sem. math. univ.
Lund. { 1939. { V. 4. { P. 1{5.
Челябинский государственный
университет
Поступили
первый вариант 17:08:1998
окончательный вариант 22:05:2000
78
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
222 Кб
Теги
уравнения, смешанной, области, третьей, функции, свойства, грина, нецилиндрической, задачи, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа